Lista de exercicios - Vetores no plano e espaço

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A B 
C 
D 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
DIRETORIA DE ENSINO 
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA VETORIAL PROFESSORES: MANOEL WALLACE 
ALUNO(A): MATRÍCULA: 
 
1ª Lista de Exercícios 
 
1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores como 
um único vetor: 
 
a) BCAB  b) DACD  
 
c) DCBC  d) DACDBC  
 
 
 
 
2) Na figura ao lado ADDB 2 . Exprimir CD em função de AC e BC . 
 
 
 
 
 
3) Na figura ao lado, 0MDMA e 0NCNB , escrever o vetor 
DCAB  em função de NM . 
 
 
4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo 
ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. 
Nestas condições,determine os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A: 
 
a) CHOC  b) FGEH  c) AFAE 22  
 
d) EFEH  e) BGEO  f) OCOE 22  
 
g) EHBC 
2
1 h) FGFE  i) HOOG  
 
j) AOFOAF  
 
5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um 
trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. 
 
6)Ache o vetor a de IR2 que corresponda a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a . 
 
B 
C 
A 
D 
A B 
C D 
M N 
A B 
C D 
E 
F 
G 
H 
O 
a)P(1, –4) ; Q(5, 3) b)P(2, 5) ; Q(–4,5) c)P(–3,–1) ; Q(6,–4) d)P(7, –3) ; Q(–2,4). 
 
7)Determine um vetor unitário que tenha: 
(I)mesma direção e sentido de a ; 
(II)mesma direção e sentido oposto ao de a . 
 
a) j15i8a  b)<2, –5> c) j3i5a  
 
8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha: 
 
a)o dobro do módulo de < –6, 3> b)metade do módulo de < –6, 3> 
 
9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que .j7i4a  
 
10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que : 
 
(I) 3ac  ; (II) .0ac  
 
a) .j4i3  b)< –5,12 >. 
 
11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentido 
horário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60o e que o vento sopre 
diretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores v e w , 
respectivamente. A direção da resultante wv  é a “trajetória real” do avião em relação ao solo e 
o módulo de wv  é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e o 
verdadeiro curso do avião. 
 
12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300 
km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o . 
 
13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio para 
o porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce uma 
força de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador 
menor exerce uma força de 1440 N sobre seu cabo. Se o 
navio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ângulo 
 que o rebocador maior deve fazer com AB . 
 
14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para o 
norte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo com a 
horizontal). 
 
15)Ache o vetor que tem: 
(I)a mesma direção e sentido de a e duas vezes o módulo de a ; 
(II)mesma direção de a , sentido oposto e um terço do módulo de a ; 
(III)mesma direção e sentido de a e módulo 2. 
 
 
30O 
 
B
 
A 
a) k6j15i14a  b) k6j3i6a  
 
16)Ache o vetor a de IR3, que corresponde a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a . 
 
a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3) b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1) c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1). 
 
17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente: 
 
a)< 3, –1 > e < –2, 4 > b)<–1, 2> e <5, 3> c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d)<0, 3, 2> e <1, 0, –3> 
 
18)Determine: (I) a , (II) ba  , (III) ba  , (IV) b4a3  , onde: 
 
a) a =<–4, 3> ; b =<6, 2> b) a =<6, 2, 3> ; b =<–1, 5, –2> c) kj2ia  ; k2jb  
 
19) Dados os vetores u = (3, -1) e v = (-1,2), determinar o vetor x tal que: 
 
a) xux)vu(  2
3
14 b) )ux()uv(x 34223  
20) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v =(-1, 3), sabendo que sua 
extremidade está em (3,1)? 
 
21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: 
 
a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) 
b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4). 
 
22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto 
vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 
 
23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar: 
 
a) Os ponto C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; 
b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 
 
24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal 
que ABAN
5
2
 . 
25) Dados os vetores u = (2, 3, -1) e v = (1,-1, 1) e w = (-3, 4, 0) , determinar o vetor x tal que 
xwxvu 423  . 
 
26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o 
ponto de interseção de suas diagonais, determinar os vértices C e D. 
 
27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB , no 
sentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor. 
 
28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), 
calcular me e n. 
 
29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “força 
resultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas 
forças. Duas forças 1F e 2F com magnitudes 10 lb e 12 lb 
agem sobre um objeto num ponto P como mostrado na figura. 
Determine a força resultante F agindo em P assim como sua 
magnitude, direção e sentido. 
 
 
30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostrado 
na figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e 
suas normas. 
 
 
 
 
 
31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas 
partículas com cargas opostas é diretamente proporcional ao produto dos 
módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distãncia d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada 
em um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a 
força de atração F em B é dada por: BA
BA
kqF 3 . 
 
32)Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e 
(0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z). 
 
a)Se OPv  , mostre que a força resultante F na partícula carregada negativamente é dada por : 
 


















 333
vk
vk
vj
vj
vi
vikqF . 
 
b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto P(x, y, z) equidistante das 
três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as 
coordenadas de P. 
 
33) Considere a equação czbyaxczbyax 222111  , mostre que: 
 
a) Se ce,b,a são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2; 
b) Se ce,b,a são L.D., então não podemos concluir que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. 
 
45o 30o 
F1 
F2 
50o 32o 
T2 T1 
A 
B 
+q 
–1 
34) Suponha que AB e AC sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor 
ACyABxAD  seja paralelo ao vetor AB , mas de sentido contrário? 
 
35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.: 
 
a) kjiw,jiv,kiu5322  
b) kjiv,kjiu 8132569114  
c) kjiv,jiu  123 
d) ),,(w,),,(v),,(u 202111212  
 
36) Os vetores kjiw,kjiv,kjiu  933234 , são L.I. ou L.D. ? Eles 
formam uma base de IR3? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor kji  
nessa base. 
 
37) Sejam ),,(w,),,(v),,(u 101012110  . Mostre que  w,v,u é uma base de IR3 e 
determine as coordenadas de ),,(a 223 nessa base. 
 
38) Seja  w,v,u uma base de IR3. Verifique se  wv,wvu,wvu 5322  é base. 
 
39) Escreva o vetor kji  como combinação linear dos vetores 
kjc,kjb,jia 232  . 
 
40) Sejam cbavecbau 22  , onde ceb,a são vetores L.I.. Mostre que 
o vetor cbaw 6159  é combinação linear de veu e determine os coeficientes dessa 
combinação linear. 
Respostas: 
 
1)a) AC b) CA c) BD d) BA 2)  
3
2ACBCCD  3) 2MN 
 
4) a) AE b) AC c) AC d) AB e) AO f) AD g) AH h) AD i) AO j) AC 
 
6) a)<4,7> b)<–6,0> c)<9,–3> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 0 
7 
4 –6 x 0 
y 
y 
x 
 
 
 
d)<–9,7> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) a)(I)–8/17 i + 15/17 j , (II) )8/17 i – 15/17 j b)(I) 29/5,29/2  , (II) 29/5,29/2 
 c)(I) 34/3,34/5  , (II) 34/3,34/5 
 
8) a)<–12, 6> b)<–3, 3/2> 9) j65/42i65/24  10) a)(I) 5/3c  (II)0 b) (I) 
13/3c  (II) 0 11)235 km/h , 65o 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4)23,6o 14)50 km, 53o 
 
15)a)(I) k12j30i28  (II) k2j5i3/14  (III) )k6j15i14(457/2  
 
 b)(I) k12j6i12  (II) k2ji2  (III) )k6j3i6(9/2  
 
16)a)<2,–6,8> b)<7, –2, 0> c)<–1, 1, 1> 
 
17)a)<1,3> b)<4,5> c)<1,0,2> d)<1,3,–1> 18)a)5, <2,5>, <–10,1>, <12,17> b)7, <5,7,1>, 
<7,–3,5>, <14,26,1> c) 6 , k3ji  , kj3i  , k11j2i3  
19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2) 
22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G(10/3, -1) 
24) N(1, -2, -6/5) 25) x = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11) 
 
28) m = 5 e n = -13 29) j)256(i)2536(F  , F 13,5 lb , o76 
30) j,i,T 403405551  , 1T 64,91 lb. j,i,T 606505552  , , 2T 85,64 lb 
 
32) b) (1/3,1/3,1/3) 34) x<0 e y = 0 35) a) L.I. b) L.D. c) L.I. d) L.D. 
 
36) Formam uma base; wvu
91
5
7
3
13
1
 37) Formam uma base; wvua  
38) É base 39) cbav
2
32
2
1
 40) vuw 78  
Bibliografia: 
 
SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2, Makron Books, São Paulo – SP 
WINTERLE. Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2009 
DUARTE FILHO. Jorge costa. Maria Silvia C. Favareto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. UFPB-
CCEN/DM 
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