LISTA EXERCICIO DINAMICA DOS SISTEMAS UNIP

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Professor Clodoaldo Valverde é Pós-Doutor pela Universidade de Brasília UnB. 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 00 - EXERCÍCIOS 
 
1 - As placas ilustradas em anexo, estão 
soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim 
constituído, gira com velocidade angular 
constante ω = 0,5 rad/s; no instante ilustrado o 
ponto C está descendo. O vetor velocidade 
angular (versores indicados em “negrito”), 
expresso em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 0,43.i – 0,26.j +0,00.k 
 
 MÓDULO 01 - EXERCÍCIOS 
 
1 - As placas ilustradas em anexo, estão 
soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim 
constituído, gira com velocidade angular 
constante w = 0,5 rad/s; no instante ilustrado o 
ponto C está descendo. O vetor velocidade do 
ponto C (versores indicados em “negrito”), 
expresso em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: -0,14.i – 0,24.j +0,00.k 
 
2 - As placas ilustradas em anexo, estão 
soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim 
constituído, gira com velocidade angular 
constante w = 0,5 rad/s; no instante ilustrado o 
ponto C está descendo. O vetor velocidade 
angular (versores indicados em “negrito”), 
expresso em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 0,43.i – 0,26.j +0,00.k 
 
3 - As placas ilustradas em anexo, estão 
soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim 
constituído, gira com velocidade angular 
constante w = 0,5 rad/s; no instante ilustrado o 
ponto C está descendo. O vetor aceleração do 
ponto C (versores indicados em “negrito”), 
expresso em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 0,00.i + 0,00.j – 0,14.k 
 
Aluno (a):................................................................................................................................. RA:........................ 
Universidade Paulista - UNIP 
 Prof.: Dr. Clodoaldo Valverde 
Assunto: Dinâmica dos Sistemas 
Curso: Engenharia Mecânica 
Goiânia _08 /03 / 2013 
 
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4 - A haste ABCD ilustrada, gira apoiada em 
duas articulações esféricas em A e D, no 
sentido horário, quando a mesma é observada 
do ponto de vista da articulação A . A 
velocidade angular da barra, no instante 
considerado, é igual a 12 rad/s, e diminui de 
forma constante, à razão de 3 rad/s2 ; o vetor 
velocidade angular (versores indicados em 
“negrito”), em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 9,5i - 6,1j – 4,0k 
5 - A haste ABCD ilustrada, gira apoiada em 
duas articulações esféricas em A e D, no 
sentido horário, quando a mesma é observada 
do ponto de vista da articulação A . A 
velocidade angular da barra, no instante 
considerado, é igual a 12 rad/s, e diminui de 
forma constante, à razão de 3 rad/s2. Ovetor 
aceleração angular (versores indicados em 
“negrito”), em rad/s, é aproximadamente: 
 
R:-2,4i + 1,5j +1,0k 
 
6 - Um rebolo de esmeril, de formato cilíndrico, 
com raio R = 0,45 m, gira com frequência 
constante fo = 1500 rpm; quando se desliga o 
motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 8 s até 
parar; considerar movimento uniformemente 
acelerado. A aceleração angular do rebolo, em 
rad/s2, é aproximadamente: 
 
R:-19,63 
 
7 - Um rebolo de esmeril, de formato cilíndrico, 
com raio R = 0,45 m, gira com frequência 
constante fo = 1500 rpm; quando se desliga o 
motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 8 s até 
parar; considerar movimento uniformemente 
acelerado. O número de voltas até a parada, é 
aproximadamente: 
 
R:100 
 
8 - Na figura anexa são ilustrados duas 
engrenagens A e B, com raios RA = 0,75 m e 
RB = 0,45 m, respectivamente. A 
engrenagem A parte do repouso com 
aceleração angular constante α = 5 rad/s2, até 
atingir velocidade angular ω = 200 rad/s, que 
mantêm posteriormente. A velocidade angular 
final da engrenagem B, em rad/s, é 
aproximadamente: 
 
R: 333 
 
9 - A parte do repouso com aceleração angular 
constante α = 5 rad/s2, até atingir velocidade 
angular ω = 200 rad/s, que mantêm 
posteriormente. O número de voltas da 
engrenagem B até atingir sua velocidade final, é 
aproximadamente: 
 
 
 
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R: 1061 
 
10 - O movimento plano de um sólido pode ser 
entendido de duas formas diferentes: a) 
movimento de translação, superposto ao 
movimento de rotação em torno de eixo que 
passe pelo seu centro de massa; b) movimento 
de rotação em torno de um eixo que passe pelo 
CIR - Centro Instantâneo de Rotação. A 
segunda forma tem vantagens quando se 
objetiva calcular velocidades, e o CIR será um 
ponto do sólido instantaneamente com 
velocidade zero ou quando isso não é viável é 
um ponto que pertence à linhas ortogonais às 
velocidades de pontos do sólido. Assim posto, 
na figura ilustrada encontram-se três barras 
articuladas entre si, todas rígidas, sendo que 
duas possuem eixos fixos. No instante ilustrado, 
a barra AB gira no sentido horário, com 
velocidade angular ωAB = 4 rad/s. A a 
velocidade angular da barra BC, expressa em 
rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 1,38 
 
11 - O movimento plano de um sólido pode ser 
entendido de duas formas diferentes: a) 
movimento de translação, superposto ao 
movimento de rotação em torno de eixo que 
passe pelo seu centro de massa; b) movimento 
de rotação em torno de um eixo que passe pelo 
CIR - Centro Instantâneo de Rotação; A 
segunda forma tem vantagens quando se 
objetiva calcular velocidades, e o CIR será um 
ponto do sólido instantaneamente com 
velocidade zero ou quando isso não é viável é 
um ponto que pertence à linhas ortogonais às 
velocidades de pontos do sólido. Assim posto, 
na figura ilustrada encontram-se três barras 
articuladas entre si, todas rígidas, sendo que 
duas possuem eixos fixos. No instante ilustrado, 
a barra AB gira no sentido horário, com 
velocidade angular ωAB = 4 rad/s. A velocidade 
angular da barra CD, expressa em rad/s, é 
aproximadamente: 
 
R: 2,19 
 
12- As barras ilustradas são articuladas entre si; 
sabe-se que a barra AB gira no sentido horário 
com velocidade angular ωAB = 11 
rad/s. A velocidade angular da barra BC, 
expressa em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 4,68 
 
13 - As barras ilustradas são articuladas entre 
si; sabe-se que a barra AB gira no sentido 
horário com velocidade angular ωAB = 11 
rda/s. A velocidade angular da barra CD, 
expressa em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 1,56 
 
14 - No arranjo ilustrado, o eixo de manivela AB 
gira com velocidade angular constante, no 
sentido horário: ωAB = 16 rad/s. O pistão tem 
seus movimentos limitados pelo 
cilindro. A velocidade angular da barra BD, 
expressa em rad/s, é aproximadamente: 
 
 
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R: zero 
 
15 - No arranjo ilustrado, o eixo de manivela AB 
gira com velocidade angular constante, no 
sentido horário: ωAB = 16 rad/s. O pistão tem 
seus movimentos limitados pelo cilindro. 
A aceleração do cursor D, expressa em m/s2, é 
aproximadamente: 
 
R: 18,43 
 
16 - Na figura anexa são ilustrados duas 
engrenagens A e B, com raios RA = 0,75 m e 
RB = 0,45 m, respectivamente. A 
engrenagem A parte do repouso com 
aceleração angular constante α = 5 rad/s2, até 
atingir velocidade angular ω = 200 rad/s, que 
mantêm posteriormente. O tempo necessário 
para a engrenagem A atingir sua velocidade 
final, em s, é aproximadamente: 
 
R: 1061 
 
17 - Na figura anexa são ilustrados duas 
engrenagens A e B, com raios RA = 0,75 m e 
RB = 0,45 m, respectivamente. A 
engrenagem A parte do repouso com 
aceleração angular constante a = 5 rad/s2, até 
atingir velocidade angular w = 200 rad/s, que 
mantêm posteriormente. A aceleração angular 
da engrenagem B, até atingir sua velocidade 
final, expressa em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 8,3 
 
18 - No esquema ilustrado as barras AB e BC 
são articuladas entre si. A barra AB tem eixo 
fixo passando pelo ponto A. A barra BC é 
articulada em C a um cursor que desliza 
livremente em guia fixa inclinada de 450 em 
relação ao horizonte. Abarra AB gira no sentido 
horário, com velocidade angular constante 
ωAB = 4 rad/s. A velocidade angular da barra 
BC, expressa em rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 0,67 
 
19 - No esquema ilustrado as barras AB e BC 
são articuladas entre si. A barra AB tem eixo 
fixo passando pelo ponto A. A barra BC é 
articulada em C a um cursor que desliza 
livremente em guia fixa inclinada de 450 em 
relação ao horizonte. A barra AB gira no sentido 
horário, com velocidade angular constante 
ωAB = 4 rad/s. A aceleração do cursor C, 
expressa em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 2,15 
 
20 - No arranjo ilustrado, a barra AB gira com 
velocidade angular constante, no sentido 
horário: ωAB = 8 rad/s. O cursor C tem seus 
movimentos limitados pela haste 
fixa. A velocidade angular da barra BC, 
expressa em rad/s, é aproximadamente: 
 
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R: 4,00 
 
21 - No arranjo ilustrado, a barra AB gira com 
velocidade angular constante, no sentido 
horário: ωAB = 8 rad/s. O cursor C tem seus 
movimentos limitados pela haste 
fixa. A aceleração do cursor C, expressa em 
m/s, é aproximadamente: 
 
R: 26,40 
 
22 - No arranjo ilustrado, o eixo de manivela AB 
gira com velocidade angular constante, no 
sentido horário: ωAB = 22 rad/s. O pistão tem 
seus movimentos limitados pelo cilindro. A 
velocidade angular da barra BD, expressa em 
rad/s, é aproximadamente: 
 
R: 7,50 
 
23 - No arranjo ilustrado, o eixo de manivela AB 
gira com velocidade angular constante, no 
sentido horário: ωAB = 22 rad/s. O pistão tem 
seus movimentos limitados pelo 
cilindro. A aceleração do ponto D, expressa em 
m/s2, é aproximadamente: 
 
R: 42,80 
 
MÓDULO 02 – EXERCÍCIOS 
 
1 - Duas polias solidamente ligadas entre si, 
são acionadas através de um motor que aplica 
nas mesmas momento de acionamento M = 2,0 
N.m. As polias são mantidas suspensas por 
articulação e possuem raios R1 = 0,15 m, R2 = 
0,25 m, massa m = 4 kg e momento de inércia 
ICM = 0,08 kg.m
2. Os contrapesos A e B, 
possuem respectivamente, massas mA = 4 kg e 
mB = 6 kg. A aceleração angular das polias, 
expresso em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 6,45 
 
2 - Duas polias solidamente ligadas entre si, 
são acionadas através de um motor que aplica 
nas mesmas momento de acionamento M = 2,0 
N.m. As polias são mantidas suspensas por 
articulação e possuem raios R1 = 0,15 m, R2 = 
0,25 m, massa m = 4 kg e momento de inércia 
ICM = 0,08 kg.m
2. Os contrapesos A e B, 
possuem respectivamente, massas mA = 4 kg e 
mB = 6 kg. A aceleração do bloco A, expresso 
em m/s2, é aproximadamente: 
 
 
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R: 1,61 
 
3 - Dois discos solidamente ligados entre si, 
formam o sistema ilustrado, com raios R1 = 0,15 
m, R2 = 0,20 m, massa m = 0,5 kg e momento 
de inércia ICM = 0,007 kg.m
2. O sistema apoia-
se em superfície horizontal rugosa, e sob ação 
da força F = 3 N, rola sem escorregar. Adotar g 
= 10 m/s2. A aceleração angular do conjunto, 
expressa em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 16,67 
 
4 - Dois discos solidamente ligados entre si, 
formam o sistema ilustrado, com raios R1 = 0,15 
m, R2 = 0,20 m, massa m = 0,5 kg e momento 
de inércia ICM = 0,007 kg.m
2. O sistema apoia-
se em superfície horizontal rugosa, e sob ação 
da força F = 3 N, rola sem escorregar. Adotar g 
= 10 m/s2. A aceleração do centro de massa do 
conjunto, expressa em m/s2, é 
aproximadamente: 
 
R: 3,33 
 
5 - O veículo ilustrado, possui massa m = 140 
kg, desloca-se para a direita com velocidade v = 
20 m/s, em pista reta e horizontal, sendo que os 
coeficientes de atrito entre o piso e os pneus 
são: coeficiente de atrito estático μest = 0,8; 
coeficiente de atrito cinético μcin = 0,5. Os freios 
são acionados com o intuito de parar o veículo 
o mais rápido possível, entretanto, o operador 
aciona apenas os freios das rodas 
dianteiras. A aceleração do veículo, expressa 
em m/s2, é aproximadamente: 
 
R: 5,5 
 
6 - O carro ilustrado possui massa m = 650 kg, 
e os coeficientes de atrito entre os pneus e o 
solo são: coeficiente de atrito estático μe = 0,75; 
coeficiente de atrito cinético é μc = 0,45. 
Considerando que o carro com tração traseira, 
parta do repouso acelerando ao máximo. A 
aceleração do veículo, expressa em m/s2, é 
aproximadamente: 
 
R: 8,5 
 
7 - O carro ilustrado possui massa m = 650 kg, 
e os coeficientes de atrito entre os pneus e o 
solo são: coeficiente de atrito estático μe = 0,75; 
coeficiente de atrito cinético é μc = 0,45. 
Considerando que o carro com tração traseira, 
parta do repouso acelerando ao máximo. A 
reação normal na roda dianteira, expressa em 
N, é aproximadamente: 
 
R: 2648 
 
8 - Veículo de massa m = 550 kg, e dimensões 
d1 = 0,7 m, d2 = 0,8 m e h = 0,8 m, que parte do 
repouso, levantando o eixo dianteiro de forma 
que as rodas dianteiras perdem contato com o 
solo, e desta forma permanecem. A força de 
atrito com o apoio horizontal, expressa em N, é 
aproximadamente: 
 
R: 4813 
 
9 - Veículo de massa m = 550 kg, e dimensões 
d1 = 0,7 m, d2 = 0,8 m e h = 0,8 m, que parte do 
repouso, levantando o eixo dianteiro de forma 
que as rodas dianteiras perdem contato com o 
solo, e desta forma permanecem. A 
aceleração do veículo, expressa em m/s2, é 
aproximadamente: 
 
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R: 8,75 
 
10 - Duas polias solidamente ligadas entre si, 
são acionadas através de um motor que aplica 
nas mesmas momento de acionamento M = 2,0 
N.m. As polias são mantidas suspensas por 
articulação e possuem raios R1 = 0,15 m, R2 = 
0,25 m, massa m = 4 kg e momento de inércia 
ICM = 0,08 kg.m
2. Os contrapesos A e B, 
possuem respectivamente, massas mA = 4 kg e 
mB = 6 kg. A aceleração do bloco B, expresso 
em m/s2, é aproximadamente: 
 
R: 0,97 
 
11 - Dois discos solidamente ligados entre si, 
formam o sistema ilustrado, com raios R1 = 0,15 
m, R2 = 0,20 m, massa m = 0,5 kg e momento 
de inércia ICM = 0,007 kg.m
2. O sistema apoia-
se em superfície horizontal rugosa, e sob ação 
da força F = 3 N, rola sem escorregar. Adotar g 
= 10 m/s2. O mínimo coeficiente de atrito, é 
aproximadamente: 
 
R: 0,83 
 
12 - O veículo ilustrado, possui massa m = 
140 kg, desloca-se para a direita com 
velocidade v = 20 m/s, em pista reta e 
horizontal, sendo que os coeficientes de atrito 
entre o piso e os pneus são: coeficiente de 
atrito estático μest = 0,8; coeficiente de atrito 
cinético μcin = 0,5. Os freios são acionados com 
o intuito de parar o veículo o mais rápido 
possível, entretanto, o operador aciona apenas 
os freios das rodas dianteiras. A reação 
normal na roda dianteira, expressa em N, é 
aproximadamente: 
 
R: 955 
 
13 - Veículo com massa 600 kg, e tração 
traseira, que parte do repouso acelerando de 
forma a permitir que as rodas dianteiras percam 
o contato com o solo por um período de tempo 
significativo, conforme ilustrado. As dimensões 
são d1 = 0,8 m, d2 = 0,6 m e h = 0,95 m. A 
força de atrito com o apoio horizontal, expressa 
em N, é aproximadamente: 
 
R: 2220 
 
14 - Veículo com massa 600 kg, e tração 
traseira, que parte do repouso acelerando de 
forma a permitir que as rodas dianteiras percam 
o contato com o solo por um período de tempo 
significativo, conforme ilustrado. As dimensões 
são d1 = 0,8 m, d2 = 0,6 m e h = 0,95 m. A 
aceleração do veículo, expressa em m/s2, é 
aproximadamente: 
 
R: 8,42 
 
MÓDULO 03 - EXERCÍCIOS 
 
1 - O sistema ilustrado é composto por eixo 
ABCD, com mancais nos pontos A e D que 
garantem que o mesmo seja fixo. Duas barras 
BE e CF, de direções paralelas ao eixo z, foram 
soldadas ao eixo fixo ABCD, possuem a mesma 
massa m = 4,0 kg. Todas as dimensões 
indicadas na figura estão em milímetros (mm). 
 
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O sistemadescrito gira com velocidade angular 
20 rad/s. O produto de inércia Ixz do sistema, 
expresso em kg.m2, é aproximadamente: 
 
R: 0,036 
 
2 - Na figura ilustrada, um disco de raio R = 0,8 
m, massa m= 3,0 kg está preso a um garfo 
ligado a um eixo horizontal fixado por dois 
mancais A e B. O disco gira com velocidade 
angular constante w2 = 8,0 rad/s em torno do 
eixo preso ao garfo; o garfo e o eixo AB giram 
com velocidade angular constante w1 = 5,0 
rad/s. Considera-se o sistema de eixos que 
passa pelo centro de massa do disco e é 
rigidamente ligado ao eixo do disco preso ao 
garfo. O vetor velocidade angular do disco 
expresso através de versores em negrito, é: 
 
R: w1 . i - w2 . k 
 
3 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. O momento de 
inércia Ixx em relação ao eixo x, expresso em 
Kg.m2, é aproximadamente: 
 
R: 1,77 
 
4 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. O produto de inércia Ixz em 
relação aos eixos x e y, expresso em Kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
R: 0,00 
 
5 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 6,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos CM(x,y,z) com origem no centro de 
massa da placa e ligado à mesma. A placa 
possui aceleração angular constante a = 10 
rad/s2, conforme indicado na 
figura. O momento de inércia Iyy em relação ao 
eixo baricêntrico y, expresso em kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
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R: 2,00 
 
6 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 6,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos CM(x,y,z) com origem no centro de 
massa da placa e ligado à mesma. A placa 
possui aceleração angular constante a = 10 
rad/s2, conforme indicado na figura. O produto 
de inércia Ixy, expresso em kg.m
2, é 
aproximadamente: 
 
R: zero 
 
7 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 10,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. Desprezar as dimensões dos mancais. 
Através de motor elétrico aplica-se na placa 
conjugado motor Cmotor = 12,0 N.m, conforme 
indicado. O momento de inércia Iyy, em relação 
ao eixo Ay, expresso em kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
R: 1,20 
 
8 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. O momento de 
inércia IYY em relação ao eixo y, expresso em 
Kg.m2, é aproximadamente: 
 
R: 4,58 
 
9 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. O momento de 
inércia IZZ em relação ao eixo z, expresso em 
Kg.m2, é aproximadamente: 
 
R: 8,82 
 
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10 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. O produto de inércia Ixy em 
relação aos eixos x e y, expresso em Kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
R: -1,25 
 
11 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 10,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. Desprezar as dimensões dos mancais. 
Através de motor elétrico aplica-se na placa 
conjugado motor Cmotor = 12,0 N.m, conforme 
indicado. O momento de inércia Ixx, em relação 
ao eixo Ax, expresso em kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
R: 2,70 
 
12 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 10,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. Desprezar as dimensões dos mancais. 
Através de motor elétrico aplica-se na placa 
conjugado motor Cmotor = 12,0 N.m, conforme 
indicado. O produto de inércia Ixy, em relação 
aos eixo Ax e Ay, expresso em kg.m2, é 
aproximadamente: 
 
R: 1,35 
 
MÓDULO 04 - EXERCÍCIOS 
 
1 - Na figura ilustrada, um disco de raio R = 0,8 
m, massa m= 3,0 kg está preso a um garfo 
ligado a um eixo horizontal fixado por dois 
mancais A e B. O disco gira com velocidade 
angular constante w2 = 8,0 rad/s em torno do 
eixo preso ao garfo; o garfo e o eixo AB giram 
com velocidade angular constante w1 = 5,0 
rad/s. Considera-se o sistema de eixos que 
passa pelo centro de massa do disco e é 
rigidamente ligado ao eixo do disco preso ao 
garfo. O vetor momento angular do disco em 
relação ao Centro de Massa do mesmo, 
expresso em N.m e com vetores em negrito, é 
aproximadamente : 
 
R: 2,40 . i + 0,00 . j – 7,70 . k 
 
2 - Na figura ilustrada, um disco de raio R = 0,8 
m, massa m= 3,0 kg está preso a um garfo 
ligado a um eixo horizontal fixado por dois 
mancais A e B. O disco gira com velocidade 
angular constante w2 = 8,0 rad/s em torno do 
eixo preso ao garfo; o garfo e o eixo AB giram 
com velocidade angular constante w1 = 5,0 
 
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rad/s. Considera-se o sistema de eixos que 
passa pelo centro de massa do disco e é 
rigidamente ligado ao eixo do disco preso ao 
garfo. As reações dinâmicas (desprezar o 
peso) geradas nos mancais A e B, expressas 
em N e com vetores em negrito, são 
aproximadamente: 
 
R: 0,0 . i + 0,0 . j + 24,0 . k 
 
3 - Na figura ilustrada, um disco de raio R = 0,8 
m, massa m= 3,0 kg está preso a um garfo 
ligado a um eixo horizontal fixado por dois 
mancais A e B. O disco gira com velocidade 
angular constante w1 = 5,0 rad/s em torno do 
eixo preso ao garfo; o garfo e o eixo AB giram 
com aceleração angular constante a2 = 2 rad/s
2; 
. Considera-se o sistema de eixos que passa 
pelo centro de massa do disco e é rigidamente 
ligado ao eixo do disco preso ao garfo. Para o 
instante em que a velocidade angular do garfo, 
atinge o valor w2 = 8,0 rad/s, o momento (de 
forças) transmitido ao disco através do garfo, 
expresso em N.m e com vetores em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: – 40,0 . i + 1,0 . j + 0,0 . k 
 
4 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. Para o instante em que a 
velocidade angular atinge o valor w = 180 rad/s, 
o momento angular, expresso em N.m e com 
vetores em negrito, é aproximadamente: 
 
R: 3,54.i+38880.k 
 
5 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. Para o instante em que a 
velocidade angular atinge o valor w = 180 rad/s, 
o momento (conjugado) motor, expresso em 
N.m e com vetores em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: 3,54.i 
 
6 - Um cilindro não homogêneode massa m = 
50 kg, centro de massa definido no instante 
ilustrado por CM(0,4;0,1;0), encontra-se 
apoiado em dois mancais: A(0;0;0) e B(0,7;0;0); 
todas as coordenadas então em metros. O 
sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se ligado ao 
eixo AB do sólido e com ele gira. O cilindro 
apresenta aceleração angular constante a = 10 
rad/s2 e no instante representado apresenta 
velocidade angular w = 50 rad/s. Alguns 
elementos da matriz de inércia são conhecidos: 
Ixx = 30 kg.m
2; Ixy = 15 kg.m
2 e Ixz = 10 
kg.m2. A reação dinâmica do mancal B 
(desprezar o peso), expresso em kN e com 
vetores indicados em negrito, é 
aproximadamente: 
 
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R: -53,7 . j – 35,5 . k 
 
7 - Um cilindro não homogêneo de massa m = 
50 kg, centro de massa definido no instante 
ilustrado por CM(0,4;0,1;0), encontra-se 
apoiado em dois mancais: A(0;0;0) e B(0,7;0;0); 
todas as coordenadas então em metros. O 
sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se ligado ao 
eixo AB do sólido e com ele gira. O cilindro 
apresenta aceleração angular constante a = 10 
rad/s2 e no instante representado apresenta 
velocidade angular w = 50 rad/s. Alguns 
elementos da matriz de inércia são conhecidos: 
Ixx = 30 kg.m
2; Ixy = 15 kg.m
2 e Ixz = 10 
kg.m2. O conjugado (momento de forças) que 
possui a direção axial, expresso em N.m, é 
aproximadamente: 
 
R: 300 
 
8 - Um rotor de massa m = 493 kg, com centro 
de massa pertencente ao eixo de rotação Ax, 
encontra-se apoiado em dois mancais: A(0;0;0) 
e B(1,4;0;0); todas as coordenadas então em 
metros. O sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se 
ligado ao eixo AB do sólido e com ele gira. O 
rotor apresenta aceleração angular 
constante a = 10 rad/s2 e no instante 
representado apresenta velocidade angular w = 
50 rad/s. Alguns elementos da matriz de inércia 
são conhecidos: Ixx = 9,86 kg.m
2; Ixy = 0,98 
kg.m2; Ixz = 0,75 kg.m
2 e Iyz = 0,57 
kg.m2. O esforço dinâmico (desconsiderar o 
peso próprio) exercido pelo mancal B, expresso 
em kN e com os vetores em negrito, é 
aproximadamente: 
 
 
R: 1,74 . j + 1,35 . k 
 
9 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 6,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos CM(x,y,z) com origem no centro de 
massa da placa e ligado à mesma. A placa 
possui aceleração angular constante a = 10 
rad/s2, conforme indicado na 
figura. O conjugado (momento) 
motor, expresso em N.m, é aproximadamente: 
 
R: 35,0 
 
10 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 6,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos CM(x,y,z) com origem no centro de 
massa da placa e ligado à mesma. A placa 
possui aceleração angular constante a = 10 
rad/s2, conforme indicado na figura. A reação 
dinâmica (desprezar o peso) no mancal A , 
quando a velocidade angular atinge w = 5 rad/s, 
 
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expressa em kN e com os vetores em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: -37,5 . i – 15,0 . k 
 
11 - A placa retangular homogênea de massa m 
= 10,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. Desprezar as dimensões dos mancais. 
Através de motor elétrico aplica-se na placa 
conjugado motor Cmotor = 12,0 N.m, conforme 
indicado. As reações dinâmicas dos mancais 
(desprezar o peso) quando a velocidade 
angular atinge ω = 5 rad/s, expressa em N, com 
vetores indicados em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: -37,5 . i – 15,0 . k 
 
12 - A placa quadrada homogênea de massa m 
= 20,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. O momento angular da placa em 
relação ao polo A, expresso em função da 
velocidade angular w é: HA = -
35.ω.i+60.ω.j . A reação dinâmica (desprezar 
o peso) no mancal A, quando a placa gira com 
velocidade angular w = 10 rad/s, expressa em 
N, e com vetores indicados em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: -1250 . i 
 
13 - A placa quadrada homogênea de massa m 
= 20,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. O momento angular da placa em 
relação ao polo A, expresso em função da 
velocidade angular w é: HA = -35.ω.i + 
60.ω.j . O conjugado (momento) motor quando 
a placa apresenta aceleração angular a = 5 
rad/s2 e velocidade angular w = 10 rad/s, 
expresso em N.m, é aproximadamente: 
 
 
R: 300 
 
 
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14 - O sistema ilustrado é composto por eixo 
ABCD, com mancais nos pontos A e D que 
garantem que o mesmo seja fixo. Duas barras 
BE e CF, de direções paralelas ao eixo z, foram 
soldadas ao eixo fixo ABCD, possuem a mesma 
massa m = 4,0 kg. Todas as dimensões 
indicadas na figura estão em milímetros (mm). 
O sistema descrito gira com velocidade angular 
20 rad/s. As reações dinâmicas nos mancais A 
e D, expressos em N e com os vetores em 
negrito, são aproximadamente: 
 
 
R: RA = - RD = 0,0 . i + 0,0 . j + 16,0 . k 
 
15 - A árvore de manivela ilustrada, montado 
com barra de espessura desprezível, possui 
massa m = 20 kg, gira em torno do eixo definido 
pelos mancais A e B com aceleração 
angular a = 2 rad/s2. O sistema de eixos 
CM(x,y,z) é solidário à árvore de manivela. 
Adotar g = 10 m/s2. Para o instante em que a 
velocidade angular atinge o valor w = 180 rad/s, 
a reação no mancal A, expressa em N e com 
vetores em negrito, é aproximadamente: 
 
R: -19440.k 
 
16 - Um cilindro não homogêneo de massa m = 
50 kg, centro de massa definido no instante 
ilustrado por CM(0,4;0,1;0), encontra-se 
apoiado em dois mancais: A(0;0;0) e B(0,7;0;0); 
todas as coordenadas então em metros. O 
sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se ligado ao 
eixo AB do sólido e com ele gira. O cilindro 
apresenta aceleração angular constante a = 10 
rad/s2 e no instante representado apresenta 
velocidade angular w = 50 rad/s. Alguns 
elementos da matriz de inércia são conhecidos: 
Ixx = 30 kg.m
2; Ixy = 15 kg.m
2 e Ixz = 10 
kg.m2. A reação dinâmica do mancal B 
(desprezar o peso), expresso em kN e com 
vetores indicados em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: 66,2 . j + 35,5 . k 
 
17 - Um rotor de massa m = 493 kg, com centro 
de massa pertencente ao eixo de rotação Ax, 
encontra-se apoiado em dois mancais: A(0;0;0) 
e B(1,4;0;0); todas as coordenadas então em 
metros. O sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se 
ligado ao eixo AB do sólido e com ele gira. O 
rotor apresenta aceleração angular 
constante a = 10 rad/s2 e no instante 
representado apresenta velocidade angular w = 
50 rad/s. Alguns elementos da matriz de inércia 
são conhecidos: Ixx = 9,86 kg.m
2; Ixy = 0,98 
kg.m2; Ixz = 0,75 kg.m
2 e Iyz = 0,57 
kg.m2. O conjugado (momento axial) motor, 
expresso em N.m e com os vetores em negrito, 
é aproximadamente: 
 
 
R: 98,6.i 
 
 
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18 - Um rotor de massa m = 493 kg, com centro 
de massa pertencente ao eixo de rotação Ax, 
encontra-se apoiado em dois mancais: A(0;0;0) 
e B(1,4;0;0); todas as coordenadas então em 
metros. O sistema de eixos A(x,y,z) encontra-se 
ligado ao eixo AB do sólido e com ele gira. O 
rotor apresenta aceleração angular 
constante a = 10 rad/s2 e no instante 
representado apresenta velocidade angular w = 
50 rad/s. Alguns elementos da matriz de inércia 
são conhecidos: Ixx = 9,86 kg.m
2; Ixy = 0,98 
kg.m2; Ixz = 0,75 kg.m
2 e Iyz = 0,57 
kg.m2. O esforço dinâmico (desconsiderar o 
peso próprio) exercido pelo mancal A, expresso 
em kN e com os vetores em negrito, é 
aproximadamente: 
 
R: -1,74 . j - 1,35 . k 
 
19 - A placa retangular homogênea de massa m= 10,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. Desprezar as dimensões dos mancais. 
Através de motor elétrico aplica-se na placa 
conjugado motor Cmotor = 12,0 N.m, conforme 
indicado. A aceleração angular da placa, 
expressa em rad/s2, é aproximadamente: 
 
R: 10,0 
 
20 - A placa quadrada homogênea de massa m 
= 20,0 kg possui eixo de rotação mantido fixo 
pelos mancais A e B. Adota-se o sistema de 
eixos A(x,y,z) com origem no mancal A e ligado 
à placa. O momento angular da placa em 
relação ao polo A, expresso em função da 
velocidade angular w é: HA = -35.ω.i + 
60.ω.j . A reação dinâmica (desprezar o peso) 
no mancal B, quando a placa gira com 
velocidade angular w = 10 rad/s, expressa em 
N, e com vetores indicados em negrito, é 
aproximadamente: 
 
 
R: -1750 . i 
 
MÓDULO 05 - EXERCÍCIOS 
 
1 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 kg, 
ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x com 
velocidade angular ω = 20 rad/s. As reações 
dos mancais são conhecidas: RA = 46.k [N] 
e RB = -46.k [N]. O balanceamento pode ser 
feito adicionando massas corretoras nos planos 
x = 0,15 m e x = 0,75 m, à distância 0,20 m do 
eixo de rotação, que por conveniência de 
soldagem das massas corretoras escolhe-se 
preferencialmente z1 = 0,20 m e z2 = -0,20 m. A 
massa corretora m1 localizada no plano corretor 
x = 0,15, expressa em kg, é aproximadamente: 
 
R: 0,86 
 
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2 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 kg, 
ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x com 
velocidade angular ω = 20 rad/s. As reações 
dos mancais são conhecidas: RA = 46.k [N] 
e RB = -46.k [N]. O balanceamento pode ser 
feito adicionando massas corretoras nos planos 
x = 0,15 m e x = 0,75 m, à distância 0,20 m do 
eixo de rotação, que por conveniência de 
soldagem das massas corretoras escolhe-se 
preferencialmente z1 = 0,20 m e z2 = -0,20 m. A 
coordenada (y) da massa m2 localizada no 
plano corretor x = 0,75, expressa em m, é 
aproximadamente: 
 
R: zero 
 
3 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 kg, 
ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x com 
velocidade angular ω = 20 rad/s. As reações 
dos mancais são conhecidas: RA = 46.k [N] 
e RB = -46.k [N]. O balanceamento pode ser 
feito adicionando massas corretoras nos planos 
x = 0,10 m e x = 0,80 m, à distância 0,20 m do 
eixo de rotação, que por conveniência de 
soldagem das massas corretoras escolhe-se 
preferencialmente z1 = 0,20 m e z2 = -0,20 m. A 
massa corretora m2 localizada no plano corretor 
x = 0,80, expressa em kg, é aproximadamente: 
 
R: 0,74 
 
4 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 kg, 
ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x com 
velocidade angular ω = 20 rad/s. As reações 
dos mancais são conhecidas: RA = 46.k [N] 
e RB = -46.k [N]. O balanceamento pode ser 
feito adicionando massas corretoras nos planos 
x = 0,10 m e x = 0,80 m, à distância 0,20 m do 
eixo de rotação, que por conveniência de 
soldagem das massas corretoras escolhe-se 
preferencialmente z1 = 0,20 m e z2 = -0,20 m. A 
coordenada (y) da massa m2 localizada no 
plano corretor x = 0,80, expressa em m, é 
aproximadamente: 
 
R: zero 
 
5 - O rotor de um motor elétrico, de massa m = 
50 kg, apresenta furos distribuídos à distância 
de 0,20 m do eixo de rotação, nos quais pode-
se adicionar massas corretoras. Esses furos 
são localizados em planos distantes 0,10 m de 
cada mancal. Sabe-se que o centro de massa 
pertence ao plano que divide o rotor em duas 
partes iguais. Com o rotor girando a 3000 rpm, 
as reações dos mancais, expressos em kN, 
são: RA = 7,0 . i e RB = -5,0 . j . A distância 
(rCM) do centro de massa ao eixo de rotação, 
expressa em m, é aproximadamente: 
 
R: 4.10-4 
 
6 - Um rotor cilíndrico é analisado com ajuda de 
uma máquina de balancear, devido ao 
comprimento do mesmo, opta-se por dois 
planos corretores. Ressalte-se que o termo 
“medir a vibração”, pode ter vários significados, 
pode-se medir deslocamentos, velocidades, 
4
 
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acelerações e até esforços. Nesse caso foram 
feitas as seguintes medidas de velocidades, 
decorrentes da vibração gerada pelo 
desbalanceamento. Com o desbalanceamento 
original: medição no plano corretor 1: 8,0 mm/s 
com fase 1800; medição no plano corretor 2: 
15,0 mm/s com fase 3050; Com a adição de 
massa no plano 1 (3,0 g na posição 
900): medição no plano corretor 1: 6,0 mm/s 
com fase 1200; medição no plano corretor 2: 9,0 
mm/s com fase 3550; Com a massa agora no 
plano 2 (3,0 g na posição 900): medição no 
plano corretor 1: 5,0 mm/s com fase 
590;medição no plano corretor 2: 7,0 mm/s com 
fase 2570; A massa corretora do plano 1, 
expressa em g, é aproximadamente: 
R: 20,4 
 
7 - Um rotor cilíndrico é analisado com ajuda de 
uma máquina de balancear, devido ao 
comprimento do mesmo, opta-se por dois 
planos corretores. Ressalte-se que o termo 
“medir a vibração”, pode ter vários significados, 
pode-se medir deslocamentos, velocidades, 
acelerações e até esforços. Nesse caso foram 
feitas as seguintes medidas de velocidades, 
decorrentes da vibração gerada pelo 
desbalanceamento. Com o desbalanceamento 
original: medição no plano corretor 1: 8,0 mm/s 
com fase 1800; medição no plano corretor 2: 
15,0 mm/s com fase 3050; Com a adição de 
massa no plano 1 (3,0 g na posição 
900): medição no plano corretor 1: 6,0 mm/s 
com fase 1200; medição no plano corretor 2: 9,0 
mm/s com fase 3550; Com a massa agora no 
plano 2 (3,0 g na posição 900): medição no 
plano corretor 1: 5,0 mm/s com fase 
590;medição no plano corretor 2: 7,0 mm/s com 
fase 2570; A massa corretora do plano 2, 
expressa em g, é aproximadamente: 
R: 3,09 
 
8 - Um rotor cilíndrico é analisado com ajuda de 
uma máquina de balancear, devido ao 
comprimento do mesmo, opta-se por dois 
planos corretores. Ressalte-se que o termo 
“medir a vibração”, pode ter vários significados, 
pode-se medir deslocamentos, velocidades, 
acelerações e até esforços. Nesse caso foram 
feitas as seguintes medidas de velocidades, 
decorrentes da vibração gerada pelo 
desbalanceamento. Com o desbalanceamento 
original: medição no plano corretor 1: 8,0 mm/s 
com fase 1800; medição no plano corretor 2: 
15,0 mm/s com fase 3050; Com a adição de 
massa no plano 1 (3,0 g na posição 
900): medição no plano corretor 1: 6,0 mm/s 
com fase 1200; medição no plano corretor 2: 9,0 
mm/s com fase 3550; Com a massa agora no 
plano 2 (3,0 g na posição 900): medição no 
plano corretor 1: 5,0 mm/s com fase 
590;medição no plano corretor 2: 7,0 mm/s com 
fase 2570; A posição da massa corretora no 
plano 1, expressa em graus, é 
aproximadamente: 
R: 81,9 
 
9 - Um rotor cilíndrico é analisado com ajuda de 
uma máquina de balancear, devido ao 
comprimento do mesmo, opta-se por dois 
planos corretores. Ressalte-se que o termo 
“medir a vibração”, pode ter vários significados, 
pode-se medir deslocamentos, velocidades, 
acelerações e até esforços. Nesse caso foram 
feitas as seguintes medidas de velocidades, 
decorrentes da vibração gerada pelo 
desbalanceamento. Com o desbalanceamento 
original: medição no plano corretor 1: 8,0 mm/s 
com fase 1800; medição no plano corretor 2: 
15,0 mm/s com fase 3050; Com a adição de 
massa no plano 1 (3,0 g na posição 
900): medição no plano corretor 1: 6,0 mm/s 
com fase 1200; medição no plano corretor 2: 9,0 
mm/s com fase 3550; Com a massa agora no 
plano 2 (3,0 g na posição 900): medição no 
plano corretor 1: 5,0 mm/s com fase 
590;medição no plano corretor 2: 7,0 mm/s com 
fase 2570; A posição da massa corretora no 
plano 2, expressa em graus, é 
aproximadamente: 
R: 150,4 
 
10 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 
kg, ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x 
com velocidade angular ω = 20 rad/s. As 
reações dos mancais são conhecidas: RA = 
46.k[N] e RB = -46.k [N]. O balanceamento 
pode ser feito adicionando massas corretoras 
nos planos x = 0,15 m e x = 0,75 m, à distância 
0,20 m do eixo de rotação, que por 
conveniência de soldagem das massas 
corretoras escolhe-se preferencialmente z1 = 
0,20 m e z2 = -0,20 m. A massa corretora 
m2 localizada no plano corretor x = 0,75, 
expressa em kg, é aproximadamente: 
 
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R: 0,86 
 
11 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 
kg, ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x 
com velocidade angular ω = 20 rad/s. As 
reações dos mancais são conhecidas: RA = 
46.k [N] e RB = -46.k [N]. O balanceamento 
pode ser feito adicionando massas corretoras 
nos planos x = 0,15 m e x = 0,75 m, à distância 
0,20 m do eixo de rotação, que por 
conveniência de soldagem das massas 
corretoras escolhe-se preferencialmente z1 = 
0,20 m e z2 = -0,20 m. A coordenada (y) da 
massa m1 localizada no plano corretor x = 0,15, 
expressa em m, é aproximadamente: 
 
 
R: zero 
 
12 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 
kg, ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x 
com velocidade angular ω = 20 rad/s. As 
reações dos mancais são conhecidas: RA = 
46.k [N] e RB = -46.k [N]. O balanceamento 
pode ser feito adicionando massas corretoras 
nos planos x = 0,10 m e x = 0,80 m, à distância 
0,20 m do eixo de rotação, que por 
conveniência de soldagem das massas 
corretoras escolhe-se preferencialmente z1 = 
0,20 m e z2 = -0,20 m. A massa corretora 
m1 localizada no plano corretor x = 0,10, 
expressa em kg, é aproximadamente: 
 
R: 0,74 
 
13 - O rotor desbalanceado de massa m = 80 
kg, ilustrado em anexo, gira em torno do eixo x 
com velocidade angular ω = 20 rad/s. As 
reações dos mancais são conhecidas: RA = 
46.k [N] e RB = -46.k [N]. O balanceamento 
pode ser feito adicionando massas corretoras 
nos planos x = 0,10 m e x = 0,80 m, à distância 
0,20 m do eixo de rotação, que por 
conveniência de soldagem das massas 
corretoras escolhe-se preferencialmente z1 = 
0,20 m e z2 = -0,20 m. A coordenada (y) da 
massa m1 localizada no plano corretor x = 0,10, 
expressa em m, é aproximadamente: 
 
R: zero