MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 19 02 17

Prévia do material em texto

MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 1 de 93 
 
1. PESQUISA OPERACIONAL 
 
1.1. A PESQUISA OPERACIONAL 
 
A Pesquisa Operacional (PO) pode ser encarada como uma ciência aplicada ou um 
método científico cujo objetivo é a melhoria da performance em organizações. Observe que o 
próprio nome “Pesquisa Operacional” diz respeito a pesquisa sobre operações, sobre atividades. 
A Pesquisa Operacional analisa como conduzir e coordenar as OPERAÇÕES (atividades) em 
uma organização. 
 
Observação: Método Científico 
Podemos definir como método científico a forma, o conjunto de regras básicas que são 
empregadas quando realizamos uma investigação científica com o intuito de obter resultados 
os mais confiáveis possíveis. O método científico investiga, através de observações, 
experimentações, relacionamentos entre as variáveis e utiliza o raciocínio matemático, com o 
intuito de identificar futuros desempenhos sob novas condições, ou seja, descobrir as leis que 
governam os sistemas para tomadas de decisões. 
Saiba mais em: http://www.infoescola.com/ciencias/metodo-cientifico/ 
 
1.2. HISTÓRICO 
 
Sugestão de leitura: http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-
operacional-visao-geral/57475/ 
http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/35652594/Introducao_a_pesquisa_Operac
ional__Fernando.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1467301
357&Signature=LjzZ2OPLcODbAfvy6rUpLQyDmk4%3D&response-content-
disposition=inline%3B%20filename%3DIntroducao_a_Pesquisa_Operacional.pdf 
 
1.3. TOMADA DE DECISÃO 
 
De acordo com Chiavenato1, decisão é o processo de análise e escolha entre várias 
alternativas para o curso de ação que a pessoa deverá seguir. 
 
1 CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à Teoria da Administração. 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1997 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 2 de 93 
 
Enquanto que, para Oliveira2, o processo de tomada de decisão nada mais é do que a 
conversão das informações em ação. 
Do ponto de vista organizacional, a Pesquisa Operacional tem um importante papel no 
que tange a conciliação de objetivos conflitantes de diversas funções da organização. Hillier e 
Lieberman3 destacam este fato: 
[...] a PO adota um ponto de vista organizacional. Dessa forma, tenta 
solucionar os conflitos de interesses entre as unidades da organização da 
maneira que seja (encontrada) a melhor solução para a organização como um 
todo. Isso não implica que o estudo de cada problema deva considerar 
explicitamente todos os aspectos da organização; ao contrário, os objetivos 
devem ser consistentes com aqueles de toda a organização. 
Sugestão de leitura: http://www.reacfat.com.br/index.php/reac/article/viewFile/31/35 
 
Podemos dizer que, na maioria das vezes, o processo de tomada de decisão é complexo e 
resultado de pequenas decisões em sistemas que são inter-relacionados cujos sujeitos possuem 
diversidade de interesses e objetivos. 
Lachtermacher4 destaca como fatores que afetam a tomada de decisão: 
 Tempo disponível para a tomada de decisão 
 A importância da decisão 
 O ambiente 
 Certeza/incerteza e risco 
 Agentes decisórios 
 Conflito de interesses 
 
Com relação ao tempo disponível para a tomada de decisão, em certas situações, como a 
decisão de compra ou venda de uma ação, deve-se fazê-lo instantaneamente, enquanto outras, 
como a compra de um apartamento, quase sempre dispõem de um tempo maior 
 
2 OLIVEIRA, D. P. R. Sistemas de informações gerenciais: estratégias, táticas, operacionais. 9ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2004. 
3 HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. Porto Alegre: AMGB, 2013. 
4 LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Perason, ed.4, 2009. 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 3 de 93 
 
Com relação a importância da decisão, algumas decisões impactam nossas vidas ou a vida de 
nossas empresas de formas distintas. Normalmente, a importância está associada ao custo ou 
ao prejuízo que a decisão pode ocasionar 
 
Com relação ao ambiente, o local onde a decisão é tomada a afeta. 
 
Com relação a certeza/incerteza e risco, o grau de certeza que temos sobre os parâmetros 
relevantes para uma tomada de decisão nos permite agir de forma mais tranquila. 
 
Com relação aos agentes decisores, o número de agentes que tomam a decisão é um fator 
fundamental na forma como ela é tomada. Por exemplo, uma tomada de decisão individual 
depende apenas do ponto de vista de um decisor, isto é, de seu caráter, nível cultural e nível de 
informação, entre outros. Quando a decisão é tomada em grupos maiores, a diversidade de 
características cresce exponencialmente, já que, em um mesmo grupo decisor, poder ter pessoas 
com formação cultural ou nacionalidade diferentes, isto é, com maneiras distintas de encarar o 
mundo, o que, com certeza, leva a um processo de tomada de decisão mais complexo. Além 
dessas características, uma dimensão é adicionada ao processo: a comunicação entre os agentes 
decisores ser torna uma das principais dimensões de um processo de decisão em grupo. 
Dependendo de sua clareza e objetividade, ela pode se transformar em um complicador ou em 
facilitador do processo 
 
Com relação ao Conflito de interesses, algumas decisões afetam, de maneira distinta, certos 
grupos de uma empresa ou de uma sociedade. Por exemplo, a decisão sobre qual filial de uma 
empresa deve ser fechada em um programa de redução de custos afetará possivelmente mais 
determinada parte da empresa que outra, aumentando o nível de complexidade do processo de 
tomada de decisão. 
 
Leia mais em: http://www.webartigos.com/artigos/pesquisa-operacional-na-tomada-de-
decisoes-administrativa/35383/#ixzz4DH4HpswE 
Ainda, Lachtermacher5 classifica a tomada de decisão quanto ao nível estratégico na 
empresa, quanto ao tipo de informação disponível e quanto ao número de decisores. 
 
 
5 LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Person, ed.4, 2009. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 4 de 93 
 
NÍVEL HIERÁRQUICO 
 ESTRATÉGICO GERENCIAL OPERACIONAL 
Decisões 
tomadas por 
Alta administração Gerencia 
intermediária 
Gerentes ou supervisores 
operacionais 
Exemplos Nível de investimento 
Parcela de mercado 
em que mercados 
atuar/expandir 
Estabelecimentos 
bancários utilizados 
Quais fornecedores 
Quais canais de 
distribuição 
Escala de funcionários 
Rotinas de manutenção 
de maquinas e 
equipamentos 
 
EXERCÍCIOS. 
 
1. Considere as afirmações sobre Pesquisa Operacional 
I – É caracterizada pela utilização de modelos matemáticos para orientar os executivos na 
tomada de decisões. 
II – A Pesquisa Operacional busca informações perfeitas para os problemas e trabalha com as 
partes dos elementos que compõem um sistema. 
III – Considera-se como características da Pesquisa Operacional, a aplicação do método 
científico e o uso de equipes interdisciplinares, com a finalidade de obter soluções que melhor 
satisfaçam aos objetivos da organização como um todo. 
IV – A Pesquisa Operacional tem por finalidade conciliar os objetivos conflitantes dos 
diversos órgãos da empresa. 
É somente correto afirmarque 
(a) I, II e III. (b) I, II e IV. (c) I, III e IV. (d) II, III e IV. (e) I, II, III e IV 
Gabarito: (c) 
 
2. Podemos dizer que, na maioria das vezes, o processo de tomada de decisão é complexo e 
resultado de pequenas decisões em sistemas que são inter-relacionados cujos sujeitos possuem 
diversidade de interesses e objetivos. De acordo com Lachtermacher, com relação aos fatores 
que afetam a tomada de decisão é SOMENTE CORRETO afirmar que 
(I) Com relação ao tempo disponível para a tomada de decisão, deve-se sempre fazê-lo 
instantaneamente. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 5 de 93 
 
(II) Com relação a importância da decisão, normalmente, a importância está associada ao custo 
ou ao prejuízo que a decisão pode ocasionar 
(III) Com relação ao ambiente, o local onde a decisão é tomada a afeta. 
(a) (I) (b) (II) (c) (III) (d) (II) e (III) (e) (I) e (II) 
 
1.4. MANAGEMENT SCIENCE 
 
A subárea da Pesquisa Operacional - Management Science – trata da modelagem 
matemática aplicada à área de negócios, ocupando-se com o desenvolvimento e aplicação de 
modelos e conceitos que ajudam a analisar e resolver problemas e questões de gestão. A MS 
utiliza-se de ferramentas de Informática, Estatística, Economia e Matemática no auxílio à 
tomada de decisões. 
Management = gestão e Science = ciência. 
Management Science = Ciência da Gestão 
Podemos citar, como exemplo de problemas que podem ser resolvidos utilizando a 
Pesquisa Operacional e a Management Science: Problemas de Localização, de Otimização de 
Recursos, Problemas de Carteiras de Investimento, Problemas de Alocação de Pessoas, 
Problemas de Previsão e Planejamento. 
A área de Management Science possui três objetivos que são inter-relacionados, a saber: 
converter dados em informações significativas, apoiar o processo de tomada de decisões de 
formas transferíveis e independentes e criar sistemas computacionais úteis para os usuários não-
técnicos. 
 A conversão de dados em informações significativas diz respeito a transformar dados 
brutos - números e fatos- em dados, a serem armazenados de forma organizada. A partir 
daí estes dados são transformados em Informações Gerenciais que podem ser utilizadas 
no processo de tomada de decisão. 
 O apoio ao Processo de Tomada de decisão de formas transferíveis e independentes 
diz respeito ao suporte às decisões para que estas decisões sejam independentes do 
elemento decisor, procurando assegurar que o processo de decisão seja claro e 
transparente. 
 A criação de sistemas computacionais úteis para os usuários que não são não-
técnicos procura facilitar os processos de tomada de decisão operacional, gerencial e 
estratégico, através de sistemas de fácil utilização. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 6 de 93 
 
EXERCÍCIO. 
A subárea da Pesquisa Operacional - Management Science (MS) – trata da modelagem 
matemática aplicada à área de negócios, ocupando-se com o desenvolvimento e aplicação de 
modelos e conceitos que ajudam a analisar e resolver problemas e questões de gestão. A área 
de Management Science possui três objetivos que são inter-relacionados, a saber: converter 
dados em informações significativas, apoiar o processo de tomada de decisões de formas 
transferíveis e independentes e criar sistemas computacionais úteis para os usuários não-
técnicos. Com relação a estes três objetivos, é SOMENTE CORRETO afirmar que 
(I) A conversão de dados em informações significativas diz respeito a transformar dados brutos 
- números e fatos- em dados, a serem armazenados de forma organizada. A partir daí estes 
dados são transformados em Informações Gerenciais que podem ser utilizadas no processo de 
tomada de decisão. 
(II) O apoio ao Processo de Tomada de decisão de formas transferíveis e independentes diz 
respeito ao suporte às decisões para que estas decisões sejam independentes do elemento 
decisor, procurando assegurar que o processo de decisão seja claro e transparente. 
(III) A criação de sistemas computacionais úteis para os usuários que não são não-técnicos 
procura facilitar os processos de tomada de decisão operacional, gerencial e estratégico, através 
de sistemas de fácil utilização. 
(a) (I) (b) (II) (c) (III) (d) (I), (II) e (III) (e) (I) e (II) 
 
 
2. MODELOS 
 
2.1. SISTEMA REAL E SUA REPRESENTAÇÃO 
 
 Quando precisamos estudar um sistema, podemos observar o próprio sistema real ou 
utilizar um modelo que o represente. 
 O modelo é uma representação simplificada, mas suficientemente precisa, dos aspectos 
essenciais do problema. A ideia é que o modelo nos permita compreender o sistema e prever 
seu comportamento sob determinadas condições. 
 
2.2. TIPOS DE MODELOS 
 
Podemos pensar em três tipos de modelos: físicos, análogos e simbólicos (matemáticos). 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 7 de 93 
 
Modelos físicos: mais utilizados na engenharia, são os protótipos que simulam o funcionamento 
de aeronaves, por exemplo. 
Modelos análogos: representações da realidade em gráficos ou esquemas, tal como mapas 
rodoviários. 
Modelos simbólicos ou matemáticos: são representados por variáveis de decisão, configuradas 
através de expressões matemáticas ou modelos probabilísticos. 
 
2.3. ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS 
 
Quando lidamos com um modelo matemático, consideramos três elementos principais: 
1. Variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
determinadas pela solução do modelo enquanto que Parâmetros são valores fixos no problema. 
2. Restrições: são os elementos que levam em conta as limitações físicas do sistema, o modelo 
deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). 
3. Função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. 
 
2.4. SISTEMA REAL X SISTEMA SIMBÓLICO 
 
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: Cuidadosa observação do problema. É tarefa do especialista 
em PO entender ao máximo esse problema para, em conjunto com o cliente, especificar o que 
vai ser modelado. 
 
MODELO MATEMÁTICO: Construir um modelo científico (tipicamente matemático) que 
atenda a condição: abstrair a essência do problema real 
O Modelo deve levar em consideração 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 8 de 93 
 
• As características do problema a ser modelado 
• Os dados de entrada necessários 
• Que saídas devem ser oferecidas 
• O modelo nunca pode levar “tudo” em consideração. 
Há que se identificar o que é realmente relevante para que o modelo seja útil. Eventualmente, 
o cliente pode esquecer de contar algum detalhe significativo. Não há maiores problemas, a 
definição do problema pode ser consertada quando esse detalhe aparecer nos testes. 
O modelo é uma representação simplificada, mas suficientemente precisa dos aspectos 
essenciais do problema. 
 
PROCEDIMENTOS PARA RESOLVER O MODELO: Para vários tipos de modelo existem 
pacotes computacionais prontos muito eficientes. Entretanto, em muitos casos, mesmo os 
melhores pacotes, podem não ser capazes de resolver o modelo. Para estes casos, podemos 
 Desenvolver procedimentos específicos para o modelo em questão. Este processo pode 
ser trabalhoso e nem sempre funciona 
 Reformular o modelo. Mais vale resolver um problema menos detalhado (porémainda 
útil) do que nada resolver. 
 Mudar a definição do problema de forma a simplificá-lo. 
 
ESCOLHA DO TIPO DE MODELO. Vai depender do ferramental matemático que mais se 
aplica à situação. Exemplos: programação linear, não linear, inteira. 
Programação Linear: As funções matemáticas no modelo são todas funções lineares. 
 
VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO: Rodar o modelo com diversos conjuntos de dados (se 
possíveis reais) e observar as saídas de modo a: 
 Descobrir erros nas etapas anteriores 
 Descobrir erros na modelagem 
 Descobrir erros no algoritmo de solução 
 Descobrir erros na definição do problema 
 Sugerir novos detalhes que podem ser adicionados ao modelo, de forma a torná-lo mais 
fiel ao sistema real 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 9 de 93 
 
IMPLEMENTAÇÃO NO MERCADO. Treinamento dos usuários finais para usar e interpretar 
os resultados do modelo. É importante uma documentação em nível de usuário. Modelo e 
resultados continuam a ser observados 
 
2.5. SOLUÇÕES 
 
SOLUÇÃO: no campo de Programação Linear, é qualquer especificação de valores para as 
variáveis de decisão, não importando se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou 
permissível. 
SOLUÇÃO VIÁVEL é uma solução em que todas as restrições são satisfeitas. 
SOLUÇÃO INVIÁVEL é uma solução em que alguma das restrições ou as condições de não-
negatividade não são atendidas. 
SOLUÇÃO ÓTIMA: é uma solução viável especial. De todas as soluções viáveis, aquela que 
obtiver o valor da função objetivo mais adequado é chamada de ótima. 
 
2.6. MODELAGENS 
 
1) Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda 
e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 
metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros 
de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada 
tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do 
problema, e interprete sua resposta. 
Max Z = 300x1 + 500x2 
Sujeito a: 
2x1 + x2  16 - restrição do algodão 
x1 + 2x2  11 - restrição da seda 
x1 + 3x2  15 - restrição da lã 
x1 0 x2 0 
 
2) Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros 
cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 
3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 10 de 93 
 
metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. 
Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel 
do caminhão A era $300 e o do B, $400. Elabore o modelo de programação linear. 
Min Z = 300x1 + 400x2 
Sujeito a: 
2x1 + 3x2 ≥ 90 - restrição do esp. refrigerado 
4x1 + 3x2 ≥ 120 - restrição do esp. não refrigerado 
x1 0 x2 0 
 
3) As indústrias Sara Cura de produtos Farmacêuticos desejam produzir dois medicamentos, 
um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B, que estão 
disponíveis em quantidades de 5 e 12 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma 
tonelada de analgésico são empregadas 2 tonelada da matéria A e 3 tonelada da matéria B, e 
na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas 1 toneladas de A e 2 toneladas 
de B. Sabendo que cada tonelada de antibiótico é vendida a R$8,00 reais e de analgésico a 
R$9,00 reais. Elabore um modelo de programação linear que possibilite encontrar a 
quantidade de toneladas de medicamentos a ser produzida pelas indústrias Sara Cura de 
maneira a maximizar seu lucro. 
Min Z = 8x1 + 9x2 
Sujeito a: 
2x1 + x2  5 - restrição da matéria prima A 
3x1 + 2x2  12 - restrição da matéria prima B 
x1 0 x2 0 
 
4) Para produzir três tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos 
diferentes: o de montagem dos aparelhos, configuração e verificação. Para a fabricação do 
celular Multi Tics, é necessário 0,1 hora de montagem, 0,2 hora de configuração e 0,1 de 
verificação. O aparelho mais popular, Star Tic Tac, requer 0,3 hora de montagem, 0,1 hora 
de configuração e 0,1 de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 hora de 
montagem, 0,1 hora de configuração, e, em virtude de seu circuito de última geração, não 
necessita de verificação. Devido a uma imposição do governo de economia de energia, a 
fábrica não pode consumir mais do que 50.000Kwtz/mês de energia, o que significa, de 
acordo com os cálculos técnicos da empresa, que eles poderão dispor de 290 h/mês na linha 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 11 de 93 
 
de montagem, 250 h/mês na linha de configuração e 110 h/mês na linha de verificação. Sabe-
se ainda que o lucro por unidade dos produtos Multi Tics, Star Tic Tac e Vulcano são de 
R$150, R$870 e R$950, respectivamente; e que a empresa operadora do sistema de telefonia 
celular adquire todos os celulares produzidos pela Motorela. Pede-se: o número de celulares 
de cada modelo a ser produzido mensalmente para que a empresa maximize seus lucros. 
Sabe-se ainda que o presidente da Motorela quer lucrar pelo menos R$35.200/mês com o 
modelo Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus produtos mais modernos, o 
presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o triplo do 
modelo Multi Tics. Formule apenas o modelo do problema de forma a maximizar o lucro 
total. 
 Max Z = 150x1 + 870x2 + 950x3 
Sujeito a: 
0,1x1 + 0,3x2 + 0,4x3  290 - restrição da montagem 
0,2x1 + 0,1x2 + 0,1x3  250 - restrição da configuração 
0,1 x1 + 0,1x2  110 - restrição da verificação 
870x2  35200 - restrição do lucro do modelo Star Tic Tac 
x3  3x1 - restrição quanto a produção do Vulcano 
x1 0 x2 0 x1 0 
 
5) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo 
de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 
1 u.m . Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de 
bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O 
mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As 
máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada 
lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 
horas. Formule apenas o modelo do problema. 
Max Z = x1 + 3x2 
Sujeito a: 
x1 ≤ 40 
x2 ≤ 60 
x2 ≥ 10 
x1 + x2 ≥ 20 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 12 de 93 
 
3x1 + 2x2 ≤ 180 
x1 0 x2 0 
 
6) A Fashion Things Ltda. é uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios 
femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu 
distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo padrão (preço médio) quanto 
para as bolsas do modelo luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é tão acentuada que 
ele garante que ele irá comprar todas as bolsas que forem produzidas nos próximos três 
meses. Uma análise detalhada dos requisitos de fabricação resultaram na especificação da 
tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido(em horas) para a realização das quatro 
operações que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de 
bolsa: 
Produto Corte e 
coloração 
Costura Acabamento Inspeção e 
Empacotamento 
Lucro por 
bolsa 
Padrão 7/10 1/2 1 1/10 R$10,00 
De luxo 1 5/6 2/3 1/4 R$9,00 
Tempo 
disp. 
630 600 700 135 
 
Max Z = 10x1 + 9x2 
Sujeito a: 
7/10x1 + x2 ≥ 630 
1/2x1 + 5/6x2 ≤ 600 
x1 + 2/3x2 ≤ 700 
1/10x1 + 1/4x2 ≤ 135 
x1 0 x2 0 
 
7) A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem 
conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de 
fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras 
fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma 
localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a 
empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 13 de 93 
 
toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da AlumiLândia S/A., há 
uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de 
produção diária de R$ 100.000,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas 
finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de 
produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para cada produção de 2 
toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 tonelada de Lâminas grossas 
por dia. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor 
custo possível? Elabore o modelo. 
Min Z = 100.000x1 + 200.000x2 
Sujeito a: 
8x1 + 2 x2  16 - restrição lâminas finas 
x1 + x2  6 - restrição lâminas médias 
2x1 + 7x2  28 - restrição lâminas grossas 
x1 0 x2 0 
 
8) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele 
já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele necessita 
transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 
200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o 
caminhão para obter o lucro máximo? 
Max Z = 10x1 + 30x2 + 4000 
Sujeito a: 
x1 + x2  600 
x1  100 
x2  200 
x1 0 x2 0 
 
9) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 
20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, 
enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama atenção 
de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no 
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 14 de 93 
 
música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores? Elabore o modelo. 
Max Z = 30000x1 + 10000x2 
Sujeito a: 
20x1 +10x2  80 
x1 + x2  5 
x1 0 x2 0 
 
10) A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos 
frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da 
bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solução Blue 
– e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. 
A companhia quer saber quantas doses de 10 militros de cada solução deve incluir em cada 
lata da bebida, para satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato 
de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por 
acelerar o batimento cardiáco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína 
seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas 
de extrato de guaraná e 1 grama de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui 
com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas de cafeína. Uma dose de solução Red custa 
R$ 0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 0,08. 
Min Z = 0,06x1 + 0,08x2 
Sujeito a: 
8x1 + 6x2  48 
x1 + 2x2  12 
x1 + 2x2  20 
x1 0 x2 0 
 
11) A empresa de artigos de couro Pele de Mimosa Ltda. Fabrica dois tipos de produtos: 
malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro de R$50,00 por unidade e o luco 
unitário por mochila é igual a R$40,00. As quantidades de horas necessárias para 
confeccionar cada produto, assim como o número toal de horas disponíveis em cada 
departamento, são apresentados na tabela a seguir: 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 15 de 93 
 
Departamento disponibilidade Horas necessárias 
 (hora por dia) Mala Mochila 
1 300 2 0 
2 540 0 3 
3 440 2 2 
 4 300 6/5 3/2 
 
Determine quantas unidades de cada produto a Pele de Mimosa Ltda. Deve fabricar diariamente 
para maximizar o seu lucro. Elabore o modelo. 
Max Z = 50x1 + 40x2 
Sujeito a: 2x1  300 
 3x2  540 
 2x1 + 2x2  440 
 6/5x1 + 3/2x2  300 
 x1 0 x2 0 
 
12) Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com 
recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma de 
dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contém uma mistura com metade do peso dos 
bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote contém 
uma mistura de um terço de bombons de cereja e dois terços de menta e vende por R$12,50 
por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim de maximizar seu 
lucro nas vendas? 
Max Z = 20x1 + 12,50x2 
Sujeito a: 
 1/2x1 + 1/3x2  130 
 1/2x1 + 2/3x2  170 
 x1 0 x2 0 
 
13) Uma mulher tem R$ 10.000,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois títulos, 
A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o título B é bastante seguro, 
com um lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações, ela resolve investir no 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 16 de 93 
 
máximo R$ 6.000,00 no título A, no mínimo R$ 2.000,00 no título B. Como ela deverá 
investir seus R$ 10.000,00 a fim de maximizar o rendimento anual? 
Max Z =0,10x1 + 0,07x2 
s.a 
1 2 10.000x x 
 
 1
2
6.000
2.000
x
x


 x1, x2  0 
14) Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, 
respectivamente, para o seu jardim. Um produto contém 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, 
respectivamente, por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C 
respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa $3,00 por vidro e o produto em pó 
custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o 
custo e satisfazer as necessidades? 
Min Z = 3x1 + 2x2 
Sujeito a: 5x1 + x2  10 
 2x1 + 2x2  12 
 x1 + 4x2  12 
 x1 0 x2 0 
 
15) Uma companhia possuía, há anos duas minas: a mina A produzindo por dia 1tonelada de 
minério de alto teor, 3 toneladas de minério de médio teor lê 5 toneladas de minério de baixo 
teor, a mina B, produzia por dia 2 toneladas de cada um dos teores. A companhia precisou 
de 80 toneladas de minério de alto teor, 160 de médio teor e 200 de baixo teor. Quantos dias 
cada mina funcionou, se custava $200,00 por dia para fazer funcionar cada uma? 
(minimização) 
Min Z = 200x1 + 200x2 
Sujeito a: x1 + 2x2  10 
 3x1 + 2x2  12 
 5x1 + 2x2  12 
 x1 0 x2 0 
 
16) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 
unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A empresa 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 17 de 93 
 
precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade 
de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada 
para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o 
plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo 
de programação linear para esse caso. 
Max Z = 1000x1 + 1800x2 
Sujeito a: 20x1 + 30x2  1200 
 x1  40 
 x2  30 
 x1  0 x2  0 
 
17) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade 
mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma 
pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 
unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades 
de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve 
ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo 
possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 
2,5 unidades monetárias. 
Min Z = 3x1 + 2,5x2 
Sujeito a: 4x1 + 8x2  32 
 6x1 + 6x2  36 
 x1 0 x2 0 
 
18) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com 
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso destes 
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e 
consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se 
que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O departamento 
de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. 
 
Produto 
Recurso R1 por 
unidade 
Recurso R2 por 
unidade 
Recurso R3 por 
unidade 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 18 de 93 
 
P1 2 3 5 
P2 4 2 3 
Disponibilidade de 
recursos no mês 
100 90 120 
 
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa ? Construa o modelo do 
sistema. 
 Max Z = 120x1 + 150x2 
 Sujeito a: 2x1 + 4x2  100 
 3x1 + 2x2  90 
 5x1 + 3x2  120 
 x1 0 x2 0 
 
19) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o 
lucro unitário por P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade 
de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas 
atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a 
decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 
30 unidades de P2 por mês. Elabore o modelo. 
Max Z = 100x1 + 150x2 
Sujeito a: 2x1 + 3x2  120 
 x1  40 
 x2  30 
 x1  0 x2  0 
 
20) Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, 
respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, 
respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por 
$120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento 
bruto máximo? Elabore o modelo. 
Max Z = 120x1 + 100x2 
Sujeito a: 2x1 + x2  90 
 x1 + 2x2  80 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 19 de 93 
 
 x1 + x2  50 
 x1 0 x2 0 
 
21) A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. 
A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos 
produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos 
requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 
3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a 
produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada 
asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro 
da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo. 
Max Z = 60x1 + 40x2 
Sujeito a: 10x1 + 10x2  100 
 3x1 + 7x2  42 
 x1 0 x2 0 
 
22) Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas 
tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 
toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de 
produção na primeira fábrica é de 1000 u.m. e o da segunda fábrica é de 2000 u.m., por dia. 
A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas 
de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 
tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Faça o modelo do problema e 
determine quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais 
economicamente. 
Min Z = 1000x1 + 2000x2 
Sujeito a: 8x1 + 2x2  16 
 x1 + x2  6 
 2x1 + 7x2  28 
 x1 0 x2 0 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 20 de 93 
 
23) No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três 
produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na 
produção. 
 
Produto Contribuição (lucro 
por unidade) 
Horas de 
trabalho 
Horas de uso de 
máquinas 
Demanda 
máxima 
P1 2.100 6 12 800 
P2 1.200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo 
em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante 
o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 
7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a 
modelagem desse problema. 
Max Z = 2100x1 + 1200x2 + 600x3 
Sujeito a: 6x1 + 4x2 + 6x3  4800 
 12x1 + 6x2 + 2x3  7200 
 x1  800 
 x2  600 
 x3 600 
 x1 0 x2 0 x3 0 
 
24) Um gerente de um SPA chamado Só é Magro Quem Quer contrata você para ajudá-lo 
com o problema da dieta para os hóspedes. (Observe que ele paga bem: 40% do que você 
precisa!) Mais especificamente, ele precisa de você para decidircomo preparar o lanche das 
17:00h. Existem dois alimentos que podem ser fornecidos: cheeseburguers e pizza. São 
unidades especiais de cheeseburguers e pizza, grandes, com muito molho e queijo, e custam, 
cada, R$10,00 e R$16,00, respectivamente. Entretanto, o lanche tem que suprir requisitos 
mínimos de carboidratos e lipídios: 40 u.n. e 50 u.n., respectivamente (u.n. significa unidade 
nutricional). Sabe-se, ainda, que cada cheeseburguers fornece 1 u.n. de carboidrato e 2 u.n. 
de lipídios, e cada pizza fornece 2 u.n. de carboidratos e 5 u.n. de lipídios. O gerente pede 
inicialmente que você construa o modelo. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 21 de 93 
 
Min Z = 10x1 + 16x2 
Sujeito a: x1 + 2x2  40 
 2x1 + 5x2  50 
 x1 0 x2 0 
 
EXERCICIOS. 
 
1. Uma determinada companhia é grande fabricante de vidros de alta qualidade produzindo 
um grande número de portas e janelas de vidro. A companhia possui 3 fábricas sendo que na 
fábrica 1 são feitas as esquadrias de alumínio, na fábrica 2 são feitas as esquadrias de madeira 
e na 3, os produtos (portas e janelas) são montados. Como os lucros estão caindo, a diretoria 
resolveu parar a produção de alguns produtos que não estão vendendo bem. 
Para aproveitar a ociosidade que irá surgir no parque de produção, dois novos produtos serão 
lançados no mercado. Um desses produtos (produto1) é uma porta de vidro com esquadrias de 
alumínio e o outro (produto 2) é uma janela com esquadrias de madeira. Após uma pesquisa 
de mercado o Departamento de Vendas conclui que esses 2 novos produtos terão grande 
aceitação e todas as unidades produzidas serão vendidas. 
As informações disponíveis, por dia, para a produção destes 2 novos produtos estão mostrados 
na tabela abaixo: 
 
 
Fábrica 
no de horas usadas por 
unidade produzida 
 
no horas disponíveis 
na produção Produto 1 Produto 2 
1 1 - 4 
2 - 2 12 
3 3 2 18 
Lucro Unitário ($) 3 5 
 
O objetivo da companhia é maximizar o seu lucro com a produção e venda desses dois produtos. 
 
2. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer 
gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 
e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 22 de 93 
 
- um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de 
aditivo; 
- um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de 
aditivo; 
- um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro 
de aditivo. 
Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria 
estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a 
quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 
600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá 
uma margem de contribuição para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20 respectivamente, e seu 
objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição 
para o lucro. Construa o modelo do problema. 
 
3. A empresa de logística Deixa Comigo S/A tem duas frotas de caminhões para realizar 
transportes de cargas para terceiros. 
A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por caminhões gigantes, ambas 
com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o consumo, como arroz 
e feijão. 
A primeira frota tem a capacidade de peso de 70.000 quilogramas e um limite de volume de 
30.000 pés cúbicos, enquanto a segunda pode transportar até 90.000 quilogramas e acomodar 
40.000 pés cúbicos de volume. 
O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de até 100.000 quilogramas de 
sementes e 85.000 quilogramas de grãos, sendo que a Deixa Comigo S/A pode aceitar levar 
tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora entregar. 
O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 pé cúbico por quilograma, e o volume dos grãos é 
de 0,2 pé cúbico por quilograma. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$0,12 
por quilograma e o lucro para transportar os grãos é de R$0,35 por quilograma. 
Faça a modelagem do problema com objetivo de encontrar a quantidade de quilogramas de 
sementes e a quantidade de quilogramas de grãos a Deixa Comigo S/A deve transportar para 
maximizar o seu lucro. Elabore o modelo. 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 23 de 93 
 
4. Uma determinada confecção opera com dois produtos: calças e camisas. Como tratam-se 
de produtos semelhantes, possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos 
recursos. A programação da produção é realizada por lotes de produto. 
O departamento de produção informa que são necessários 10 homens x hora para um lote de 
calças e 20 homens x hora para um lote de camisas. Sabe-se que não é necessária mão-de-obra 
especializada para a produção de calças, mas são necessários 10 homens x hora desse tipo de 
mão-de-obra para produzir um lote de camisas. 
O departamento de pessoal informa que a força máxima de trabalho disponível é de 30 homens 
x hora de operários especializados e de 50 homens x hora de não especializados. Da planta de 
produção, sabemos que existem apenas duas máquinas com capacidade de produzir os dois 
tipos de produto, sendo que a máquina 1 pode produzir um lote de calças a cada 20 horas e um 
lote de camisas a cada 10 horas, não podendo ser utilizada por mais de 80 horas no período 
considerado. A máquina 2 pode produzir um lote de calças a cada 30 horas e um lote de camisas 
a cada 35 horas, não podendo ser utilizada por mais de 130 horas no período considerado. 
São necessários dois tipos de matéria-prima para produzir calças e camisas. Na produção de um 
lote de calças são utilizados 12 quilos de matéria-prima A e 10 da B. Na produção de um lote 
de camisas são utilizados 8 quilos da matéria-prima A e 15 da B. 
O almoxarifado informa que, por imposições de espaço, só pode fornecer 120 quilos de A e 100 
quilos de B no período considerado. Sabendo-se que o lucro pela venda é de 800 reais nos lotes 
de camisas e de 500 reais nos lotes de calças. Formule o modelo. 
 
5. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades 
produtivas: 
A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açucar, 
a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga aluguel da terra $ 300,00 por alqueire 
por ano. 
P (Pecuária) – Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens 
requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 litros de água/Alq) por ano. O lucro 
estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire no ano. 
S (Plantio de Soja) – Usar uma terça parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg 
por alqueire de adubos e 200.000 litros de água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado 
nessa atividade é de $ 500,00 / Alqueire no ano. 
Disponibilidade de recursos por ano: 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 24 de 93 
 
12.750.000 litros de água 
14.000 kg de adubo 
100 alqueires de terra. 
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?Construa o modelo. 
 
6. Uma organização tem uma abundância de dois tipos de óleo, chamados light crude e 
dark crude. Possui também uma refinaria que pode processar light crude por US$25 por barril 
e dark crude por U$17 por barril. Desse processamento resultam fuel oil , gasolina e jet fuel 
como indicado na tabela a seguir. 
 input 
 Light crude Dark crude 
output Fuel oil 0.21 0.55 
 gasolina 0.5 0.3 
 Jet fuel 0.25 0.1 
 
A organização necessita de 3.000.000 barris de fuel oil, 7.000.000 barris de gasolina e 
5.000.000 barris de jet fuel. 
Suponha que um duto pudesse ser construído de forma a se produzir um medium crude. Este 
pode ser processado por $22 o barril e tem como vetor de output : 
 Medium crude 
Fuel oil 0.25 
Gasolina 0.4 
Jet fuel 0.3 
 
Devemos determinar o quanto de light, dark e medium crude devemos processar de forma a 
obter a necessidade da demanda com custo mínimo. 
 
7. Uma refinaria lida com petróleo bruto, produzindo, em um esquema simplificado, dois 
subprodutos: gasolina bruta e gasóleo. 
Para obter gasolina bruta, o petróleo é submetido a três operações: destilação atmosférica, 
dessulfuração e reforming catalítico. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 25 de 93 
 
Na obtenção do gasóleo, o petróleo é também submetido a três operações: destilação 
atmosférica, dessulfuração e cracking catalítico 
Os reservatórios nos quais essas operações são processadas têm capacidades limitadas. 
Tem-se um reservatório especial para cada operação descrita anteriormente. 
As capacidades anuais dos quatro reservatórios são fornecidas no quadro a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Suponha que o lucro na venda de uma tonelada de gasolina bruta seja $7 e o de uma tonelada 
de gasóleo $5. Formular o problema como um modelo de programação matemática. 
 
 
2.7. SOLVER - EXCEL 
 
Algoritmos e métodos utilizados: 
Problemas não lineares - Generalized Reduced Gradient (GRG2) 
Problemas lineares – Método Simplex 
Problemas inteiros – Método Branch-and-Bound 
 
Exemplo: 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
 
 
 
 
Reservatório Gasolina bruta (t/ano) Gasóleo (t/ano) 
Destilação atmosférica 500.000 600.000 
Dessulfuração 700.000 500.000 
Reforming catalítico 400.000 
Cracking catalítico 450.000 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 26 de 93 
 
FUNÇÃO OBJETIVO 
 
 
RESTRIÇÕES – LADO ESQUERDO 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 27 de 93 
 
 
 
RESTRIÇÕES LADO DIREITO 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 28 de 93 
 
 
 
SOLVER 
 
 
FUNÇÃO OBJETIVO – SOLVER 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 29 de 93 
 
VARIÁVEIS – SOLVER 
 
 
RESTRIÇÕES – SOLVER 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 30 de 93 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 31 de 93 
 
PROBLEMA PRONTO 
 
MANTENDO A SOLUÇÃO DO SOLVER 
 
SOLUÇÃO 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 32 de 93 
 
ANSWER REPORT: lista os valores originais e finais das variáveis e da função objetivo, lista 
as restrições 
 
SENSITIVITI REPORT: Fornece informação de quão sensível é a solução a pequenas 
mudanças na função objetivo e nas restrições. 
 
 
LIMITS REPORT: Lista os valores da função objetivo e das restrições, limites inferiores e 
superiores. O limite inferior (superior) é o menor (maior) valor que a variável assume quando 
se fixa todas as outras variáveis e as restrições continuam sendo satisfeitas. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 33 de 93 
 
 
CÉLULA DESTINO : FUNÇÃO OBJETIVO 
 
 
EXERCICIO. 
Modelar o problema abaixo e resolver o exemplo no SOLVER. 
Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 
15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro 
de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. 
Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o 
alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, 
e interprete sua resposta. 
max 𝑍 = 300𝑥1 + 500𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 16 
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 11 
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 15 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 34 de 93 
 
EXERCICIO. 
Observe o Relatório de Resposta abaixo produzido pelo SOLVER para um problema de 
Programação Linear. 
 
Quando lidamos com um modelo matemático, consideramos três elementos principais: 
Variáveis de decisão e Parâmetros, Restrições e Função objetivo. 
Com relação a estes três elementos e o Relatório de Respostas do Problema acima, é somente 
correto afirmar que: 
(I) Restrições são os elementos que levam em conta as limitações físicas do sistema, o modelo 
deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). 
(II) Variáveis de decisão são valores fixos no problema enquanto que Parâmetros são as 
incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. O valor ótimo para os parâmetros do 
problema são aproximadamente 464 e 355. 
 (III) Função objetivo é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. O valor ótimo da função objetivo do problema é aproximadamente 
7827. 
(a) (I) (b) (II) (c) (III) (d) (II) e (III) (e) (I) e (II) 
 
2.8. RESOLUÇÃO GRÁFICA 
Exemplo 1. 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 35 de 93 
 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
 
 
 
A solução ótima é um dos pontos da região viável, assim, basta procurarmos dentro da 
região viável o ponto cujo valor de z é o maior (caso de maximização). 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 36 de 93 
 
 
OBSERVAÇÃO. 
Conjunto Convexo em R2 
 
Teorema. 
O conjunto de todas as soluções viáveis de um Problema de Programação Linear é um conjunto 
convexo. 
Graficamente, é possível verificar o teorema observando que a região viável é resultado da 
interseção de vários semi-espaços, sendo, portanto, convexa. 
 
Exemplo 2. 
max 𝑥1 + 𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
Mesma região viável do exemplo 1. 
Região 
Viável 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 37 de 93 
 
 
Um Problema de Programação com múltiplas soluções é aquele que possui mais de uma 
solução ótima, ou seja, existe na região viável mais de um ponto cujo valor de Z é ótimo. 
Este fato ocorre quando a função objetivo tem coeficientes proporcionais ao de alguma 
restrição. 
 
Exemplo 3. 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeitoa: 
−2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 4 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 38 de 93 
 
 
Exemplo 4. 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
−2𝑥1 + 𝑥2 ≥ 6 
𝑥1 − 𝑥2 ≥ 4 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
 
Dizemos que um problema de programação linear é inviável quando o conjunto de soluções 
viáveis é vazio. 
 
Assim, para obter a solução de forma gráfica: 
 Desenhamos a região viável, que depende exclusivamente das restrições 
 Determinamos a inclinação da função objetivo (desenhamos em algum ponto interno à 
região viável, aleatoriamente) 
 Identificamos para que lado a função objetivo melhora. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 39 de 93 
 
 Projetamos a função nesta direção. Podemos aplicar a função objetivo em mais de um 
ponto, escolhendo o ponto mais adequado. 
 
EXERCICIO. Resolva cada Problema de Programação Linear (PPL) geometricamente: 
1) minimizar -4x1 + x2 
 sujeito a: -x1 + 2x2  6 
 x1 + x2  8 
 x1, x2  0 
2) minimizar x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  4 
 -2x1 + 4x2  4 
 x1, x2  0 
3) maximizar x1 - 2x2 
 sujeito a: -3x1 + 2x2  6 
 -2x1 + 3x2  -6 
 x1, x2  0 
4) minimizar -x1 + 3x2 
 sujeito a: x1 + x2 = 4 
 x2  2 
 x1, x2  0 
5) minimizar -2x1 - x2 
 sujeito a: x1 + x2  5 
 -6x1 + 2x2  6 
 -2x1 + 4x2  -4 
 x1, x2  0 
6) maximizar 3x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  6 
 2x1 - 4x2  4 
 x1, x2  0 
 
7) minimizar x1 + 2x2 
 sujeito a: 2x1 - x2  4 
 x1 + 3x2  6 
 x1, x2  0 
8) minimizar 3x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  10 
 -3x1 + x2  6 
 x1, x2  0 
9) maximizar x1 + 3x2 
 sujeito a: x2  5 
 -x1 + x2  1 
 x1, x2  0 
10) minimizar -3x1 + 2x2 
 sujeito a: -x1 + 3x2  3 
 3x1 - x2  3 
 x1 + x2  4 
 x1, x2  0 
11) maximizar x1 + 3x2 
sujeito a: -2x1 + 4x2  0 
 -3x1 + x2  3 
 x1, x2  0 
GABARITO: (1)(8,0) z = -32; (2) (1,3/2) z = -2 ; (3) 
(3,0) z = 3; (4) (4,0) z = -4; (5)(4,1) z = -9; (6) 
(4,1) z = 10; (7) (18/7, 8/7 ) z = 34/7; (8) não é 
viável (9) ilimitado; (10) não é viável (11) 
ilimitado 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 40 de 93 
 
EXERCICIO. Resolva os problemas da atividade 5 utilizando o solver. 
 
 
 
 
3. SIMPLEX 
 
O método simplex é um procedimento algébrico que resolve um problema de 
programação linear repetindo a busca de uma solução melhor até encontrar a ótima. Desta 
forma, várias soluções são encontradas antes da ótima. 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 41 de 93 
 
 
3.1. HIPÓTESES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
De acordo com Lachtermacher6, temos algumas hipóteses da Programação Linear: 
 
ADITIVIDADE - Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades 
totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas, isto é, 
não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições. 
Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL 
 
PROPORCIONALIDADE - O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade 
de cada variável de decisão. 
 
DIVISIBILIDADE - Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em 
qualquer nível fracional, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor 
positivo fracionário. 
Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial de programação linear, 
chamado de problema inteiro. Esta hipótese não é quebrada quando as variáveis representam 
quantidade de tempo, de quilos ou litros de insumos, por exemplo. 
 
CERTEZA - Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas. 
• Em problemas reais quase nunca satisfeita – as constantes são estimadas. 
• Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos posteriormente. 
 
3.2. FORMA PADRÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
• A função objetivo é de maximizar. 
• As restrições são todas com sinal de menor ou igual. 
• As constantes de todas as restrições são não negativas. 
• As variáveis são todas não negativas. 
 
6 LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Perason, ed.4, 2009. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 42 de 93 
 
 
 
3.3. TRANSFORMANDO UMA INEQUAÇÃO EM UMA EQUAÇÃO 
 
Quando temos a ≤ b, podemos encontrar um valor c de tal forma que a + c = b. Dizemos que 
c é variável de folga. 
 
Transformando as inequações do exemplo em equações e ajustando o problema: 
 
Observe que não necessariamente as variáveis de folga são iguais. 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 43 de 93 
 
3.4. DICIONÁRIO 
 
Vamos explicitar todas as variáveis de folga: 
 
 
VARIÁVEIS BÁSICAS são as variáveis que se encontram do lado esquerdo das expressões 
de um dicionário (as que aparecem isoladas). 
VARIÁVEIS NÃO BÁSICAS são as que se encontram do lado direito das expressões do 
dicionário. 
As variáveis não básicas do dicionário inicial são as próprias variáveis do problema: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 
As variáveis básicas do dicionário inicial são as variáveis de folga, e existe uma variável de 
folga para cada restrição: 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7 
 
OBSERVAÇÃO. 
A quantidade de variáveis não básicas é igual a quantidade de variáveis do problema original, 
e a quantidade de variáveis básicas é igual a quantidade de restrições. 
A cada nova solução, uma variável básica trocará de lugar com uma não básica; as quantidades 
se manterão fixas. 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 44 de 93 
 
SOLUÇÃO INICIAL VIÁVEL. 
Em cada dicionário é possível determinar quais são as variáveis básicas e quais são as não 
básicas. A classificação das variáveis em básicas e não básicas nos fornece uma solução parcial, 
relacionada ao dicionário atual, veja: 
• As variáveis não básicas são zero; 
• As variáveis básicas, bem como o valor de Z, terão seu valor indicado nas 
restrições pelo termo independente (constante). 
 
A solução não é ótima. 
Na função objetivo só temos o termo independente e as variáveis não básicas, que são zero. 
Enquanto, entre as variáveis não básicas, alguma tiver coeficiente positivo, poderemos 
melhorar a solução. 
 
ESCOLHA DA VARIÁVEL PARA ENTRAR NA BASE 
 
REGRA: Escolhemos a que possui maior coeficiente positivo, isto é, a que mais rápido irá 
incrementar o valor de z. Escolhemos, portanto, 𝑥1. 
OBSERVAÇÃO. Se há dois coeficientes iguais e estes são os maiores, seguindo uma 
convenção não cientifica, escolheremos a de menor índice. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 45 de 93 
 
 
ESCOLHA DA VARIÁVEL PARA SAIR DA BASE 
• Estão na Base (variáveis básicas) : 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 
• Variáveis fora da base (não básicas): 𝑥1, 𝑥2 
• 𝑥1 entrará na base. 
• Quem sairá da base? 
 
𝑥1 entra na base. 
𝑥2 = 0 não básica. 
Quem sairá da base?𝑥3 
Após a primeira iteração, ficamos com: 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 46 de 93 
 
 
• Estão na Base (variáveis básicas) : 𝑥1, 𝑥4, 𝑥5 
• Variáveis fora da base (não básicas): 𝑥2, 𝑥3 
• Quem entra na base? Ver maior coeficiente de Z. 𝑥2 entrará na base. 
• Quem sairá da base? 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 47 de 93 
 
 
 
3.5. TEOREMAS 
 
Teorema 2. Toda solução básica do sistema de equações lineares de um modelo de 
Programação linear obtido pelo método simplex (dicionário ou tabular), é um ponto extremo 
do conjunto de soluções viáveis, ou seja, é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções. 
Teorema 3. Se a função objetiva possui um máximo finito, então pelo menos uma solução 
ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis; 
Se a função objetiva assume o máximo em mais de um ponto extremo, então ela toma o mesmo 
valor para qualquer combinação convexa desses pontos extremos. 
 
3.6. TABLEU 
A TABELA DE SÍNTESE 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 48 de 93 
 
INICIALIZAÇÃO 
 
 
LEITURA DA SOLUÇÃO ATUAL 
 
Solução Viável Básica Inicial (0,0,4,3,8) e Z = 0 
 
 
Os coeficientes de z sofreram alteração de sinal 
Agora a solução é ótima, se todos os coeficientes de z forem não negativos 
Neste caso a solução não é ótima. 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 49 de 93 
 
VARIÁVEL QUE ENTRA 
 
Variável que entra no conjunto das variáveis básicas é a que tem o coeficiente mais negativo 
na linha z. No nosso caso, a variável x1. 
VARIÁVEL QUE SAI 
 
Como decidiríamos se estivéssemos resolvendo pelo Método do Dicionário? 
 
No método dicionário, faríamos: 
 
E escolheríamos a mais rigorosa. 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 50 de 93 
 
COMO OBTER A RESTRIÇÃO AO CRESCIMENTO NA FORMA TABULAR 
 
Na forma tabular, também faremos da mesma maneira, mas apenas a divisão. 
VARIÁVEL QUE SAI 
 
A variável que sai do conjunto das variáveis básicas é a que apresenta o menor valor positivo 
na coluna divisão (#DIV/0! Significa sem restrição). No nosso caso x3 impõe a maior restrição 
ao aumento de x1. 
O PIVÔ DA TABELA 
 
Até agora decidimos quem deve entrar, x1, e quem deve sair, x3. 
A interseção da coluna da variável que vai entrar com a linha da variável que vai sair nós 
chamamos de PIVÔ 
 
CRIANDO A NOVA TABELA 
Este passo é correspondente ao passo de criar o novo dicionário, só que mais fácil. Neste 
processo o pivô será elemento chave. Criaremos linha por linha da nova tabela. Seguindo uma 
ordem: Primeiro a linha do pivô, depois, em qualquer ordem, todas as outras linhas. 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 51 de 93 
 
CRIANDO A NOVA LINHA DO PIVÔ 
Obedeceremos à fórmula: 
 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA DO PIVÔ 
 
 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 52 de 93 
 
CALCULANDO AS NOVAS OUTRAS LINHAS - LINHAS GENÉRICAS 
Obedeceremos à fórmula: 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA DA FUNÇÃO OBJETIVO 
 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 53 de 93 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA 2 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA 3 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 54 de 93 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
 
PASSO DE PARADA 
 
Neste caso a solução ainda não é a ótima pois o coeficiente de x2 é negativo. 
Solução Viável Básica Após 1a iteração= (4,0,0,3,4) e Z = 20 
 
OBSERVAÇÃO. O pivô existe em função de uma mudança de quadros; no próximo passo o 
pivô pode não ser o mesmo. Consequentemente, a linha do pivô pode mudar, assim como as 
linhas genéricas. Observe que a tabela gerada possui na coluna do pivô todos os coeficientes 
0, exceto o da linha do pivô que é 1. 
 
VARIÁVEL QUE ENTRA 
 
Variável que entra no conjunto das variáveis básicas é a que tem o coeficiente mais negativo na 
linha z. No nosso caso, a variável x2. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 55 de 93 
 
VARIÁVEL QUE SAI 
 
A variável que sai do conjunto das variáveis básicas é a que apresenta o menor valor positivo 
na coluna divisão (#DIV/0! Significa sem restrição). No nosso caso x5 impõe a maior 
restrição ao aumento de x2. 
CALCULANDO A NOVA LINHA DO PIVÔ 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 56 de 93 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA DA FUNÇÃO OBJETIVO 
 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA 1 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 57 de 93 
 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
CALCULANDO A NOVA LINHA 2 
 
GERANDO A NOVA TABELA 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 58 de 93 
 
PASSO DE PARADA 
 
Encontramos a solução ótima, pois todos os coeficientes da linha 0 - linha de Z - são não 
negativos. Solução Ótima = (4,2,0,1,0) e Z = 24 
 
EXERCICIOS. Resolver, utilizando o método tableu. Confira a seguir utilizando o solver. 
(1) max 𝑧 = 4𝑥1 − 𝑥2 
Sujeito a 
−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 8 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
(2) max 𝑧 = 𝑥1
− 2𝑥2 
Sujeito a 
−3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 
−2𝑥1 + 3𝑥2 ≥ −6 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 (3) max 𝑧 = 3𝑥1 − 2𝑥2 
Sujeito a 
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 
2𝑥1 − 4𝑥2 ≤ 4 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
(4) max 𝑧 = 4𝑥1 + 3𝑥2 
Sujeito a 
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 7 
2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 8 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3 
𝑥2 ≤ 2 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
(5)max 𝑧 = 4𝑥1
+ 8𝑥2 
Sujeito a 
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 
𝑥1 ≤ 4 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
(6)max 𝑧 = 16𝑥1 + 8𝑥2 + 15𝑥3 
Sujeito a 
10𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 1200 
5𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 2000 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0 
 (7)max 𝑧 = 5𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 
Sujeito a 
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≤ 5 
4𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 11 
3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 8 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 59 de 93 
 
 
4. NOÇÕES DE TEORIA DE DUALIDADE 
 
4.1. O PROBLEMA DUAL 
 
Todo problema de programação linear possui correspondência com um problema, denominado 
o Problema Dual, de modo que: 
• A função objetivo do dual é de minimização, enquanto que a do Primal é de maximização. 
• Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes da função objetivo do Primal. 
• Os coeficientes da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do Primal. 
• As restrições do dual são do tipo ≥, enquanto que as do primal são ≤. 
• O número de incógnitas do dual é igual ao número de restrições do primal. 
• O número de restrições do dual é igual ao número de incógnitas do primal. 
• A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal. 
 
Cada variável yido Problema Dual está relacionada a restrição i do problema Primal. 
Cada variável de folga – restrição do Dual está relacionada com uma variável original do 
problema Primal. 
 
EXEMPLO. Considere o exemplo do problema primal 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
Associando as variáveis duais a cada restrição: 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 60 de 93 
 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 ← 𝑦1 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 ← 𝑦2 
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2 ← 𝑦3 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
Ficamos com o problema dual 
min 6𝑦1 + 4𝑦2 + 2𝑦3 
Sujeito a: 
2𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦3 ≥ 1 
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≥ 2 
𝑦1 ≥ 0 
𝑦2 ≥ 0 
𝑦3 ≥ 0 
Resumo do exemplo: 
 
EXEMPLO. 
 
4.2. TEOREMAS DE DUALIDADE 
 
Teorema 1. “O dual do dual é o primal” 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 61 de 93 
 
Teorema 2. “Se a restrição k do primal é uma igualdade, então a variável yk do dual é sem 
restrição de sinal” 
 
Teorema 3. “Se a variável p do primal é sem restrição de sinal, então a restrição p do dual é 
uma igualdade” 
QUADRO RESUMO 
 
 
4.3. PRIMAL X DUAL E SOLUÇÕES 
 Se x é solução viável de (P) e y é solução viável de (D) então c’x  b’y. 
 
Exemplo. 
 
 
 Se x* é solução ótima de (P), então y* é solução ótima de (D) e c’x* = b’y*. 
Exemplo. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 62 de 93 
 
 
 
 
4.4. TEOREMA DA EXISTENCIA 
 
Para um par de problemas duais, uma e somente uma das alternativas abaixo é satisfeita 
• Nenhum dos problemas tem solução 
• Um deles não tem solução viável e o outro tem solução ótima ilimitada 
• Ambos possuem solução ótima finita. Neste caso o valor da solução ótima dos dois 
problemas é o mesmo 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 63 de 93 
 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
4.5. O DUAL E O RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE 
 
Considere o exemplo do problema primal 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 64 de 93 
 
Associando as variáveis duais a cada restrição: 
max 𝑥1 + 2𝑥2 
Sujeito a: 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 ← 𝑦1 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 ← 𝑦2 
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2 ← 𝑦3 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
Ficamos com o problema dual 
(D) min 6𝑦1 + 4𝑦2 + 2𝑦3 
Sujeito a: 
2𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦3 ≥ 1 
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≥ 2 
𝑦1 ≥ 0 
𝑦2 ≥ 0 
𝑦3 ≥ 0 
Resumindo 
 
 
No relatório de respostas, observamos o valor ótimo da função objetivo e os valores das 
variáveis do primal. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 65 de 93 
 
 
Observando o relatório de sensibilidade do problema primal, observamos que este relatório do 
primal nos fornece, além do valor das variáveis do próprio primal, o valor das variáveis duais. 
 
𝑦1 = 0; 𝑦2 = 1,5; 𝑦3 = 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 66 de 93 
 
EXERCICIOS. Modele o problema dual e encontre a solução utilizando o solver. 
 
1) minimizar -4x1 + x2 
 sujeito a: -x1 + 2x2  6 
 x1 + x2  8 
 x1, x2  0 
2) minimizar x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  4 
 -2x1 + 4x2  4 
 x1, x2  0 
3) maximizar x1 - 2x2 
 sujeito a: -3x1 + 2x2  6 
 -2x1 + 3x2  -6 
 x1, x2  0 
4) minimizar -x1 + 3x2 
 sujeito a: x1 + x2 = 4 
 x2  2 
 x1, x2  0 
5) minimizar -2x1 - x2 
 sujeito a: x1 + x2  5 
 -6x1 + 2x2  6 
 -2x1 + 4x2  -4 
 x1, x2  0 
6) maximizar 3x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  6 
 2x1 - 4x2  4 
 x1, x2  0 
 
7) minimizar x1 + 2x2 
 sujeito a: 2x1 - x2  4 
 x1 + 3x2  6 
 x1, x2  0 
8) minimizar 3x1 - 2x2 
 sujeito a: x1 + 2x2  10 
 -3x1 + x2  6 
 x1, x2  0 
9) maximizar x1 + 3x2 
 sujeito a: x2  5 
 -x1 + x2  1 
 x1, x2  0 
10) minimizar -3x1 + 2x2 
 sujeito a: -x1 + 3x2  3 
 3x1 - x2  3 
 x1 + x2  4 
 x1, x2  0 
11) maximizar x1 + 3x2 
sujeito a: -2x1 + 4x2  0 
 -3x1 + x2  3 
 x1, x2  0 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 67 de 93 
 
4.6. ANALISE DE SENSIBILIDADE 
 
Quando resolvemos um modelo de programação linear, os coeficientes da função objetivo e das 
restrições são conhecidos, ou seja, são considerados como entrada de dados ou parâmetros para 
os modelos. A solução ótima obtida está pautada nos valores destes coeficientes. No entanto, 
na prática, estes coeficientes são raramente conhecidos com absoluta certeza. Variações nos 
valores destes coeficientes mudarão o problema de programação linear e poderão afetar a 
solução ótima encontrada anteriormente. 
A análise de sensibilidade estuda como a solução ótima muda quando modificamos os 
coeficientes, os dados de entrada. 
 
4.6.1. Interpretação econômica do problema dual 
 
Sabemos que cada variável yi do Problema Dual está relacionada com a restrição i do problema 
Primal. Chamamos o valor ótimo desta variável dual, yi*, de Preço-Sombra (Shadow Price) ou 
de Preço-Dual (Dual-Price). Dessa forma, cada restrição i possui um preço de sombra yi*. 
 
4.6.2. Preço Sombra 
 
O preço-sombra yi* para a restrição (recurso) i mede o valor marginal deste recurso em relação 
ao lucro total. Isto significa que o preço sombra fornece o quanto o a função objetivo (Lucro 
Total Z) poderia ser melhorada, caso a quantidade bi da restrição (recurso i) puder e for 
aumentado uma quantidade igual à unidade. 
EXEMPLO. 
(P) max 40𝑥1 + 30𝑥2 
Sujeito a: 
2
5
𝑥1 +
1
2
𝑥2 ≤ 20 
1
5
𝑥2 ≤ 5 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 68 de 93 
 
3
5
𝑥1 +
3
10
𝑥2 ≤ 21 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 0 
Utilizando o solver e resolvendo o problema primal dado, obtemos como solução ótima 
Z=1600. 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 69 de 93 
 
Se o a quantidade b3 = 21 da restrição 3 (
𝟑
𝟓
𝒙𝟏 +
𝟑
𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏) for aumentado uma quantidade 
igual à unidade (
𝟑
𝟓
𝒙𝟏 +
𝟑
𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟐), o preço sombra (44,44) fornece o quanto o a função 
objetivo (Lucro Total Z=1600) poderia ser melhorada. 
 
Resolvendo o problema novamente utilizando a restrição 
𝟑
𝟓
𝒙𝟏 +
𝟑
𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟐, obtemos como 
valor ótimo z=1600+44,44=1644,44 
 
Podemos resolver o problema dual do primal original do exemplo, utilizando o solver também. 
Associando as variáveis duais a cada restrição: 
max 40𝑥1 + 30𝑥2 
Sujeito a: 
2
5
𝑥1 +
1
2
𝑥2 ≤ 20 ← 𝑦1 
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA TOMADA DE DECISÃO 
NOTAS DE AULA 
PROF DRA. DENISE CANDAL 
Página 70 de 93 
 
1
5
𝑥2 ≤ 5 ← 𝑦2 
3
5
𝑥1 +
3
10
𝑥2 ≤ 21 ← 𝑦3 
𝑥1 ≥ 0 
𝑥2