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Bases Matema´ticas
Continuidade
Limites de Func¸o˜es
Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Daniel Miranda
Bases Matema´ticas
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Continuidade
Limites de Func¸o˜es
Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Continuidade
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
De modo intuitivo, uma func¸a˜o f : A → B , com A,B ⊂ R e´ dita
cont´ınua se variac¸o˜es suficientemente pequenas em x resultam em
variac¸o˜es pequenas de f (x), ou equivalentemente, se para x
suficientemente pro´ximo de a tivermos que f (x) e´ pro´ximo de f (a).
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Exemplo de Descontinuidade
1
2
3
−1
−2
1 2 3−1−2
.
bc
b
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Exemplo de Descontinuidade
1
2
3
4
−1 1 2 3 4−1
bc
b
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Vamos agora examinar um exemplo de func¸a˜o cont´ınua, a func¸a˜o
h(x) = x2. Vamos nos concentrar em entender o porque dessa
func¸a˜o ser cont´ınua numa vizinhanc¸a do ponto x = 1.
x x2
2 4
1.5 2.25
1.3 1.69
1.2 1.44
1.1 1.21
1.01 1.0201
1.001 1.002001
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Intuitivamente, quando tomamos valores de x diferentes de 1
pore´m cada vez mais pro´ximos de 1, os valores de f (x) se
aproximam de de f (1) = 1, e logo a func¸a˜o f (x) = x2 e´ continua
nesse ponto.
0.5
1.0
1.5
−0.5
0.5 1.0 1.5−0.5−1.0
b
b
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Outro modo de analisar a continuidade e´ tomando uma sequeˆncia
an arbitra´ria que convirja a 1.
Pela propriedade do limite da multiplicac¸a˜o temos que para
f (x) = x2
f (an) = a
2
n → 1
Ou seja, independente de como nos aproximamos de a (an → a) os
valores de f se aproximam de f (a) (f (an)→ f (a))
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Continuidade: Uma func¸a˜o f : A→ B e´ dita continua num
ponto a ∈ A se para toda sequeˆncia xn ∈ A tal xn → a enta˜o
f (xn)→ f (a)
a an
f (an)
f (a)
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bcbc bcbc bcbc bcbc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Uma func¸a˜o que e´ continua em todos os pontos do dom´ınio e´ dita
simplesmente cont´ınua. Vamos provar que algumas func¸o˜es
simples sa˜o cont´ınuas:
Exemplo 1 A func¸a˜o constante f (x) = c e´ cont´ınua.
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Propriedades do Limite de Func¸o˜es
Uma func¸a˜o que e´ continua em todos os pontos do dom´ınio e´ dita
simplesmente cont´ınua. Vamos provar que algumas func¸o˜es
simples sa˜o cont´ınuas:
Exemplo 1 A func¸a˜o constante f (x) = c e´ cont´ınua.
Soluc¸a˜o: Seja an uma sequeˆncia tal que an → a. Como estamos
considerando a func¸a˜o constante f (x) = c enta˜o f (an) = c e logo
lim
n→∞
f (an) = c para toda sequeˆncia an ou seja:
lim
x→a
c = c .
�
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Exemplo 2 A func¸a˜o f (x) = x e´ cont´ınua.
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Exemplo 2 A func¸a˜o f (x) = x e´ cont´ınua.
Soluc¸a˜o: Seja an uma sequeˆncia real tal que an → a. Como
f (x) = x temos que: lim
n→∞
f (an) = lim
n→∞
an = a para toda
sequeˆncia an ou seja:
lim
x→a
x = a.
�
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As seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
Func¸o˜es Polinomiais.
Func¸o˜es Racionais.
Func¸o˜es Trigonome´tricas: sen(x) , cos(x) , tan(x)
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas: arcsen(x) , arccos(x) ,
arctan(x)
Func¸o˜es Exponenciais: cx
Func¸o˜es Logar´ıtmicas: loga(x)
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De modo intuitivo dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a
se quando nos aproximamos de x enta˜o f (x) se aproxima de L.
Podemos, de modo ana´logo a definic¸a˜o de continuidade, formalizar
a definic¸a˜o de limite func¸a˜o usando sequeˆncias.
an → a
f (an)→ L
f
b
bb
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Dada f : A → B com A e B intervalos dos nu´meros reais, e a um
nu´mero real tal que f (x) esta´ definida em I\{a}, com I um
intervalo aberto contendo a.
Definic¸a˜o de Limite
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a e´ L se para
toda sequeˆncia an tal que an ∈ I\{a} e an → a tivermos que
f (an) converge a L.
Denotaremos que o limite de f (x) quando x tende a a e´ L por:
lim
x→a
f (x) = L
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Exemplo 1 lim
x→a
c = c
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Exemplo 1 lim
x→a
c = c Soluc¸a˜o: Seja an uma sequeˆncia tal que
an → a e an 6= a. Como estamos considerando a func¸a˜o constante
f (x) = c enta˜o f (an) = c e logo lim
n→∞
f (an) = c para toda
sequeˆncia an ou seja: lim
x→a
c = c .
�
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Exemplo 2 lim
x→a
x = a
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Exemplo 2 lim
x→a
x = a
Soluc¸a˜o: Seja an uma sequeˆncia real tal que an → a e an 6= a.
Como f (x) = x temos que: lim
n→∞
f (an) = lim
n→∞
an = a para toda
sequeˆncia an ou seja: lim
x→a
x = a. �
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Exemplo 3 lim
x→1
x2 − 1
x − 1
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Exemplo 3 lim
x→1
x2 − 1
x − 1
Soluc¸a˜o:
Observe inicialmente que a func¸a˜o f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1 se
x 6= 1 e na˜o esta´ definida em x = 1.
O fato da func¸a˜o na˜o estar definida em x = 1 e´ indiferente para o
ca´lculo do limite pois a definic¸a˜o na definic¸a˜o do mesmo so´
considera sequeˆncias an cujos valores sa˜o distintas de 1 e tais que
an → 1. Assim
lim
n→∞
f (an) = lim
n→∞
a2n − 1
an − 1 = limn→∞
(an + 1)(an − 1)
an − 1 =
lim
n→∞
an + 1 = 2.
Logo, lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2
�
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Exemplo 4 lim
x→0
sen(x) = 0
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Exemplo 4 lim
x→0
sen(x) = 0
Soluc¸a˜o: Seja an uma sequeˆncia convergindo a 0, i.e, an → 0
enta˜o temos:
− |an| ≤ sen(an) ≤ |an|
e pelo teorema do confronto temosque; lim
n→∞
sen(an) = 0 para
toda sequeˆncia an → 0. E logo temos que lim
x→0
sen(x) = 0 �
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Propriedades Alge´bricas do Limite.
Seja c um nu´mero real e f , g duas func¸o˜es reais tais que tais que
lim
x→a
f (x) = A e lim
x→a
g(x) = B . Enta˜o:
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = A+ B . (Limite da Soma)
lim
x→a
(f (x)− g(x)) = A− B . (Limite da Diferenc¸a)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = AB . (Limite do Produto)
lim
x→a
(cf (x)) = cA.
Se lim
x→a
g(x) = B 6= 0 enta˜o lim
x→a
(
f (x)
g(x)
)
=
A
B
. (Limite do
Quociente)
lim
x→a
|f (x)| = |A|. (Limite do Mo´dulo )
lim
x→a
(f (x)n) = An (Limite de Poteˆncias)
lim
x→a
√
f (x) =
√
A (Limite da Raiz)
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Exemplo 1 Calcule lim
x→2
x3 + 3x + 2
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Exemplo 1 Calcule lim
x→2
x3 + 3x + 2
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
x3 + 3x + 2 = lim
x→2
x3 + lim
x→2
3x + lim
x→2
2 por 19 (1)
=
(
lim
x→2
x
)3
+ 3 lim
x→2
x + lim
x→2
2 por 19 e 19(2)
= 8 + 6 + 2 = 16 (3)
�
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Exemplo 2 Calcule lim
x→a
x4 + 2
x2 + 1
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Exemplo 2 Calcule lim
x→a
x4 + 2
x2 + 1
Soluc¸a˜o: Se lim
x→a
x2 + 1 6= 0 enta˜o
lim
x→a
x4 + 2
x2 + 1
=
lim
x→a
(
x4 + 2
)
lim
x→a
(x2 + 1)
por 19 (4)
=
lim
x→a
x4 + lim
x→a
2
lim
x→a
x2 + lim
x→a
1
por 19 (5)
=
a4 + 2
a2 + 1
por 19 (6)
�
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Exemplo 3 lim
x→2
2x2 − 8x + 8
x2 + x − 6
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Exemplo 3 lim
x→2
2x2 − 8x + 8
x2 + x − 6
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
x2 − 6x + 8
x2 + x − 6 limx→2
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x + 3)
Agora para o ca´lculo do limite x 6= 2 e logo
lim
x→2
x2 − 6x + 8
x2 + x − 6 = limx→2
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x + 3) = limx→2
x − 4
x + 3
= −2
5
�
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Limite da Composta.
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em b e lim
x→a
gx = b enta˜o
lim
x→a
f (g(x) = f (b).
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Exemplo 4 lim
x→0
sen(x2 + 4x + pi) + 2
cos(x3 + x5)
= 2
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Exemplo 4 lim
x→0
sen(x2 + 4x + pi) + 2
cos(x3 + x5)
= 2
Soluc¸a˜o: Como ja´ dissemos as func¸o˜es sen(x) e cos(x) sa˜o
cont´ınuas em todos os pontos. Ale´m disso temos:
lim
x→0
(
x2 + 4x + pi
)
= pi e lim
x→0
x3 + x5 = 0
Logo,
lim
x→0
sen(x2+4x+pi)+2 = sen( lim
x→0
x2+4x+pi)+2 = sen(pi)+2 = 2
lim
x→0
cos(x3 + x5) = cos( lim
x→0
x3 + x5) = cos(0) = 1
E assim temos que:
lim
x→0
sen(x2 + 4x + pi) + 2
cos(x3 + x5)
=
lim
x→0
(
sen(x2 + 4x + pi) + 2
)
lim
x→0
cos(x3 + x5)
= 2
�
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Teorema (do Confronto)
Dadas f , g , h func¸o˜es definidas num intervalo contendo o ponto a
e tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) nesse intervalo. Se
lim
x→a
f (x) = L = lim
x→a
h(x), enta˜o
lim
x→a
g(x) = L
f
h
g
b
a
bb
L
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Exemplo 6 Mostre que lim
x→0
x2 sen 1
x
= 0
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Exemplo 6 Mostre que lim
x→0
x2 sen 1
x
= 0
y = x2
y = −x2
y = x2 sen 1
x
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Soluc¸a˜o: Como
−1 ≤ sen 1
x
≤ 1
temos que
−x2 ≤ x2 sen 1
x
≤ x2
Como lim
x→0
x2 = lim
n→∞
0− x2 = 0, pelo teorema do confronto temos
que
lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0
�
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Exemplo 7 Mostre que
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (Limite Fundamental)
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Exemplo 7 Mostre que
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (Limite Fundamental)
Soluc¸a˜o: Como ja´ demonstramos para 0 < x < pi2 valem as
desigualdades:
0 < cos(x) <
sen x
x
<
1
cos(x)
.
E como lim
x→0
cos(x) = 1 = lim
x→0
1
cos(x) pelo Teorema do Confronto
temos o limite desejado.
�
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