Lista 2 - Gabarito

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Gabarito da 2ª Lista de Exercícios 
1. Admita que det A = 10, onde A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
ihg
fed
cba
. Ache: 
a. det (3.A) 
b. det (2.A-1) 
c. det (2.A)-1 
d. det 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
fic
ehb
dga
 
Solução. a. 270; b. 8/10; c. 1/80; d. -10 
2. Calcule m e n para que a matriz B = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
92
225
 seja a inversa da matriz 
A = .⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2−
22−
n
m
 
Solução. 
Para que B seja inversa de A, AB = BA = I, ou seja, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
92
225
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
10
01=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2−
22−
n
m
. Daí, 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
1=9+44−
0=18−2
0=22+110−
1=44−5
n
m
n
m
9=⇒ m e n = 5. 
3. Encontre a inversa de 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−32
01−4
002
. 
Resolução. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
101−
012−
00
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−30
01−0
001
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
00
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−32
01−4
001
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−32
01−4
002 2121
parapara
 
para parapara
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
137−
01−2
00
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−00
010
001
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
101−
01−2
00
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−30
010
001 2121
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−3−7
01−2
00
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001 21
 
Portanto, a inversa de
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−32
01−4
002
 é 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1−3−7
01−2
0021
. 
 
4. Calcule o valor de k para que a matriz ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
k
A
2
45
 não tenha inversa. 
Solução. 
A condição para que A não tenha inversa é que seu determinante seja igual à zero. 
Ou seja, 5k – 8 = 0 ⇒ k = 5
8 . 
5. Mostre que as matrizes 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
814
312
201
 e 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
116
104
2211
são inversíveis e que são 
inversas uma da outra. 
Solução. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
814
312
201
.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
116
104
2211
== 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
6. Encontre a inversa de 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
814
312
201
. 
Solução. 1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
7. Quando é uma matriz diagonal A=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
na
a
a
000
............
0...0
0...0
2
1
 inversível e qual é sua 
inversa? 
Solução. 1A− =
1
1
1
2
1
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 n
a
a
a
−
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
8. Calcular, pelo processo de triangularização, 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
435
231
712
det . 
Solução. 
12
1
1
435
231
712 LL ←
= 122
2
7
2
1
435
231
1
2 LLLx −← =
133 5
2
3
2
5
2
7
2
1
435
0
1
2
LLL
x
−←
− = 
25
2
2
2
27
2
1
2
3
2
5
2
7
2
1
0
0
1
2 LLx ←
−
− = 
233 2
12
27
2
1
10
6
2
7
2
1
0
10
1
2
52
LLL
xx
−←−
− = 
10
132
10
6
2
7
2
1
00
10
1
2
52
−
−xx 
O termo principal é .
10
132
10
13211 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−xx Logo, 
det A = .66
2
132
10
132
2
10
10
132
2
52 −=−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− xxx 
 
9. Dada a matriz A=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
315
120
312
 calcule a. adjA; b. detA; c. A-1 
Solução. a. 
5 6 7
5 21 2
10 3 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
; b. det A = 45; c. A-1 = 1
45
5 6 7
5 21 2
10 3 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
10. Seja x o valor do determinante 
1000
1100
3020
0112
−
−
−
−
 então x é igual a. 
Solução. 2x = . 
11. Se 
2 1
6 4
A
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e 
2( ) +3x+2f x x= − , calcule ( )detf A . 
Solução. 2(det ) (det ) +3(detA)+2=f A A= − -8. 
 
12. Resolver as equações: 
 
(a) 128
247
25
64
−=−
x
x
x
 
Solução. 
.212864
64610232)1420()710(6)44(4
247
25
64
=⇒−=−
−=+−=−++−+=−
xx
xxxxxxxxx
x
x
x
 
 
 (b) 7
7109
354
413
−=
+++ xxx
 
Solução. 
.176
62051155
)4540)(4()2728)(1()3035)(3(
7109
354
413
=⇒−=−−
−−=−−−−+
=−++−+−−+=
+++
xx
xxxx
xxx
xxx
 
13. Calcular o valor de k para que a matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
k
A
6
32
 não tenha inversa. 
Solução. A não terá inversa ⇔ det A = 0. Logo, A não terá inversa 
⇔ 2k –18 = 0 ⇔ k=9. 
 
14. Seja A= 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
561
413
012
 calcule a matriz adjunta. 
Solução. adjA =
5 5 4
19 10 8
19 11 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
. 
15. Seja a matriz A= 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
2
112
01
ba
c
. Sabendo que TA A= , Calcule o determinante 
da matriz A - 2A + I2, onde I é a matriz identidade de ordem 3. 
Solução. 2
4 2 0
2 2 0 1
0 1 3
A A I
−⎡ ⎤⎢ ⎥− + = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
16. Se a matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−+
5
52
x
xx
não é inversível, calcule o valor de x. 
Solução. x = -5. 
17. Para que valores reais de x a matriz 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
842
03
431
x
x
x
 é inversível? 
Solução. x = 1. 
18. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que 
B = P-1AP. Mostre que detA = detB se A e B são semelhantes. 
Solução. detB = det(P-1AP) = detP-1.detA. detP = det(P-1.P).detA = detI.detA = 
detA. 
19. A matriz A=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
200
020
00x
 é tal que o 4 2det xA = . Calcule o valor de x. 
Solução. 
4
4 4 4
0 0
10 16 0 det 64 .
2
0 0 4
x
A A x x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
20. Verdadeiro ou falso? Se det A = 1 então A-1 = A. 
Solução. Falso. Contra-exemplo 
2 1
1 1
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
21. Seja a matriz
1 0 2
1 2 4
A
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Calcule o determinante do produto de A pela sua 
transposta. 
Solução. 
5 7
7 21
tAA ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e seu determinante é igual a 56. 
22. Determine a solução da equação 
0
2
1
3
2
51
321
−−x = 0. 
Solução. x = 67/9. 
23. Dada a matriz 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, calcule o detA pelo método de Laplace. 
Solução. det A = 1(45-48) -2(36-42) +3(32-35) = 0. 
24. Escreva o determinante de 5 3 2
2 4 6
a b c
 e 
5 1
3 2
2 3
a
B b
c
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 um em função do outro. 
Solução. 
5 2 5 1
det 5 3 2 3 4 2 3 2 2det .
2 4 6 2 6 2 3
a b c a a
A b b B
c c
= = = =