Cap._10a_--_Teste_qui-quadrado

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Estatística Aplicada
Larson Farber
10
Testes qui-quadrado e distribuição F
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Qualidade do ajustamento
Seção 10.1
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As distribuições c2 são anti-simétricas à direita e o valor de c2 é igual ou superior a 0.
 para 3 ou mais g.l.
Muitos testes estatísticos importantes usam uma distribuição de probabilidade conhecida como qui-quadrado e simbolizada por .
 para 1 ou 2 g.l.
0
0
Distribuições qui-quadrado
 é uma família de distribuições. Seu gráfico depende do número de graus de liberdade (número de opções disponíveis) em um experimento estatístico.	
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Um experimento multinomial é um experimento probabilístico com um número fixo de tentativas independentes e mais de dois resultados possíveis para cada tentativa.
Um teste qui-quadrado para a qualidade do ajustamento é usado para testar se uma distribuição de freqüência se ajusta a determinada distribuição.
 A probabilidade de cada resultado é fixa. 
 A soma das probabilidades de todos os possíveis resultados é 1.
Experimentos multinomiais
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Exemplo: Segundo uma organização de serviço social, 50% de todos os casamentos representam a primeira união para a noiva e o noivo, 12% são os primeiros somente para a noiva, 14% somente para o noivo e 24% constituem um segundo casamento para ambos.
H0: a distribuição dos casamentos ‘de primeira viagem’ é de 50% para noivo e noiva, 12% somente para a noiva e 14% somente para o noivo. 24% são segundas uniões para ambos.
H1: a distribuição dos casamentos ‘de primeira viagem’ difere da distribuição alegada.
Teste qui-quadrado para a qualidade do ajustamento
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A frequência esperada, E, é a frequência calculada para a categoria com base em uma distribuição específica. Ei = npi
103(0,50) = 51,50
103(0,12) = 12,36
103(0,14) = 14,42
103(0,24) = 24,72
Em um levantamento com 103 casais, determine E = número esperado em cada categoria.
A frequência observada, O, é a frequência da categoria encontrada na amostra.
E = np
Teste para a qualidade do ajustamento
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Se as frequências observadas forem obtidas em uma amostra aleatória e cada frequência esperada for de ao menos 5, a distribuição amostral para o teste de qualidade do ajustamento será uma distribuição qui-quadrado com k – 1 graus de liberdade (onde k = número de categorias).
O = frequência observada em cada categoria
Teste qui-quadrado
A estatística teste é:
E = frequência esperada em cada categoria
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H0: a distribuição dos casamentos ‘de primeira viagem’ é de 50% para noivo e noiva, 12% somente para a noiva e 14% somente para o noivo. 24% são segundas uniões para ambos.
Ha: a distribuição dos casamentos ‘de primeira viagem’ difere da distribuição alegada.
Segundo uma organização de serviço social, 50% de todos os casamentos representam a primeira união para o noivo e para a noiva, 12% são os primeiros somente para a noiva, 14% somente para o noivo e 24% constituem uma segunda união para ambos. Os resultados de um estudo com 103 casais selecionados aleatoriamente estão listados abaixo. Teste a distribuição alegada pela organização. Use .
2. Estabeleça o nível de significância.
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
0,01
0,01.
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Uma distribuição qui-quadrado com 4 – 1 = 3 g.l.
(O – E)2
12,25__
0,1296
5,8564
0,5184
11,34
0
6. Determine a estatística teste.
5. Determine a região de rejeição.
4. Determine o valor crítico.
3. Determine a distribuição amostral.
 = 0,6755
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Como a estatística teste 0,6755 não cai na região de rejeição, você não pode rejeitar H0.
A distribuição se ajusta à distribuição especificada para os casamentos ‘de primeira viagem’.
11,34
0
7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
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Exemplo: Em 48 filhos de casais constituídos por um cônjuge afetado por anomalia dominante autossômica (Aa) e o outro normal (aa), verificou-se que dezoito (18) descendentes mostravam a anomalia do genitor afetado e, consequentemente, 30 não a apresentavam. Pela teoria genética, as proporções esperadas são de 1:1. Verificar ao nível de 5% de significância se este tipo de descendência segue a proporção genética mencionada.
H0: as proporções fenotípicas observadas concordam com as esperadas pela teoria genética (1:1): p1 = p2;
H1: as proporções fenotípicas observadas não estão de acordo com as esperadas pela teoria genética (1:1): p1≠ p2;
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Como o c2 (Yates) < c2 tabelado (g.l. =1; a =5%) = 3,84 aceita-se H0
O qui-quadrado corrigido (Yates) não é significativo (p = 0,1124), evidenciando que os valores observados concordam com os esperados pela teoria genética. A diferença existente é, portanto, variação amostral.
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Exemplo: Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram:
Conclua com α = 0,05.
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Independência
Seção 10.2
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Um teste qui-quadrado pode ser usado para determinar se duas variáveis (gênero e desempenho profissional, por exemplo) são independentes. Duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a ocorrência da outra.
Na tabela de contingência a seguir, vemos o gênero e a avaliação do desempenho profissional de 220 contadores.
Baixo
Médio
Superior
Total
Teste de independência
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Valores esperados
Supondo-se que as variáveis sejam independentes, o valor esperado de cada célula será:
E1,1 = (112)(36)/220 = 18,33
E1,2 = (112)(156)/220 = 79,42
Podemos calcular todos os outros valores esperados subtraindo do total da linha ou da coluna.
Baixo
Médio
Superior
Total
Total
36
156
28
220
(total na linha)(total na coluna)
total na amostra
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A distribuição amostral é uma distribuição com graus de liberdade equivalentes a:
Distribuição amostral
(número de linhas – 1) (número de colunas – 1) 
Exemplo: determine a distribuição amostral de um teste de independência que tem uma tabela de contingência composta por quatro linhas e três colunas.
A distribuição amostral é uma distribuição com (4 – 1) (3 – 1) = 3 • 2 = 6 g.l.
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1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
2. Estabeleça o nível de significância.
H0: gênero e desempenho profissional são independentes.
Ha: gênero e desempenho profissional não são independentes.
Aplicação
Na tabela a seguir, vemos o gênero e a avaliação do desempenho profissional de 220 contadores. Teste a alegação de que o gênero e o desempenho profissional são independentes. Use 
Baixo
Médio
Superior
Total
0,05
0,05.
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Como há duas linhas e três colunas, a distribuição amostral é uma distribuição qui-quadrado com (2 – 1) • (3 – 1) = 2 g.l.
5. Determine a região de rejeição.
4. Determine o valor crítico. 
5,99
0
3. Determine a distribuição amostral.
6. Determine a estatística teste.
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Teste qui-quadrado
O
E
(O – E)2
(O – E)2/E
= 5,51
*
7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
A estatística teste, 5,51, não cai na região de rejeição, portanto não rejeite H0.
Gênero e desempenho profissional são variáveis independentes. Não contrate contadores com base no gênero, já que ser homem ou mulher não influencia seu desempenho profissional.
0
5,99
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Exemplo: Verificar se a opinião dos moradores de uma comunidade quanto à nova política de ensino é diferente em relação a classe social. Para isso foi levantada uma amostra aleatória de 1000 pessoas, estratificadas por classe social, com os seguintes resultados: 
Conclua utilizando o teste qui-quadrado com um nível de significância de 5%.
Plan1
		amostra		D		sinal		posição				amostra		D		sinal		posição
		1		2		-		11.5				16		1		+		4.5
		2		0		+						17		1		-		4.5
		3		0		+						18		5		+		23
		4		1		+		4.5				19		8		+		25.5
		5		0		+						20		2		+		11.5
		6		0		+						21		2		+		11.5								Classes
		7		4		+		20				22		2		+		11.5								Baixa		Média		Alta
Total
		8		4		+		20				23		3		-		16.5						A favor		182		213		203		598
		9		1		+		4.5				24		2		-		11.5						Contra		154		138		110		402
		10		1		+		4.5				25		1		+		4.5						Total		336		351		313		1000
		11		5		+		23				26		4		+		20
		12		3		+		16.5				27		8		+		25.5
		13		5		+		23				28		2		+		11.5
		14		3		+		16.5				29		3		+		16.5
		15		1		-		4.5				30		1		-		4.5
Plan2
		
Plan3
		
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Exemplo: A tabela seguinte apresenta os resultados de uma amostragem aleatória de 215 cães de residências de uma cidade onde se indagou se os mesmos tinham ou não acesso à rua e a situação parasitológica obtida dos mesmos (após um exame de fezes). Testar a hipótese de que a presença de endoparasitos nos animais esteja relacionada com o acesso à rua, utilizando um nível de significância de 5%.
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Be sure to tell students how to pronounce . (Rhymes with the Greek letter Pi.)
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Review conditions of a binomial experiment where there are two possible outcomes. Chi-square tests are useful when data can be separated into qualitative categories.
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There are 4 possible qualitative categories. k = the number of categories.
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To calculate the expected frequency in a category, multiply the total number in the sample by the hypothesized probability of that category. The expected value in the last category can be calculated by adding the other expected values and subtracting from the total in the sample. This method will insure that the expected total is equal to the total in the sample.
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There are k-1 d.f. since once all but one frequencies are freely found, the last is pre-determined since the total must add to the total in the sample. When the observed values are close to the expected values, the difference will be close to 0 and the value of chi-square will be close to 0.
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The hypothesis test steps are the same as for those studied earlier. The frequencies given are the Observed frequencies. 
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Do not round off answers
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The hypothesis test steps are the same as for those studied earlier.
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Students can calculate this statistic using technology tools. To use the TI-83, enter the observed values in matrix [A]. Then StatTests Chi Square. The TI-83 automatically calculates the expected values and places them in matrix [B]. To use Minitab, enter only the 2 rows into 3 columns. Do not include totals. The chi-square test command is in the Stat menu under Tables.
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