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6.13 - DISTRIBUIÇÃO WEIBULL
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A distribuição Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade básica: a sua função de taxa de falha é monótona. Isto é, ou ela é crescente ou decrescente ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mananciais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos. Podemos encontrar mais detalhes sobre a distribuição weibull na apostila de confiabilidade.
Definição 6.13.1:
Uma variável aleatória  tem distribuição Weibull se tiver função densidade de probabilidade dada por:
	
	
 
Sua função de distribuição acumulada é dada por
	
	
 
O gráfico abaixo mostra a distribuição Weibull fixando o parâmetro  e variando o parâmetro β=0,5, 1,5 e 3.
Figura 6.13.1: Gráfico da função densidade da distribuição Weibull.
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
A função geradora de momentos da função Weibull não tem uma forma fechada, entretanto podemos encontrá-la.
	
	
 
Assim fazendo uma substituição , temos que
	
	
 
e, desta forma
	
	
 
Assim, sendo  uma variável aleatória com distribuição Weibull, o valor esperado de  é dado por
	
	
 
e a variância é dada por
	
	
 
de onde concluímos que
	
	
 
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6.12 - DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
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Esta é uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falha constante. A distribuição exponencial é a única com esta propriedade. Ela é considerada uma das mais simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o tempo de vida de óleos isolantes e dielétricos, entre outros.
Definição 6.12.1:
A variável aleatória  tem distribuição Exponencial com parâmetro , , se tiver função densidade de probabilidade dada por:
	
	
 
em que  é o parâmetro de taxa da distribuição e deve satisfazer . Neste caso,  é o tempo médio de vida e  é um tempo de falha. O parâmetro deve ter a mesma unidade do tempo da falha . Isto é, se  é medido em horas,  também será medido em horas.
A função de distribuição acumulada  é dada por
	
	
 
Utilizamos a notação .
Observação 6.12.1:
A distribuição Exponencial pode ser parametrizada de uma forma alternativa segundo a função densidade de probabilidade dada por
	
	
 
Neste caso, dizemos que  é o parâmetro de escala da distribuição e é o inverso do parâmetro taxa na definição acima. Neste definição alternativa, a variável aleatória  pode ser interpretada como a duração de tempo em que um sistema mecânico ou biológico sobrevive. Para este caso, denotamos  e, infelizmente, esta definição alternativa torna-se ambígua. Neste caso, devemos verificar qual das duas especificações está sendo utilizada quando escrevemos . Ou seja, devemos sempre verificar se  está se referindo ao parâmetro taxa ou ao parâmetro escala da distribuição.
Deixamos claro aqui que, a menos que especifiquemos o contrário, sempre que escrevemos  estamos nos referindo à parametrização em que  é o parâmetro taxa.
Observação 6.12.2:
Notem que a função exponencial, na verdade, é um caso particular da função Gama, pois se , então 
O gráfico abaixo mostra a distribuição exponencial com parâmetros  e .
Figura 6.12.1: Gráfico da função densidade para distribuição Exponencial.
 
Exemplo 6.12.1:
O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial com parâmetro  horas. Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento?
	
	
 
Ou seja, a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras  horas de funcionamento é de, aproximadamente, 56,7%.
Exemplo 6.12.2:
Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha uma distribuição exponencial de parâmetro  dia. Suponha também que estes insetos atinjam a maturidade sexual após  dias de seu nascimento. Qual a função densidade de probabilidade, em dias, dos insetos que conseguem se reproduzir? E qual a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de  dias?
Seja  a distribuição do tempo de vida dos insetos, e  a distribuição do tempo de vida dos insetos que chegam a reprodução. Observem que , assim
	
	
 
Portanto, a função densidade de probabilidade de  é dada por
	
	
 
Agora falta encontramos qual a probabilidade de que o inseto reprodutor dure mais de 24 dias. Usando a densidade acima temos que 
	
	
Exemplo 6.12.3:
Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70% das lâmpadas são produzidas pelo método  e as demais pelo método . A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método  seguem uma distribuição exponencial com parâmetro  e as do método  seguem uma exponencial de parâmetro . Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lâmpada ao acaso, ela dure mais de  horas?
Sejam  e  e considere os evento C={Uma lâmpada durar mais de 100 horas}, A={A lâmpada ter sido fabricada pelo método A} e B={A lâmpada ter sido fabricada pelo método B}. Assim usando o teorema 1.4.2 obtemos que
	
	
 
e, portanto,
	
	
 
Portanto a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas é de 31%.
Exemplo 6.12.4:
Sabendo que , qual a função densidade de probabilidade de .
Sabemos que a densidade de  é dada por
	
	
 
Assim
	
	
 
e portanto concluímos que
	
	
 
Portanto  segue uma distribuição uniforme em (0,1).
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
 
Seja  um variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro . Então sua função geradora de momentos é dada por:
	
	
 
Temos que o valor esperado e a variância de uma variável aleatória X com distribuição exponencial com parâmetro λ são dados, respectivamente, por
	
	
 
e, resolvendo esta integral por partes concluímos que
	
	
 
Portanto, o valor esperado de  é . Para encontrar a variância de , vamos primeiramente calcular o valor esperado de .
	
	
 
e, resolvendo a integral por partes, obtemos que
	
	
 
Portanto a variância de  é dada por
	
	
 
Assim, o valor esperado e a variância de  são dados, respectivamente por:
	
	
 
Podemos calcular também o valor esperado e a variância utilizando a função geradora de momentos
	
	
 
e
	
	
 
Portanto, o valor esperado e a variância podem ser calculados por 
	
	
 
e
	
	
Observação 6.12.3:
Quando estamos trabalhando com a distribuição exponencial parametrizada com o parâmetro escala  temos que
	
	
 
Não demonstraremos estas propriedades, mas ressaltamos que elas são imediatas a partir do fato de que  em que  é parâmetro taxa.
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Weibull++: Software para Análise de Dados de Vida
The standard for reliability life data analysis!
O software Weibull++ é o padrão para análise de dados de vida utilizado por milhares de companhias no mundo inteiro. Desenvolvido por uma equipe de especialistas da ReliaSoft, esse  software realiza a análise de dados de vida utilizando mais de 13 distribuições estatísticas, com ênfase para todas as formas da distribuição Weibull.  
 
Característicasdo Software
O Weibull++ oferece um conjunto completo de ferramentas para a análise de dados de vida (análise de confiabilidade), permitindo diversos tipos de cálculos, gráficos e relatórios. O software suporta diversas distribuições incluindo Weibull, Weibull Mista, Exponencial, Lognormal, Normal, Gamma Generalizada, Gamma, Loglogistic, Gumbel e Weibull-Bayesian).
O software também inclui outras ferramentas para análises relacionadas à confiabilidade, incluindo análise de dados garantia, análise de degradação, análise de dados não paramétricos, análise de eventos recorrentes, delineamento de testes de confiabilidade e delineamento de experimentos (DOE).
 Características do Weibull++
Integração com a Plataforma Synthesis
Com a integração da Plataforma Synthesis, as análises realizadas são armazenadas em um banco de dados centralizado que suporta o acesso simultâneo de vários usuários e também compartilha informações relevantes de confiabilidade entre as ferramentas da Synthesis. A plataforma Synthesis suporta os bancos de dados corporativos Microsoft SQL Server® e Oracle®.
 A Plataforma Synthesis
Treinamento
A ReliaSoft oferece um treinamento direcionado para análise de dados de vida (análise Weibull) e técnicas relacionadas. Consulte o conteúdo.
 G400: Engenharia da Confiabilidade
 
Benefícios
Analisar a confiabilidade de produtos, sistemas e processos
Determinar o período ideal de garantia
Realizar previsões de orçamento para peças de reposição
Prever os retornos de garantia (forecast)
Determinar períodos para manutenção preventiva
Analisar quantitativamente os riscos
Comparar a confiabilidade entre fabricantes e/ou projetos