Matrizes, Vetores, Equação da reta

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Universidade Estadual do Maranha˜o - UEMA
Departamento de Matema´tica e Informa´tica - DEMATI
Curso: Engenharia de Pesca
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Docente: Joa˜o Batista Coelho Junior
Discente:
1ª Avaliac¸a˜o
Questa˜o 1. Seja A =
 2 3
1 4
. Mostre que A2 − 6A+ 5I2 = 02×2.
Questa˜o 2. Para cada α ∈ R consideremos a matriz Tα =
 cosα −senα
senα cosα
. Mostre que
Tα · Tβ = Tα+β e que T−α = T ′α.
Questa˜o 3. Determine as inversas das matrizes, caso seja poss´ıvel:
a)
 2 −1
3 −2
 b)

0 −1 2
3 −2 −3
1 2 0

c)

1 1 −1
2 1 1
3 −1 1
 d)

1 0 1
1 1 0
0 2 1

Questa˜o 4. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A e´ invers´ıvel e A−1 = A′. Mostre que a
matriz A =
 12 −√32√
3
2
1
2
 e´ ortogonal. A matriz Tα da Questa˜o 2 e´ ortogonal?
Questa˜o 5. Calcule detA onde
a)A =

3 −1 5 0
0 2 0 −1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 b)A =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
 c)A =

3 0 0 0 0
19 19 0 0 0
−6 −pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 pi 5 6 −1

Questa˜o 6. Dada A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule |A23|, ∆23 e detA.
Questa˜o 7. Seja A =
 2 4
3 3
, encontre todos os valores de λ para que det(A− λI2) = 0.
Questa˜o 8. Mostre que
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a− b)(b− c)(c− a).
Questa˜o 9 (2,0). Dizemos que A e B sa˜o matrizes semelhantes se existe uma matriz P invers´ıvel
tal que B = P−1AP . Mostre que detA = detB se A e B sa˜o matrizes semelhantes.
Questa˜o 10. Dado o sistema linear

x + y − w = 0
x − z + w = 2
y + z − w = −3
x + y − 2w = 1
a) Calcule o posto da matriz dos coeficientes.
b) Calcule o posto da matriz ampliada.
c) Descreva a soluc¸a˜o deste sistema.
Questa˜o 11. Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos
termos independentes, bi, sa˜o todos nulos.
a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial.
Questa˜o 12. Demonstrar que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados de
um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
Questa˜o 13. Determinar a1, a2 ∈ R tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0,−4)
e ~w = (−4,−4, 14).
Questa˜o 14. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
Questa˜o 15. Dados os pontos A(3,m − 1,−4) e B(8, 2m − 1,m), determinar m de modo que a
distaˆncia entre os pontos A e B seja igual a
√
35.
Questa˜o 16. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m + 2) e´ pi
3
,
determinar o valor m.
2
Questa˜o 17. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α + 2,−5, 2) e ~c = (2α, 8, α), determinar o valor
de α para que o vetor ~a+~b seja ortogonal ao vetor ~c− ~a.
Questa˜o 18. Determine 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉, sabendo que ~u+~v+ ~w = ~0 e que ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3
e ‖~w‖ = √5.
Questa˜o 19. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ~u = 2~a+~b e ~v = ~b−~a,
sendo ~a = (3,−1,−2) e b = (1, 0,−3).
Questa˜o 20. Calcular a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v, sabendo que
‖~u‖ = 2√5, ‖~v‖ = 3 e 〈~u,~v〉 = 2√3.
Questa˜o 21. Para que valores de m os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2)
sa˜o coplanares?
Questa˜o 22. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m + 1,m,−1) determinam um
paralelep´ıpedo de volume 42. Calcular m.
Questa˜o 23. Dados ~u = (1, −3
2
, 1
2
), ~v = (6,−2,−4) e ~w = (1
7
, 2
7
, 3
7
), calcule ~u× (~v × ~w).
Questa˜o 24. Determinar m e n para que o ponto P (3,m, n) pertenc¸a a` reta s :

x = 1− 2t
y = −3− t
z = −4 + t
Questa˜o 25. Determinar o valor de n para que seja de pi
6
o aˆngulo entre as retas
r :
x− 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e s :
 y = nx+ 5z = 2x− 2
Questa˜o 26. Determinar as equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto A(2, 0,−1) e e´
simultaneamente ortogonal a` reta r :
y − 3
2
=
z + 1
−1 ;x = 1 e ao eixo x.
Questa˜o 27. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(1, 0,−2), B(2,−1,−6) e C(−4, 5, 2). Estabelecer as
equac¸o˜es parame´tricas da reta suporte da mediana do ∆ABC relativa ao lado BC.
Questa˜o 28. Calcule o aˆngulo entre os planos pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y − z + 1 = 0.
Questa˜o 29. Determine a e b, de modo que os planos pi1 : ax+by+4z−1 = 0 e pi2 : 3x−5y−2z+5 = 0
sejam paralelos.
Questa˜o 30. Determine o aˆngulo que a reta r :
x− 2
3
=
y
−4 =
z + 1
5
forma com o plano pi :
2x− y + 7z − 1 = 0.
3