Lista de Exercícios Cálculo 4

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UNIFEMM - CENTRO UNIVERSITA´RIO DE SETE LAGOAS
Disciplina: Ca´lculo de va´rias varia´veis
Prof.: Jose´ Jozelmo G. Vieira
Plano Tangente
QUESTA˜O 1. Detemine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especifi-
cado.
(a) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12).
(b) z = ex
2−y2 , (1,−1, 1).
(c) 2(x− 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 10, (3, 3, 5).
QUESTA˜O 2. (Fac¸a uma breve revisa˜o sobre planos e retas no seu caderno de GAAL.)
Uma reta e´ normal a` esfera em um ponto P , se ela for perpendicular ao plano tangente a`
esfera em P . Mostre que toda reta normal a` esfera x2 + y2 + z2 = r2 passa pelo centro da
esfera.
Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
QUESTA˜O 1. Calcular, usando a definic¸a˜o, a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) =
2x2 + 2y2 no ponto (1, 1) na direc¸a˜o do vetor v = (1, 1)
QUESTA˜O 2. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direc¸a˜o indicada
pelo aˆngulo θ.
(a) f(x, y) = xsen(xy), (2, 0), θ = pi/3.
QUESTA˜O 3. Determine a derivada direcional da func¸a˜o no ponto dado na direc¸a˜o do
vetor v.
(a) f(x, y) = ln(x2 + y2), (2, 1), v = (−1, 2).
(b) f(x, y) = arctg(xy), (1, 2), v = 5i + 10j.
(c) f(x, y, z) = (x+ 2y + 3z)3/2, (1, 1, 2), v = 2i− k.
QUESTA˜O 4. Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P (2, 8) em direc¸a˜o
ao ponto Q(5, 4).
QUESTA˜O 5. Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e a direc¸a˜o em
que isso ocorre.
(a) f(x, y) = y2/x, (2, 4)
(b) f(x, y) = sen(xy), (1, 0)
QUESTA˜O 6. A temperatura T em uma bola de metal e´ inversamente proporcional a`
distaˆncia ao centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2)
e´ de 120◦.
1
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1, 2, 2) em direc¸a˜o ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direc¸a˜o de maior crescimento na temperatura
e´ dada por um vetor que aponta para a origem.
QUESTA˜O 7. A temperatura em um ponto (x, y, z) e´ dada por
T (x, y, z) = 200ex
2−3y2−z2
em que T e´ medido em ◦C e x, y e z em metros.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o da temperatura no ponto P (2, 1, 1) em direc¸a˜o ao ponto
(3,−3, 3).
(b) Qual e´ a direc¸a˜o de maior crescimento da temperatura em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de crescimento em P .
Valores Ma´ximos e Mı´nimos e Pontos de Sela
QUESTA˜O 1. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos locais e pontos de sela da func¸a˜o.
(a) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4
(b) f(x, y) = (x2 + y2)ey
2−x2
QUESTA˜O 2. Em que direc¸a˜o a derivada direcional de f(x, y) = 2xy−x2 no ponto (1, 1)
e´ nula?
QUESTA˜O 3. Uma plataforma retangular e´ representada no plano xy por
0 ≤ x ≤ 15 e 0 ≤ y ≤ 10 .
A temperatura nos pontos da plataforma e´ dada por T (x, y) = x+ 3y. Suponha que duas
part´ıculas P1 e P2 estejam localizadas nos pontos (1, 1) e (3, 7), respectivamente.
(a) Se a part´ıcula P1 se deslocar na direc¸a˜o em que se esquentara´ mais rapidamente e
a part´ıcula P2 se deslocar na direc¸a˜o em que se resfriara´ mais rapidamente, elas se
encontrara˜o?
(b) Determine uma equac¸a˜o para a trajeto´ria da part´ıcula P1 representando-a sobre a
plataforma.
QUESTA˜O 4. Determine o ponto do plano x−y+z = 4 que esta´ mais pro´ximo do ponto
(1, 2, 3). Qual e´ a distaˆncia entre eles?
QUESTA˜O 5. Uma caixa de papela˜o sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3.
Determine as dimenso˜es que minimizem a quantidade de papela˜o utilizado.
QUESTA˜O 6. A base de um aqua´rio com volume V e´ feita de ardo´sia e os lados sa˜o
de vidro. Se o prec¸o da ardo´sia (por unidade de a´rea) equivale a quatro vezes o prec¸o do
vidro, determine as dimenso˜es do aqua´rio para minimizar o custo do material.
2
Gabarito: Pano tangente: 1. (a) 6x − 4y − z = 8; (b) 2x + 2y − z = −1; (c)
x+ y+ z = 11; 2. Para cada ponto (x0, y0, z0) sobre a esfera a equac¸a˜o da reta e´ da forma
t(x0, y0, z0), com t ∈ R. Derivadas direcionais e vetor gradiente: 1. 4
√
2; 2.
√
3; 3.
(a) 0; (b) 4
5
√
5
; (c) − 9
2
√
5
; 4. 2/5; 5. (a) 4
√
2, (−1, 1); (b) 1, (0, 1); 6. (a) 40
3
√
3
; (b); 7. (a)
1600
√
21
7
; (b) (2,−3,−1); (c) 400√14. Valores ma´ximos e mı´nimos e ponto de sela:
1. (a) Mı´nimo f(0, 0) = −4, pontos de sela em (±√2,−1); (b) Mı´nimo f(0, 0) = 0, ponto
de sela em (±1, 0); 2. (1, 0), ; 3. (a) Sim; (b) Reta parame´trica x = t+ 1 e y = 3t+ 1, com
0 ≤ t ≤ 3; 4. (5/3, 4/3, 11/3); 5. Base quadrada de lado 40 cm, altura 20 cm; 6. 3√V
2
,
1
2
V 3
√(
2
V
)2
, 2 3
√
V
2
.
3