Geometria 8

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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
La Geometría del espacio es la apasionante parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los conjuntos de puntos cuando están situados en diferentes planos.Aprender ello implica el saber graficar y el recordar conceptos básicos de Geometría plana. Ahora su uso es bastante práctico, por ejemplo en Geología es necesario para el estudio de los minerales, 
en Arte el genial Salvador Dalí pintó en el año 1955 "La última cena" que usa de fondo a un dodecaedro 
regular y un ejemplo más se da en la gráfica compuesta por cuadrados y triángulos que es usado como 
organizador visual entre otras cosas.
Podrías indicar en la pintura de Salvador Dalí, ¿qué forma tiene la cara geométrica del sólido que sirve 
de fondo?
LAS GRÁFICAS, RELACIONES Y 
CÁLCULO EN LAS FIGURAS 
ESPACIALES
UNIDAD 8
Comunicación matemática
•	 Identifica	las	ecuaciones	de	una	recta	y	realiza	sus	gráficas.
•	 Reconoce	la	perpendicularidad	en	el	espacio.
•	 Grafica	figuras	geométricas	en	el	espacio.
Resolución de problemas
• Aplica	las	propiedades	de	Geometría	plana,	en	la	resolución	de	problemas	espaciales.
• Calcula	el	área	y	el	volumen	de	los	poliedros	regulares.
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1
Saberes previos
E l	estudio	de	las	rectas	paralelas	o	secantes,	se	hace	 através	de	una	geometría	 elemental	 o	también	de	la	geometría	analítica,	lo	impor-
tante	es	la	aplicación	de	ellas	en	la	vida	real.	Por	
ejemplo,	se	muestra	un	mapa	de	la	ciudad	de	La	
Plata,	que	es	la	capital	de	la	provincia	de	Buenos	
Aires	(Buenos	Aires	se	divide	en	capital	federal	y	
provincia).	Aquí	podemos	observar	cómo	las	ave-
nidas	 se	 enumeran,	 por	 ejemplo	 la	 calle	Nº'13,	
que	 se	 intercepta	 con	 la	 diagonal	 74.	 A	 su	 vez	
podemos	observar	las	avenidas	paralelas,	como	la	
calle	19	y	23.	Resulta	claro	que	para	el	señor	que	
se	le	ocurrió	diseñar	esta	estructura	cuadriculada,	
uno	de	sus	conocimientos	bases	era	el	de	un	siste-
ma	de	coordenadas	rectangulares	y	las	rectas	que	
se	podrían	trazar	en	ella.
Geometría analítica II
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	las	ecuaciones	de	una	recta	y	realizar	sus	gráficas.
•	 A	reconocer	la	distancia	de	un	punto	hacia	una	recta.
•	 A	reconocer	la	intersección	de	dos	rectas	y	calcular	sus	coordenadas.
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 Resolver:	 3x	-	5y	=	15
	 	 	 	 3x+5y	=	25
•	 Calcule	el	área	de	los	triángulos	rectángulos	mostrados:
	
6
8 																																															 12
13
•	 Grafique	la	distancia	de	"P"	hacia	cada	recta.
P
																				
P
																				
P
ju
ga
nd
oe
st
ap
ar
tid
a.
bl
og
sp
ot
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om
/2
00
8/
05
/
1
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Unidad VIII
Geometría
Conceptos básicos
•	 Calcule	el	valor	de:
	 a)	 3	 	 5
2	 	 0
4	 	 2
	 	 	 	 	 b)				 -	2	 	 0
4	 	 3
-1	 	 5
GRÁFICA DE UNA RECTA
Para	graficar	una	recta,	se	sugiere	ubicar	dos	puntos	de	paso	de	ella,	de	preferencia	las	intersecciones	
con	los	ejes.	Así	por	ejemplo:
	
:	4x+3y	-	24=0
Hacemos:	
	 	 	 x=0	 y=8
	 	 	 y=0	 	x=6 8
L
y
x
(0;	8)
(6;	0)
6
	
Hallar	el	área	formada	por	la	recta:
:	2x	-	3y	-	36=0	y	los	ejes	coordenados
*	Hacemos:		 x=0	 y=-12
	 	 	 	 y=0	 	x=18
	 	 	 	
...	S=12×18
2
=108 2
12
18
Ly
x(18;	0)
(0;	-12)
S
INTERSECCIÓN DE RECTAS
Para	hallar	el	punto	de	intersección	de	dos	rectas,	se	resuelven	las	ecuaciones	como	un	sistema	de	dos	
incógnitas.	Así	por	ejemplo:
	 :	3x+y=6
	 :	x	-	y=6
	 	 	
-6
L1
L2
y
x
(3;	-3)
6
6
2
Resolvemos:	3x+y=6
	 	 	 			x	-	y=6
Sumando:	 						4x=12
	 	 	 								x=3
	 	 	 			 		y=-3
	 	 	 ...	 	 	 =	(3;	-3)
+
Ejemplo
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GeometríaGeometría analítica II
ECUACIÓN SIMÉTRICA
Dada	la	recta	oblícua	 ,	su	ecuación	simétrica	es	de	la	forma:
L
y
x
(0;	b)
(a;	0)
x
a
+ y
b
=1
Ecuación	simétrica
	 Hallar	la	ecuación	simétrica	de	la	recta	 .
L
y
x
-2
-1 
x
-2
+ y
-1
=1
Se	observa:		a=	-	2
	 	 	 b=	-	1
Resolviendo	 :	x+2y+2=0	 Ecuación	general	de	la	recta.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dada	la	recta	 :	Ax+By+C=0	y	el	punto	del	plano:	Po(xo;	yo).	
La	distancia	"d"	de	"P"	a	 	se	determina:
y
d
x
Po(xo;	yo)
L
d=d(P;	L)=
|Axo+Byo+C|
A2+B2
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Si:	A(x1;	 y1),	B(x2;	y2)	y	C(x3;	 y3)	 son	 las	coordenadas	de	 los	vértices	de	un	 triángulo	ABC	como	se	
muestra	en	el	gráfico	y	"S"	el	área	de	su	región.
S
y
x
B(x2;	y2)
C(x3;	y3)
A(x1;	y1)
Para	calcular	el	área	"S",	se	colocan	las	coordenadas	de	sus	vértices	en	columna,	tomadas	en	sentido	anti-
horario,	repitiéndose	las	coordenadas	del	primer	vértice,	luego	se	procede	como	a	continuación	se	indica:
Ejemplo
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 1
Síntesis teórica
x2	.	y1
x3	.	y2
x1	.	y3
x1	.	y2
x2	.	y3
x3	.	y1
x1										y1
x2										y2
x3										y3
x1										y1
++
I D
|(x1.y2+x2.y3+x3.y1)	-	(x2.y1+x3.y2+x1.y3)|
2
S=
D I
S=
|D	-	I|
2
...
Ecuación
simétrica
Intersección
de	rectas
Gráfica	de
una	recta
Distancia	de	
un	punto	a	una	
recta
Distancia	entre
rectas	paralelas
Área	de	una
región	triangular
LA LÍNEA 
RECTA
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GeometríaGeometría analítica II
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Dadas	 las	 siguientes	 ecuaciones,	 indique	 sus	
nombres:
	 a)	 4x+2y	-	6=0	...............Ecuación	general
	 b)	 x
3
+ y
2
=1...................._________________
	 c)_	_y=3x+7	......................________________
	
	 d)_	_x	-	 3y+2=0	..............________________
	
2.	 Graficar	la	recta	cuya	ecuación	es:	 x
2
+ y
4
=1
3.	 Dada	 la	 recta:	 2x	 +	 3y	 -	 36=0,	 graficarla	 y	
calcular	 el	 área	 del	 triángulo	 que	 se	 forma	 al	
interceptarse	con	los	ejes	coordenados.
4.	 Dadas	las	rectas	L1:	3x	-	4y=12	 	L2:	2x+4y=8,	
calcular	 las	 coordenadas	 del	 punto	 de	
intersección	de	las	dos	rectas.
5.	 Graficar	la	recta	cuya	ecuación	es:	y=x,	además	
ubicar	los	puntos	(3;	3)	y	(5;	5).
6.	 Grafique	 la	 recta:	 7x	 -	 4y=21	 y	 calcule	 su	
pendiente.
7.	 Sea	la	recta	L1:	2x+5y=10	y	el	punto	P(3;	-	1).	
Calcular	la	distancia	de	"P"	hacia	la	recta	L1.
8.	 Grafique	 la	 recta:	4x	 -	3y	 -	12=0	y	ubique	el	
punto	Q=(-	2;	3).	Calcule	 la	distancia	de	"Q"	
hacia	dicha	recta.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 A	la	expresión:	 x
a
+ y
b
=1,	se	le	
	 	 denomina	"ecuación	general
	 	 de	una	recta".	......................................(__)
	 •	 Si	una	recta	en	el	plano	cartesiano,	
	 	 corta	a	los	ejes	coordenados,	siempre
	 	 formará	un	triángulo	rectángulo.	..........(__)
	 •	 La	distancia	de	un	punto	hacia	
	 	 una	recta	en	el	plano	cartesiano	
	 	 es	siempre	positiva.	..............................(__)
2.	 Completar	adecuadamente:
	
d
P(xo;	yo)
L:	ax+by+c=0
d=
a)
x
	
b)	 Ecuación	simétrica	de	"L"
(-3;	0)
(0;	5)
Ly
x
x	+	y	=
Resolución de problemas
3.	 Graficar	la	recta:	5x	-	2y=10	y	mostrar	su	ecua-
ción	simétrica.
4.	 Dada	la	recta:	 x
3
+ y
4
=1,	graficarlay	mostrar	la	
ecuación	general.
5.	 Calcular	 la	 distancia	 del	 punto	 (0;	 2)	 hacia	 la	
recta:	x+2y	-	6=0
6.	 Una	recta	pasa	por	el	punto	(4;	2).	¿Cuál	será	su	
ecuación,	si	cortó	al	eje	"y"	en	el	punto	(0;	7)?
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 1
7.	 Determinar	la	ecuación	simétrica	de	las	rectas:
	 L1:	 4x	-	y+8=0
	 L2:	 5x+4y	-	20=0
8.	 Determinar	 las	 coordenadas	 del	 punto	 de	
intersección	de	las	rectas:
	 L1:	3x	-	2y+6=0
	 L2:	4x	-	3y+10=0
9.	 Del	gráfico	mostrado,	calcular	"a+b".
	
(a;	b)
L1:	x	-	2y+6=0
L2:	3x+2y	-	14=0
10.	Hallar	 el	 punto	 "P"	 e	 indicar	 la	 suma	 de	 sus	
coordenadas.
	 	
P
L1:	2x	-	y	-	10=0
L2:	2x+y	-	14=0
11.	Calcular	el	área	de	la	región	que	se	determina	
con	 las	 rectas	 L1:	 y=-.7;	 L2:	 x=-.4	 y	 los	 ejes	
coordenados.
12.	Calcular	el	área	de	la	región	triangular,	formado	
por	los	ejes	coordenados	y	la	recta	cuya	ecua-
ción	es:	3x+2y	-	12=0.
13.	Hallar	el	área	de	la	región	triangular	que	forma	la	
recta	de	ecuación:	x	-	2y	+	4=0	al	interceptarse	
con	los	ejes	coordenados.
14.	De	la	figura,	hallar	"a".
y
x
(7;	5)
a
(0;	-.2)
15.	Calcular	 la	 distancia	 del	 punto	 A(-	 2;	 3)	 a	 la	
recta	que	pasa	por	los	puntos	B(5;	5)	y	C(3;	-	3).
16.	Calcular	 la	 distancia	 que	 hay	 entre	 el	 punto	
A(6;	8)	y	el	punto	medio	de	BC,	siendo	B(4;	-	4)	
y	C(-10;	2).
17.	Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	 triangular	 que	
determina	los	siguientes	puntos:	A(2;	2),	B(5;	6)	
y	C(17;	1).
18.	Del	gráfico,	determinar	la	ecuación	de	la	recta	 ,	
si:	S=8u2.
L
y
x
S
(6;	-2)
Aplicación cotidiana
19.	 El	 siguiente	gráfico	nos	muestra	el	denominado	punto de equilibrio en economía.	Dicho	punto	de	
equilibrio	es	aquel	donde	toda	empresa	consigue	cubrir	la	totalidad	de	sus	costes,	tanto	fijos	como	
variables,	obteniendo	un	beneficio	cero.
Pérdidas Beneficios
Actividad
Costes
IngresosPunto de 
equilibrio
	 Teniendo	en	cuenta	la	gráfica	y	el	concepto	anterior,	conteste:
	 a)	 ¿Por	debajo	de	dicho	punto,	la	empresa	gana	o	pierde?
	 b)	 ¿Cómo	se	calcularía	dicho	punto,	teniendo	las	ecuaciones	de	las	rectas:	ingresos	y	costos?
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GeometríaGeometría analítica II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Se	 tiene	 el	 segmento	 AB,	 tal	 que:	 A(-	 4;	 3)	 y				
B(2;	a).	Si	la	pendiente	del	segmento	AB	es	-	4/3,	
calcular	la	distancia	de	"B"	al	punto	(-	6;	8).
2.	 Dados	los	siguientes	puntos:	A(3;	2),	B(-	4;	2),	
C(-	2;	-	3)	y	D(4;	2),	determinar	las	coordenadas	
del	 punto	 de	 intersección	 de	 las	 rectas	 que	
pasan	por	AC	y	BD.
3.	 Hallar	 el	 área	 que	 determinan	 las	 rectas:															
L1:	y	-	x=0;	L2:	x+y=4;	L3:	y+2=0.
4.	 Una	 recta	 tiene	 un	 ángulo	 de	 inclinación	 de	
120º	 y	 corta	 al	 eje	 "y"	 en	 el	 punto	 (0;	 2 3 ).	
Calcule	la	distancia	del	punto	(5;	6)	hacia	dicha	
recta.
5.	 Grafique	a	las	rectas:	y=x	 	 x
5
+ y
10
=1.	Calcule	
el	área	del	triángulo	que	forman	estas	rectas	con	
el	eje	de	las	abscisas.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Si	una	recta	en	el	plano	cartesiano
	 	 corta	a	los	ejes	coordenados,
	 	 siempre	formará	un	triángulo
	 	 oblicuángulo.	......................................(__)
	 •	 El	punto	(0;	2)	puede	representar
	 	 la	intersección	de	dos	rectas.	...............(__)
	 •	 A	la	expresión:	 x
a
+ y
b
=1,	se	le
	 	 denomina	"ecuación	ordinaria
	 	 de	una	recta".	......................................(__)
2.	 Graficar	la	recta:	12x	-	5y=60	y	mostrar	su	ecua-
ción	simétrica.
3.	 Dada	la	recta:	 x
5
+ y
2
=1,	graficarla	y	mostrar	la	
ecuación	general.
4.	 Calcular	 la	distancia	del	punto	 (-.4;	 2)	hacia	 la	
recta:	x+2y	-	12=0.
5.	 Dada	las	rectas:	2x	-	y=7	 	x+y+1=0,	cuya	in-
tersección	es	(2;	b).	Calcular	el	valor	de	"b".
6.	 La	ecuación	de	la	recta	 ,	es:	x8+
y
4=1.	Calcule	el	
área	de	la	región	sombreada.
L
y
x
7.	 Hallar	el	área	del	triángulo	formado	por	la	recta	
L:	5x+3y	-	45=0	y	los	ejes	coordenados.
20.	 El	mercado	de	la	naranja	en	España,	presenta	las	funciones	de	oferta	
y	demanda	siguientes:
	 O=10.000+250	P
	 D=50.000	-	150	P
	 Siendo	 "O"	 la	 línea	 de	 la	 oferta,	 "D"	 la	 de	 la	 demanda	 y	 "P"	 el	
precio	en	soles,	calcule	usted	el	precio	de	equilibrio.
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 1
8.	 Graficar	las	rectas:
	 •		2x	-	5y	-	12=0		 			•		x+5y	-	8=0
9.	 Hallar	el	punto	"P"	e	indicar	la	suma	de	sus	coor-
denadas.
	
P
L1:	x	-	3y	-	12=0L2:	x+3y+18=0
10.	 Del	gráfico,	hallar	el	área	de	la	región	sombrea-
da.
	
y
x
L:	8x+3y+24=0
11.	 De	la	gráfica,	hallar	"a".
P(a;	-	2)
y
x
L:	2x+3y	-	20=0
12.	 De	la	gráfica,	hallar	"b".
(3;	0)
(-5;	8)
x
y
b
13.	 Calcular	el	área	de	la	región	triangular,	formado	
por	los	ejes	coordenados	y	la	recta	cuya	ecuación	
es:	3x+2y	-	12=0
14.	 Determine	la	ecuación	simétrica	de	la	recta	que	
pasa	por	los	puntos	A(2;	-	3)	y	B(4;	4).
15.	 Determine	la	distancia	del	punto	"A"	a	 la	recta	
que	forman	"B"	y	"C",	siendo:	A(-	6;	6),	B(-	4;	8)	
y	C(2;	-	2).
16.	 Hallar	la	ecuación	de	una	recta	cuya	pendiente	
es	-	4	y	que	pasa	por	la	intersección	de	las	rectas	
cuyas	ecuaciones	son:
	 L1:	2x+y+8=0
	 L2:	3x	-	2y	-	9=0
17.	 Hallar	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 que	 pasa	 por	 el	
punto	(4;	2)	y	por	el	punto	de	intersección	de	las	
rectas	cuyas	ecuaciones	son:	
	 L1:	2x	-	3y	-	12=0
	 L2:	x+3y	-	6=0
18.	 Determine	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 que	 pasa	
por	la	intersección	de	las	rectas:	2x	-	y+5=0	 	
x+y+1=0	 y	 la	 intersección	 de	 las	 rectas:	
x	-	y+7=0	 2x+y	-	5=0
19.	 Calcular	el	área	de	la	región	triangular	que	deter-
minan	los	puntos:	A(2;	2),	B(4;	7)	y	C(14;	3).
20.	 Halle	la	ecuación	de	la	recta	 2.
L2
y
x
L1:	4x	-	y	-	16=0
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Saberes previos
Es	la	parte	de	la	Geometría	que	se	ocupa	de	las	propiedades	y	medidas	de	figuras	geométricas	en	el	espacio	tridimensional.	Entre	estas	figuras,	
también	llamadas	sólidos,	se	encuentran:	el	cono,	el	
cubo,	 el	 cilindro,	 la	 pirámide,	 la	 esfera,	 el	 prisma,	
etc.	La	Geometría	del	espacio	(también	denominada	
estereometría)	 amplía	 y	 refuerza	 las	 proposiciones	
de	la	Geometría	plana	y	es	 la	base	 fundamental	de	
la	Trigonometría	esférica,	la	Geometría	analítica	del	
espacio,	la	Geometría	descriptiva	y	otras	ramas	de	las	
matemáticas.	 Se	 usa	 ampliamente	 en	matemáticas,	
en	ingeniería	y	en	ciencias	naturales.
¿Qué considera Ud. que es necesario saber para 
aprender la Geometría del espacio?
¿Qué figuras observas en la gráfica mostrada?
Geometría del espacio
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	graficar	figuras	geométricas	en	el	espacio.
•	 A	reconocer	la	perpendicularidad	en	el	espacio.
•	 A	aplicar	las	propiedades	de	Geometría	plana,	en	la	resolución	de	problemas	espaciales.
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 Dos	rectas	secantes
	
a) b)
•	 A	qué	es	igual:
	
a) b)
C	=
6
3C	=
5
2
gallery.cabri.com/es/roof.html
2
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Unidad VIII
Geometría
Conceptos básicos
•	 Proyección	de	un	segmento
	
a) b)
A
B
A
B
•	 Indique	cómo	es	el	teorema	de	Thales.
GEOMETRÍADEL ESPACIO
 Plano
Q 												
P
												 S
En	los	gráficos	anteriores,	se	representan	a	los	planos	"Q";	"P"	y	"S".	Se	les	debe	considerar	infinito.
 Axioma
	 	 	 	 	
Por	una	recta	en	el	espacio	
(denominada	arista),	pasan	
infinitos	planos.
	
DETERMINACIÓN DEL PLANO
	 I.			Tres	puntos	no	alineados	 	 	 			II.			Dos	rectas	secantes
	 	 	 	 	 	 					
	
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GeometríaGeometría del espacio
					III.			Dos	rectas	paralelas	 	 	 	 	IV.		Una	recta	y	un	punto	exterior
	 	 	 	 	 	 				
POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL ESPACIO
•	 Dos	planos
	 Paralelos Secantes Coincidentes
•	 Un	plano	y	una	recta
	 Secantes Paralelas Recta	contenida
•	 Dos	rectas
	 Secantes Paralelas Alabeadas
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 2
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Definición:	Se	dice	que	una	recta	es	perpendicular	a	un	plano,	cuando	dicha	recta	es	perpendicular	
a	todas	las	rectas	contenidas	en	dicho	plano.
Q
L
a
b c
										
	 L	 	a
	 L	 	b
	 L	 	c
Si:		 	 	Q
Condición:	Para	que	una	recta	sea	perpendicular	a	un	plano,	es	necesario	y	suficiente	que	dicha	recta	
sea	perpendicular	a	dos	rectas	secantes	contenidas	en	dicho	plano.
P
L
a b
										
Si:		 L	 	a
	 L	 	b	 	 	
L	 	P
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
Si	por	el	pie	de	una	perpendicular	a	un	plano,	se	traza	una	segunda	perpendicular	a	una	recta	contenida	
en	el	plano	y	se	une	el	pie	de	la	segunda	con	cualquier	punto	de	la	primera,	se	obtiene	una	tercera	
recta	perpendicular	a	la	recta	contenida.
P
E
H
B
A
M
										
Si:		 EH	 	P
	y:	 HM	 	AB
	 EM	 	AB
Teorema de Thales
P
Q
S
E
F
H
A
B
C
M
N
L
	 	 	 	 	
Si:	P	//	Q	//	S
NL
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GeometríaGeometría del espacio
Síntesis teórica
PLANOS
DETERMINACIÓN	DEL	
PLANO
Tres	puntos	no	alineados	
determinan	un	plano
•	 Dos	rectas	secantes	determi-
nan	un	plano.
•	 Una	recta	y	un	punto	exterior	
a	ella	determinan	un	plano.
Posiciones relativas
de dos figuras
en el espacio
Dos	planos,	un	plano	y	una	recta.
Dos	rectas	secantes,	alabeadas
y	paralelas.
Perpendicularidad
Recta	perpendicular	a	un	plano
Teorema	de	las	tres	
perpendiculares
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 2
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Con	cinco	puntos	en	el	espacio,	¿cuántos	planos	
como	máximo	se	pueden	determinar?
2.	 Si	se	tienen	cuatro	rectas	secantes	dos	a	dos	y	
en	el	espacio,	¿cuántos	planos	como	máximo	se	
pueden	determinar?
3.	 Graficar	un	plano,	una	recta	contenida	en	él	y	
una	recta	paralela	al	plano.
4.	 Grafique	una	recta	contenida	en	un	plano	y	otra	
recta	alabeada	a	la	anterior.
5.	 Grafique	un	plano	y	una	recta	perpendicular	a	
dicho	plano.
6.	 Sea	 "P"	 un	 plano	 y	 "L"	 una	 recta	 contenida	
en	 dicho	 plano.	 Luego,	 ubique	 un	 punto	 "Q"	
exterior	al	plano	y	trace	una	recta	perpendicular	
a	 "L"	 trazada	 desde	 "Q"	 pero	 que	 no	 sea	
perpendicular	al	plano	"P".
7.	 AB	es	un	segmento	exterior	a	un	plano,	tal	que	
las	distancias	de	"A"	y	"B"	al	plano,	miden	5	y	
9	cm.	Si	AB=7	cm,	calcular	 la	 longitud	de	 la	
proyección	de	AB	sobre	dicho	plano.
8.	 Una	circunferencia	de	centro	"O"	y	radio	igual	
a	3	cm,	se	encuentra	contenida	en	un	plano	"P".	
Se	 levanta	 la	 perpendicular	OH	 al	 plano	 "P",	
de	modo	que	HO=4	cm.	Calcular	la	distancia	
de	"H"	a	cualquier	punto	de	 la	circunferencia	
mencionada.
Comunicación matemática
1.	 Grafique	lo	que	se	indica:
	 •	 Un	plano	y	los	puntos	"A"	y	"B"	situados	en	
semiespacios	diferentes.
	 •	 Un	cubo	y	ubique	dos	rectas	paralelas	y	dos	
rectas	alabeadas.
	 •	 Un	triángulo	equilátero	ABC	y	levante	BH
perpendicular	 al	 plano	que	 contiene	 a	di-
cho	triángulo.
2.	 Indique	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F)	y	justifi-
que	su	respuesta.
	 •	 Dos	rectas	alabeadas	tienen	un	
	 	 punto	en	común.	.................................(__)
	 •	 Tres	puntos	siempre	forman	
	 	 un	plano.	.............................................(__)
	 •	 La	proyección	de	un	segmento	sobre	un		
	 plano,	es	siempre	otro	segmento.	.........(__)
Resolución de problemas
3.	 Con	siete	puntos	en	el	espacio,	¿cuántos	planos	
como	máximo	se	pueden	determinar?
4.	 En	el	espacio,	se	tienen	cinco	rectas	paralelas.	
¿Cuántos	planos	como	máximo	se	podrán	 for-
mar?
5.	 En	 el	 espacio,	 se	 tienen	 seis	 rectas	 secantes.	
¿Cuál	es	el	máximo	número	de	planos	que	se	
pueden	determinar?
6.	 Se	 tienen	ocho	rectas	y	seis	puntos	no	alinea-
dos.	Ubicándolos	 convenientemente,	 ¿cuál	 es	
el	máximo	 número	 de	 planos	 que	 se	 pueden	
determinar?
7.	 Sea	AB	un	segmento	exterior	a	un	plano,	tal	que	
las	distancias	de	"A"	y	"B"	al	plano	midan	4		y	
9	cm.	Si	AB=13	cm,	calcular	la	longitud	de	la	
proyección	de	AB	sobre	dicho	plano.
8.	 PQ	es	un	segmento	que	forma	45º	con	un	pla-
no.	Si	PQ=2 2	cm,	calcular	la	proyección	de	
PQ	sobre	dicho	plano.
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GeometríaGeometría del espacio
9.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 equilátero	 de	 4	 cm	 de	
lado.	 Levante	 AH	 perpendicular	 al	 plano	 del	
triángulo,	de	modo	que	HA=7	cm.	Calcular	la	
suma	de	HB	y	HC.
10.	Un	 triángulo	 equilátero	 ABC	 está	 inscrito	 en	
una	circunferencia	de	4	cm	de	radio	y	de	centro	
"O".	Levante	la	perpendicular	OH	al	plano	de	
este	triángulo,	de	modo	que	HO=2	cm.	Calcu-
le	la	distancia	de	"H"	hacia	uno	de	los	lados	del	
triángulo	ABC.
11.	Una	 circunferencia	 de	 centro	 "O"	 tiene	 una	
cuerda	AB	que	dista	3	cm	del	centro.	Levante	
OP	perpendicular	al	plano	que	contiene	a	dicha	
circunferencia,	de	modo	que	OP=6	cm.	Calcu-
le	la	distancia	de	"P"	hacia	la	cuerda	AB.
12.	Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC,	cuyos	ca-
tetos	AB	y	BC	midan	3	cm	cada	uno.	Levante	
BQ	perpendicular	al	plano	de	dicho	triángulo,	
de	modo	que	BQ=4	cm.	Calcule	el	perímetro	
del	triángulo	AQC.
13.	Grafique	un	cubo	de	4	cm	de	arista,	donde	su	
base	sea	el	cuadrado	ABCD	y	una	de	sus	alturas	
sea	CF.	Calcule	el	área	del	triángulo	FBD.
14.	Grafique	al	triángulo	ABC,	tal	que	AC=6	cm	y	
su	altura	BH=3	cm.	Perpendicularmente	al	pla-
no	de	este	triángulo,	levante	BS,	de	modo	que	
BS=4	cm.	Calcule	el	área	de	la	región	triangu-
lar	ASC.
15.	 Sea	 ABCD	 un	 rectángulo	 de	 modo	 que	
CD=6'cm.	Perpendicularmente	a	 su	plano,	 se	
levanta	BQ,	de	modo	que	QD=10	cm.	Calcule	
el	área	de	la	región	triangular	QDC.
16.	 Sean	"P",	"Q"	y	"R"	tres	planos	paralelos	entre	
sí.	Una	recta	corta	a	estos	planos	en	"A",	"B"	y	
"C"	respectivamente	y	otra	recta	corta	a	dichos	
planos	en	"E",	"F"	y	"H"	respectivamente.	Calcu-
lar	el	valor	de	"FH",	sabiendo	que:	FH=EF+2,	
AB=6	cm	y	BC=9	cm.
17.	Grafique	 a	 los	 planos	 "P",	 "Q"	 y	 "R"	 para-
lelos	entre	sí.	Una	recta	corta	a	estos	planos	
en	"A",	"B"	y	"C"	respectivamente	y	otra	rec-
ta	 corta	 a	 dichos	 planos	 en	 "E",	 "F"	 y	 "H"	
respectivamente.	Calcular	el	valor	de	"FE",	sa-
biendo	que:	EH=24	y	AB/BC=2/3.
18.	Grafique	a	los	cuadrados	ABCD	y	ABPQ	de	pla-
nos	perpendiculares.	Si	el	lado	de	estos	cuadra-
dos	mide	6	cm,	calcular	 la	distancia	entre	sus	
centros.
Aplicación cotidiana
19.	 La	figura	muestra	una	construcción	de	dospisos.
	 La	columna	del	primer	piso	mide	2,5	metros	y	la	columna	del	segundo	
piso	mide	"a"	metros.	Se	desea	construir	el	tercer	piso,	de	modo	que	
la	distancia	entre	el	primer	piso	y	el	techo	del	tercero	sea	de	8	metros.	
Si	la	columna	del	tercer	piso	mide	"b"	metros	y	excede	a	"a"	en	0,3	
metros,	calcular	"a	-	b".
20.	 La	imagen	nos	muestra	a	un	poste	perpendicular	al	plano	del	piso	y	a	su	soporte	
que	forma	un	ángulo	de	53º	con	el	plano	del	piso.	Si	la	longitud	del	soporte	es	
de	150	cm,	calcular	la	longitud	de	su	proyección	sobre	el	plano	y	la	distancia	del	
pie	del	poste	al	punto	de	apoyo	de	su	soporte.
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Un	 segmento	 AB	 se	 proyecta	 sobre	 un	 plano	
obteniéndose	 otro	 segmento	 de	 9	 cm.	 Si	 la	
proyección	 de	 AB	 sobre	 una	 perpendicular	 a	
dicho	plano	es	de	6	cm,	calcule	la	longitud	de	
"AB".
2.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 rectángulo	 isósceles,	
cuyo	cateto	AB	mide	6	cm.	Perpendicularmente	
a	 su	 plano,	 se	 levanta	 BQ ,	 de	 modo	 que																									
BQ=4 2	 cm.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	AQC.
3.	 Con	 12	 puntos	 en	 el	 espacio,	 14	 rectas	
secantes	no	coplanares	y	8	rectas	paralelas	no	
coplanares,	 ¿cuántos	 planos	 como	máximo	 se	
pueden	determinar?
4.	 Grafique	 al	 triángulo	 equilátero	ABC	y	 levante	
MQ	 perpendicular	 a	 su	 plano,	 siendo	 "M"	
punto	medio	de	BC.	Calcule	el	área	de	la	región	
triangular	que	une	"Q"	con	los	puntos	medios	de	
AB	y	AC,	sabiendo	que:	QM=4	cm	y	AC=6	cm.
5.	 Una	 circunferencia	 de	 3	 cm	 de	 radio	 está	
contenida	en	un	plano	"P".	Sea	"A"	un	punto	
exterior	 a	 "P"	 tal	 que	 su	 distancia	 al	 plano	
sea	 de	4	 cm	y	 la	mínima	distancia	 de	 "P"	 a	
la	 circunferencia	 sea	 de	 2 5	 cm.	 Calcular	
la	 máxima	 distancia	 de	 "P"	 hacia	 dicha	
circunferencia.
1.	 Grafique	lo	que	se	indica:
	 •	 Un	plano	y	los	puntos	"A"	y	"B"	situados	en	
el	mismo	semiespacio.
	 •	 Un	cubo	y	ubique	dos	rectas	alabeadas	de	
modo	que	una	sea	la	diagonal	del	cubo.
	 •	 Un	triángulo	ABC	y	levante	BH	perpendicu-
lar	al	plano	que	contiene	a	dicho	triángulo,	
luego	sombree	la	región	triangular	HAC.
2.	 Indique	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F)	y	justifi-
que	su	respuesta.
	 •	 Las	rectas	paralelas	siempre	
	 	 determinan	un	plano.	..........................(__)
	 •	 Si	dos	rectas	no	se	cortan,	entonces	
	 	 necesariamente	serán	paralelas.	...........(__)
	 •	 La	proyección	de	un	segmento	sobre	
	 	 un	plano	paralelo	a	él,	es	siempre	
	 	 otro	segmento	congruente	a	él.	............(__)
3.	 Con	nueve	puntos	en	el	espacio,	¿cuántos	pla-
nos	como	máximo	se	pueden	determinar?
4.	 En	 el	 espacio,	 se	 tienen	 siete	 rectas	 paralelas.	
¿Cuántos	planos	como	máximo	se	podrán	 for-
mar?
5.	 Se	tienen	diez	rectas	y	ocho	puntos	no	alinea-
dos.	 Ubicándolos	 convenientemente,	 ¿cuál	 es	
el	máximo	 número	 de	 planos	 que	 se	 pueden	
determinar?
6.	 "P"	y	"Q"	son	planos	paralelos	y	además	la	dis-
tancia	 entre	 ellos	 es	 AB	 y	mide	 6	 dm.	 Si	AC	
mide	10'dm,	calcular	el	valor	de	"BC".
P
Q
A
B
C
7.	 Si	AB	mide	7	dm	y	la	distancia	de	"A"	al	plano	
"P"	es	de	5	dm,	calcular	 la	proyección	de	AB
sobre	"P".
P
B
A
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GeometríaGeometría del espacio
8.	 Los	planos	"P",	"Q"	y	"R"	son	paralelos.	Calcu-
lar	"x".
P
Q
R
E
F
H
A
B
C
1612
8 x
9.	 Sea	"Q"	un	plano	y	EF	un	segmento,	tal	que	"F"	
pertenece	a	"Q"	y	la	distancia	de	"E"	a	"Q"	es	
de	9'dm.	Si		la	proyección	de	EF	en	"Q"	mide	
6'dm,	calcular	"EF".
10.	 Si	AB	mide	5	dm	y	las	distancias	de	"A"	y	"B"	al	
plano	"P"	miden	4	y	8	dm,	calcular	la	proyec-
ción	de	AB	en	P.
P
B
A
11.	 Sea	 ABC	 un	 triángulo	 equilátero	 de	 6	 cm	 de	
lado.	 Levante	 AQ	 perpendicular	 al	 plano	 del	
triángulo,	de	modo	que	QA=8	cm.	Calcular	la	
suma	de	QB	y	QC.
12.	 La	 figura	 muestra	 a	 dos	 cuadrados	 de	 planos	
perpendiculares.	Calcular	"EC".
D
B
C
F
E
A 6
13.	AB	es	un	segmento	que	forma	53º	con	un	pla-
no.	Si	AB=10 2	cm,	calcular	la	proyección	de	
PQ	sobre	dicho	plano.
14.	 La	figura	muestra	al	cuadrado	ABCD	de	centro	
"O".	Si:	OF=3	cm	y	CD=4	cm,	calcular	la	dis-
tancia	de	"C"	a	"F";	siendo	OF	perpendicular	al	
plano	del	cuadrado.
O
F
B C
A D
15.	Grafique	al	triángulo	rectángulo	ABC,	cuyos	ca-
tetos	AB	y	BC	midan	5	cm	cada	uno.	Levante	
BQ	perpendicular	 al	plano	de	dicho	 triángulo	
de	modo	que	BQ=12	cm,	luego,	calcule	el	pe-
rímetro	del	triángulo	AQC.
16.	Un	 cuadrado	 ABCD	 se	 encuentra	 inscrito	 en	
una	circunferencia	de	4	cm	de	radio	y	de	centro	
"O".	Perpendicularmente	a	su	plano,	se	levanta	
BP,	de	modo	que	BP=4 2	cm.	Calcule	el	perí-
metro	del	triángulo	AOP.
17.	ABCD	es	un	cuadrado	de	24	cm	de	períme-
tro	y	cuyo	centro	es	"O".	Levante	BP	perpen-
dicular	 al	 plano	de	 este	 cuadrado,	 de	modo	
que	BP=4 3 	cm.	Calcule	el	área	de	la	región	
triangular	APC.
18.	Grafique	a	los	planos	"P",	"Q"	y	"R"	paralelos	
entre	sí.	Una	recta	corta	a	estos	planos	en	"A",	
"B"	y	"C"	respectivamente	y	otra	recta	corta	a	di-
chos	planos	en	"E",	"F"	y	"H"	respectivamente.	
Calcular	el	valor	de	AC,	sabiendo	que:	AB=x,	
BC=x+2,	EF=10	cm	y	FH=14	cm.
19.	Grafique	dos	rectángulos	congruentes	y	perpen-
diculares,	 cuya	 arista	 es	 el	 lado	menor	 de	 los	
rectángulos.	Calcular	la	distancia	entre	los	cen-
tros	de	estos	rectángulos,	sabiendo	que	el	lado	
mayor	mide	12	cm.
20.	Un	 triángulo	 equilátero	 ABC	 está	 inscrito	 en	
una	circunferencia	de	8	cm	de	radio	y	de	centro	
"O".	Levante	la	perpendicular	OH	al	plano	de	
este	triángulo,	de	modo	que	HO=3 3 	cm,	lue-
go,	calcule	la	distancia	de	"H"	hacia	uno	de	los	
lados	del	triángulo	ABC.
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Geometría 3
Saberes previos
Una	 investigación	 realizada	 por	 expertos	 de	 la	Universidad	 de	 Carolina	 del	 Norte	 (Estados	Unidos),	fue	publicada	en	la	revista	especializada	
Nature	y	permitiría	a	los	científicos	acceder	a	información	
hasta	ahora	oculta	sobre	el	virus	del	SIDA.
En	el	artículo	de	dicha	revista,	se	afirma	que	"los	virus	de	
ARN	de	una	sola	hebra	(como	el	VIH)	abarca	una	amplia	
gama	de	agentes	infecciosos	que	causan	el	resfrío	común,	
el	cáncer,	el	SIDA	y	otras	enfermedades	graves".
El	 VIH	 transporta	 su	 información	 genética	 con	 una	
estructura	más	complicada	que	la	de	otros	virus.	Al	igual	
que	 la	 influenza,	 la	hepatitis	C	y	 la	poliomielitis,	usa	el	
ARN	en	lugar	del	ADN	para	transportar	su	información.
La	 información	 del	 ADN	 que	 tiene	 dos	 hebras 	 es	
relativamente	fácil	de	decodificar,	pero	la	del	ARN	(ácido	ribonucleico),	de	una	sola	hebra,	es	mucho	más	
difícil.
Fuentes	de	ONUSIDA,	el	programa	conjunto	de	las	Naciones	Unidas	sobre	el	SIDA,	saludaron	la	noticia	
y	dijeron	a	BBC	Ciencia:	"Todo	descubrimiento	científico	que	eche	luz	sobre	cómo	se	estructura	el	virus	
del	VIH	es	un	paso	importante.	Cuanto	más	sepamos	sobre	el	carácter	del	virus,	más	cerca	estaremos	de	
encontrar	una	cura	y	desarrollar	nuevos	tratamientos	para	combatir	la	infección".
•	 ¿Podrías decirnos qué forma poliédrica identificas?
Poliedros o sólidos geométricos 
Poliedros regulares
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tipos	de	poliedros	y	sus	elementos.
•	 A	reconocer	los	cinco	poliedros	regulares.
•	 A	reconocer	y	aplicar	las	relaciones	de	cálculo	de	áreas	y	volúmenes	de	los	poliedros	regulares
Antes de entrar al tema, recordemoslo siguiente:
•	 Polígonos
Convexo No	convexo
a) b)
rk
m
.c
om
.a
u
Unidad VIII
Geometría 4to - IV Bim.indd 221 31/10/2014 11:51:01 a.m.
223222
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GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
Conceptos básicos
POLIEDROS
Son	aquellos	sólidos	geométricos	cuyas	caras	son	polígonos.	El	segmento	común	entre	dos	caras	se	
denomina	arista.
Poliedro	convexo Poliedro	no	convexo
Vértice
Cara
Arista
•	 Algunas	áreas
a)
ll
l
Área=l 2.
3
4
b)
b
a
Área=ab
c)
ll
l
l
Área=l 2
•	 Suma	de	ángulos	interiores
Si=180º(n	-	2)
•	 Recta	perpendicular	a	un	plano
A
B
Geometría 4to - IV Bim.indd 222 31/10/2014 11:51:01 a.m.
223222
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GeometríaGeometría 3
Unidad VIII
Teorema de Euler
C=5
V=6
A=9
C=6
V=6
A=10
Siendo:	C=Número	de	caras
	 	 V=Número	de	vértices
	 	 A=Número	de	aristas
C+V=A+2
POLIEDROS REGULARES
Son	aquellos	cuyas	caras	son	polígonos	regulares.	Solamente	existen	cinco	poliedros	regulares:
Forma de la cara C V A
Tetraedro
regular
Triángulo
equilátero
4 4
Hexaedro regular
(o Cubo) Cuadrado 6 8
Octaedro
regular
Triángulo
equilátero
8 6
Dodecaedro
regular
Pentágono	
regular
12 20
Icosaedro
regular
Triángulo
equilátero
20 12
Baricentro	de	la	base
a
h
a
a
h Altura: h=
V=A=a2 3
a 6
3
a3 2
12
Tetraedro regular
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GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
Síntesis teórica
A=6a2
V=a3
D=a 3
Hexaedro regular (Cubo)
a
a
a
D
d Diagonal	del	sólido
A=2a2 3
d=a 2
V= a
3 2
3
Octaedro regular
a
d
a a
a
POLIEDROS	o	SÓLIDOS	GEOMÉTRICOS
TETRAEDRO	REGULAR
OCTAEDRO	REGULAR
ICOSAEDRO	REGULAR
POLIEDROS	REGULARES
Son	solo	cinco	(cuerpos	platónicos)
HEXAEDRO	REGULAR
(cubo)
DODECAEDRO	REGULAR
POLIEDROS O SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
POLIEDROS REGULARES
La
do
D
A
E B
C
H
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 3
Conceptos básicos Aprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Comunicación matemática
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda.
	 •	 Un	hexaedro	está	compuesto
	 	 por	seis	cuadrados.	..............................(__)
	 •	 Las	caras	de	un	pentaedro	son
	 	 pentágonos.	.........................................(__)
	 •	 Las	caras	de	un	octaedro	regular
	 	 son	cuadrados.	.....................................(__)
2.	 Completar:
	 a)	 Tetraedro	regular
a
Área=
	 b)	 Hexaedro	regular
D	=
a
D
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	cubo	y	sombree	un	plano	diagonal.
	 •	 Un	octaedro	regular	y	un	plano	que	lo	parta	
en	dos	pentaedros	iguales.
	 •	 Un	tetraedro	y	la	distancia	de	un	vértice	a	
una	cara	opuesta.
Resolución de problemas
4.	 En	un	hexaedro	regular,	la	distancia	de	un	vér-
tice	al	centro	de	 la	cara	opuesta	mide	 6 	cm.	
Calcule	el	volumen	del	sólido.
1.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	 hexaedro	 regular,	 una	 diagonal	 del	
sólido	y	la	diagonal	de	la	cara.
	 •	 Un	tetraedro	regular,	la	altura	del	sólido	y	
la	altura	de	una	cara.
	 •	 Un	sólido	de	base	cuadrada	y	cuyas	cuatro	
caras	restantes	sean	triángulos.
2.	 Si	la	suma	de	las	aristas	de	un	tetraedro	regular	
es	de	12	cm,	calcular	el	área	y	el	volumen	del	
sólido.
3.	 Grafique	 un	 hexaedro	 regular,	 donde	 la	
diagonal	mida	6 3 	cm,	luego,	calcule	el	área	y	
el	volumen.
4.	 La	altura	de	la	cara	de	un	tetraedro	regular	mide	
2 3 	cm.	Calcule	el	área	del	sólido.
5.	 Grafique	a	un	octaedro	regular	de	arista	igual	a	
2	cm,	luego,	calcule	su	área.
6.	 Grafique	a	un	octaedro	regular,	cuya	diagonal	
mida	4 2	cm,	 luego,	calcule	el	área	de	dicho	
sólido.
7.	 Grafique	a	un	tetraedro	y	a	un	hexaedro	ambos	
regulares,	 luego,	 calcule	 la	 relación	 de	 sus	
áreas,	sabiendo	que	sus	aristas	son	congruentes.
8.	 En	un	cubo,	se	inscribe	una	esfera	de	3	cm	de	
radio.	Calcular	el	volumen	del	cubo.
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GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
5.	 Si	el	área	de	un	tetraedro	regular	es	de	4 3 	cm2,	
calcule	su	volumen.
6.	 En	un	hexaedro	regular,	el	número	que	expresa	
su	volumen	es	el	doble	del	número	que	expresa	
su	área.	Calcular	 la	suma	de	las	 longitudes	de	
todas	sus	aristas.
7.	 Se	tiene	a	un	tetraedro	regular	ABCD	cuya	arista	
mide	12 .	Calcular	la	distancia	del	vértice	"B"	
al	triángulo	ACD.
8.	 La	altura	de	la	cara	de	un	tetraedro	mide	 3 	dm.	
Calcular	el	valor	de	su	área.
9.	 Las	aristas	de	un	hexaedro	y	un	tetraedro,	ambos	
regulares,	se	encuentran	en	la	relación	de	2	a	3.	
Calcular	la	relación	de	sus	áreas.
10.	 El	área	de	un	octaedro	regular	es	de	8 3 	cm2.	
Calcule	su	volumen.
11.	Calcular	 la	 diagonal	 de	 un	 octaedro	 regular,	
cuyo	volumen	es	de	72 2	cm3.
12.	Calcular	 el	 área	 de	 una	 de	 las	 caras	 de	 un	
icosaedro	regular,	si	su	área	total	es	de	40	dm2.
13.	 Si	C:	número	de	caras,	V:	número	de	vértices	y	
A:	número	de	aristas,	¿qué	alternativa	es	correc-
ta	para	el	dodecaedro	regular?
	 a)	 C=12;	A=12;	V=30
	 b)	 C=12;	V=12;	A=20
	 c)	 C=12;	V=20;	A=12
	 d)	 C=12;	V=30;	A=20
	 e)	 C=12;	A=30;	V=20	
14.	 Si	la	distancia	del	centro	de	una	cara	del	cubo	a	
un	vértice	de	la	cara	opuesta	es	de	3	m,	calcular	
el	área	de	este	sólido.
15.	 Se	 tiene	 el	 cubo	 ABCD-EFGH	 de	 arista	 "a".	
Calcular	el	área	del	cuadrilátero	BCHE.
16.	 En	 un	 cubo	 ABCD-EFGH,	 calcular	 la	 medida	
del	ángulo	que	forman	AC	y	DG.
17.	 La	 arista	 del	 cubo	 mide	 4	 dm.	 Calcular	 la	
distancia	de	"B"	al	punto	medio	de	HE.
18.	 Se	 tiene	 un	 octaedro	 regular	 y	 un	 tetraedro	
regular,	donde	la	arista	del	segundo	es	el	triple	
de	la	arista	del	primero.	Calcular	la	relación	de	
áreas	de	estos	sólidos.
Aplicación cotidiana
19.	 La	figura	nos	muestra	la	vista	frontal	de	un	diamante.
	 Conteste	usted	lo	siguiente:
	 a)	 En	esta	vista,	¿por	qué	clase	de	polígonos	está	conformado	este	diamante?
	 b)	 En	esta	vista,	¿en	cada	vértice	de	cuánto	en	cuánto	concurren	las	caras	de	un	vértice?
20.	 La	figura	nos	muestra	un	recipiente	cúbico	portalapiceros	de	10×10×10	
unidades.
	 Si	la	lámina	del	material	externo	de	5×5	unidades	se	vende	a	$1,5	y	la	
lámina	de	4×4	unidades	de	uso	interno	se	vende	a	$0,8,	calcular:
	 a)	 El	costo	de	material	externo	para	construir	este	recipiente.
	 b)	 El	costo	total	para	construir	este	recipiente,	sabiendo	que	las	dimen-
siones	interiores	del	cubo	son	de	8×8×8	unidades	y	que	la	mano	de	
obra	por	el	trabajo	terminado	es	el	50%	del	costo	total	de	material.
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 3
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 El	área	de	un	tetraedro	regular	es	de	36 3 	cm2.	
Calcular	la	longitud	del	segmento	que	une	los	
centros	de	gravedad	de	dos	caras.
2.	 Grafique	 a	 un	 hexaedro	 regular	 de	 6	 cm	 de	
arista	y	calcule	la	distancia	de	su	centro	hacia	
una	de	sus	aristas.
3.	 En	un	octaedro	regular	se	unen	consecutivamente	
los	centros	de	 todas	sus	caras.	 ¿Qué	sólido	se	
forma?
4.	 Un	 sólido	 convexo	 está	 formado	 por	 seis	
cuadriláteros	 y	 cuatro	 triángulos.	 Calcular	 el	
númerode	aristas.
5.	 Un	 sólido	 convexo	 está	 conformado	 por	
tres	 cuadriláteros,	 seis	 triángulos	 y	 cuatro	
hexágonos.	Calcular	la	suma	de	los	ángulos	de	
todas	las	caras	del	sólido.
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 Las	caras	de	un	hexaedro	necesariamente
	 	 son	cuadrados.	.....................................(__)
	 •	 Si	la	arista	de	un	octaedro	regular	mide	"b",	
	 	 entonces	su	diagonal	mide	"b 3".	........(__)
	 •	 El	tetraedro	regular	tiene	3	diagonales.	...(__)
2.	 Completar:
	 a)	 Octaedro	regular
D=
a
D
	 b)	 Hexaedro	regular
D/d=
a
D
d
3.	 Un	 sólido	está	 conformado	por	 cuatro	 cuadri-
láteros	y	cuatro	triángulos.	Calcular	la	suma	de	
los	ángulos	interiores	de	todas	las	caras.
4.	 En	un	hexaedro	regular,	calcular	la	distancia	de	
un	vértice	al	centro	de	la	cara	opuesta,	sabiendo	
que	el	volumen	del	sólido	es	de	8	cm3.
5.	 Calcular	el	área	en	cm2	de	un	tetraedro	regular,	
sabiendo	que	su	volumen	es	igual	a	144 2	cm3.
6.	 En	un	hexaedro	regular,	el	número	que	expresa	
su	volumen	es	el	triple	del	número	que	expresa	
su	área.	Calcular	 la	suma	de	 las	 longitudes	de	
todas	sus	aristas.
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GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares
7.	 Se	tiene	a	un	tetraedro	regular	ABCD	cuya	arista	
mide	12 .	Calcular	 la	distancia	entre	el	plano	
ABC	y	el	vértice	"D".
8.	 La	 figura	muestra	el	desarrollo	de	un	cubo.	Si	
el	 perímetro	 de	 este	 octógono	 es	 de	 36	 cm,	
calcular	el	área	y	el	volumen	del	sólido.
9.	 Calcular	el	volumen	de	un	tetraedro	regular,	en	
el	cual	la	altura	de	una	de	sus	caras	es	igual	a	
2 3 	m.
10.	 ¿Cuánto	mide	el	ángulo	que	forman	dos	diago-
nales	de	dos	caras	de	un	cubo	que	parten	de	
un	mismo	vértice?
11.	Se	tienen	los	cuadrados	perpendiculares	ABCD	
y	ABEF.	Hallar	"DE",	si:	BC=2	cm.
12.	El	área	total	de	un	tetraedro	regular	es	9 3 2.	
Calcular	el	volumen	de	dicho	tetraedro.
13.	En	 un	 cubo	 de	 3 2 	 de	 arista,	 se	 unen	 tres	
vértices	 no	 consecutivos.	 Hallar	 el	 área	 del	
triángulo	formado.
14.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F):
	
	 •	 Dos	rectas	pertenecientes	a	dos	planos
	 	 paralelos	son	paralelas	entre	sí.	..........(__)
	 •	 Si	dos	rectas	forman	el	mismo	ángulo
	 	 con	un	plano,	entonces	son	paralelas	
	 	 entre	sí.	...............................................(__)
	 •	 Si	una	recta	es	perpendicular	a	un	plano,
	 	 toda	recta	perpendicular	a	la	primera	es
	 	 paralela	al	plano.	................................(__)
	 •	 Si	dos	planos	son	perpendiculares,
	 	 entonces	las	rectas	que	pertenecen	a
	 	 dichos	planos	son	perpendiculares
	 	 entre	sí.	...............................................(__)
15.	En	el	cubo	mostrado,	"O"	es	el	centro	de	la	cara	
EFGH.	Calcular	el	área	del	triángulo	AOC.
C
B
A
H
E
10
G
O
F
16.	Hallar	 la	 relación	 en	 la	 que	 se	 encuentran	
las	 áreas	 totales	 de	un	 tetraedro	 regular	 y	un	
octaedro	regular,	si	la	arista	del	primero	es	el	
doble	del	segundo.
17.	Dado	un	triángulo	equilátero	ABC,	que	se	en-
cuentra	 en	un	plano	perpendicular	 a	un	cua-
drado	ABCD.	Si	el	segmento	de	recta	que	une	
el	punto	medio	de	AC	con	el	punto	medio	de	
BD,	mide	2	m,	calcular	la	diagonal	del	cuadra-
do.
18.	Calcular	 la	 relación	 entre	 los	 volúmenes	
de	 un	 cubo	 y	 de	 un	 octaedro	 regular,	 cuyas	
diagonales	son	congruentes.
19.	Hallar	 el	 ángulo	 formado	 por	 las	 diagonales	
de	 dos	 caras	 opuestas	 de	 un	 cubo,	 si	 ambas	
diagonales	no	son	paralelas.
20.	En	 el	 gráfico,	 se	 muestra	 una	 caja	 (sin	 tapa)	
la	cual	 tiene	forma	cúbica	y	debe	ser	pintada	
totalmente.	 ¿Cuánto	 costará	 pintarla,	 si	 por	
cada	 100	 cm2	 se	 debe	 pagar	 un	 nuevo	 sol?	
(a=40'cm).
a
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Geometría 4
Síntesis teórica
Repaso
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	graficar	figuras	geométricas	espaciales,	aplicando	conceptos	de	paralelismo,	perpendicularidad	y	
proyecciones.
•	 A	graficar	a	los	poliedros	regulares	y	aplicar	las	relaciones	de	áreas,	diagonales	y	volúmenes,	en	la	
resolución	de	problemas	matemáticos.
Poliedros	y	poliedros	regulares
Planos,	rectas	y	perpendicularidad
La	línea	recta
EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS PLANAS,
FORMAS GEOMÉTRICAS
Y MANERAS DE CALCULARLAS
b
m
r
Unidad VIII
Geometría 4to - IV Bim.indd 229 31/10/2014 11:51:04 a.m.
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GeometríaRepaso
Conceptos básicosAprende más...
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta:
	 •	 Un	cubo	está	compuesto	por	
	 	 seis	rectángulos.	..................................(__)
	 •	 Las	caras	de	un	tetraedro	pueden	
	 	 ser	triángulos	escalenos.	......................(__)
	 •	 La	recta:	y=x,	forma	un	ángulo	de	45º	
	 	 con	el	eje	de	las	abscisas.	.............(__)
2.	 Completar	convenientemente:
	 Si	dos	rectas	en	el	plano	cartesiano	son	paralelas,	
entonces	sus	pendientes	son	........................	.
3.	 Relacionar	convenientemente:
	 I.	 Rectas	perpendiculares
	 II.	 Pentaedro
	 III.	 Ecuación	simétrica	de	una	recta
	 a)	 Pendientes	iguales
	 b)	 x
a
+ y
b
=1
	 c)	 Sólido	de	cinco	caras
	 d)	 Pendientes	cuyo	producto	da	-	1
4.	 Dada	las	rectas	L1:	7x+2y=5	 	L2:	2x	-	3y=12,	
calcular	las	coordenadas	de	su	intersección.
5.	 La	recta:	2x+3y+6=0,	forma	con	los	ejes	coor-
denados	un	triángulo	cuya	área	se	desea	calcu-
lar.
6.	 Grafique	 a	 un	 tetraedro	 regular	 ABCD	 cuya	
arista	mida	 18	 cm,	 luego,	 calcule	 la	 distancia	
entre	los	puntos	medios	de	BC	y	CD.
7.	 Si	la	arista	de	un	tetraedro	regular	mide	12	cm,	
calcular	la	distancia	entre	los	baricentros	de	dos	
caras	adyacentes.
8.	 Sea	 L1:	 2x	 -	 3y+12=0	 	 L2	 una	 recta	 que	
pasa	por	 (0;	4)	y	 forma	135º	con	el	eje	de	las	
abscisas.	Calcular	el	área	de	la	región	triangular	
que	determinan	dichas	rectas	con	el	eje	de	las	
abscisas.
9.	 Sea	Q=(-	2;	5)	y	L:	2x+3y+6=0.	Calcular	 la	
distancia	de	"Q"	hacia	 .
10.	 ¿Cuántas	diagonales	tiene	un	octaedro	regular?	
Grafíquelos.
11.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 Dos	planos	paralelos	no	tienen	un	
	 	 punto	en	común.	.................................(__)
	 •	 Cuatro	puntos	siempre	forman	
	 	 un	plano.	.............................................(__)
	 •	 Dos	rectas	al	cortarse	forman	
	 	 un	plano.	.............................................(__)
12.	 Sea	AB	un	segmento	exterior	a	un	plano	"Q".	Si	
las	distancias	de	"A"	y	"B"	al	plano	"Q"	miden	
6	y	11	dm,	calcular	la	proyección	de	AB	sobre	
"Q",	si	además:	AB=13	dm.
13.	 Los	planos	"P",	"Q"	y	"R"	son	paralelos	entre	sí.	
La	recta	L1	corta	a	estos	planos	en	"A",	"B"	y	"C"	
respectivamente	y	la	recta	L2	corta	a	los	mismos	
planos	en	"E",	"F"	y	"H"	en	ese	orden.	Si:	AB=x,	
BC=x+9,	EF=x	-	1	y	FH=16,	calcular	el	valor	
de	"AC".
14.	OB	es	perpendicular	al	plano	"Q"	y	AB	es	diá-
metro	del	círculo	contenido	en	"Q".	Si	AC	y	OC	
miden	4	y	6	dm,	calcular	el	área	de	 la	 región	
triangular	AOC.
Q
O
C
B
A
15.	 El	 radio	 de	 la	 circunferencia	 circunscrita	 a	 un	
triángulo	equilátero	ABC	mide	 3 	dm.	Por	"B"	
se	levanta	BE	perpendicular	al	plano	del	 trián-
gulo.	Si	BE=1	dm,	calcular	el	área	del	triángulo	
AEC.
16.	Un	 punto	 "P"	 dista	 12	 dm	 de	 un	 plano	 y	 un	
segmento	de	recta	AB	que	está	contenido	en	el	
plano	mide	8	dm.	Encontrar	la	distancia	desde	
AB	al	pie	de	la	perpendicular	bajada	desde	"P",	
si:	AP=BP=13	dm.
17.	 Se	tienen	10	puntos	en	el	espacio,	luego,	hallar	
elmáximo	número	de	planos	que	ellos	pueden	
formar.
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Geometría
Unidad VIII
Geometría 4
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
18.	 Si	"P"	es	el	centro	de	una	cara	del	cubo	y	"Q"	
el	punto	donde	la	recta	EP	corta	al	plano	de	la	
base	ABCD,	calcular	el	valor	de	"PQ".
CA
B
E
P
a
D
a
1.	 Grafique	a	un	octaedro	regular	cuya	arista	mida	
4 2	 cm,	 luego,	 calcule	 la	 distancia	 entre	 los	
puntos	medios	de	dos	aristas	contiguas.
2.	 Si	 la	arista	de	un	octaedro	regular	mide	6	cm,	
calcule	la	distancia	entre	los	baricentros	de	dos	
caras	adyacentes.
3.	 La	 recta:	 5x	 -	 2y+15=0,	 forma	 con	 los	 ejes	
coordenados	 un	 triángulo	 cuya	 área	 se	 desea	
calcular.
4.	 Sea	 L1:	 2x	 -	 3y+12=0	 	 L2	 una	 recta	 que	
pasa	por	 (0;	4)	y	 forma	120º	con	el	eje	de	 las	
abscisas,	calcular	el	área	de	la	región	triangular	
que	determinan	dichas	rectas	con	el	eje	de	las	
abscisas.
5.	 Graficar	a	las	rectas	L1:	x=5	 	L2:	y=3.	Calcular	
el	 área	de	 la	 región	que	 forman	dichas	 rectas	
con	los	ejes	coordenados.
6.	 Con	12	puntos	en	el	espacio,	¿cuántos	planos	
como	máximo	se	podrán	formar?
7.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 La	intersección	de	dos	planos	
	 	 es	un	segmento.	...................................(__)
	 •	 Tres	puntos	siempre	forman	
	 	 un	plano.	.............................................(__)
	 •	 Dos	rectas	paralelas	siempre	
	 	 forman	un	plano.	.................................(__)
1.	 La	longitud	del	segmento	que	une	los	centros	de	
gravedad	de	dos	caras	de	un	tetraedro	regular	es	
de	6	cm.	Calcular	su	área	y	volumen.
2.	 Calcular	 el	 radio	 de	 una	 esfera	 inscrita	 en	 un	
octaedro	regular	de	12	cm	de	arista.
3.	 Sean	las	rectas	L1:	2x+5y=20	 	L2:	-	3x+2y=12.	
Calcular	la	distancia	del	punto	de	su	intersección	
hacia	el	eje	de	las	ordenadas.
4.	 Al	 unir	 los	 centros	 de	 todas	 las	 caras	 de	 un	
hexaedro	regular,	se	obtiene	un:
5.	 Sea	"Q"	el	punto	de	intersección	de	las	rectas:	
L1:	 3x	 -	 2y=7	 	 L2:	 4x+5y=20.	 Calcular	 la	
distancia	de	"Q"	hacia	la	recta:	x=8.
19.	 El	volumen	de	todo	cilindro	se	calcula	multipli-
cando	el	área	de	la	base	con	la	altura	del	sólido.	
Si	un	cilindro	 tiene	como	diámetro	de	 la	base	
10	cm	y	como	altura	el	triple	del	radio,	¿cuánto	
será	la	capacidad	de	dicho	sólido?
20.	 En	una	probeta	de	6	cm	de	ra-
dio	se	echan	cuatro	cubitos	de	
hielo	de	4	cm	de	arista.	¿A	qué	
altura	 llegará	 el	 agua	 cuando	
se	derritan?
w
w
w
.g
oo
gl
e.
co
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e/
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gr
es
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232
TRILCE
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Repaso
8.	 Sea	AB	un	 segmento	de	26	dm	de	 longitud	y	
exterior	a	un	plano	"P".	Si	las	distancias	de	los	
extremos	de	AB	al	plano	"P"	miden	12	y	22	dm,	
calcular	la	proyección	de	AB	sobre	dicho	plano	
"P".
9.	 Sean	"P",	"Q"	y	"S"	tres	planos	paralelos	entre	
sí.	La	recta	L1	corta	a	estos	planos	en	"A",	"B"	y	
"C"	respectivamente	y	la	recta	L2	corta	a	los	mis-
mos	planos	en	"E",	"F"	y	"H"	en	ese	orden.	Si:	
AB=x,	BC=2x+5,	EF=6	y	FH=3x+3,	calcular	
el	valor	de	"AC".
10.	 Si	"O"	es	el	circuncentro	del	triángulo	EFG	de	
6'dm	de	circunradio	y	OQ	mide	4	dm,	calcular	
la	distancia	de	"Q"	al	punto	medio	de	FG.
F
G
Q
O
E
11.	Dado	el	cuadrado	ABCD	de	centro	"O"	y	lado	
igual	a	4	cm,	levante	OF	perpendicular	a	su	pla-
no,	de	modo	que	OF= 7	cm.	Calcule	la	distan-
cia	de	"F"	al	punto	medio	de	AD.
12.	Calcular	cuántos	planos	como	máximo	se	pue-
den	formar	con	5	puntos	no	alineados	y	6	rectas	
paralelas.
13.	 Sea	PQR	un	 triángulo	equilátero	de	perímetro	
igual	 a	 12 3'cm	 y	 circuncentro	 "O".	 Se	 le-
vanta	OF	perpendicular	al	plano	del	 triángulo	
equilátero	 PQR	 y	 se	 desea	 calcular	 el	 ángulo	
que	forma	FR	con	el	plano	de	dicho	triángulo.	
(OF=3'cm).
14.	 En	el	gráfico,	calcular	"AC+AB",	sabiendo	que	
AF	es	perpendicular	al	plano	FBC	sombreado.
B
F C
A
8
8
6
15.	 Sean	 1	y	 2	dos	rectas	alabeadas.	En	L1	se	mar-
can	los	puntos	"A"	y	"B"	y	en	L2	se	marcan	"P"	
y	"Q",	de	modo	que	AP	es	la	mínima	distancia	
entre	L1	y	L2.	Si	AP=AB=PQ	y	BQ=AP,	calcu-
lar	el	ángulo	que	forman	 1	y	 2.
16.	 Se	consideran	10	rectas	y	con	ellas	se	obtienen	
como	máximo	"ab"	planos.	Si	"a+b"	es	el	nú-
mero	de	puntos	de	un	conjunto,	calcular	cuán-
tos	planos	como	máximo	puede	determinar	di-
cho	conjunto.
17.	 La	figura	muestra	a	un	cubo.	Calcular	el	ángulo	
que	forman	CD	y	AB.
C
A
B
D
18.	ABC	y	ABEF	son	dos	polígonos	regulares	de	pla-
nos	perpendiculares.	Calcular:	FC/AE.
B
C
E
F
A
19.	 La	distancia	de	un	punto	"P"	a	una	recta	conte-
nida	en	un	plano	es	de	13	dm.	La	distancia	de	
la	recta	al	pie	de	la	perpendicular	que	va	de	"P"	
al	plano	mide	12	dm.	¿Cuál	es	la	distancia	del	
punto	"P"	al	plano?
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