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O Estudo das Funções Disciplina: Cálculo I Prof. Me Fábio Bueno Problema: Um artesão vende uma determinada peça, por ele fabricada, pelo quadrado do preço que paga pela matéria prima. Sabendo que o artesão pagou 40 reais pela matéria prima de sua última criação, qual é o lucro deste artesão para uma venda de 15 peças iguais? Existe uma generalização para a determinação do lucro do problema anterior? Note que o preço de venda da peça pode ser considerada uma função, 𝑓, que depende do valor pago pela matéria prima, 𝑥. Isso porque se for pago pela matéria prima 2 reais, o valor de venda dela, 𝑓(2), é igual a 4 reais. Se for pago pela matéria prima 3 reais, o valor de venda dela, 𝑓(3), é igual a 9 reais e assim por diante. Assim, matematicamente, podemos escrever que 𝑓 2 = 4, que 𝑓 3 = 9 e supondo que este padrão irá se manter infinitamente, é possível gerar uma sequência infinita de pares padronizados, possibilitando dizer como cada valor pago pela matéria prima (número de entrada da função, 𝑥) irá determinar o valor de venda das peças (valor de saída, 𝑦 = 𝑓 𝑥 ) definindo assim um padrão. Mas, ao invés de pensarmos em todos os números, podemos criar uma lei, que generalize o padrão observado. E, neste caso, a regra é 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Esta simples regra, também chamada de lei, pode explicar todas as associações feitas até então e qualquer outra pertencente a esta sequência de números deste padrão. A função em que 𝑥 aplicado à função 𝑓 resulta em 𝑥2. Agora, o lucro também é uma função, 𝐿, que depende do valor pago pela matéria prima, 𝑥. Isso porque se for pago pela matéria prima 2 reais, o lucro , L(2), é igual a 2 reais. Se for pago pela matéria prima 3 reais, o lucro, 𝐿 3 , é igual a 6 reais e assim por diante. Assim, matematicamente, podemos escrever que 𝐿 2 = 2, que 𝐿 3 = 6 e supondo que este padrão irá se manter infinitamente podemos também pensar em uma lei geral, como foi feito no preço de venda. Assim a regra (lei) para a determinação do lucro é dada por 𝐿 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥. ■ As representações de uma função • Linguagem materna (problemas reais); • Numericamente (sequência de números/tabela ); • Algebricamente (lei); • Graficamente. Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 (lê-se “uma função de A em B”) associa a cada número em seu domínio outro número em seu contradomínio; O conjunto 𝐴 representa o conjunto de números que é denominado o domínio da função (a não ser que seja dito o contrário, o domínio da função consiste de todos os números para os quais a lei da função tem sentido); O conjunto 𝐵 representa o conjunto que é denominado o contradomínio da função; O elemento 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 é chamado de imagem de 𝑥 (é importante ressaltar que 𝑓 𝑥 é a imagem do elemento 𝑥 ∈ 𝐴 pela função 𝑓 ). O conjunto formado por todos os 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 é chamado de imagem de 𝑓. Numericamente... Preço da matéria prima (variável independente) Lucro pela venda das peças (variável dependente) Par Ordenado 1 0 (1, 0) 2 2 (2, 2) 3 6 (3, 6) 4 12 (4, 12) 5 20 (5, 20) 10 90 (10, 90) 20 380 (20, 380) 30 870 (30, 870) 40 1560 (40, 1560) 𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) Algebricamente... 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓 𝑥 Algebricamente a lei da função do problema anterior é dada por: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 Onde 𝑥 a variável de entrada (domínio); 𝑓 𝑥 a variável de saída (imagem). Graficamente... Vamos construir no GeoGebra o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 considerando como domínio o intervalo fechado [0, 40] e contradomínio o conjunto de números reais. A importância do domínio... (1) Considere as seguintes funções: 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 A função 𝑓 é igual à função 𝑔? (2) Considere as seguintes funções: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 A função 𝑓 é igual à função 𝑔? SIM! Não! As funções possuem domínios diferentes. Qual é o domínio da função 𝑓 cuja lei é dada por 𝒙 ? A definição de função raiz quadrada de 𝑥 é “o número não negativo que elevado ao quadrado resulta em 𝑥”. Isto é: 𝑓 𝑥 = 𝑥 Portanto, o domínio desta função é: 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅/ 𝑥 ≥ 0} Uma metáfora para o conceito de função... Imagine uma esteira que leva até uma máquina. E, nesta esteira, são levados números. Quanto estes números passam através da máquina eles são transformados em números diferentes, seja qual for a transformação exercida pela máquina. A relação entre 𝑥 e 𝑦 dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 1 é uma função? • Veja o gráfico! Sim e Não! Esta relação não é uma função explícita em relação à variável 𝒙 , pois não passa no teste da linha vertical ! No entanto esta relação é uma função implícita; e, a partir dela, podemos encontrar duas funções explícitas que descrevem semicircunferências. Note que quando escrevemos 𝑦 = 𝑓 𝑥 , estamos dizendo que 𝑦 é uma função explícita na variável independente 𝑥 , uma vez que encontramos os valores de 𝑦 a partir dos valores de 𝑥 dados e aplicados na lei desta dada por 𝑓 𝑥 . É o caso, por exemplo, de 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑦 = 3𝑥 + tan 𝑥 e assim por diante. Entretanto, muitas vezes, é possível encontrar equações relacionando as variáveis 𝑥 e 𝑦 , nas quais a variável 𝑦 não está escrita como uma função da variável 𝑥, como por exemplo: 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 = 1, tan 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑦 𝑥 e 𝑥2 + 𝑦2 3 2 = 10𝑥𝑦. As expressões estudadas desta forma são conhecidas como função implícita. Uma função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , onde o domínio da função 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os 𝑥 do domínio de 𝑔 tal que 𝑔 𝑥 pertence ao domínio de 𝑓. Se uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora, então a relação inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 é denominada função inversa da função 𝑓. Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 chama-se injetora quando elementos diferentes em 𝐴 são transformados por 𝑓 em elementos diferentes em 𝐵. ( 𝑥 ≠ 𝑥′ em 𝐴 ⇒ 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥′ ) Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é dita sobrejetora quando, para qualquer elemento 𝑦 ∈ 𝐵, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑓 𝑥 = 𝑦. (𝑓 𝐴 ⊂ 𝐵) Exemplo: Admitindo que a função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 é uma função bijetora, encontre a função inversa da função 𝑓. Vamos verificar aplicando a composição entre as funções e verificando se ela é uma identidade. Agora tente encontrar a inversa do problema inicial, ou seja, a inversa de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥. Exemplo: O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000𝑚2 , e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia. Exemplo: A função modular é uma função composta por duas leis diferentes; pois dependendo do valor de entrada utilizado é necessário utilizar uma regra para satisfazer a definição de módulo de números reais. Assim, algebricamente, temos que: 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0 −𝑥, 𝑥 < 0 E, como conceito primitivo, postulado, vamos assumir que 0 = 0. Exercícios Propostos (1) Seja uma função real, tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2. (a) Calcule 𝑓 1 3 , 𝑓(0) e 𝑓(−1). Ou seja, determine os valores de saída (a imagem) dos valores de entrada (o domínio) 𝑥 = 1 3 , 𝑥 = 0 e 𝑥 = −1. (b) Qual é o valor de entrada 𝑥 que possuio valor 14 como imagem? (c) Esboce o gráfico da função 𝑓. (2) Seja a função g uma função real definida por g 𝑥 = 2𝑥−3 3 . (a) Determine a imagem de 𝑥 = 12. (b) Qual é o elemento 𝑥 do domínio cujo valor de saída é 𝑔 𝑥 = 4? (c) Esboce o gráfico da função 𝑔. (3) Sabendo que 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑥, determine 𝑓 3 . (4) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. (a) Se ele consiga vender R$4.500,00, calcule o valor de seu salário. (b) Esboce o gráfico desta situação. (5) Suponha que sejam dados um ponto do gráfico da função 𝑓, ou seja, −5,−2 e uma relação entre as funções 𝑓 e 𝑔, ou seja, 𝑔 𝑥 = −2. 𝑓(𝑥). Com estas informações, determine o ponto que poderemos encontrar no gráfico de 𝑔? (a) (−5, 4) (b) (6, 7) (c) (−8, −2) (d) (12, 1) (e) (−63, 6) (6) Suponha que sejam dados um ponto do gráfico da função 𝑓, ou seja, −4, 1 e uma relação entre as funções 𝑓 e 𝑔, ou seja, 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 −3 . Com estas informações, determine o ponto que poderemos encontrar no gráfico de 𝑔? (a) (−5, 4) (b) (−63, 6) (c) (12, 1) (d) (6, 7) (e) (−8,−2) (7) Considere a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações: (i) Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg, são utilizados cabos de aço de 20 mm de diâmetro; (ii) Para carga de massa x kg, em que x > 1000, utilizando cabos de aço de x/50 mm de diâmetro. Determine: (a) A função descrita por esta situação. (b) Esboce o gráfico da função. (8) Dentre os três gráficos abaixo, qual deles não é gráfico de uma função? Como você pode explicar? Referências BUENO, F.S. SANTOS, E. R. Noções básicas de Língua Portuguesa e Matemática para o Ensino Superior. São Paulo: Editora Martinari, 2009; https://www.coursera.org/learn/calculus1/home/info Curso de Cálculo I – Universidade do Estado de Ohio – Jim Fowler, PhD. Aceso: 16/08/15. STEWART, J; MORETTI, A C; MARTINS, A C G. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage, 2009. DEMANA, F.D. [et al.] Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. https://www.youtube.com/watch?v=pYQzdY40yr8&list=PLA0- G00q0ALLDGRJrGk3-jiyhA094fu1h&index=1. Acesso: 11/08/17. Sugestões de vídeo sobre a História do Cálculo O Mundo em Movimento, Cálculo Diferencial e Integral - https://www.youtube.com/watch?v=q9ywLsY36dg O Nascimento do Cálculo - https://www.youtube.com/watch?v=CCYmzyVAXzA
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