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3. Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 3.1 Vetores no plano ortogonal R2 Vetor: jyixv ou ),( yxv Módulo e direção do vetor AB com ),( AA yxA e ),( BB yxB . Módulo: 22 )()(|| ABAB yyxxAB Direção: AB AB xx yy )(tg Componentes de um vetor AB : OAOBAB Produto de um vetor por um escalar: 21 ... vkvkvk onde ),( 21 vvv e Rk Produto escalar: 2121. yyxxvu onde jyixu 11 e jyixv 22 . Produto escalar: cos.||.||. vuvu , com 1800 3.2 Vetores no espaço tridimensional R3 Vetor: kzjyixv ou ),,( zyxv Módulo: 222|| zyxv Módulo do vetor AB : 222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB , com ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB . Produto de um vetor por um escalar: 321 .... vkvkvkvk onde ),,( 321 vvvv e Rk Produto escalar: 212121. zzyyxxvu onde kzjyixu 111 e kzjyixv 222 . Produto escalar: cos.||.||. vuvu , onde é o ângulo entre os vetores u e v e 1800 . Produto vetorial: Dados ),,( 321 aaaa e ),,( 321 bbbb , kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba )()()( 122131132332 321 321 3.3 Vetores no Rn Adição de vetores: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv Subtração de vetores: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv Produto de um vetor por um escalar: nvkvkvkvk .... 21 onde ),...,,( 21 nvvvv e Rk Produto escalar: nn vuvuvuvu .... 2211 onde ),...,,( 21 nuuuu e ),...,,( 21 nvvvv 1. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine || AB . Resolução: O vetor AB tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Portanto, xA=3, yA=7, xB=5, yB=11. Como queremos calcular o módulo de AB , vamos utilizar a fórmula 22 )()(|| ABAB yyxxAB . O primeiro passo é substituirmos xA, xB, yA e yB pelos respectivos valores 22 )711()35(|| AB Vamos subtrair os valores que estão entre parênteses 22 )4()2(|| AB Elevando 2 ao quadrado e 4 ao quadrado, temos 164|| AB O próximo passo é somarmos 4 e 16 20|| AB Finalmente, vamos calcular a raiz quadrada de 20 47,4|| AB Podemos concluir, então, que o módulo de AB é igual a 4,47. 2. Determine o módulo de um vetor v cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está no ponto (-1, 1). Resolução: Inicialmente iremos representar os pontos (2, 3) e (-1, 1) em um sistema de eixos coordenados, também conhecido como plano cartesiano. Para representarmos o ponto (2, 3), vamos considerar, a partir da origem do plano cartesiano, duas unidades sobre o eixo-x, da esquerda para a direita e, a partir desse ponto, três unidades na direção do eixo-y, de baixo para cima. Em relação ao ponto (-1, 1), vamos considerar, a partir da origem, uma unidade da direita para a esquerda, pois a componente em relação a x é negativa e, a partir desse ponto, uma unidade para cima, na direção do eixo-y. Agora é só representar o vetor com origem em (2, 3) e extremidade em (-1, 1). O próximo passo é determinarmos as componentes a e b do vetor. Como a origem de v está no ponto (2, 3) e a extremidade no ponto (-1, 1), basta calcularmos (-1, 1) - (2, 3) (-1, 1) - (2, 3) Vamos subtrair as respectivas componentes de cada ponto, ou seja, -1-2 e 1-3 (-1-2, 1-3) o que resulta em (-3, -2) Logo, as componentes do vetor v são -3 e -2. Para calcularmos o módulo de v , vamos utilizar a fórmula 22|| bav Substituindo a e b por -3 e -2, temos 22 )2()3(|| v Elevando -3 e -2 ao quadrado 49|| v Somando 9 e 4 13|| v Calculando a raiz quadrada de 13 61,3|| v Portanto, o módulo de v é igual a 3,61. 3. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine a sua direção. Resolução: Para determinarmos a direção do vetor AB , basta encontrarmos o valor de . Vamos utilizar a fórmula AB AB xx yy )(tg Sabemos que xA=3, yA=7, xB=5, yB=11. Substituindo esses valores na fórmula acima, temos 35 711 )(tg Calculando 11-7 e 5-3, temos 2 4 )(tg Dividindo 4 por 2, temos 2)(tg Como queremos encontrar o valor de , precisamos calcular o arco cuja tangente é igual a 2, ou seja, vamos utilizar a função arctg 2arctg Com o auxílio de uma calculadora científica, temos que 43,63 Sendo assim, a direção do vetor AB é de 63,43°. Observe que, como conhecemos o módulo de AB , podemos obter o valor de utilizando seno ou cosseno. 4. Sejam os vetores kjiu 472 e kjiv 365 . Determine vu . . Resolução: O produto escalar vu . é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores u e v , ou seja, 3x46x75x2. vu . Fazendo as devidas multiplicações, temos 124210. vu que resulta em 64. vu . 5. O que são vetores equipolentes? Resolução: São vetores que, mesmo em diferentes locais de um sistema de eixos coordenados, possuem mesmo módulo, direção e sentido. Os vetores AB e CD , por exemplo, apresentados na figura abaixo são equipolentes. 6. Considere os vetores )3 ,2(u e )7 ,5(v . Determine a) vu b) vu 25 c) vu d) vu e) vu 32 Resolução: a) Para calcularmos o valor de vu , vamos somar as respectivas componentes de (2, 3) e (-5, 7), ou seja, vamos somar 2+(-5) e 3+7 (2, 3) + (-5, 7) = (2+(-5), 3+7) = (2-5, 3+7) = (-3, 10) Portanto, )10 ,3( vu . b) Inicialmente, precisamos obter os valores de u 5 e de v 2 )51 ,10(5 )3 ,2.(55 u u e )41 ,10(2 )7 ,5.(22 v v A soma vu 25 corresponde à soma de (10, 15) e (-10, 14) (10, 15) + (-10, 14) = (10+(-10), 15+14) = (10-10, 15+14) = (0, 29) Logo, )29 ,0(25 vu . c) A soma vu é dada por -(2, 3) + (-5, 7) = (-2, -3) + (-5, 7) = (-2+(-5), -3+7) = (-2-5, -3+7) = (-7, 4) Podemos concluir que )4 ,7( vu . d) Vamos agora calcular a diferença entre u e v , representada por vu . Podemos fazer )( vu (2, 3) + (-(-5, 7)) = (2, 3) + (-(-5), -7) = (2, 3) + (5, -7) = (2+5, 3+(-7)) = (2+5, 3-7) = (7, -4) Logo, )4- ,7( vu . e) Para calcularmos o valor de vu 32 , vamos calcular u 2 e v 3 e, em seguida, somar as respectivas componentes -2.(2, 3) + 3.(-5, 7) = (-2.2, -2.3) + (3.(-5), 3.7) = (-4, -6) + (-15, 21) = (-4+(-15), -6+21) = (-4-15, -6+21) = (-19, 15) Donde )15 ,19(32 vu . 7. Sendo )3 ,2(A e )5 ,8(B , determine as componentes de AB . Resolução: Sabemos que OAOBAB . Logo, para encontrarmos as componentes de AB , basta subtrairmos as componentes dos vetores OB e OA . Os vetores OA e OB são os vetores com origem no ponto O e extremidades nos pontos A e B, respectivamente. Sendo assim, OAOBAB corresponde a )3 ,2()5 ,8( AB Subtraindo as respectivas componentes, temos )35 ,28( AB o que resulta em )2 ,6(AB Portanto, as componentes do vetor AB são )2 ,6( . A figura abaixo apresenta os vetores OA , OB e AB e o vetor OP que é equipolente ao vetor AB e que tem ponto inicial na origem. 8. Calcule o módulo do vetor kjiv 572 . Resolução: A seguir temos a representação gráfica do vetor v . Para calcularmos o módulo de v , vamos utilizar a fórmula 222|| zyxv Vamos agora substituir as componentes x, y e z por 2, 7 e -5 222 )5(72|| v Elevando esses termos ao quadrado, temos 25494|| v O próximo passo é somarmos os termos que estão sob o radical 78|| v Calculando a raiz quadrada de 78, temos 83,8|| v que é o módulo de v . 9. Sejam )3 ,1 ,1(M e )1 ,2 ,3(N , determine o módulo de MN . Resolução: Graficamente, temos abaixo o vetor MN . Estamos trabalhando com vetores do R3. Por isso podemos encontrar || MN utilizando a fórmula 222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB Como as extremidades do vetor estão sendo chamadas de M e de N, podemos reescrever a fórmula acima como 222 )()()(|| MNMNMN zzyyxxMN Substituindo respectivamente xM, yM e zM por 1, 1 e 3 e xN, yN e zN por 3, 2 e 1, temos 222 )31()12()13(|| MN Vamos agora subtrair os termos que estão entre parênteses 222 )2()1()2(|| MN Agora iremos elevar 2, 1 e -2 ao quadrado 414|| MN Fazendo 4+1+4, temos 9|| MN Finalmente, calculando a raiz quadrada de 9, temos 3|| MN Sendo assim, o módulo de MN é igual a 3. 10. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor )6 ,3 ,4( v ? Resolução: O resultado da multiplicação de 3 pelo vetor )6 ,3 ,4( v é simples de ser obtido. Basta multiplicarmos 3 pelas componentes de v . )6 ,3 ,4(33 v )6x3 ,3)x(3 ,4x3(3 v )81 ,9 ,12(3 v Logo, v 3 é igual a )81 ,9 ,12( . 11. Calcule w 5 onde w é igual a )2 ,4 ,0 ,7 ,1( . Resolução: Vamos multiplicar cada componente de w por 5 para encontrarmos o vetor w 5 . )2 ,4 ,0 ,7 ,1(w )2 ,4 ,0 ,7 ,1(55 w )2x5 ,4x5 ,0x5 ,7x5 ),1(x5(5 w )01 ,02 ,0 ,53 ,5(5 w Logo, w 5 é igual a )01 ,02 ,0 ,53 ,5( . 12. Sejam )4 ,10 ,6(P e )2 ,5 ,2(Q , calcule v 2 onde PQv . Resolução: Inicialmente, precisamos calcular o valor das componentes de v . Como PQv e OPOQPQ , podemos fazer OPOQv É fácil perceber que )2 ,5 ,2(OQ e que )4 ,10 ,6(OP . Portanto )4 ,10 ,6()2 ,5 ,2( v Vamos subtrair as respectivas componentes )42 ,105 ,62( v Logo )2 ,5 ,4( v Agora que temos as componentes de v , podemos calcular v 2 multiplicando cada componente de v por 2 )2 ,5 ,4(22 v )2)x(2 ,5)x(2 ),4x(2(2 v )4 ,10 ,8(2 v Enfim, o valor de v 2 é )4 ,10 ,8( . 13. Considere os vetores )4 ,1 ,5 ,3(u e )6 ,2 ,0 ,4(v . Calcule vu 34 . Resolução: O valor de vu 34 pode ser facilmente calculado. Primeiro vamos substituir u e v por )4 ,1 ,5 ,3( e )6 ,2 ,0 ,4( , respectivamente )6 ,2 ,0 ,4(3)4 ,1 ,5 ,3(434 vu O próximo passo é multiplicarmos cada componente de )4 ,1 ,5 ,3(u por 4 e cada componente de )6 ,2 ,0 ,4(v por 3 )6x3 ,2x3 ,0x3 ,4x3()4x4 ,1x4 ,5x4 ,3x4(34 vu Que resulta em )81 ,6 ,0 ,12()61 ,4 ,02 ,12(34 vu Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor )1861 ,64 ,002 ,1212(34 vu Logo, )43 ,01 ,02 ,24(34 vu . Portanto a soma vu 34 é igual a )43 ,01 ,02 ,24( . 14. Determine o produto escalar vu . onde )7 ,3 ,5 ,1 ,2(u e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(v . Resolução: O produto escalar vu . pode ser calculado como segue nn vuvuvuvu .... 2211 . Em particular, o produto vu . com )7 ,3 ,5 ,1 ,2(u e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(v é igual a 1x73x38x52x15x2. vu Efetuando as multiplicações, temos 7940210. vu Somando os termos, temos 68. vu Logo, o produto escalar vu . é igual a 68. 15. Calcule o produto escalar entre os vetores )0 ,5(u e )6 ,0(v utilizando a expressão cos.||.||. vuvu . Resolução: A figura abaixo ilustra os vetores u e v . Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses vetores está sobre cada um dos eixos coordenados, temos 90cos.60.05. 2222vu Vamos calcular as potências e o valor de cos 90° 0.360.025. vu Efetuando as somas, temos 0.36.25. vu Calculando as raízes, temos 0.6.5. vu Finalmente vamos efetuar as devidas multiplicações 0. vu Ou seja, o produto escalar vu . é igual a 0. Observação: O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0. 16. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a e )1 ,4 ,3( b , calcule o produto vetorial ba . Resolução: Sabemos que 321 321 bbb aaa kji ba . Por isso vamos substituir os valores de a1, a2 e a3 por 4, 1 e 2 e os valores de b1, b2 e b3 por 3, 4 e -1, o que resulta em 143 214 kji ba ou, equivalentemente, kjiba )3x14x4())1(x43x2()4x2)1(x1( . Efetuando as multiplicações indicadas, temos kjiba )316())4(6()81( Vamos, agora, efetuar as somas e subtrações. Logo, teremos kjiba 13109 Sendo assim, o produto vetorial ba é igual a kji 13109 . Podemos também escrever esse produto como )13 ,10 ,9(ba . 17. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a e )1 ,4 ,3( b , calcule o produto vetorial ab . Resolução: Substituindo os valores de a1, a2 e a3 por 4, 1 e 2 e os valores de b1, b2 e b3 por 3, 4 e -1 na expressão kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba )()()( 122131132332 321 321 . Para, , temos: Donde kjiab )4x41x3()2x34x)1(()1x)1(2x4( . O próximo passo é calcular as multiplicações necessárias kjiab )163()64())1(8( Somando e subtraindo os termos necessários, temos kjiba 13109 Logo, o produto vetorial ab é igual a kji 13109 . Podemos também escrever esse produto como )13- ,10- ,9( ab . Observação: Note que o vetor ab tem o mesmo módulo e direção, mas sentido contrário ao vetor ba .
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