APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 Fábio Aparecido Simão 
simaofabiosimao@hotmail.com 
31 9 9825 6760 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2004
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Autorização integral, sem ônus, para utilização ampla, restrita na 
Unidade/Senac/MG CFP Belo Horizonte, por prazo 
indeterminado. 
 
Fábio Aparecido Simão 
 É VEDADA A CÓPIA SEM PRÉVIA AUTORIZAÇÃO EXPRESSA DO SENAC/ARMG. 
 
 
 
 
OPERAÇÕES FINANCEIRAS ........................................................................................................... 5 
CONCEITOS INICIAIS .................................................................................................................. 5 
FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................................ 6 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................................. 8 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ............................................................................................................ 9 
CÁLCULO DOS JUROS, DO MONTANTE E DO CAPITAL ..................................................... 9 
TAXAS DE JUROS ....................................................................................................................... 11 
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 11 
TAXA PROPORCIONAIS ........................................................................................................ 11 
TAXAS EQUIVALENTES ....................................................................................................... 12 
DESCONTO SIMPLES ................................................................................................................. 12 
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 12 
CONCEITOS INICIAIS ............................................................................................................ 13 
DESCONTO COMERCIAL ...................................................................................................... 13 
DESCONTO RACIONAL ......................................................................................................... 14 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 16 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 19 
CÁLCULO DO MONTANTE, JUROS E CAPITAL ................................................................... 19 
MONTANTE PARA PERÍODO NÃO INTEIRA......................................................................... 21 
TAXA DE JUROS ......................................................................................................................... 22 
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES..................................................... 22 
TAXA NOMINAL ..................................................................................................................... 23 
TAXA EFETIVA ....................................................................................................................... 23 
TAXA APARENTE E TAXA REAL ..................................................................................... 25 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 26 
RENDAS ............................................................................................................................................ 30 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 30 
CONCEITOS INICIAIS ................................................................................................................ 30 
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS .............................................................................................. 30 
RENDA POSTECIPADA .............................................................................................................. 31 
VALOR PRESENTE ................................................................................................................. 31 
VALOR FUTURO ..................................................................................................................... 34 
RENDA ANTECIPADA ............................................................................................................... 36 
VALOR PRESENTE ................................................................................................................. 36 
VALOR FUTURO ..................................................................................................................... 37 
RENDA DIFERIDA ...................................................................................................................... 39 
VALOR PRESENTE ................................................................................................................. 39 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 41 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ........................ 44 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 44 
CONCEITOS INICIAIS ................................................................................................................ 44 
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA ................................................................... 45 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ............................................................. 47 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 48 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS .................................................................................................... 50 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................... 52 
 
OPERAÇÕES FINANCEIRAS 
As operações financeiras são operações realizadas com o dinheiro objetivando sua evolução ao 
longo do tempo, podendo ser ativas ou passivas. 
As operações financeiras ativas são aplicações ou investimentos que visam rendimento. São 
exemplos de operações ativas as aplicações em letras de câmbio, CDB, cadernetas de poupança, 
ações, etc. 
As operações financeiras passivas são as que visam à captação de recursos. São exemplos de 
operações passivas os empréstimos, desconto de títulos, duplicatas e cheques, etc. 
Para que essas operações financeiras sejam executadas, são necessários cálculos adequados a cada 
situação e os estudos desses cálculos é o objeto da MATEMÁTICA FINANCEIRA, que tem 
como objetivo principal estudar a evolução do dinheiro em função do tempo. 
CONCEITOS INICIAIS 
Alguns conceitos são fundamentais para melhor compreensão da Matemática Financeira e seus 
cálculos. Assim, antes de iniciarmos nosso trabalho, vejamos alguns conceitos iniciais. 
CAPITAL OU VALOR PRESENTE (PV): é qualquer quantidade monetária envolvida em uma 
operação financeira, disponível na data focal zero; 
JUROS (J): é o custo do capital durante determinado período de tempo, isto é, a remuneração pela 
utilização de capital deterceiros. Podemos caracteriza-lo, ainda, em tese, pela reposição financeira 
das perdas sofridas com a desvalorização da moeda; 
TAXA DE JUROS (i): é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro de um 
período e o capital emprestado, ou ainda, a unidade de medida de juros. Pode ser simplesmente ser 
chamada de taxa e refere-se à taxa unitária acompanhada sempre do período de tempo a que se 
refere; 
PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO (n): É o intervalo de tempo necessário para que um capital 
aplicado a determinada taxa produza a remuneração desse capital, sendo conhecido também por 
período financeiro; 
MONTANTE OU VALOR FUTURO (FV): é a quantidade monetária resultante de uma aplicação 
de determinado capital a uma determinada taxa durante determinado intervalo de tempo, disponível 
em uma data futura. Assim, montante é a soma do capital ao juro; 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO: É a operação de adição do capital ao juro, sendo que existem 
dois tipos de regime capitalização: o Simples e o Composto; 
FLUXO DE CAIXA: É a representação gráfica da movimentação de recursos financeiros ( entrada 
e saídas de caixa) ao longo de um determinado período de tempo. 
 
FLUXO DE CAIXA 
O Fluxo de Caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em determinado 
período de tempo. O tempo é representado por um eixo horizontal, tendo acima as entradas e abaixo 
as saídas de caixa. As entradas e saídas são representadas por setas verticais. 
EXEMPLO 1 
A unidade de tempo, para maior facilidade de cálculo, deve ser escolhida, sempre que possível, de 
acordo com o período de capitalização dos juros. 
Muitos problemas de juros, montantes, e principalmente, de rendas têm sua resolução facilitada 
quando são representados por um diagrama defluxo de caixa. 
EXEMPLO 2 
Um investimento de R$ 10.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 15.000,00 após 6 meses 
EXEMPLO 3 
Um empréstimo de R$ 500,00 pelo qual o tomador pagará R$ 800,00 após 4 meses 
 
 
 
 
 
ENTRADAS +
SAÍDAS -
TEMPO n
R$ 10.000,00
R$ 15.000,00
MESES 
0
1 2 3 4 5 6
R$500,00
R$ 800,00
MESES 
4
3210
EXEMPLO 4 
Um investimento de R$ 30.000,00 pelo qual o investidor receberá o retorno em 3 parcelas 
trimestrais de R$ 18.000,00, vencendo a primeira parcela em seis meses da data da aplicação. 
 
EXEMPLO 5 
Uma série de depósitos de R$ 500,00, cada um feito no início de cada mês durante um ano numa 
caderneta de poupança, que rendeu, no final do ano, um montante de R$ 7.800,00. 
 
 
 
EXEMPLO 6 
Uma pessoa, durante seis meses, fez depósitos de R$ 250,00, numa caderneta de poupança, sempre 
no início de cada mês. Nos três meses seguintes fez três retiradas de R$ 600,00, também no início 
de cada mês, tendo o saldo zerado. 
 
R$ 18.000,00
R$ 30.000,00
TRIMESTRE
0
1 2 3 4
R$ 500,00
MESES 
0
R$ 7. 800,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
MESES 
0
R$ 250,00
R$ 600,00
1 2 3 4 5
6 7 8
EXERCÍCIOS 
Represente com um diagrama de Fluxo de Caixa as seguintes operações: 
1. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 após dois anos. 
2. Um empréstimo tomado de R$ 60.000,00 que será pago em dez parcelas mensais de R$ 
6.200,00, vencendo a primeira a trinta dias da data que o empréstimo foi cedido. 
3. A compra de um objeto, cujo preço à vista é R$ 3.000,00, em doze parcelas mensais de R$ 
2.600,00, vencendo a primeira na data da compra. 
4. Um empréstimo dado de R$ 90.000,00, que será recebido em duas parcelas: uma de R$ 
40.000,00 após sessenta dias e a outra de R$ 60.000,00 após 180 dias do recebimento. 
5. Depósitos de R$ 5.000,00 em uma aplicação financeira no fim de cada mês durante um ano , 
e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito. 
6. A compra de um equipamento, feita por uma empresa, em três parcelas mensais antecipadas 
de R$ 5.000,00 cada uma, prevendo que esse equipamento vai representar um lucro de R$ 
8.000,00 mensais no fim de cada mês, durante dois anos, a partir da data da compra. 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
O regime de capitalização simples ou regime de juros simples é aquele em que a taxa juros 
incide somente sobre o capital inicial, independente do número de períodos. 
 
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital 
inicial aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos 
períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Dessa 
forma, os juros incidem apenas sobre o capital inicial. 
CÁLCULO DOS JUROS, DO MONTANTE E DO CAPITAL 
Como vimos anteriormente, juros simples é aquele calculado somente sobre o capital inicial. Assim, 
dada uma taxa para certo período de tempo, os juros para esse período são calculados como PV . i, 
onde PV é o capital inicial aplicado e i é a taxa unitária de juros para o período. 
Se o capital for aplicado por mais outros períodos iguais, temos: 
J1 = J2 = J3 = Jn = PV . i, e os juros totais para os n períodos serão : 
J = PV i n 
OBSERVAÇÃO: O prazo de aplicação n deve ser expresso na mesma unidade de tempo a que 
se refere a taxa i considerada. 
EXEMPLO 1 
Determine os juros obtidos com a aplicação de um capital de R$ 1.250,53 durante 5 meses com taxa 
de 5,5% am.. 
SOLUÇÃO 
J = PV i n J = 1250,53 . 0,055 . 5 J = 343,90 
Para calcularmos o montante basta adicionar ao capital inicial o valor do juros resultante da taxa de 
juros a qual ele foi submetido : 
FV = PV + J. Como o juro é dado por PV.i.n, basta substituirmos na fórmula J por PV.i.n. 
FV = PV + ( PV .i.n ) 
FV = PV.( 1 + i.n ) 
 
EXEMPLO 2 
Quanto resgatou um cliente que aplicou R$ 3.780,00 em um banco durante 12 meses à taxa de 
1,99% am? 
SOLUÇÃO 
FV = PV.( 1 + i.n ) FV = 3780(1 + 0,0199 . 12) FV = 4.682,66 
A partir da fórmula do montante, podemos calcular o capital sendo conhecidos FV, i e n. 
FV = PV .(1+ i n) 
in1
FVPV
+
= 
EXEMPLO 3 
Determine o valor da aplicação cujo resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, 
sabendo-se que a taxa de aplicação foi de 1,77% ao mês. 
SOLUÇÃO 
FV = PV .(1+ i n) 
in
FVPV
+
=
1
 
30177,01
84248
⋅+
=PV PV = 80.000,00 
Para calcularmos i e n, basta manipularmos algebricamente as fórmulas do juro ou do montante, 
conforme o caso, sem necessidade de decorarmos mais fórmulas. 
EXEMPLO 4 
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 3.000,00 à taxa de 1,2%, rendendo R$ 108,00 
de juros? 
SOLUÇÃO 
J = PV i n 108 = 3000 . 0,012 . n n = 
360
108
 n = 3 
EXEMPLO 5 
Um capital de R$ 1.200,00 gerou um montante de R$ 1.920,00 durante 2 anos de aplicação. Qual 
foi a taxa de aplicação? 
FV = PV .(1+ i n) 1920 = 1200(1 + 2i) 
1200
192021 =+ i 
2i = 1,6 – 1 
2
6,0
=i i = 0,30 ou 30%aa. 
Caso haja interesse, as fórmulas são as seguintes: 
 
 
EM FUNÇÃO DOS JUROS EM FUNÇÃO DO MONTANTE 
PVn
Ji = 
PVi
J
n = 
n
PV
FV
i
1−
= 
i
PV
FV
n
1−
= 
 
TAXAS DE JUROS 
INTRODUÇÃO 
Como vimos anteriormente, taxa de juros é a unidade de medida através da qual os juros são fixados 
na remuneração de um capital num determinado período de tempo. 
No mercado financeiro, a palavra taxa é empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são 
abordados em várias situações diferentes. 
Assim, o aprendizado de taxas é fundamental o efetivo entendimento dos cálculos financeiros. O 
mercado adota nomenclaturas diversas para taxa de juros, como taxa nominal, taxa aparente, taxa 
equivalente, etc, buscando determinar precisamente o custo do dinheiro ao longo do tempo. 
TAXA PROPORCIONAIS 
 
Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual a razão entre os seus 
respectivos períodos. 
 
Dadas duas taxas(percentuais ou unitárias) i1 e i2, relativas, respectivamente, aos períodos n1 e n2, 
temos pela definição: 
2
1
2
1
n
n
i
i
= ⇒ i1.n2 = i2.n1 
EXEMPLO 1 
Verifique se as taxas 30% at e 60% as são proporcionais. 
SOLUÇÃO 
2
1
60
30
= ⇒ 30 .2 = 60 .1. 
Como as razões são iguais, 30% at e 60% as são proporcionais. 
EXEMPLO 2 
Calcule a taxa mensal proporcional a 45% aa. 
SOLUÇÃO 
1
1245
=
mi
 ⇒ im . 12 = 45 ⇒ 12
45
=mi 
im = 3,75% 
EXEMPLO 3 
Dada a taxa 10% ab, determinar as taxas proporcionais mensais, semestral, trimestral e anual. 
SOLUÇÃO 
MENSAL %5
2
10
1
210
=⇒=⇒= mm
m
ii
i
 
TRIMESTRAL %155,1.10
5,1
110
=⇒=⇒= tt
t
ii
i
 
SEMESTRAL %303.10
3
110
=⇒=⇒= ss
s
ii
i
 
ANUAL %606.10
6
110
=⇒=⇒= aa
a
ii
i
 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
Duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes quando aplicadas a um mesmo 
capital durante o mesmo intervalo de tempo, geram montantes (e juros) iguais. 
 
EXEMPLO 1 
Calcular os juros produzidos pela aplicação de R$ 3.000,00 durante um ano `a taxa de 4% am e à 
taxa de 12% at. 
SOLUÇÃO 
J1 =3000.0,04.12 
J1 = 1.440,00 
J2 =3000.0,12.1 
J2 = 1.440,00 
 
Como J1 é igual a J2, então 4%am e 12% at são equivalentes. 
Observe que 4%am e 12% at são também proporcionais. Assim, concluímos que: 
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são equivalentes. 
 
DESCONTO SIMPLES 
INTRODUÇÃO 
Se uma pessoa deve um dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de 
crédito, que é o comprovante dessa dívida (duplicata, fatura, cheque pré- datado, etc.). Todo título 
de crédito tem uma data de vencimento e caso o devedor resgate-o antecipadamente, em direito a 
um desconto. 
Antes de iniciarmos nosso trabalho com descontos, vejamos alguns conceitos são fundamentais para 
melhor entendimento do assunto. 
CONCEITOS INICIAIS 
DATA DE VENCIMENTO: É a data fixada no título de crédito para o seu pagamento; 
VALOR NOMINAL: É o valor indicado no título, ou seja, a importância a ser paga na data do seu 
vencimento; 
VALOR ATUAL: é o valor pago (ou recebido) antes do vencimento, com desconto; 
TEMPO OU PRAZO: É o período compreendido entre o dia da negociação do título e seu 
vencimento. 
 
Podemos definir desconto como: 
Abatimento feito no valor nominal de um a dívida, quando ela é negociada antes do seu 
vencimento, ou a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
DESCONTO COMERCIAL 
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora, o desconto equivalente ao juros simples, 
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa i pré-fixada. 
Seja Dc, o desconto comercial , N o valor nominal do título, Ac o valor atual comercial do título, n o 
período e i a taxa unitária de desconto, temos: 
Dc = N.i.n 
Ac = N – Dc. 
Substituindo Dc por N.i.n, temos: 
Ac = N - N.i.n 
Logo: 
Ac = N(1-in) 
 
EXEMPLO 1 
O portador de uma nota promissória de R$ 6.000,00, precisando de dinheiro, procurou um banco, 
60 dias antes do vencimento do título, a fim de trocá-lo. Sabendo que a taxa de desconto comercial 
foi 8 %, calcule: 
a) O valor do desconto feito pelo banco 
b) O determine a quantia recebida pelo cliente. 
SOLUÇÃO 
a) Dc = N.i.n Dc = 6000 . 0,08 . 2 Dc = 960 
b) Ac = N – Dc. Ac = 6000 – 960 Ac = 5040 
ou Ac = N(1-in) Ac = 6000(1-0,08.2) Ac = 6000 . 0,84 Ac = 5040 
 
EXEMPLO 2 
Uma duplicata no valor de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. 
calcule o prazo de antecipação do vencimento, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 
4%am. 
SOLUÇÃO 
Ac = N(1-in) 6072 = 6900(1-0,04n) n04,016900
6072
−= 
1 - 0,04n = 0,88 -0,04n = 0,88 – 1 
04,0
12,0
−
−
=n n = 3 meses 
EXEMPLO 3 
Uma duplicata de R$ 2.000,00 foi resgatada 2 meses antes do vencimento. Sabendo que o valor 
líquido recebido foi de R$ 1.900,00, qual a taxa de desconto? 
SOLUÇÃO 
Ac = N(1-in) 1900 = 2000(1 – 2i) 0,95 = 1 – 2i 2i = 0,05 
2
055,0
=i i = 0,025 ou 2,5% am. 
DESCONTO RACIONAL 
Chamamos de desconto racional ou por dentro, o desconto equivalente ao juro produzido pelo valor 
atual do título com uma taxa pré-fixada e durante o tempo correspondente. 
Seja Dr, o desconto racional, N o valor nominal do título, Ar o valor atual racional do título, n o 
período e i a taxa unitária de desconto, temos por definição que: 
Substituindo II em I, temos: 
Dr = (N-Dr).in Dr = Nin - Drin 
Dr + Drin = Nin Dr (1 + in) = Nin 
in
NinDr +
=
1
 III 
 
Substituindo III em II, temos: 
in
NinNAr +
−=
1
 
in
NininNAr +
−+
=
1
)1(
 
Dr = Ar .in
Ar = N – Dr
I
II
in
NinNinNAr +
−+
=
1
 
in
NAr +
=
1
 
EXEMPLO 4 
Resolva o EXEMPLO 1, adotando agora o desconto racional. 
SOLUÇÃO 
a)
in
NinDr +
=
1
 
2.08,01
2.08,0.6000
+
=rD 16,1
960
=rD Dr = 827,59 
b) Ar = N – Dr Ar = 6000 – 827,59 Ar = 5.172,41 
 
Comparando os resultados obtidos nos EXEMPLO 1 e EXEMPLO 4, verificamos que o 
DESCONTO RACIONAL É INFERIOR AO DESCONTO COMERCIAL. Por isso, a modalidade 
de desconto mais utilizada quando a instituição financeira oferece o desconto é o DESCONTO 
COMERCIAL. Porém, devemos ficar atentos para o fato de que o DESCONTO COMERCIAL só 
deve ser usado para períodos pequenos. 
EXEMPLO 5 
Um título de R$ 10.000,00 vai ser descontado 8 meses antes do vencimento em um banco que 
utiliza o desconto comercial à taxa de 13% am. Qual o valor do desconto e do valor atual do título? 
SOLUÇÃO 
Dc = N.i.n Dc =10000 . 0,13 . 8 Dc = 10.400. 
OBSERVE QUE O DESCONTO É MAIOR QUE O VALOR NOMINAL DO TÍTULO. 
EXEMPLO 6 
Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 243.375,00 45 dias antes de seu vencimento, à taxa 
de 45%aa. Qual o valor nominal da duplicata, sendo que o desconto adotado foi o racional? 
SOLUÇÃO 
45%aa = 3,75%am 45 dias = 1,5 meses 
in
NAr +
=
1
 
5,1.0375,01
243375
+
=
N
 N = 243.375 . 1,055250 
N = 257.064,84 
EXERCÍCIOS 
7. Uma aplicação de R$ 60.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 
12.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação, sabendo que a capitalização é 
simples? 
8. Aplicando a juros simples pelo prazo de 1 ano, um capital transformou-se em R$ 13.000,00. 
Esse montante foi reaplicado por mais 2 anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na 
primeira aplicação, obtendo-se um montante final de R$ 22.360,00. Calcular o valor e as 
taxas simples das duas etapas da aplicação. 
9. Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% aa e o segundo a 
40%aa. Calcular os capitais sabendo que somados montam R$ 500,00 e que os dois 
produziram em 1 ano juros totais de R$ 130,00. 
10. Em quantos anos um capital dobra a juros simples de 2,5% am? 
11. Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 117,6% aa, durante 5 meses deu 
retorno de R$ 161.665,00? 
12. Dada a taxa de 30%at, determinar as taxas proporcionais mensal, semestral, bimestral, 
quadrimestral e anual. 
13. Um capital de r$ 320.00,00 foi aplicado pelo prazo de 17 dias, tendo produzido o montante 
de R$ 334.688,00. A que taxa mensal esteve aplicado esse capital, sendo a capitalização 
simples? 
14. Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo, por dois meses, à taxa de 
12%am. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de imposto de renda, 
determine 
A) o valor dos juros B) o imposto de renda retido 
C) o valor líquido do resgate D) a taxa efetiva mensal de rendimento 
15. Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi aplicado à taxa 
anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse capital deveficar aplicado 
por um período de : 
A) 8 meses. B)) 10 meses. C) 1 ano e 2 meses. 
D) 1 ano e 5 meses. E) 1 ano e 8 meses. 
16. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira 
como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual 
a taxa mensal de juros simples utilizada? 
A) 6% B) 5% C) 4% 
D) 3% E) 2% 
17. Uma Nota Promissória no valor de R$ 5.300,00 foi comprada, numa financeira, por R$ 
5.000,00. Se a taxa de juros simples exigida pelo comprador foi de 18% ao ano, sob o 
critério do desconto racional, então o vencimento dessa Nota Promissória era de 
A)2 meses. B)2 anos. C)3 meses. 
D)3 anos. E)4 meses. 
18. Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes 
do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto simples 
racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
A) R$ 1.000,00 B) R$ 950,00 C) R$ 927,30 
D) R$ 920,00 E) R$ 900,00 
19. O desconto simples racional de um título descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes 
de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse 
um desconto simples comercial. 
A)R$ 43,20 B)R$ 676,80 C)R$ 720,00 
D)R$ 763,20 E)R$ 12.000,00 
20. Uma nota promissória no valor nominal de R$5.000,00 sofre um desconto comercial simples 
a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi 
resgatada três meses antes do seu vencimento? 
A) R$ 416,70 B) R$ 524,32 C) R$ 535,71 
D) R$ 555,00 E) R$ 600,00 
21. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é 
de R$800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples 
correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. 
A)R$ 960,00 B)R$ 666,67 C)R$ 973,32 
D)R$ 640,00 E)R$ 800,00 
22. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 
5% ao mês. 
A) 1,0 B) 0,6 C) 60 
D) 12,0 E)5,0 
23. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2001) Uma pessoa aplica R$4.000,00 por 7 
meses e R$6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se “n” é o número de 
meses que essa pessoa deve aplicar R$10.000,00 à mesma taxa de juros anterior para que o 
montante obtido seja igual ao da soma das duas aplicações iniciais, então “n” é igual a: 
A) 7 meses. B) 8 meses. C)10 meses. D)12 meses. 
24. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2000) Em uma aplicação financeira, recebeu-
se de juros correspondentes a 1/5 do valor aplicado, num período de 4 meses. Sabendo-se 
que o regime é de capitalização simples, a taxa de juros quadrimestral da aplicação é de: 
A) 16% B) 20% C) 5% D) 12% 
25. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2000) Determinada empresa tomou 
emprestado a quantia de R$ 20.000,00, a juros simples, pelo prazo de 4 anos e à taxa de 5 % 
a.a. .O valor a ser pago como juros será de: 
A) R$ 1.000,00 B) R$ 4.000,00 
C) R$ 4.310,13 D)R$5.000,00 
26. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2000) Taxa de juros em um determinado 
tempo significa a relação entre: 
A) juros e montante. B) capital e juros. 
C) capital e montante. D) desconto e montante. 
27. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2000) Podemos conceituar juros como sendo: 
A)a razão entre o montante e o capital. 
B)diferença entre o desconto e o capital. 
C)remuneração de um capital. 
D)valor retirado de uma operação de antecipação de pagamento. 
28. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2003) A taxa de juros simples de uma 
operação de desconto simples, onde o desconto foi igual a um décimo do valor do título, 
faltando 90 dias para vencer é de: 
A) i% = 3,03% ao mês. B) i% = 3,33% ao mês. 
C) i% = 3,57% ao mês. D) i% = 3,70% ao mês. 
29. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2003) Uma empresa compra uma moto por R$ 
6.290,50, para ser paga após 6 meses. Os juros cobrados nesta operação foram iguais a 15% 
do valor à vista da moto. A taxa de juros bimestral aplicada sob o regime de capitalização 
simples é de: 
A) i% = 2,5% ao bimestre. B) i% = 4,77% ao bimestre. 
C) i% = 5% ao bimestre. D) i% = 5,06% ao bimestre. 
30. Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas. 
A)3% ao trimestre B)27% ao quadrimestre C)5% a . m. 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Como vimos anteriormente, no regime de juros simples o percentual de juros incide apenas sobre o 
valor principal (capital inicial). 
Já no regime de Juros Compostos, o juro de cada período é calculado sempre com base no 
montante (capital + juros) do início de cada período. 
 
O regime de capitalização composta ou regime de juros compostos é aquele em a taxa juros 
incide, a partir do segundo período financeiro, sobre o montante relativo ao período anterior. 
 
CÁLCULO DO MONTANTE, JUROS E CAPITAL 
Assim, se um capital PV for aplicado a uma taxa i dada para certo período, os montantes 
constituídos no fim de cada um dos n períodos em que o capital ficar aplicado serão, 
respectivamente: 
FV1 = PV . (1+i) 
FV2 = FV1 . (1+i) = PV .(1+i) . (1+i) = PV . (1+i)2 
FV3 = FV2 . (1+i) = PV . (1+i)2 . (1+i) = PV . (1+i)3 
FVn = PV . (1+i)n 
 
Assim o montante no fim de n períodos é dado por: 
FV = PV . (1+i)n 
 
EXEMPLO 1 
Calcule o montante de um capital de R$ 1.500,00 aplicado à taxa de 10% am durante 3 meses. 
SOLUÇÃO 
FV= PV (1+I)n FV= 1.500 (1,10)3 FV= 1.500 (1,3310) FV= 1.996,50 
 
O valor do juro obtido pode ser calculado .pela diferença entre o montante e o capital: 
FV = PV + J J = FV – PV 
 
EXEMPLO 2 
Calcule o valor do juro na aplicação do exemplo 1 
SOLUÇÃO 
J = FV – PJ J= 1.996,50 –1.500,00 J= 496,50 
 
 
O capital pode ser determinado a partir da fórmula do montante: 
FV = PV . ( 1 + i )n 
ni
FVPV )1( += 
 
EXEMPLO 3 
Ao final de dois anos, um cliente deverá pagar R$2.000,00 referente ao valor de um empréstimo 
mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% am. Qual valor emprestado? 
SOLUÇÃO 
PV= FV.(1+i)-n PV= 2.000(1,04)-24 PV=2.000.0,39012 PV=780,24 
 
O fator (1+i)n é chamado de fator de capitalização e o fator (1+i)-n é chamado de fator de 
descapitalização e ambos são encontrados em tábuas financeiras para vários valores de i e n. 
A Taxa pode ser determinada a partir da fórmula correspondente: 
FV= PV (1+i)n ( )ni
pv
fv
+= 1 
n i
pv
fv
+= 1 1−= n
pv
fvi 
 
EXEMPLO 4 
Um investidor aplicou R$ 32.000,00 em títulos que lhe proporcionarão um resgate de R$ 39.735,50 
após 90 dias de explicação. A que taxa mensal de juros composto está aplicado o seu capital? 
SOLUÇÃO 
1−= n
pv
fvi 1
000.32
5,735.39
3
−= −i 
3 1...24173,1 −=i i= 1,07484 -1 
 i = 0,07484 ou 7,48% am 
 
O período também é determinado a partir da fórmula do montante 
FV= PV (1+i)n ( )ni
pv
fv
+= 1 
( )i
pv
fv
n
+






=
1log
log
 
 
EXEMPLO 5 
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43. Pode ser liquidado em um único pagamento de 
R$42.542,37, sabendo-se que a taxa contratada é de 3%. 
SOLUÇÃO 
( )i
pv
fv
n
+






=
1log
log
 ( )03,1log
43,278.24
37,572.42log 





=n 
01284,0
24391,0
=n n= 19 meses 
 
MONTANTE PARA PERÍODO NÃO INTEIRA 
Quando o número de períodos em que o capital fica emprestado não é inteiro, existem duas formas 
de capitalização para os juros correspondentes à parte não inteira do período: 
• Pela convenção linear, usando a capitalização simples; 
• Pela convenção exponencial, usando a capitalização composta. 
Quando o cálculo do juros da parte inteira é feito na capitalização composta e da parte não 
inteira é feita pela capitalização simples, diz-se que o montante correspondente foi calculadocom 
capitalização mista. 
 
EXEMPLO 6 
Calcular o montante do capital de R$150.000,00 aplicados a 8,4%am., durante seis meses e 17 dias, 
sendo: 
a) a capitalização composta 
b) a capitalização mista 
SOLUÇÃO 
a) 17 dias = 56667,0
30
17
= 
FV = ( ) 56667,6084,1000.150 FV= 254.751,58 
 
b) ( ) ( )imiPVFV n ++= 1.1 
( ) ( )5667,0.84,01.084,1000.150 6 +=FV 
( )( )04760,1.62247,1000.150=FV 
36,954.254=FV 
 
Onde n é a parte inteira e m a 
parte não inteira. 
TAXA DE JUROS 
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
Os conceitos de taxas proporcionais e equivalentes para a capitalização compostas são os mesmos 
da capitalização simples. 
Como vimos, na capitalização simples, taxas proporcionais são taxas equivalentes. Será que o 
mesmo acontece na capitalização composta? Vejamos o que acontece no exemplo abaixo. 
EXEMPLO 7 
Três investidores A,B e C, tinham cada um, R$10.000,00 para aplicar. O investidor A aplicou a 
24% aa, B aplicou a 12% as e C aplicou a 2% am. Quais os montantes de cada um dos três 
investidores depois de decorrido um ano? 
SOLUÇÃO 
Investidor A: ( ) 00,400.1224,1.000.10 1 ==FV 
Investidor B: ( ) 00,544.1212,1.000.10 2 ==FV 
Investidor C: ( ) 42,682.1202,1.000.10 12 ==FV 
Nota-se que, apesar das taxas 24% aa, 12% as e 2% am serem duas a duas proporcionais, quando 
aplicadas a capitais iguais, por períodos iguais, produziram montantes diferentes. É interessante 
notar, ainda, que quanto maior o número de capitalizações ocorridas no período maior o montante. 
EXEMPLO 8 
Calcule o montante relativo a um capital de R$1.500,00 empregado durante um ano à taxa de:a) 
1,5% am b) 4,5% at 
SOLUÇÃO 
a) ( ) 43,793.1015,1.500.1 12 ==FV 
b) ( ) 78,788.1045,1.500.1 4 ==FV 
Novamente observamos que te um mesmo capital aplicado à taxas proporcionais, durante o mesmo 
prazo, gera montantes diferentes. 
Assim concluímos que: 
EM CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, TAXAS PROPORCIONAIS NÃO SÃO 
EQUIVALENTES 
 
Então, como calcular taxas equivalentes na capitalização composta? 
Pela definição de taxas equivalentes, temos: 
( ) 111 1 niPVFV += e ( ) 222 1 niPVFV += onde FV1 = FV2 
Assim temos: 
( ) 111 niPV + = ( ) 221 niPV + 
( ) 111 ni+ = ( ) 221 ni+ 
 
EXEMPLO 9 
Qual a taxa mensal equivalente a 15% at? 
SOLUÇÃO 
( ) 111 ni+ = ( ) 221 ni+ (1 + im)3 = (1,15)1 
im = 115,13 − im =1,0477 -1 im = 0,0477 
im = 4,77%am. Assim, 4,77%am e 15% at são equivalentes. 
TAXA NOMINAL 
Uma forma de expressar a taxa, muito usada no mercado financeiro, é: 
Juros de 60% aa, capitalizado mensalmente; 
Taxa de 16% aa capitalizado semestralmente, etc. 
Tais enunciados caracterizam o que chamamos de taxa nominal. 
 
Taxa Nominal é uma taxa referente a um período diferente do período de capitalização. A 
taxa nominal normalmente tem, geralmente, periodicidade anual e aparece em contratos 
financeiros. 
 
Para resolvermos problemas com taxas nominais, adotamos, que a taxa por período de capitalização 
seja proporcional à taxa nominal. 
EXEMPLO 10 
Qual o montante de um capital de R$5.000,00 ao final de 2 anos, com juros de 24% ao ano 
capitalizados trimestralmente? 
SOLUÇÃO 
4
24
=it = 6%at e 2 anos = 8 trimestres 
( )806,1000.5=FV FV = 7.969,24 
Apesar da taxa nominal ser muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios, ela 
não é utilizada nos cálculos, por não corresponder, de fato, o ganho/custo financeiro do negócio. 
TAXA EFETIVA 
É a taxa correspondente, de fato, ao ganho/custo financeiro da operação financeira. 
 
Toda taxa cuja unidade de tempo é inadequado período de capitalização dos juros é 
uma taxa efetiva. 
EXEMPLO 11 
A caderneta de poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% aa capitalizados 
mensalmente. 
a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela caderneta de poupança? 
b) Qual a taxa efetiva mensal? 
c) Qual a taxa efetiva anual? 
SOLUÇÃO 
a) 6% a.a 
b) am%5,0
12
6
= 
c) ( ) ( )112 11 iaim +=+ ( ) 10005,1 12 −=ia 
ia = 6,17% a.a 
 
Outra situação comum envolvendo taxa nominal e efetiva é quando na operação financeira 
existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que oneram o pagamento de juros. Esses e 
outros artifícios são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem 
maiores ou menores, conforme a conveniência. 
EXEMPLO 12 
Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar após três meses com juros de 18% 
aa capitalizados mensalmente. Na data da liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 
2,5% sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador? 
SOLUÇÃO 
amim %5,1
12
18
== Tx. serviço: 10.000 . 0,025 = 250,00 
Valor efetivo do empréstimo : 10.000 – 250,00 = 9.750 
( )3015,1000.10=FV = 10.456,78 (Pagamento final) 
Taxa efetiva mensal: 1
750.9
78,456.10
3
−=i i = 2,36%am 
Taxa efetiva anual: ( ) 10236,1 12 −=ia ia = 32,30% a.a 
 
EXEMPLO 13 
Um industrial pediu um empréstimo de R$250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. 
No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou antecipadamente, 22% de juros, conforme o 
contrato. 
a) Quanto pagou de juros? 
b) Qual a quantia efetivamente liberada? 
c) Considerando a quantia liberada como empréstimo real e o pagamento final de R$250.000,00 
pago 6 meses após o empréstimo. Qual a taxa efetiva paga nesse período? 
SOLUÇÃO 
a) 250.000 . 0,22 = 55.000 
b) 250.000 – 55.000 = 195.000 
c) 1
000.195
000.250
−=i im=28,21% 
TAXA APARENTE E TAXA REAL 
Num ambiente inflacionário é preciso muito cuidado nas operações financeiras, pois muita gente 
confunde taxa efetiva com taxa real. 
Taxa Aparente é que vigora nas operações sem levar em consideração a inflação do período 
Assim, se a inflação for nula, a taxa aparente é a efetiva. 
Taxa real é a taxa aparente, I a taxa de inflação e r, a taxa, temos: 
( ) )1.(11 rIa ++=+ 
EXEMPLO 14 
Os funcionários de uma empresa receberam um aumento de 25%. Sabendo que a inflação no 
mesmo período foi de 20%, qual o aumento real recebido pelos funcionários? 
SOLUÇÃO 
( ) )1.(11 rIa ++=+ )1.(20,125,1 r+= 
r+= 1
20,1
25,1
 104167,1 −=r 
04167,0=r ou %17,4 
 
EXEMPLO 15 
Qual deve ser a taxa aparente correspondendo a uma taxa real de 0,8%am e uma inflação de 20% no 
mesmo período? 
SOLUÇÃO 
( ) )1.(11 rIa ++=+ 20,1.008,11 =+ a 
1+a = 1,2096 a = 1,2096 - 1 
2096,0=a ou 20,96% 
EXEMPLO 16 
Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente 
foi de 25% e o ganho real de 8,7%. Qual a inflação no período? 
SOLUÇÃO 
( ) )1.(11 rIa ++=+ ( ) )087,1.(125,1 I+= 
087,1
25,11 =+ I %15=I 
 
EXERCÍCIOS 
31. Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 25% ao ano? 
A) 11,40% B) 11,50% C) 11,60% 
D) 11,70% E) 11,80% 
32. Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de 
capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação 
serão 
A)R$ 98,00 B)R$ 101,00 C)R$ 110,00 
D)R$ 114,00 E)R$ 121,00 
33. Alcebíades tomou um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros mensais de 10%. Dois meses 
depois, Alcebíades pagou R$ 1.500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. 
Quanto Alcebíades pagou de juros pelo empréstimo? 
A) R$ 1.500,00 B) R$ 600,00 C) R$ 843,00 
D) R$ 150,00 E) R$ 633,00 
34. Um cliente vai a um banco e aplica a quantia de R$ 2.000,00, à taxa de juros compostos de 
10% ao mês. No final de 1 ano, ele receberá os juros de 
A)R$ 2.200,00 B)R$ 4.276,00 C)R$ 5.726,00 
D)R$ 6.276,00 E)R$ 7.825,00 
35. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em uma instituição de crédito que paga 10 % ao mês, 
no regime de capitalização composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.310,00, o período em 
que o capitalesteve aplicado foi de 
A)2 meses. B)3 meses. C)4 meses. 
D)5 meses. E)6 meses. 
36. Uma pessoa deseja comprar um imóvel. Para isso ela deposita a quantia de R$ 16.850,00 
numa aplicação financeira, à taxa de juros compostos de 20 % ao ano capitalizados 
semestralmente. Em 6 anos, essa pessoa terá o montante, desconsiderando-se os centavos, de 
A)R$ 29.841,00 B)R$ 45.000,00 C)R$ 50.297,00 
D)R$ 52.882,00 E)R$ 55.000,00 
37. Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao 
período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear 
para cálculo do montante. 
A) 150% B) 157,74% C) 158,4% D) 160% E) 162% 
38. Obter a taxa anual equivalente à taxa mensal de 5%, juros compostos, com aproximação de 
uma casa decimal. 
A)60,0% B)69,0% C)74,9% 
D)77,2% E)79,6% 
39. Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. 
Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até 
centésimos? 
A) 26,82% B) 26,53% C) 26,25% 
D) 25,97% E) 25,44% 
40. Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros 
de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do 
capital inicial, usando a convenção linear? 
A)46,11% B)48,00% C)41,85% 
D)44,69% E)50,36% 
41. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com 
capitalização semestral. 
A) 8,20% B) 8,05% C) 8,10% 
D)8,00% E) 8,16% 
42. Uma empresa aplica R$ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa 
que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: 
A) 4,60% B) 4,40% C) 5,00% 
D) 5,20% E) 4,80% 
43. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral 
de: 
A) 60% B) 65,65% C) 68,92% 
D) 72,89% E) 84,48% 
44. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2001) Um título rende juros de 6% a.a. com 
capitalização semestral. A taxa efetiva anual de juros é igual a: 
A)6,09% a. a. B)6,15% a. a. 
C)6,27% a. a. D)6,31% a.a. 
45. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2001) O valor a ser aplicado hoje para que se 
aufiram R$6.000,00 de juros ao fim de 5 anos com a taxa de juros composta de 12% a.a. é 
igual a: 
A)R$6.850,36 B)R$7.870,49 
C)R$8.530,25 D)R$9.150,38 
46. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2000) Uma aplicação financeira de 
R$2.500,00, no prazo de sessenta dias, calculada à taxa de 2% ao mês, no regime de 
capitalização composta, terá como montante: 
A) R$ 2.600,00 B) R$ 2.601,00 
C) R$ 2.550,00 D) R$ 2.650,00 
47. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2003) Um empréstimo é obtido sob o regime 
de capitalização composta, a uma taxa de juros trimestral de 9,54%. Se os juros cobrados 
são iguais a 1/5 do valor do empréstimo, o tempo de duração deste é: 
A) 189 dias. B) 2,45 trimestres 
C) 2 meses. D) 0,5 ano. 
48. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2003) O tesoureiro de uma empresa decidiu 
realizar uma aplicação financeira de R$ 10.000,00 para ser resgatada ao final de 15 meses, à 
taxa nominal dos juros de 18% ao ano. O valor a ser resgatado no final do período, se 
considerarmos a capitalização dos juros mensal, anual e ao final do contrato, 
respectivamente é de: 
A)R$ 14.658,74; R$ 14.587,65 e R$ 14.375,00 
B)R$ 13.568,65; R$ 13.498,25 e R$ 13.275,00 
C)R$ 12.502,32, R$ 12.298,51 e R$ 12.250,00 
D)R$ 11.494,32; R$ 11.502,58 e R$ 11.150,00 
49. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de 10% am produziu o montante de R$ 
31.384,28 no fim de um ano. Qual é a taxa semestral capaz de fazer esse mesmo capital 
produzir esse mesmo montante nesse mesmo intervalo de tempo? 
50. Calcule: 
A)A taxa bimestral equivalente a 15%at 
 
B) A taxa efetiva de 24%aa capitalizado 
trimestralmente 
C) A taxa anual equivalente a 2%am D) a taxa mensal equivalente a 60%aa 
E) A taxa diária equivalente a 10%am 
 
51. Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital unitário aplicado a uma 
taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. 
A) 1,54 B) 1,7024 C) 2,7024 
D) 54% E) 70,24% 
 
RENDAS 
INTRODUÇÃO 
É muito comum fazermos um investimento depositando todos os meses um determinado valor 
numa poupança ou adquirirmos algum bem pagando-o em prestações mensais. 
Nos dois casos temos operações financeiras que envolvem conjuntos de capitais disponíveis em 
datas diferentes. Essas séries (ou conjunto) de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em 
datas diferentes são chamados de rendas. As rendas são mais conhecidas como séries de pagamento. 
Rendas são uma sucessão, série ou conjunto de depósitos ou prestações, em épocas diferentes 
que objetivam a formação de um capital futuro ou pagamento de uma dívida atual. 
 
CONCEITOS INICIAIS 
TERMO – cada um dos pagamentos da renda. Também chamado de prestação. A notação adotada 
para termo é PMT (payment) 
PERÍODOS DA RENDA – são os intervalos de tempo entre o vencimentos de dois pagamentos 
consecutivos. A notação adotada será n. 
VALOR PRESENTE OU ATUAL É a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, 
calculados numa data dada anterior ou datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa 
fixada. A notação adotada será PV. 
VALOR FUTURO OU MONTANTE É a soma dos valores futuros de cada um dos 
pagamentos, calculada numa data dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, 
com uma taxa fixada. A notação adotada será FV. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 
 
 
 
 
RENDAS CERTAS ⇒ Vencimentos, valores e número de pagamentos são preestabelecidos e é 
fixada uma taxa de juros. 
PERIÓDICAS ⇒ Períodos iguais (mensal, anual, etc.). Ex.: Renda com trabalho assalariado. 
TEMPORÁRIAS ⇒ Número limitado e conhecido de termos. Ex.: Compra em prestações. 
CONSTANTE ou UNIFORMES ⇒ Parcelas fixas. 
IMEDIATAS ou POSTECIPADAS ⇒ O primeiro pagamento acontece no final do primeiro 
período. 
ANTECIPADAS ⇒ O primeiro pagamento acontece no início do primeiro período. 
DIFERIDAS ⇒ Existe um período de carência até o primeiro pagamento. 
 
Por serem mais utilizadas na prática, abordaremos somente as série uniformes. 
RENDA POSTECIPADA 
As rendas postecipadas (ou imediatas) são caracterizadas por terem o primeiro pagamento efetuado 
no fim do primeiro período, também chamadas de sistema de pagamentos ou recebimentos sem 
entrada. O diagrama abaixo representa uma renda postecipada de n termos PMT: 
 
 
VALOR PRESENTE 
Seja uma renda postecipada, de n termos PMT, da se quer calcular o valor presente PV com uma 
taxa i dado para o período da renda. Por definição. 
Temos: NPVPVPVPV +++= ⋯211 em que NPVPVPV ⋯21, são os valores os valores de presentes 
de cada um dos n termos PMT, que são indicados no diagrama abaixo como funções de PMT. 
PMT PMT PMT PMT PMT
0 1 2 3 nn-1
....
 
Temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iPMTiPMTiPMTiPMTPV −−−−− +++++++= 1111 121 ⋯ 
Fazendo algumas manipulações algébricas, chegamos na seguinte fórmula para PV: 
( )
i
iPMTPV
n−+−
=
11
. 
o fator ( )
i
i n−+− 11
 é conhecido por an i (an cantoneira i ou simplesmente ani) e é um dos fatores da 
tábua financeira) 
 
Para cálculo da prestação, temos: 
( )
i
i
PVPMT
n−+−
=
11
 
EXEMPLO 1 
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado em seis parcelas mensais de R$1.500,00, 
Vencendo a primeira parcela 30 dias da liberação dos recursos, sendo 3,5%am a taxa de juros 
negociada na operação. 
SOLUÇÃO 
( )
i
iPMTPV
n−+−
=
11
. = 
( )
035,0
035,11
.500.1
6−
−
=PV 
32855,5.500.1=PV 
83,992.7=PV 
EXEMPLO 2 
Um terreno foi comprado com uma entrada de R$50.000,00 e 12 prestações mensais consecutivas 
de R$6.319,16. Qual o preço à vista do terreno sea taxa no mercado imobiliário é de 3,8%am? 
SOLUÇÂO 
Preço a vista = entrada + parte financiada 
PMT PMT PMT PMT
1 2 nn-1
....
PV
PV1=PMT(1+i)-1
PV2 = PMT(1+i)-2
PVn-1 =PMT (1+i)-(n-
1)
PVn = PMT(1+i)-n
( )
038,0
038,11
.16,319.6
12−
−
=PV 93,494.9.16,319.6=PV 
00,000.60=PV 
Preço à vista: 50.000 + 60.000 = 110.000,00 
EXEMPLO 3 
Qual divida pode ser paga em 5 prestações mensais de R$148,51 sendo de 2% a taxa de juros? 
SOLUÇÃO 
( )
02,0
02,11
.51,148
5−
−
=PV 71346,4.51,148=PV 
00,700=PV 
Para calcular n, quando se conhecem PV, PMT e i, usamos a seguinte formula: 
( )i
PMT
iPV
PV
+






−−
=
1log
.1log
 
EXEMPLO 4 
Qual o valor das prestações a serem pagas, na compra de um televisor de R$499,00 em 12 parcelas 
mensais, iguais sem entrada, sendo a taxa de mercado de 5%am? 
SOLUÇÃO 
( )
05,0
05,11
499
12−
−
=PMT 
86325,8
499
=PMT 
30,56=PMT 
 
EXEMPLO 5 
Uma pessoa que comprar um carro. Usado cujo preço à vista é R$5.200,00 mas só dispõe de 
R$3.300,00 para dar de entrada e poderá pagar prestações mensais de, no máximo, R$500,00. Em 
quantas prestações, no mínimo, poderá comprar o carro de a taxa de juros para adquiri-lo a prazo é 
6,5%am, e qual o valor das prestações? 
SOLUÇÃO 
( )i
PMT
iPV
PV
+






−−
=
1log
.1log
 ( )065,1log
500
065,0.900.11log 





−−
 
( )
( )065,1log
753,0log−
 
( )
02735,0
12321,0−
=n 
n = 4,5 (5 prestações) 
( )
i
i
PVPMT
n−+−
=
11
 = ( )
065,0
065,11
900.1
5−
−
 = 
15568,4
900.1
 
21,457=PMT 
 
Já para o cálculo da taxa não há formula e caso se queira descobrir a taxa é necessário fazer 
aproximações sucessivas até que se consiga valor próximo do valor dado para PV (tentativas de 
erros e acertos) e depois faz um interpolação entre dois valores próximos. 
 
VALOR FUTURO 
Seja uma renda postecipada, de n termos PMT, da qual se queria calcular o Valor futuro FV com a 
taxa i dada para o período da renda. Por definição, temos: 
nFVFVFVFV +++= ⋯21 
onde nFVFVFV +++ ⋯21 são os valores futuros de cada um dos n termos, que são indicado no 
diagrama abaixo como função de PMT: 
 
Assim, temos: ( ) ( ) ( ) PMTiPMTiPMTiPMTFV nn ++++++= −− 111 21 ⋯ fazendo algumas 
manipulações algébricas, chegamos na seguinte fórmula para FV. 
( )
i
iPMTFV
n 11.1
.
−+
= 
o fator ( )
i
i n 11 −+
 é conhecido Sni (Sn cantoneira i ou simplesmente as i) e é fator da tábua 
financeira. 
 
PMT PMT PMT PMT
1
1
2 nn-1
....
FV
FVn = PMT
0
FV2 = PMT(1+i)n-2
FV1 = PMT(1+i)n-1
FVn-1 = PMT(1+i)
Para o cálculo das prestações, temos: 
( )
i
i
FVPMT
n 11 −+
= 
 
EXEMPLO 6 
Um corretor ofereceu a um cliente a seguinte operação financeira: 12 depósitos trimestrais de 
R$1.050,00 à taxa de 8,062%at. Qual o valor da retirada após o último depósito? 
SOLUÇÃO 
( )
i
iPMTFV
n 11.1
.
−+
= = 
( )
08062,0
108062,1
.050.1
12
−
 = 0470,19.050.1 
39,999.19=FV 
 
EXEMPLO 7 
Quanto deverá depositar durante 2 anos uma pessoa que pretende retirar após o ultimo depósito a 
quantia de R$ 5.000,00 sabendo que a poupança paga juros de 0,71% am? 
SOLUÇÃO 
( )
i
i
FVPMT
n 11 −+
= = ( )
0071,0
10071,1
000.5
24
−
 = 
06554,26
000.5
 
82,191=PMT 
 
Para calcular n quando são dados FV, PMT e i, temos a seguinte fórmula: 
( )i
PMT
iFV
n
+






+
=
1log
1.log
 
 
EXEMPLO 8 
Um poupador deposita R$400,00 por mês em um fundo de investimentos, que paga 2,25%am. Após 
efetuar o último depósito, o saldo era de R$8.757,11. quantos depósitos foram efetuados? 
SOLUÇÃO 
( )i
PMT
iFV
n
+






+
=
1log
1.log
 = ( )0225,1log
1
400
0225,0.11,757.8log 





+
 18=n depósitos 
RENDA ANTECIPADA 
As rendas antecipadas são caracterizadas por terem o primeiro pagamento no início do primeiro. 
São também chamadas de sistema de pagamentos com entrada o diagrama abaixo representa uma 
renda antecipada de n termos PMT. 
 
VALOR PRESENTE 
Seja uma renda antecipada de n termos PMT, do qual se queria calcular o valor presente PV com 
uma taxa i dada para o período da renda. 
Note-se, nos diagramas abaixo, que a diferença essencial dentre uma renda postecipada e uma renda 
antecipada é que na primeira o valor presente está na data focal imediatamente anterior à do 
primeiro pagamento e na segunda o valor presente está na mesma data focal do primeiro 
pagamento: 
 
Na formula de PV, deduzida para rendas postecipadas, temos que o valor presente da renda é 
calculado na data focal imediatamente anterior à data do primeiro pagamento. Se o que queremos é 
um valor presente na data do primeiro pagamento, basta que se capitalize um período de juros 
naquele valor presente. 
Assim, para as rendas antecipadas, temos: 
( ) )1.(11. i
i
iPMTPV
n
+
+−
=
−
 
( )
( )
i
i
iPVPMT 1
1
11
1
−
−
+−
+
= 
 
PMT PMT PMT PMTPMT
0 1 2 3 nn-1
....
PMT PMT PMT PMT PMT
0 1 2 3 nn-1
....
PMT PMT PMT PMTPMT
0 1 2 3 nn-1
....
RENDA POSTECIPADA OU 
IMEDIATA 
RENDA ANTECIPADA 
EXEMPLO 9 
Uma mercadoria é caracterizada em 4 pagamentos iguais de R$185,00, sendo um dos pagamentos 
dado como entrada. Calcule o preço à vista da mercadoria sendo que a taxa de financiamento é de 
5% am. 
SOLUÇÃO 
( ) )1.(11. i
i
iPMTPV
n
+
+−
=
−
 = 
( ) 05,1.
05,0
05,11
.185
4−
−
 
80,688=PV 
EXEMPLO 10 
Um equipamento de R$8.000,00 deve ser pago com juros de 4,5%am, em seis parcelas mensais 
iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Qual o valor de cada parcela? 
SOLUÇÃO 
( )
( )
i
i
iPVPMT 1
1
11
1
−
−
+−
+
= = 
( )
( )
045,0
045,11
045,1000.8
6
1
−
−
−
 
24,484.1=PMT 
 
VALOR FUTURO 
Seja uma renda antecipada de n termos PMT, da qual se queira calcular o valor futuro FV com uma 
taxa i dada para o período da renda. 
Nos diagramas, abaixo, vemos que o valor futuro de uma renda postecipada está no foco do último 
pagamento, enquanto o valor futuro de uma renda antecipada está no foco imediatamente posterior 
ao desse pagamento. 
 
PMT PMT PMT PMT
1
1
2 nn-1
....
FV
0
PMT PMT PMTPMT
1
1
2 nn-1
....
FV
0
RENDA POSTECIPADA OU 
IMEDIATA 
RENDA ANTECIPADA 
Assim, na fórmula do Valor Futuro da renda postecipada ele é calculado numa data que coincide 
com a do último pagamento. Para calcula-lo no foco seguinte, basta capitalizar um período de juros 
no valor obtido inicialmente. 
Assim, para rendas antecipadas temos: 
( ) )1.(11. i
i
iPMTFV
n
+
−+
= 
( )
( )
i
i
iFVPMT
n 11
1 1
−+
+
=
−
 
EXEMPLO 11 
Afim de constituir uma poupança. Uma pessoa deposita R$ 100,00 no início de cada mês, numa 
instituição financeira que paga juros de 0,8%am. Qual será o montante após efetuar o 12º 
pagamento? 
SOLUÇÃO 
( ) )1.(11. i
i
iPMTFV
n
+
−+
= = 
( ) )008,1.(
008,0
1008,1
.100
12
−
 
27,264.1=FV 
 
EXEMPLO 12 
Um poupador necessita de R$37.500,00 nos próximos 5 anos. Não entendendo muito de aplicações 
e não querendo arriscar, negociou com o gerente do seu banco uma taxa de 1% para poupança. 
Assim, quando deverá depositar no início de cada mês, para atingir seu objetivo? 
SOLUÇÃO 
( )
( )
i
i
iFVPMT
n 11
1 1
−+
+
=
−
 = 
( )
( )
01,0
101,1
01,1500.37
60
1
−
−
 
62,454=PMT 
RENDA DIFERIDA 
As rendas diferidas são caracterizadas por um período de carência(intervalo de tempo) para se 
efetuar o primeiro pagamento. 
 
Seja uma renda de n termos PMT, diferida de c períodos, da qual se queira calcular o valor presente 
PV com taxa i dada para o período da renda. 
Observando o diagrama abaixo, vemos que a renda diferida tem seu valor presente calculado numa 
data focal situada c períodos antes da data focal em que foi calculado o valor presente da renda 
postecipada. 
 
VALOR PRESENTE 
Assim, para renda diferida de c períodos, temos: 
( ) cn i
i
iPMTPV )1.(11. ++−=
−
 
( )
( )
i
i
iPVPMT
n
c
−+−
+
=
11
1
 
EXEMPLO 13 
Um empréstimo, no valor de R$9.159,40 vai ser pago em 5 prestações mensais iguais e 
consecutivas, sendo que a primeira vencerá ao completar 3 meses da data do contrato. Sendo os 
juros de 3%am. Qual o valor das prestações? 
PMT PMT
1
1
2 CC-1
....
0
PV
C+1 C+n
....
PMT PMT PMT PMT PMT
0 1 2 3 nn-1
....
PV
PMT PMT
1
1
2 CC-1
....
0
PV
C+1 C+n
....
SOLUÇÃO 
( )
( )
03,0
03,11
03,140,159.9
5
2
−
−
=PMT 80,121.2=PMT 
EXEMPLO 14 
Um empréstimo, concedido a uma empresa, é paga em 24 prestações mensais iguais de R$2.805,36. 
Sendo a taxa de financiamento contrata de 2%am e concedido um prazo de carência de 4 meses 
para o primeiro pagamento, qual o valor financiado? 
SOLUÇÃO 
( ) 324 )02,1.(
02,0
02,11
.36,805.2 −
−
−
=PV 
000.50=PV 
 
EXERCÍCIOS 
52. Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou pago em 3 parcelas anuais de R$ 
36000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% 
a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições o preço v é 
A)R$ 75 000,00 B)R$ 88 000,00 C)R$ 91 000,00 
D) R$ 95 000,00 E)R$ 97 000,00 
53. Um correntista resolve quitar seu débito para com o cheque especial, no valor de R$ 
6.116,50, em 4 prestações mensais iguais. Considerando que a primeira prestação será paga 
em 30 dias, com juros (compostos) de 5% ao mês, indique abaixo o valor mais próximo de 
cada prestação. 
A) R$ 1.530,00 B) R$ 1.927,35 C) R$ 1.836,00 
D) R$ 1.700,00 E) R$ 1.539,00 
54. Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou 
R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à 
taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de 
A)R$ 5 320,00 B)R$ 5 480,00 C)R$ 5 620,00 
D)R$ 5 680,00 E)R$ 5 720,00 
55. Uma pessoa deposita, numa Caderneta de Poupança, no final de cada mês, a quantia de R$ 
2.000,00, à taxa de juros compostos de 10 % ao mês. No final de 5 meses, essa pessoa terá a 
quantia de 
A)R$ 10.500,00 B)R$ 11.000,00 C)R$ 11.250,00 
D)R$ 12.200,00 E)R$ 20.000,00 
56. Uma dívida feita numa instituição financeira foi amortizada em 10 prestações mensais 
antecipadas, cada uma no valor de R$ 500,00, à taxa de juros compostos de 10 % ao mês. O 
valor da dívida, desconsiderando-se os centavos, era de 
A)R$ 3.378,00 B)R$ 3.500,00 C)R$ 3.870,00 
D)R$ 4.200,00 E)R$ 4.347,00 
57. Uma firma deve fazer pagamentos ao fim de cada um dos próximos doze meses da seguinte 
maneira: R$ 4.000,00 ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$ 3.000,00 ao fim de 
cada um dos três meses seguintes e R$ 2.000,00 ao fim de cada um dos seis últimos meses. 
Calcule o valor atual no início do primeiro mês dos pagamentos devidos, considerando uma 
taxa de 4% ao mês e desprezando os centavos. 
A) R$ 26.787,00 B) R$ 26.832,00 C) R$ 27.023,00 
D) R$ 27.149,00 E) R$ 27.228,00 
58. A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$ 
2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de 
R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do 
montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações 
foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4% 
ao mês? 
A) R$ 41.040,00 B) R$ 47.304,00 C) R$ 51.291,00 
D) R$ 60.000,00 E) R$ 72.000,00 
59. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$210,00. 
Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% 
ao mês, considerando que o financiamento eqüivale a uma anuidade e que a primeira 
prestação vence um mês depois de efetuada a compra. 
A)R$ 3.155,00 B)R$ 2.048,00 C)R$ 1.970,00 
D)R$ 2.530,00 E)R$ 2.423,00 
60. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do 
primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 
mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao 
fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). 
A)R$ 21.708,00 B)R$ 29.760,00 C)R$ 35.520,00 
D)R$ 22.663,00 E)R$ 26.116,00 
61. Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados 
mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$ 6.000 ao final do primeiro mês e R$ 
3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para 
liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
A)R$ 3.250 B)R$ 3.100 C)R$ 3.050 
D)R$ 2.975 E)R$ 2.750 
62. Um empréstimo de R$ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, 
capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações 
trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, 
segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor 
unitário de cada prestação é: 
A)R$ 10.350,00 B)R$ 10.800,00 C)R$ 11.881,00 
D)R$ 12.433,33 E)R$ 12.600,00 
63. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados 
mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de R$ 1.000, 
daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único 
pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: 
A)R$ 2.012,00 B)R$ 2.121,00 C)R$ 2.333,33 
D)R$ 2.484,84 E)R$ 2.516,16 
64. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente R$ 100,00, conforme prazo e 
taxas a seguir: 
A)1% a.m. - 24 meses B)5% a.m. - 60 meses 
C)15% a. t. - 10 trimestres D)20% a. s. - 20 semestres 
65. Quanto deverá ser depositado no início de cada mês para obter um montante de R$ 
30.200,00 no final de 20 períodos a uma taxa de 15%a.t. capitalização mensal? 
66. Um carro no valor de R$ 21.000,00 será pago em 24 prestações mensais antecipadas. Qual o 
valor das prestações, sabendo que a revendedora cobra juros de 2,5%a.m.? 
67. Na venda de um casa foram feitas as seguintes propostas: 
1ª ) entrada de R$ 50.000,00 mais 12 prestações mensais de R$ 2.200,00. 
2ª ) entrada de R$ 50.000,00 mais 8 prestações de R$ 4.000,00, iniciando 3 meses após a entrada. 
Qual a melhor alternativa para o comprador sendo a taxa de 5%a.m.? 
68. Uma loja anuncia a venda de um equipamento em 12 prestações mensais de R$ 999,00, com 
carência de 6 meses. Qual o preço a vista do equipamento, a taxa de 3%a.m.? 
69. Uma máquina transportadora foi comprada nas seguintes condições: 5 prestações sem 
entrada e com 5 meses de carência, com juros de 5%a.m. Se a máquina custa R$ 9.850,00 a 
vista, qual será o valor das prestações? 
70. Doze parcelas mensais foram aplicadas, à taxa de 3%a.m., para ter um montante de R$ 
20.000,00 ao final deste período de depósitos. Qual o valor destes depósitos considerando o 
conceito de série: 
A) postecipada; B) antecipada 
71. Um eletrodoméstico de R$ 330,00 poderá ser pago em 8 prestações mensais a juros de 
5%a.m., calcular o valor dasprestações na hipótese de: 
A) Sem entrada B) Com entrada 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
INTRODUÇÃO 
É muito comum, empresas e pessoas físicas, necessitarem de fazer um investimento ou adquirir um 
bem e não tendo os recursos financeiros para tal, recorrerem a empréstimos ou financiamentos. 
Empréstimos são recursos financeiros, em tese, não necessita de uma justificativa quanto à sua 
finalidade, como, por exemplo: cheque especial, crédito ao consumidor –CDC, dentre outros. 
Já os financiamentos são recursos financeiros que necessitam de uma justificativa quanto à sua 
finalidade, por exemplo, compra de um equipamento, imóvel, etc. 
Os empréstimos e financiamentos podem se de curto e médio prazo que são caracterizados por 
serem saldados em até 36 meses, e os de longo prazo que são saldados em prazos superiores a 36 
meses. 
 
CONCEITOS INICIAIS 
AMORTIZAÇÃO: Processo de liquidar uma dívida através de pagamentos periódicos 
PERÍODO DE AMORTIZAÇÃO: Intervalo de tempo existente amortizações sucessivas 
PRAZO DE AMORTIZAÇÃO: Intervalo de tempo durante a qual são pagas as amortizações. 
PARCELA DE AMORTIZAÇÃO: Parcelas correspondentes à devolução do capital emprestado 
SALDO DEVEDOR: Valor nominal do financiamento, ou a capital emprestado PV na data focal 
zero, diminuindo da parcela de amortização a cada período n. 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: Métodos de pagamento de um financiamento. 
JUROS: Valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de 
amortização 
PRESTAÇÕES: Pagamento efetuado a cada período n, composto da soma da parcela de 
amortização e o juros. 
PRAZO DE CARÊNCIA: Período compreendido entre a data do empréstimo e a data do pagamento 
da primeira prestação. 
Cada forma de pagamento de um empréstimo/ financiamento constitui um sistema de amortização. 
 
 
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA 
Este sistema consiste no pagamento de empréstimos/ financiamentos com prestações iguais, 
imediatas e com periodicidade constante. È o sistema de amortização mais utilizado pelas 
instituições financeiras e pelo comércio em geral. 
Principais características: 
• a prestação é constante durante todo o período de financiamento. 
• a parcela de amortização é crescente 
• os juros são decrescentes 
Seja o empréstimo PV, feito à taxa i para ser pago em n prestações PMT. As prestações PMT são 
calculadas como os termos de uma renda postecipada cujo valor presente é PV. Assim temos: 
( )
i
i
PVPMT
n−+−
=
11
 
Demonstrativo de pagamento: 
PERÍODO PRESTAÇÃO JUROS AUTORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 
1 
2 
... 
n 
0,00 
PMT 
PMT 
... 
PMT 
0,00 
iSDJ .01 = 
iSDJ .12 = 
... 
inSDJn .1−= 
0,00 
11 JPMTA −= 
22 JPMTA −= 
... 
nn JPMTA −= 
PVSD =0 
101 ASDSD −= 
222 ASDSD −= 
... 
nnn ASDSD −= −1 
 
EXEMPLO 1 
Um empréstimo de R$10.000,00 deve ser pago com taxa de juros de 12%aa, em 4 prestações 
anuais. Elabore a planilha de pagamento. 
SOLUÇÃO 
( )
( )
i
i
iPVPMT
n
c
−+−
+
=
11
1
 = ( )
12,0
12,11
000.10
4−
−
 = 34,292.3=PMT 
J = PV.i 
J1 = PV.i = 10000 . 0,12 = 1200 
A1 = PMT - J1 = 3292,34 – 1200 = 2092,34 
SD1 = SD0 – A1 = 10000 – 2092,34 = 7907,66 
 
 
J2 = SD1 i = 7907,66 . 0,12 = 948,92 
A2 = PMT - J2 = 3292,34 – 948,92 = 2343,43 
SD2 = SD1 – A2 = 7907,66 – 2343,43 = 5564,24 
 
J3 = SD2 i = 5564,24 . 0,12 = 667,71 
A3 = PMT - J3 = 3292,34 – 667,71 = 2624,64 
SD3 = SD2 – A2 = 5564,24 – 2624,64 = 2939,60 
 
J4 = SD3 i = 2939,60 . 0,12 = 352,75 
A4 = PMT - J4 = 3292,34 – 352,75 = 2939,59 
SD4 = SD3 – A3 = 2939,60 – 2939,59 = 0 
 
PERÍODOS VALOR VALOR VALOR SALDO
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO DEVEDOR
0 0,00 0,00 0,00 10.000,00
1 3.292,34 1.200,00 2.092,34 7.907,66
2 3.292,34 948,92 2.343,43 5.564,23
3 3.292,34 667,71 2.624,64 2.939,59
4 3.292,34 352,75 2.939,59 0,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
Neste sistema as parcelas de amortização são constante durante o período de financiamento. 
Principais características: 
• amortização constante 
• prestações e juros uniformemente decrescentes 
Seja PV em empréstimo feito, à taxa pata pago em n amortizações iguais, para calcular as 
amortizações basta dividir. PV pelo número de amortizações. 
n
PvA = 
Demonstrativo de pagamentos 
 
PERÍODO PRESTAÇÃO JUROS AUTORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 
1 
2 
... 
n 
00,0 
AJPMT += 11 
AJPMT += 22 
... 
AJPMT nn += 
0 
iSDJ ⋅= 01 
iSDJ ⋅= 12 
... 
iSDJ nn ⋅= 
0 
A 
A 
... 
A 
PvSD =0 
ASDSD −= 01 
ASDSD −= 12 
... 
ASDSD nn −= 
 
EXEMPLO 2 
Um empréstimo de R$10.000,00 deve ser pago com taxa de juros de 12%aa, em 4 prestações anuais 
pago pelo SAC. Elabore a planilha de pagamento. 
SOLUÇÃO 
500.2
4
000.10
==A 
J1 = PV.i = 10000 . 0,12 = 1200 
PMT1 = A+ J1 = 2500 + 1200 = 3700 
SD1 = SD0 – A1 = 10000 – 2500 = 7500 
 
J2 = SD1 i = 7500 . 0,12 = 900 
PMT2 = A + J2 = 2500 + 900 = 3400 
SD2 = SD1 – A = 7500 – 2500 = 5000 
 
 
 
J3 = SD2 i = 5000 . 0,12 = 600 
PMT3 = A + J3 = 2500 + 600 = 3100 
SD3 = SD2 – A = 5000 - 2500 = 2500 
 
J4 = SD3 i = 2500 . 0,12 = 300 
PMT4 = A + J4 = 2500 + 300 = 2800 
SD4 = SD3 – A = 2500 – 2500 = 0 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
72. Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200 000,00 
emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos 
anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo 
Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor da terceira prestação deverá ser e o valor 
total de juros pagos são respectivamente: 
A)R$ 60 000,00, R$ 50 000,00 B)R$ 65 000,00, R$ 45 000,00 
C)R$ 68 000,00, R$ 60 000,00 D)R$ 70 000,00, R$ 40 000,00 
E)R$ 75 000,00, R$ 55 000,00 
73. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá 
uma entrada de 20% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 
3% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do 
valor de um seguro total que custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 
100,00, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que 
mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
A)R$ 1.511,20 B)R$ 1.715,00 C)R$ 1.800,00 
D) R$ 1.923,40 E) R$ 2.000,00 
PERÍODOS VALOR VALOR VALOR SALDO
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO DEVEDOR
0 0,00 0,00 0,00 10.000,00
1 3.700,00 1.200,00 2.500,00 7.500,00
2 3.400,00 900,00 2.500,00 5.000,00
3 3.100,00 600,00 2.500,00 2.500,00
4 2.800,00 300,00 2.500,00 0,00
74. Um financiamento habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai ser pago por prestações 
mensais calculadas pelo sistema de amortizações constantes, a uma taxa de juros nominal de 
12% ao ano, durante dez anos. Calcule a décima prestação mensal do financiamento. 
A) R$ 2.200,00 B) R$ 2.120,00 C) RS 2.110,00 
D) R$ 2.100,00 E) R$ 2.000,00 
75. Um empréstimo de $ 100.000,00 deve ser pago em 4 meses com juros de 10% a.m., 
devendo ser pago no SAF - Sistema de Amortização Francês. Fazer o demonstrativo do 
estado da dívida nesses 4 meses. 
76. . Um empréstimo de $ 100.000,00 deve ser pago em 4 meses com juros de 10% a.m., 
devendo ser pago no SAC - Sistema de Amortização Constante. Fazer o demonstrativo do 
estado da dívida nesses 4 meses 
77. (TÉCNICO EM CONTABILIDADE CRC 2004) Em contrato de financiamento de R$ 
32.000,00 a serem pagos em 12 parcelas iguais, fixou-se em 12% ao ano a taxa efetiva de 
juros, capitalizados mensalmente. Considerando a inflação zero, o valor das parcelas é de: 
A) R$ 2.656,86. B) R$ 2.745,42. 
C) R$ 2.833,99. D) R$ 2.878,27.78. Um empréstimo no valor R$ 1.000.000,00 foi contratado para ser pago no prazo de 2 anos 
pelo sistema de amortização progressiva mediante prestações mensais. Calcular o valor da 
parcela de juros contida na segunda prestação, sabendo que o valor da primeira parcela de 
juros é de R$ 90.000,00. Desprezar na resposta os centavos. 
A) R$ 88.828,00 B) R$ 82.800,00 
C) R$ 76.978,00 D) R$ 81.000,00 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
7) 13,40%aa 
8) R$ 10.000,00, 30% e 36% 
9) PV1 = R$ 350,00 e PV2 = R$ 150,00 
10) 40 meses 
11) R$ 108.500,00 
12) im = 10%, ib = 20%, iq = 40%, 
is = 60%, ia = 120% 
13) 8,1%am 
14) A) R$ 48.000,00, B) R$ 14.400,00 
C) R$ 233.6000, D) 8,4%am 
15) B 
16) B 
17) E 
18) E 
19) D 
20) E 
21) A 
22) B 
23) C 
24) B 
25) B 
26) B 
27) C 
28) D 
29) C 
30) A) 12%aa, B) 81%aa, C) 60%aa 
31) E 
32) B 
33) C 
34) B 
35) B 
36) D 
37) C 
38) E 
39) A 
40) D 
41) E 
42) E 
43) B 
44) A 
45) B 
46) B 
47) D 
48) C 
49) 77,16%as 
50) A) 9,77%ab, B) 26,24%aa, C) 26,82%aa 
D) 3,99%am, E) 0,3182%ad 
51) B 
52) C 
53) D 
54) E 
55) D 
56) A 
57) A 
58) B 
59) C 
60) E 
61) E 
62) C 
63) B 
64) A) R$ 2.697,35, B) 35.358,37 
C)R$ 2.030,37, D) R$ 18.668,80 
65) R$ 869,83 
66) R$ 1.145,53 
67) 1ª PROPOSTA 
68) R$ 8.327,99 
69) R$ 2.903,67 
70) A) R$1.409,24, B) R$ 1.368,20 
71) A) R$ 51,06, B) R$ 48,63 
72) A 
73) E 
74) C 
77) C 
78) A 
 
EXERCÍCIO 75 
PERÍODOS VALOR VALOR VALOR SALDO 
 PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO DEVEDOR 
0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 
1 31.547,08 10.000,00 21.547,08 78.452,92 
2 31.547,08 7.845,29 23.701,79 54.751,13 
3 31.547,08 5.475,11 26.071,97 28.679,16 
4 31.547,08 2.867,92 28.679,16 0,00 
TOTAL 126.188,32 26.188,32 100.000,00 - 
EXERCÍCIO 76 
 
PERÍODOS VALOR VALOR VALOR SALDO 
 PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO DEVEDOR 
0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 
1 35.000,00 10.000,00 25.000,00 75.000,00 
2 32.500,00 7.500,00 25.000,00 50.000,00 
3 30.000,00 5.000,00 25.000,00 25.000,00 
4 27.500,00 2.500,00 25.000,00 0,00 
TOTAL 125.000,00 25.000,00 100.000,00 - 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo: Saraiva, 2001. 13ª 
Edição, 3ª tiragem. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 6a ed. São Paulo: 
Saraiva, 1999. 
VERAS, Lília Ladeira. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6a ed. São Paulo: Atlas, 1997.