lista2 de matemática 1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas
DEMAT
Professor Edivaldo F. Fontes Jr
Lista 2 - Matema´tica 1/IC-251 (Derivadas e suas aplicac¸o˜es e Integrais)
Exercı´cio 1 Determine os pontos crı´ticos da func¸a˜o dada e classifique cada ponto crı´tico como ma´ximo relativo,
mı´nimo relativo ou ponto ordina´rio.
(a) f (x) = 324x − 72x2 + 4x3 (b) f (t) = t√9 − t (c) S (t) = (t2 − 1)4
(d) h(t) =
t2
t2 + t − 2 (e) g(x) =
t
t2 + 3
(f) F(x) =
x2
x − 1
(g) P(x) =
100
√
x
0, 04x2 + 12
(h) P(r) =
5(3r + 1)
r2 + r + 2
(i) V(N) =
(
3N + 430
N + 1
) 2
3
Respostas: (c)t = 0,−1, 1 com ma´ximo relativo em (0, 1) e mı´nimos relativos em (−1, 0) e (1, 0).
(d)t = 0, 4, com ma´ximo relativo em (0, 0) e mı´nimo relativo em (4, 89 ). A func¸a˜o na˜o existe nos pontos t = −2 e
t = −1.
(e)t = −√3, √3 com ma´ximo relativo em (√3,
√
3
6 ) e mı´nimo relativo em (−
√
3, −
√
3
6 ).
Exercı´cio 2 Uma epidemiologista observa que uma certa doenc¸a se dissemina de tal forma que, t semanas apo´s
o inı´cio de um surto, N centenas de casos novos sa˜o relatados, onde
N(t) =
5t
12 + t2
(a). Determine N′(t) e N′′(t).
(b). Em que semana o nu´mero de casos da doenc¸a e´ ma´ximo? Qual e´ o nu´mero ma´ximo de casos?
Exercı´cio 3 Determine em que intervalos a func¸a˜o dada e´ crescente e decrescente e em que intervalos a concavi-
dade da func¸a˜o e´ para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexa˜o e fac¸a um esboc¸o
da curva da func¸a˜o.
(a) f (x) = 324x − 72x2 + 4x3 (b) f (t) = t√9 − t (c) S (t) = (t2 − 1)4
(d) h(t) =
1
x2 + x + 1
(e) g(x) =
t
t2 + 3
(f) F(x) =
x3
3
− 9x + 2
(g) P(x) =
√
x2 + 1 (h) P(r) = 2r(r + 4)3 (i) V(N) = (N − 2)4
Exercı´cio 4 Detemine os intervalos cujo gra´fico possui concavidade para cima e para baixo de:
(a). f (x) =
1
x2 + 1
, sabendo que f ′′(x) =
2(3x2 − 1)
(1 + x2)3
;
(b). f (x) =
2x
x2 + 1
, sabendo que f ′′(x) =
4x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
;
(a) Gra´fico da 3(d). (b) Gra´fico da 3(f).
(c) Gra´fico da 3(g). (d) Gra´fico da 3(h).
(c). f (x) = e−x2 , sabendo que f ′′(x) = 2(2x2 − 1)e−x2 .
Exercı´cio 5 Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y,
(ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento,
(iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais,
(iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) f (x) =
1 + x2
1 − x2 (b) g(x) =
(x − 1)ex
x2
(c) h(x) =
x
(x − 1)2
(e) Gra´fico da 5(a). (f) Gra´fico da 5(b).
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Os exercı´cios abaixo foram retirados do livro:
• Tı´tulo: Ca´lculo Volume I
• Autor: James Stewart
• Edic¸a˜o: Oitava.
• Edic¸a˜o: Capı´tulos 4 e 5.
Exercı´cio 6 (Sec¸a˜o 4.1)
(a) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e seja deriva´vel em 2.
(b) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e seja contı´nua, mas na˜o deriva´vel em 2.
(c) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e na˜o seja contı´nua em 2.
(d) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o em [−1, 2] que tenha ma´ximo absoluto, mas na˜o tenha ma´ximo local.
(e) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o em [−1, 2] que tenha uma ma´ximo absoluto, mas na˜o tenha mı´nimo absoluto.
(f) Esboce o gra´fico da uma func¸a˜o em [−1, 2] que seja descontı´nua, mas tenha tanto ma´ximo absoluto como
mı´nimo absoluto.
Exercı´cio 7 (Sec¸a˜o 4.1) - Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalos dado.
(a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3]
(b) f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3]
(c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−2, 3]
(d) f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1, [−2, 3]
(e) f (x) = x + 1x , [0, 2; 4]
(f) f (x) = xx2−x+1 , [0, 3]
(g) f (x) = x − 3√x, [−1, 4]
(h) f (x) = x−2 ln(x), [ 12 , 4]
(i) f (x) = x ex/2, [0, 3]
Exercı´cio 8 (Sec¸a˜o 4.1) - Entre 0 oC e 30 oC, o volume V (em centı´metros cu´bicos) de 1 kg de a´gua a uma
temperatura T e´ aproximadamente dado pela fo´rmula
V = 999, 87 − 0, 06426 T + 0, 0085043 T 2 − 0, 0000679 T 3
Encontre a temperatura na qual a a´gua tem sua densidade ma´xima.
Exercı´cio 9 (Sec¸a˜o 4.1) - Um modelo para o prec¸o me´dio norte-americano para o ac¸ucar refinado entre 1993 e
2003 e´ dado pela func¸a˜o
S (t) = −0, 00003237 t5 + 0, 0009037 t4 − 0, 008956 t3 + 0, 03629 t2 − 0, 04458 t + 0, 4074
onde t e´ medido em anos desde agosto de 1993. Estime os instantes nos uais o ac¸ucar esteve mais barato e mais
caro entre 1993 e 2003.
Exercı´cio 10 (Sec¸a˜o 4.3) - (i) - Encontre os intervalos nos quais f e´ crescente ou descrescente. (ii) - Encontre os
valores ma´ximo e mı´nimo locais de f . (iii) - Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o.
(a) f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 4
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(b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 3
(c) f (x) = x4 − 2x2 + 3
(d) f (x) = x
2
x2+3
(e) f (x) = e2x + e−x
(f) f (x) = x2 − x − ln(x)
Exercı´cio 11 (Sec¸a˜o 4.3) - Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f usando os Testes da primeira e da
segunda derivadas. Qual me´todo voceˆ prefere?
(a) f (x) = x5 − 5x + 3
(b) f (x) =
√
x − 4√x
Exercı´cio 12 (Sec¸a˜o 4.3) - Suponha que a derivada da func¸a˜o f seja f ′(x) = (x + 1)2 (x − 3)5 (x − 6)4. Em qual
intervalo f e´ crescente?
Exercı´cio 13 (Sec¸a˜o 4.5) - Seguindo o roteiro abaixo:
(i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y,
(ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento,
(iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais,
(iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) y = x3 + 3x2
(b) y = 2 − 15x + 9x2 − x3
(c) y = x(x − 4)3
(d) y = xx2−4
(e) y = x−1x2
(f) y = 1x + ln(x)
(g) y = x e−1/x
Exercı´cio 14 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes func¸o˜es. ( Verigique sua
resposta derivando.)
(a) f (x) = 4x + 7
(b) f (x) = 2x3 − 23 x2 + 5x
(c) f (x) = x(12x + 8)
(d) f (x) =
√
4
(e) f (x) = 3
√
x − 2 3√x
(f) f (x) = 15 − 2x
(g) f (x) = 1+x+x
2√
x
Exercı´cio 15 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre a primitiva F de f que satisfac¸a a condic¸a˜o dada.
(a) f (x) = 5x4 − 2x5, F(0) = 4
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(b) f (x) = 4 − 3(1 + x2)−1, F(1) = 0
Exercı´cio 16 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre f .
(a) f ′′(x) = 20x3 − 12x2 + 6x
(b) f ′′(x) = 2x + 3 ex
(c) f ′(x) = 1 + 2
√
x, f (4) = 25
(d) f ′′(x) = −2 + 12x − 12x2, f (0) = 4, f ′(0) = 12
Exercı´cio 17 (Sec¸a˜o 5.4) - Verifique, por derivac¸a˜o, que a fo´rmula esta´ correta.
(a)
∫
x√
x2 + 1
dx =
√
x2 + 1 +C
Exercı´cio 18 (Sec¸a˜o 5.4) - Encontre a integral indefinida geral.
(a)
∫
x1,3 + 7x2,5 dx
(b)
∫
4√
x5 dx
(c)
∫
5 +
2
3
x2 +
3
4
x3 dx
(d)
∫
v(v2 + 2)2 dv
(e)
∫
1 +
√
x + x
x
dx
Exercı´cio 19 (Sec¸a˜o 5.5) - Calcule a integral.
(a)
∫
x e−x
2
dx
(b)
∫
x2
√
x3 + 1 dx
(c)
∫
x3
x4 − 5 dx
(d)
∫ √
2t + 1 dx
(e)
∫
x
√
1 − x2 dx
(f)
∫
(3x − 2)20 dx
(g)
∫
eu
(1 − eu)2 du
(h)
∫
(ln(x))2
x
dx
(i)
∫
x2 ex
3
dx
(j)
∫
z2
z3 + 1
dx
(k)
∫
ex
√
1 + ex dx
(l)
∫
(x2 + 1)(x3 + 3x)4 dx
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