Aula 2 Modelagem Matematica

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PESQUISA OPERACIONAL I
Professor: Dr. Edwin B. Professor: Dr. Edwin B. MitaccMitacc MezaMeza
edwin@engenhariaedwin@engenharia--puro.com.brpuro.com.br
www.engenhariawww.engenharia--puro.com.br/edwinpuro.com.br/edwin
Gustavo F Montez
Retângulo
O Processo de Modelagem 
Modelagem MatemáticaModelagem Matemática 
É possível, de uma forma bastante geral, resumir o processo deposs e , de u a o a basta te ge a , esu o p ocesso de
modelagem ou de construção de modelos na ótica operacional,
pelos passos sugeridos pelo seguinte fluxograma.
Definição do problema
Formulação e 
Construção do Modelo
Validação do ModeloSimulação do Modelo
Reformulação do Modelo
Aplicação do Modelo
Pesquisa Operacional I
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Aplicação do Modelo
Modelagem Matemática
A definição do problema é uma das fases mais importantes do
Modelagem Matemática
A definição do problema é uma das fases mais importantes do
processo e compreende a clara percepção do desafio colocado. O
problema deve ser traduzido em elementos palpáveis englobando:
9 Variáveis de decisão e Controle;
9 Objetivos ;
9 Níveis de detalhe;
O segredo do sucesso do modelo de otimização depende daO segredo do sucesso do modelo de otimização depende da
adequação de sua tradução, também denominada “formulação”.
A adequação pretendida depende de elementos que escapam ao conteúdo 
estritamente técnico, envolvendo a percepção do elaborador do modelo 
(ou equipe de elaboração), uma faculdade de alto nível. 
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Modelagem MatemáticaModelagem Matemática
As formulas ou equações do modelo não existem
prontas e acabadas na natureza, eles têm que ser
identificados ou criadas.
Estranhamente, o rigor da tradução é obtido através de processos pouco
rigorosos ou conhecidos envolvendo:rigorosos ou conhecidos, envolvendo:
9 Intuição;
9 Experiência;
9 Criatividade;Criatividade;
9 Poder de Síntese, etc.
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Modelagem MatemáticaModelagem Matemática
Temos daí duas conseqüências imediatas para o desenvolvimento de
modelos:
9 d f ld d d d l d9 Existe uma enorme dificuldade de modelar o processo de
formulação;
9 E i f dê i id i id d d f l ã9 Existe uma forte tendência a considerar a atividade de formulação
de um modelo como uma arte.
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Em resumoEm resumo
Mesmo com um gigantesco arcabouço teórico existente, na prática,Mesmo com um gigantesco arcabouço teórico existente, na prática,
a modelagem e a identificação do problema acontecem de forma
bastante empírica e pessoal.
Quando um problema no mundo real é identificado, a
identificação acontece mais pela experiência e vivencia da pessoa
ou grupo que esta fazendo a modelagem do que por exemplo se oou grupo que esta fazendo a modelagem do que, por exemplo se o
problema atende às suposições da PM.
Lamentavelmente, não há um algoritmo que nos ajude aLamentavelmente, não há um algoritmo que nos ajude a
transformar um problema do mundo real num modelo.
Nesse ponto, que nossa
habilidade de tomador de
decisões é colocada a prova.
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p
Em resumoEm resumo
Familiaridade com 
é i  d  P ã  técnicas de Programação 
Matemática
A i l id tifi ã d bl iê i dA simples identificação do problema e a consciência da
possibilidade do uso da PM para resolvê‐lo nos permite procurar
meios adequados para que o problema seja resolvido.
Melhor forma de
identificar e modelar
problemas é conhecendo
exemplos de aplicações!!
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Exemplos Clássicos
Problema de CapacidadeProblema de Capacidade
U d d d f d 800 i d fUm vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua
região de vendas. Ele necessita transportar pelo menos 200 caixas de
laranja a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos
a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a
R$30,00 de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o
caminhão para obter o lucro máximo?p
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Problema do MIX de ProduçãoProblema do MIX de Produção
A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens.A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens.
Um soldado é vendido por R$27 e usa R$10 de matéria‐prima. Cada soldado
fabricado aumenta os custos diretos de mão‐de‐obra e custos indiretos em R$14.
Um trem é vendido a R$21 e utiliza R$9 de matéria‐prima Cada trem aumenta osUm trem é vendido a R$21 e utiliza R$9 de matéria prima. Cada trem aumenta os
custos de mão‐de‐obra e indiretos em R$10. A fabricação requer dois tipos de
mão‐de‐obra: carpinteiro e pintor. A fabricação de um soldado requer 2 horas de
um pintor e 1 hora de um carpinteiro Um trem demanda 1 hora de pintura e 1um pintor e 1 hora de um carpinteiro. Um trem demanda 1 hora de pintura e 1
hora de carpintaria. Para cada semana, a Brinquedos pode conseguir toda a
matéria‐prima necessária, mas apenas 100 horas de pintura e 80 horas de
carpintaria A demanda para os trens é ilimitada mas a de soldados é de nocarpintaria. A demanda para os trens é ilimitada, mas a de soldados é de no
máximo 40 por semana.
A Brinquedos S.A. quer maximizar o lucro semanal (receitas menos custos). O
modelo a ser formulado deve atender às restrições do problema ao mesmo tempo
que maximiza o lucro da empresa. Qual poderia ser esse modelo?
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Problema de ProduçãoProblema de Produção
Na produção de unidades de 4 tipos de produtos, são utilizadas 2 máquinas. ONa produção de unidades de 4 tipos de produtos, são utilizadas 2 máquinas. O
tempo utilizado na fabricação de cada unidade, de cada tipo de produto, em cada
uma das 4máquinas está dado na tabela abaixo:
Tempo por unidade produzida (horas)
Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produto 4
1 2 3 4 2
O l d d ã d id d d d d é di
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2
O custo total de produção de uma unidade de cada produto é diretamente
proporcional ao tempo de uso da máquina. Considere que o custo por hora para
as máquinas 1 e 2 são $10 e $15 respectivamente. O total de horas disponíveis
d d á i i Spara todos os produtos nas máquinas 1 e 2 são 500 e 380 respectivamente. Se o
preço de venda, por unidade, dos produtos 1, 2, 3 e 4 é de $65, $70, $55 e $45,
formule o problema como um modelo de P. Linear com o objetivo de maximizar o
l l d l
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lucro líquido total.
Problema de CompraProblema de Compra
Uma companhia de aviação está considerando a compra de aviões de passageiros
de 3 tipos: de pequeno curso, de curso médio e de longo curso. O preço de compra
seria de $6,7M para cada avião de longo curso, $5M para aviões de médio curso e
$3,5M para aviões de pequeno curso. A diretoria autorizou um gasto máximo deg
$150M para estas compras, independentemente de quais aviões serão comprados.
As viagens aéreas em todos os tipos de aviões, fazem prever que os aviões andarão
sempre lotados. Estima‐se que o lucro anual líquido seria de $0,42M para cadap q q p
avião de longo curso, $0,30M para avião de médio curso e $0,23M para avião de
pequeno curso. A companhia terá pilotos treinados para pilotar 30 novos aviões.
Se somente aviões de pequeno curso forem comprados, a divisão de manutençãop q p , ç
estaria apta a manter 40 novos aviões. Cada avião de médio curso gasta 1/3 a mais
de manutenção do que o dispendido por um avião de pequeno curso e o de longo
curso 2/3 a mais. As informações acima foram obtidas por uma análise preliminar/ ç p p
do problema. Uma análise mais detalhada será feita posteriormente. No entanto,
usando os dados acima como uma primeira aproximação, a diretoria da empresa
deseja conhecer quantos aviões de cada tipo deveriam ser comprados se o objetivo
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j q p p j
é maximizar o lucro. Formule um modelo de P.Linear para este problema.O Problema da DietaO Problema da Dieta
No problema da dieta, o objetivo é determinar qual é a quantidade ideal deNo problema da dieta, o objetivo é determinar qual é a quantidade ideal de
alimentos a ser ingerida com custo mínimo e que satisfaça às necessidade
nutricionais.
l h f d l h fPor exemplo, suponha que o Governo federal tenha feito uma pesquisa numa
comunidade desfavorecida do interior do Brasil e tenha identificado uma série de
doenças desencadeadas especialmente devido à deficiência de vitaminas A e C,
cálcio e ferro. A falta de vitamina A provoca problemas de visão e falta de defesa
contra as infecções, enquanto a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais
perda dos dentes. A falta de cálcio provoca espasmos musculares e tendência a
osteoporose. Finalmente, a falta de ferro provoca anemia, comprometimento da
capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento do trabalho.
O governo subsidia a venda de uma serie de alimentos como arroz feijão carneO governo subsidia a venda de uma serie de alimentos como arroz, feijão, carne
bovina e açúcar. Sabemos que os alimentos subsidiados possuem os nutrientes
que estão faltando no cardápio das pessoas, conforme podemos observar na
seguinte Tabela
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seguinte Tabela.
O Problema da DietaO Problema da Dieta
Tabela – Informações por alimento
O interesse do governo é que as pessoas tenham uma dieta equilibrada (que
t d l í i d t i t ) t t hatenda aos valores mínimos dos nutrientes), mas, ao mesmo tempo, que tenha o
menor custo possível. Como um modelo poderia ser construído de forma a
capturar todos os interesses e restrições envolvidos no problema?
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Problema de TransporteProblema de Transporte
Imagine que a Abecitrus (Associação Brasileira de Cítricos), que congrega asImagine que a Abecitrus (Associação Brasileira de Cítricos), que congrega as
empresas produtoras e exportadoras de sucos e assemelhados, esteja interessada
em ajudar na coordenação e otimização dos custos de transporte da indústria.
Suponha que existam 3 regiões produtoras no Brasil e 5 destinos (mercados)Suponha que existam 3 regiões produtoras no Brasil e 5 destinos (mercados)
importante para os produtos. As quantidades produzidas, os volumes consumidos
pelos mercados, assim como os custos de transporte entre origens e destinos
podem ser vistos na seguinte Tabelapodem ser vistos na seguinte Tabela.
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Problema de TransporteProblema de Transporte
Tabela – Custos de transporte entre regiões, produção e demanda por região
O interesse da Abecitrus é escoar toda a produção atendendo aos mercadosO interesse da Abecitrus é escoar toda a produção, atendendo aos mercados
consumidores com custo de transporte mínimo.
Neste caso, as variáveis de decisão devem ser relacionadas com as quantidadesq
enviadas das regiões produtoras para os mercados consumidores. Qual poderia
ser esse modelo?
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Problema de Orçamento de CapitalProblema de Orçamento de Capital
Imagine que a Volto Venture Capital S.A. (VVC), empresa de capital empreendedorg q p ( ), p p p
do conglomerado Voltorantina S.A., tenha um orçamento de R$200 milhões para
este ano, R$250 milhões para o ano que vem e mais R$150 milhões para o outro
ano. Esse excesso de capital é oriundo de uma boa rentabilidade da operação atual,p p ç ,
bem como uma esperança de rentabilidade nos anos futuros.
A VVC possui uma série de oportunidades disponíveis para investimento, de forma
l i d fi i d i i d li dque eles precisam definir onde seus investimentos devem ser realizados para que o
VPL (Valor Presente Líquido) dos mesmos seja maximizado. Como os
investimentos são participações em outras empresas, os investimentos podem ser
f i d d i ã há li i í i d ifracionados tendo em vista que não há limite mínimo de compra, nem o interesse
de se obter uma determinada participação nas empresas. Precisa haver apenas uma
proporcionalidade dos investimentos ao longo dos anos, ou seja, se a empresa
d d d l d l b dadquirir um determinado percentual da empresa neste ano, ela também deverá
fazê‐lo nos próximos aportes da empresa para que a mesma participação seja
mantida. A Tabela a seguir apresenta os investimentos disponíveis, os valores de
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desembolso necessários para os 3 anos e o VPL de cada investimento.
Problema de Orçamento de CapitalProblema de Orçamento de Capital
Tabela – Oportunidades de investimento para a VVCp p
Formule um problema para que a VVC maximize o VPL de seus investimentos.
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Problema do Fluxo na Indústria de ProcessoProblema do Fluxo na Indústria de Processo
Considere que a Petróleo de Campos S.A. esteja avaliando seu processo deq p j p
produção de gás, óleos e gasolina a partir do petróleo bruto. A figura a seguir
apresenta o fluxo do processo geral da empresa, desde a entrada de matéria prima
até a saída dos produtos finais.p
C d á i d d ã i d i d id d fCada estágio de produção possui uma determinada capacidade, conforme
apresentado na Tabela a seguir. A Petróleo de Campos quer definir as produções
de cada produto com o intuito de maximizar os lucros totais gerados pela venda de
l l
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gás, óleos e gasolina.
Problema do Fluxo na Indústria de ProcessoProblema do Fluxo na Indústria de Processo
Tabela – Capacidades de processamento na refinariap p
A Petróleo de Campos quer definir as produções de cada produto com o intuito de
l d l d d l lmaximizar os lucros totais gerados pela venda de gás, óleos e gasolina.
Em problemas de indústria de processo, em que a análise recai sobre capacidades
de produção e sobre fluxos é comum definirmos variáveis como os fluxos dede produção e sobre fluxos, é comum definirmos variáveis como os fluxos de
produtos e matérias primas entre os diversos estágios de produção.
Qual poderia ser esse modelo?
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Mais exemplos ....