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Matema´tica
para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matema´tica para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2012
Matema´tica
para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema
Homogeˆneo
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Matriz
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Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Equac¸o˜es
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Sistema
Homogeˆneo
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Exemplo
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Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema
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Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema
Homogeˆneo
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Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es do tipo (*):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o conhecidas como um sistema de equac¸o˜es lineares de
“m” equac¸o˜es e “n” inco´gnitas.
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Uma soluc¸a˜o de (*)e´ uma n-upla de nu´meros (x1, x2, ..., xn)
que satisfac¸a simultaneamente todas as “m” equac¸o˜es.
Observac¸a˜o
Se bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m dizemos que o sistema e´
homogeˆneo.
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Equac¸o˜es
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Sistema
Homogeˆneo
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Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Uma soluc¸a˜o de (*)
e´ uma n-upla de nu´meros (x1, x2, ..., xn)
que satisfac¸a simultaneamente todas as “m” equac¸o˜es.
Observac¸a˜o
Se bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m dizemos que o sistema e´
homogeˆneo.
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Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
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Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Uma soluc¸a˜o de (*)e´ uma n-upla de nu´meros (x1, x2, ..., xn)
que satisfac¸a simultaneamente todas as “m” equac¸o˜es.
Observac¸a˜o
Se bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m dizemos que o sistema e´
homogeˆneo.
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Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Uma soluc¸a˜o de (*)e´ uma n-upla de nu´meros (x1, x2, ..., xn)
que satisfac¸a simultaneamente todas as “m” equac¸o˜es.
Observac¸a˜o
Se bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m dizemos que o sistema e´
homogeˆneo.
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Sistemade
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
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Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Sistema
Homogeˆneo
Associado
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Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Sistema
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Associado
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Exemplo
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Homogeˆneo
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Sistema
Homogeˆneo
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Sistema
Homogeˆneo
Associado
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Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Homogeˆneo
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
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Ampliada
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O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema Homogeˆneo Associado
O sistema de equac¸o˜es (**):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ chamado sistema homogeˆneo associado a (*).
Observac¸a˜o
A soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0) chama-se soluc¸a˜o trivial do sistema
homogeˆneo.
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ApolayaSistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Associado
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Ampliada
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Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Fuentes
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Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn

·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
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Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Ricardo
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Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Ricardo
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
·
·
xn
 =

b1
b2
·
·
bm

OU
A · X = B
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
Matema´tica
para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 ,
X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
Matema´tica
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Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
,
B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
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Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
Matema´tica
para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Sistema de Equac¸o˜es Lineares
onde
A =

a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn
 , X =

x1
·
·
xn
, B =

b1
·
·
bm

A e´ chamada a matriz dos coeficientes do sistema,
X e´ a matriz das inco´gnitas e
B e´ a matriz dos termos independentes.
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada por
Aa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm
 = [A B]
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada por
Aa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm
 = [A B]
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada por
Aa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm
 = [A B]
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Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada por
Aa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm

= [A B]
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada porAa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm
 = [A
B]
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Ricardo
Fuentes
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Matriz Ampliada
Ao sistema podemos associar a matriz ampliada do sistema,
dada por
Aa =

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm
 = [A B]
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema:

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Ricardo
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2

·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Ricardo
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O sistema: 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
Pode ser escrito na forma matricial seguinte:
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 ·
 x1x2
x3
 =
 14
5

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para
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Para resolver o sistema, consideramos a matriz ampliada.
Aa =
 1 4 3 12 5 4 4
1 −3 −2 5

Usando operac¸o˜es elementares, chegamos a 1 0 0 30 1 0 −2
0 0 1 2

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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Para resolver o sistema, consideramos a matriz ampliada.
Aa =
 1 4 3 12 5 4 4
1 −3 −2 5

Usando operac¸o˜es elementares, chegamos a 1 0 0 30 1 0 −2
0 0 1 2

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para
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Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Para resolver o sistema, consideramos a matriz ampliada.
Aa =
 1 4 3 12 5 4 4
1 −3 −2 5

Usando operac¸o˜es elementares, chegamos a 1 0 0 30 1 0 −2
0 0 1 2

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Ricardo
Fuentes
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :

x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Ricardo
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Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Fuentes
Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Ricardo
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Apolaya
Sistema de
Equac¸o˜es
Lineares
Sistema
Homogeˆneo
Associado
Matriz
Ampliada
Exemplo
Exemplo
Exemplo
que e´ a matriz ampliada do sistema soluc¸a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
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Sistema
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Ampliada
Exemplo
Matemática
Universidade Federal Fluminense - Niterói
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Sistema
Homogeˆneo
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Matemática
Universidade Federal Fluminense - Niterói
	Sistema de Equações Lineares
	Sistema Homogêneo Associado
	Matriz Ampliada
	Exemplo