3ª prova de Álgebra linear Prof. Maurício Sicre

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Prova 3. A´lgebra Linear. Professor: Mauricio
1. Quais das func¸o˜es indicadas sa˜o transformac¸o˜es lineares? Em cada caso justifique sua
resposta.
a) 푇 (푥, 푦) = (푥− 푦, 푥2 − 푦2) : R2 → R2
c) 푇
(
푎푥2 + 푏푥 + 푐
)
=
[
푎 푏
0 푐
]
: 푉 → 푊 , onde 푉 e´ o espac¸o dos polinoˆmios de grau
menor ou igual a 2 e 푊 e´ o espac¸o das matrizes de 2× 2 triangulares superiores.
2. Seja 푇 : ℝ3 → ℝ3, definido por 푇 (푥, 푦, 푧) = (푥 + 푧,−푦, 푥 + 푧).
a) Determine a matriz de 푇 em relac¸a˜o a` base canoˆnica
퐴 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
b) Determine a matriz de mudanc¸a de bases da base canoˆnica para a base 퐵 =
{(1, 1, 1), (1,−1, 1), (1, 0,−1)}.
c) Determine a matriz de 푇 na base 퐵 do item anterior.
d) As matrizes de 푇 nas bases 퐴 e 퐵, [푇 ]퐴 e [푇 ]퐵, sa˜o semelhantes? Justifique sua
resposta.
e) Determine o nu´cleo e a imagem do operador linear 푇 .
f) Verifique o Teorema do nu´cleo e da imagem.
g) 푇 e´ uma transformac¸a˜o linear injetora? E´ sobrejetora? E´ bijetora? Em cada caso
justifique sua resposta.
h) 푇 e´ um operador auto-adjunto? Justifique sua resposta.
3. Em cada caso, determinar, justificando sua resposta, se a matriz 퐴 e diagonaliza´vel.
Caso seja diagonaliza´vel, determinar uma matriz 푃 que diagonaliza 퐴 e calcular 푃−1퐴푃 .
a) 퐴 =
[
1 −3
3 1
]
.
b) 퐴 =
⎡⎣ 1 0 10 −1 0
1 0 1
⎤⎦.
c) 퐴 =
⎡⎢⎢⎣
3 0 0 0
2 1 0 0
−1 1 5 0
1 −2 1 −1
⎤⎥⎥⎦.
Para a matriz 퐴 do item c), determine todos os valores pro´prios, os subespac¸os pro´prios
e as multiplicidades geome´trica e alge´brica de cada valor pro´prio.
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