EME_303_aula3

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Prof. Marcelo Santiago de Sousa
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 Até a aula passada o corpo foi considerado como Até a aula passada, o corpo foi considerado como 
sendo uma particula apenas;
 Neste caso não há momentos;
 Quando considerarmos o sistema como sendo um 
corpo, deveremos também saber o ponto de 
aplicação da força, pois haverá momento também;
 O momento de uma força mostra a tendência do 
corpo rotacionar em torno do ponto O.
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•Momento em a>
Momento em b>
Momento em c;
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Momento em c;
•Momento é função de
F, d e ângulo theta;
•O momento gerado pela força F no ponto O, pode ser
Calculado pela expressão:
•Note que d é a distância perpendicular (ou braço) 
do eixo no ponto O até a linha da força.p ç
•A direção de Mo está em uma linha perpendicularç p p
ao plano formado por F e d, e o sentido é definido 
pela regra da mão direita.
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•Momento positivo – sentido contra a rotação do relógio;
•Momento negativo – sentido da rotação do relógio.
 Para problemas bidimensionais o cálculo do Para problemas bidimensionais, o cálculo do 
momento resultante é feito apenas com a soma 
algébrica dos momentos atuantes (lembrar sinais g
positivo e negativo dos momentos).
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Exemplo 4.1
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Exemplo 4.2
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N i i fi i d i t R i d t t i•Na primeira figura, o apoio da viga no ponto R, impede que esta rotacione 
em torno do ponto A.
•Na segunda figura, será possível retirar o prego com o martelo, se o momento
de Fh em torno do ponto O for maior que o momento de Fn em torno do pontode Fh em torno do ponto O for maior que o momento de Fn em torno do ponto 
O
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 O produto vetorial de dois vetores A e B fornece o vetor C. O produto vetorial de dois vetores A e B fornece o vetor C.
 A magnitude de C é igual a magnitude de A vezes a g g g
magnitude de B vezes o seno do ângulo formado por A e B. 
(Obs: unir os dois vetores A e B nas origens e ver o ângulo 
formado)formado). 
 A direção de C está em uma linha perpendicular ao plano 
formado por A e B, e o sentido é definido pela regra da mão 
direita.direita.
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 1)Lei comutativa NÃO é válida: 1)Lei comutativa NÃO é válida:
2)Lei associativa: (Obs: a é um escalar): 2)Lei associativa: (Obs: a é um escalar):
 3)Lei distributiva:
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•Seguindo a definição de produto vetorial e a orientação do sistema de eixosg ç p ç
cartesianos, pode-se calcular o produto vetorial entre os versores i, j e k:
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 Calculando o produto vetorial entre dois vetores A e B, temos: Calculando o produto vetorial entre dois vetores A e B, temos:
 Usando expressões obtidas no slide anterior, temos:
E t últi ã d it f t Esta última expressão pode ser escrita em forma compacta 
(determinante):
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 O momento em torno do ponto O, aplicado por uma força F, O momento em torno do ponto O, aplicado por uma força F, 
pode ser expresso como um produto vetorial:
Deve ser notado que r é o vetor que liga o ponto O
a qualquer ponto que esteja na linha de ação da força Fa qualquer ponto que esteja na linha de ação da força F.
 Calculando o produto vetorial acima, obtem-se a magnitude 
de Mo:
 A direção e sentido de Mo é definido pela regra 
da mão direita. Polegar fornece o sentido de Mo.
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 O uso de produto vetorial é feito quando estamos lidando com O uso de produto vetorial é feito quando estamos lidando com 
vetores no espaço (3D);
 O braço de momento ou a distância perpendicular entre o ponto O O braço de momento, ou a distância perpendicular entre o ponto O 
e a linha de ação da força F não precisa ser conhecida a priori;
P d d l t li t O té li h d Pode ser usado qualquer vetor r que ligue o ponto O até a linha de 
ação da força: 
 Uma vez que F pode ser aplicado 
em qualquer ponto de sua linha de
aplicação (fornecendo o mesmo mo-aplicação (fornecendo o mesmo mo
mento Mo em torno de O), o vetor F
é um vetor deslizante. Este é o prin-
cípio de transmissibilidadecípio de transmissibilidade
de uma força.
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 Podemos usar a notação compacta de produto vetorial Podemos usar a notação compacta de produto vetorial 
(determinante) para calcular o momento em torno do ponto O 
(gerado pela força F):
 rx, ry e rz são as componentes do vetor r nos eixos x, y e z;
 Fx Fy e Fz são as componentes do vetor F nos Fx, Fy e Fz são as componentes do vetor F nos
eixos x,y e z.
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 O momento resultante de um sistema de forças é a soma vetorial de O momento resultante de um sistema de forças é a soma vetorial de 
todos os momentos em torno do ponto O:
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Exemplo 4.3
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Exemplo 4.4
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 O momento aplicado por uma força é igual a soma O momento aplicado por uma força é igual a soma 
dos momentos aplicados pelas componentes da 
força:ç
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•Às vezes o cálculo acima é mais fácil 
que calcular Mo=F*d
Exemplo 4.5
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Exemplo 4.6
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