Lista II

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadeˆmico do Agreste
Nu´cleo de Formac¸a˜o Docente
Geometria Anal´ıtica
2a Lista da III UNIDADE
A. Identifique e esboce as superf´ıcies dadas abaixo:
(i) 푥2 + 푦2 + 푧2 − 2푧 = 0
(ii) 푥2 + 푦2 = −(4− 푧)
(iii) 푥2 − 푦2 + 푧2 = −1
(iv) 푥2 − 푦2 + 푧2 = 1
B. Escreva uma equac¸a˜o da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o
(a) da elipse
푥2
9
+
푦2
4
= 1, 푧 = 0
em torno de seu eixo maior;
(b) da elipse
푦2
푏2
+
푧2
푐2
= 1, 푥 = 0
em torno do eixo 푦;
(c) da para´bola 푥 = 푦2, 푧 = 0 em torno de seu eixo;
(d) da hipe´rbole
푦2
16
− 푧
2
9
= 1, 푥 = 0
em torno do eixo z.
C. Deduza uma equac¸a˜o da esfera de centro na origem e raio 푟, girando a circunfereˆncia
푥2 + 푦2 = 푟2 em torno do eixo 푥.
D. Escreva uma equac¸a˜o do elipso´ide que intercepta o plano 푥푦 segundo a elipse
푥2
2
+
푦2
4
= 1, 푧 = 0,
e que contem o ponto (1, 1, 1).
E. Escreva uma equac¸a˜o de uma superf´ıcie sabendo que sua intersec¸a˜o com os planos 푥 = 0
e 푦 = 0 sa˜o as hipe´rboles
−푦
2
25
+
푧2
9
= 1 푒 − 푥
2
4
+
푧2
9
= 1.
F. Mostre que a intersec¸a˜o do elipso´ide
푥2
푎2
+
푦2
푏2
+
푧2
푐2
= 1 com o plano paralelo ao plano
푥푂푦, 푧 = 푘,
(a) com ∣푘∣ < 푐, e´ a elipse 푥
2
푎2푑
+
푦2
푏2푑
= 1, com 푑 = 1− 푘
2
푐2
.
(b) com ∣푘∣ > 푐 e´ vazia.
G. Classifique a superf´ıcie de equac¸a˜o
푥2
4
− 푦
2
9
− 푧
2
16
= 1. Vejam as intersec¸o˜es com os planos
coordenados e com os planos paralelos ao plano 푦푂푧.
H. Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da para´bola
푥 = 푦2, 푧 = 0,
em torno do eixo 푥.
2