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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Questa˜o 1 (2,5 pontos) Vimos no EP8 que o mo´dulo |a−b| representa, na reta dos nu´meros reais, a distaˆncia entre os pontos a e b. Como exemplo, a expressa˜o |x− 2| representa a distaˆncia entre o valor da varia´vel x e o nu´mero real 2. (a) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a 5 seja menor que 7. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta condic¸a˜o. Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a 5 e´ menor do que 7 sa˜o os que satisfazem a inequac¸a˜o |x− 5| < 7. Estes valores podem ser representados como abaixo: (b) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a −1 seja menor que 4. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta condic¸a˜o. Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a −1 e´ menor do que 4 sa˜o os que satisfazem a inequac¸a˜o |x− (−1)| < 4. Esta inequac¸a˜o pode ser reescrita como |x+ 1| < 4. Estes valores podem ser representados como abaixo: (c) Deˆ a inequac¸a˜o (com mo´dulos) satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia a` origem seja maior ou igual a 1. Represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem esta condic¸a˜o. Soluc¸a˜o: Os valores de x cuja distaˆncia a` origem (isto e´, ao ponto 0) e´ maior ou igual 1 sa˜o os que satisfazem a inequac¸a˜o |x− 0| ≥ 1. Esta inequac¸a˜o pode ser reescrita como |x| ≥ 1. Estes valores podem ser representados como abaixo: Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 – 2017-2 2 (d) Represente, na forma de um intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o conjunto dos valores de x que satisfazem, simultaneamente, as condic¸o˜es dadas pelos treˆs itens anteriores. Represente geometricamente. Soluc¸a˜o: Vamos determinar, a partir da representac¸a˜o geome´trica das inequac¸o˜es obtidas, a intersec¸a˜o entre os conjuntos determinados pelas condic¸o˜es: |x− 5| < 7 |x+ 1| < 4 |x| ≥ 1 ∩ Assim, o conjunto dos valores de x que satisfazem, simultaneamente, as treˆs condic¸o˜es e´ dado por (−2,−1] ∪ [1, 3). (e) Represente, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |x− 2| < |x+4|. Como ferramenta para a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o, voceˆ pode utilizar a interpretac¸a˜o do mo´dulo como distaˆncia, dada no enunciado acima, apresentando uma repre- sentac¸a˜o geome´trica de sua soluc¸a˜o. Soluc¸a˜o: A expressa˜o |x − 2| denota a distaˆncia entre o ponto x e o ponto 2. A expressa˜o |x + 4|, que pode ser reescrita como |x− (−4)|, e´ a distaˆncia entre os pontos x e −4. Assim, a inequac¸a˜o |x− 2| < |x+ 4| e´ satisfeita por todos os valores de x cuja distaˆncia ao ponto 2 e´ menor que a distaˆncia ao ponto −4. Representando estes pontos geometricamente, temos De fato, vamos analisar as treˆs possibilidades: • Se x e´ tal que x ≥ 2, a distaˆncia do ponto x ao ponto 2 e´ dada por |x − 2| = x − 2 e a distaˆncia do ponto x ao ponto −4 e´ dada por |x+4| = x+4 = (x− 2)+ 6 = |x− 2|+6, que e´ maior do que |x − 2| (note que 6 e´ a distaˆncia do ponto 2 ao ponto −4). Desta forma, se x ≥ 2, x satisfaz a desigualdade dada. • Para x entre −4 e 2 (−4 < x < 2), observe que se x estiver a` direita do ponto me´dio entre 2 e −4, que e´ o ponto 2 + (−4) 2 = −1, i.e −1 < x < 2, x estara´ mais pro´ximo de 2 do que de −4. Portanto, se −1 < x < 2, x satisfaz a desigualdade dada. Ja´ se x estiver a` esquerda do ponto −1, i.e −4 < x < −1, x estara´ mais pro´ximo de −4 do que de 2. Portanto, se −4 < x < −1, x na˜o satisfaz a desigualdade dada. • Se x e´ tal que x ≤ −4, a distaˆncia do ponto x ao ponto −4 e´ dada por |x+4| = −x−4 e a distaˆncia do ponto x ao ponto 2 e´ dada por |x−2| = −x+2 = −x−4+6 = |x+4|+6, que e´ maior do que |x+ 4| = −x− 4. Desta forma, se x ≤ −4, x na˜o satisfaz a desigualdade dada. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 – 2017-2 3 • Se x = −1 a distaˆncia de x a −4 e´ igual a` distaˆncia de x a −4 (|x − 2| = | − 1 − 2| = | − 3| = 3 = |3| = | − 1 + 4| = |x+ 4|). Portanto, x na˜o satisfaz a desigualdade. Assim, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ (−1,+∞). A inequac¸a˜o tambe´m poderia ser resolvida utilizando as definic¸o˜es de |x − 2| e |x + 4|. Neste caso, dividir´ıamos a reta real em treˆs intervalos, R = (−∞,−4)∪ [−4, 2)∪ [2,∞), dependentes da traduc¸a˜o dos mo´dulos envolvidos e analisar´ıamos as traduc¸o˜es da inequac¸a˜o |x−2| < |x+4|, para cada intervalo, na˜o esquecendo de interceptar as soluc¸o˜es da cada inequac¸a˜o traduzida com o intervalo em questa˜o, pois a inequac¸a˜o original so´ e´ equivalente a` inequac¸a˜o resolvida, neste intervalo. Experimente resolver a inequac¸a˜o desta forma. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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