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HACA39 - Cieˆncia e Tecnologia III Exerc´ıcios - Derivada e Integral Resumo - O que foi visto em sala de aula. Definic¸a˜o de Derivada: f ′(x) = y′ = dy dx = lim ∆x→0 ∆y ∆x (1) f ′′(x) = y′′ = d 2y dx2 = d dx [ dy dx ] Algumas propriedades: d dx [a f(x) + b g(x)] = a df(x) dx + b dg(x) dx (2) d dx [ N∑ n=1 an fn(x) ] = N∑ n=1 [ an dfn(x) dx ] (3) d dx [f(x) g(x)] = f(x) dg(x) dx + df(x) dx g(x) (4) df [u(x)] dx = df(u) du du(x) dx (5) Definic¸a˜o de Integral Definida:∫ x2 x1 f(x) dx = lim ∆x→0 ∞∑ n=1 [f(xn) ∆x] (6)∫ x2 x1 f(x) dx = g(x) |x2x1 = g(x2)− g(x1) sendo f(x) = dg(x) dx (7) Definic¸a˜o de Integral Indefinida:∫ f(x) dx = g(x) + C sendo f(x) = d dx [g(x) + C] (8) Algumas propriedades:∫ [a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx+ b ∫ g(x) dx (9)∫ [ N∑ n=1 an fn(x) ] dx = N∑ n=1 [ an ∫ fn(x) dx ] (10) ∫ x2 x1 f [u(x)]u′(x) dx = ∫ u(x2) u(x1) f(u) du = g(u) |u(x2)u(x1) = g[u(x2)]− g[u(x1)] pois, u′(x) = du dx (11) 1 Problemas - Utilize as ferramentas acima para resolver as questo˜es a seguir. Determine as derivadas das seguintes func¸o˜es: 1. y = x2 + x+ 1 2. y = sen(x) + cos(x) 3. y = e2x + 2x 4. y = sen(x) cos(x) 5. y = x2/(x+ 1) 6. y = x√ x+1 7. y = cos(2x) 8. y = ex 2 9. y = tg(x) = sen(x)/ cos(x) 10. y = cos2(x) Determine a integral definida das seguintes func¸o˜es para o intervalo [0, pi]: 1. y = sen(2x) 2. y = e2x + 2x 3. y = tg(x) cos(x) 4. y = sen(x) cos(x) 5. y = cos2(x) 6. y = 2x√ x2+1 Mais um fim de semana divertido :-) 2
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