ALGA1M143 1415 res teste1A

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Teste 1 – 27-10-2014
Resolução
As questões 1 − 6 valem 0, 3 valores cada: deve apenas escolher a opção correcta sem
justificar; à ausência de resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída
uma cotação de −0, 1 valores.
Cada pergunta da questão 7 vale 0, 2 valores: à ausência de resposta é atribuída a cotação de
0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
Cada pergunta da questão 8 vale 0, 3 valores e deve ser respondida sem justificação.
1. Para cada k ∈ R, considere o sistema


x+ y = k
x− y = k + 1
3x− y = 2k
, nas incógnitas x, y.
Existe k tal que o sistema é possível e indeterminado.
x Se k > 0, então o sistema é impossível.
Existe exactamente um valor de k para o qual o sistema é impossível.
O sistema é sempre possível.
2. Sejam A =

 1 1 −30 2 0
−2 0 6

 e B =

 1 1 10 1 1
0 0 1


carA = 3 e carAB = 2
carA = 2 e carAB = 3
x carA < 3 e carAB < 3
carA = 3 e carAB < carBA
3. Sejam A =


1 0 0 0
0 i 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0

 e B =

 0 1 0 10 0 1 2
0 0 0 0


A e B estão na forma de Gauss
A está na forma de Gauss e B não está na forma de Gauss
x A não está na forma de Gauss e B está na forma de Gauss
A não está na forma de Gauss e B não está na forma de Gauss.
4. Sejam A uma matriz real de m linhas e n colunas, B uma matriz real de m linhas e uma coluna e X =


x1
...
xn

.
Se m ≤ n então o sistema AX = B é possível e indeterminado.
Se o sistema AX = B é possível e determinado, então m ≤ n.
x Se o sistema AX = B é possível e indeterminado, então o sistema AX =


0
...
0

 é possível e indeterminado.
Se o sistema AX =


0
...
0

 é possível e determinado, então o sistema AX = B é possível e determinado.
5. Se A é uma matriz em M2,2(R) tal que detA = 3, então
det((5A)−1) = 25
3
det(5A2) = 45
x det(5A) = 75
det(A+A) = 6
6. Considere os vectores u = (1, 0, 1), v = (1, 0, 2), w = (1, 0, 3) de R3; o conjunto das combinações lineares de u, v, w
é R3
x contém todos os múltiplos de (1, 0,−1)
é {x, y, z) ∈ R3 : x = 1}
é {(x, y, z) ∈ R3 : x = 1 e y = 0}
7. Para cada uma das seguintes afirmações, diga, sem justificar, se é verdadeira ou falsa.
V Qualquer sistema com 5 equações e 10 incógnitas é impossível ou possível e indeterminado.
V Qualquer sistema homogéneo de 7 equações a 7 incógnitas que tenha apenas a solução nula não pode ter a matriz dos
coeficientes com caraterística 5.
F Dois sistemas lineares de 3 equações a 3 incógnitas que tenham o mesmo conjunto solução têm matrizes dos coeficientes
com o mesmo determinante.
V Se A ∈M3,3(R) e det(3A) = 3 detA, então carA < 3.
V Se detA 6= 0, então a transposta de A tem inversa.
8. Sejam A =
(
2 −1
5 −3
)
e B =
(
i
2 + 3i
)
; indique sem justificar:
a)
A forma de Gauss associada a A:
(
1 0
0 1
) b)
A−1 :
(
3 −1
5 −2
) c)
AB :
(
−2− i
−6− 4i
)
d)
Indique a expressão da solução do sistema A
(
x
y
)
= B obtida por aplicação da regra de Cramer
(não calcule os determinantes envolvidos):
x =
det

 i −1
2 + 3i −3


det

 2 −1
5 −3


, y =
det

 2 i
5 2 + 3i


det

 2 −1
5 −3

