ALGA1M143 1415exame n

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Exame – 19-01-2015 – Duração 2h
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Todas as respostas devem ser justificadas concisa mas completamente.
1a b 2 3a b c d e f g Total
1. Para cada a, b ∈ R, considere o sistema
 ax+ by = 0ay + bz = 0
ax+ bz = 0
nas incógnitas x, y, z.
(0, 5 val.) a) Diga, justificando, para que valores de a e b é que o sistema é possível.
(1 val.) b) Diga, justificando, para que valores de a e b é que o sistema tem uma e uma só solução.
2. (1, 5 val.) Diga, justificando, se qualquer subespaço próprio de um endomorfismo injetivo está contido no contradomínio
desse endomorfismo.
3. Considere o espaço vetorial real R3 munido das operações usuais e produto escalar usual. Sejam f e g os endomorfismos
de R3 definidos por:
f(x, y, z) = (z, x, y), (x, y, z) ∈ R3; g(1, 1, 1) = (1, 1, 1), g(1, 0, 1) = (0, 1, 1), g(1, 2, 0) = (2, 1, 0) .
(1 val.) (a) Sem determinar explicitamente g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3, mostre que g é bijectiva.
(1 val.) (b) Determine g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.
(1 val.) (c) Determine um vetor próprio comum a f e a g.
Nas alíneas que se seguem, considere h = f + f ◦ f .
(1 val.) (d) Mostre que Mbcbc(h) =
 0 1 11 0 1
1 1 0
.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Exame – 19-01-2015 – Duração 2h
Nome completo: Número mecanográfico:
(2 val.) (e) Averigue se existe uma base ortonormada B de R3 tal que
MB,B(h) =
 2 0 00 −1 0
0 0 −1
 .
Caso exista, indique uma tal base B.
(1 val.) (f) Determine proj⊥E (x, y, z), onde E é o subespaço próprio de h associado ao valor próprio −1.
(2 val.) (g) Considere o espaço vectorial real V = L(R3,R3) dos endomorfismos lineares em R3 munido das operações usuais
(soma de funções e multiplicação de funções por reais) e os seguintes subespaços:
S1 = {L ∈ V : L ◦ f = f ◦ L}, S2 = {L ∈ V : L ◦ f = f ◦ L e L ◦ g = g ◦ L} .
Para i = 1, 2, determine uma base de Si e a dimensão de Si.