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LISTA DE EXERCÍCIOS DE EQ. DIFERENCIAIS – PROF. JORGE JUNIOR Exercícios Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais. 1. 22 yx dx dy 5. y’’’- 4y’’ + xy = 0 2. 023 2 dx dy x dx dy 6. y’+ x.cosx = 0 3. yx dx dy xy dx yd 2 2 2 5 7. (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0 4. 0 2 2 dx dy y dx dy x 8. y’’+ ex y = 2 Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. 9. 3 dx dy ; y = 3x – 7 14. yx dx dy x 2 ; y = x2 + Cx 10. 242 xxy dx dy ; y = x2 - 4x 15. 016 2 2 y dx yd ; y = C1sen4x + C2cos4x 11. x xy dx dy 42 ; y = x2 - 4x 16. 3 2 2 20x dx yd ; y = x5 + 3x - 2 12. 0 2 2 y dx yd ; y = 2 senx + 3 cosx 17. 0cos2 xy dx dy ; y = senx + cosx - e-x 13. xey dx dy ; y = (x + 2).e-x 18. 22 2 2 xy dx yd ; y = e -x + x2 2 Exercícios Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 1. 02 dxyxdy 9. 0 2 y e dx dy x 2. 03 23 xydydxyx 10. 03 xx e dx dy e 3. 0 ydxxdy 11. 031 2 dydxyx 4. 0cossec ecydxxdy 12. (1 + x2)dy – dx = 0 5. y x dx dy 2 13. (1 + x2)dy + xdx = 0 6. 32 x xy dx dy 14. 22221 yxyx dx dy 7. 0cos3 xy dx dy 15. yxe dx dy 8. 0sec13 2 dyyedxtgye xx 16. 022 dyyxydxxyx Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas. 17. 42 yx dx dy ; y (1) = 1 19. yxy x dx dy 2 2 ; y (0) = 4 18. 02 dx dy ye x ; y (0) = 2 20. ydxdyx 2 ; y (1) = 1 3 Respostas 1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex – 1)³.k] 15) y = Ce x /1ln 2) y = k. 3xe 9) y = 3 x ke3 16) y = 22 1/ xxk 3) y = C/x 10) 2y + e-2x = C 17) (2 – x³).y³ = 1 4) y = arc cos(senx – c) 11) y = sen Cx 6/2 18) y = xe48 5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16 6) y = k. 3x2 13) y = - Cx 1ln.5,0 2 20) y = x1xe 7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x + 3/3x +C Exercícios Resolva a equação diferencial homogênea dada. 1. x yx y 2 ' 4. xy yx y 2 ' 22 2. )yx(2 y 'y (usar a subst. x = yv) 5. 22 ' yx xy y 3. yx yx y ' 6. x yx y 23 ' Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 7. xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; y(1) = 0 9. 0sec xdydxy x y x ; y(1) = 0 8. – y2dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1 10. 022 xdydxyxy ; y(1) = 0 4 Respostas 1) x = C.(x – y)² 5) y = C 2 2 y2 x e 9) y = x. arc sen(lnx) 2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x. sen(- lnx) 3) x² - 2xy – y² = k 7) xye = lnx² + 1 4) x² - kx = y² 8) y = 1xye Exercícios Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. 1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 6. 2y2 2xye dx + 2xy 2xye dy = 0 2. yexdx + exdy = 0 7. 0)( 1 22 ydxxdy yx 3. (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 8. 0)()( 22 ydyxdxe yx 4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 9. 0)( 1 22 2 dyxdxy yx 5. (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 10. 0cos dytgxyxydxxye y 5 Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 11. 02)1ln( 1 dyyxdx x y ; y(2) = 4 14. 0)3cos3(sen3 ydyydxe x ; y(0) = 12. 0)( 1 22 ydyxdx yx ; y(4) = 3 15. (2xtgy + 5)dx + (x2sec2y)dy = 0; y(0) = 0 13. 0)( 1 22 ydyxdx yx ; y(0) = 4 16. (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 Respostas 1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 13) x² + y² = 16 2) yex = C 8) Ce. 2 1 22 yx 14) e3x.sen3y = 0 3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C 9) não é exata 15) x². tgy - 5x = 0 4) sen(2x – y) = C 10) ey. senxy = C 16) xy² + 3 x 3 = 12 5) não é exata 11) y.ln(x – 1) + y² = 16 6) não é exata 12) 5yx 22 Exercícios Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. 1. ydx - (x + 6y2)dy = 0 6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 6 2. (2x3 + y)dx - xdy = 0 7. y2dx + (xy - 1)dy = 0 3. (5x2 - y)dx + xdy = 0 8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x – sen y )dy = 0 5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 Respostas 1) FI: 1/y² (x/y) – 6y = C 6) FI: x -1 x²y - lnx = C 2) FI: 1/x² (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y) xy - lny = C 3) FI: 1/x² (y/x) + 5x = C 8) FI: 2xe 2xe (2y + 2x² - 4x + 8) = C 4) FI: e-x e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/ y ) x. y + cos y = C 5) FI: cosx y.senx + x.senx + cosx = C 10) FI: x -3 x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C Exercícios Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 1. xey dx dy 35 8. dxxydxxdy 223 2. xey dx dy 23 9. xdy – 5ydx = (4x + x6)dx 3. 2 3 3 x x y dx dy 10. 32 )4(2 xy dx dy x 4. 5 2 2 x x y dx dy 11. dxxxydxdyx 22 32)1( 7 5. )23(2 3 xexy dx dy x 12. xxy dx dy sentan 6. )13(3 22 xeyx dx dy x 13. 72 42 xxy dx dy x 7. dxexydxdy x424 14.52 32 xxy dx dy x Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas. 15. xey dx dy 23 ; y (0) = 2 17. xyecx dx dy cotcos ; y (/2) = 3/2 16. 32 x x y dx dy ; y (1) = 3 18. dxyxdy 3 ; y (0) = 1 Respostas 1) –2y = e3x + Ce5x 7) 3y = x³e4x + C x4e 13) 5x²y = x 5 – 35x + C 2) y = e-2x + Ce-3x 8) y = (-1/3) + C 3xe 14) y = x². lnx – (5/3x) + C.x² 3) 14x³y = 2x 7 – 7x 4 + C 9) y = x 6 – x + Cx 5 15) y = e 2x (3e x – 1) 4) y = x³ - 5x + Cx² 10) y = 22 42 x C x8 4x 16) y = (x³/2) + 3x.lnx + Cx 5) 22 xx3x eye + C 11) (1 + x²).y = x³ + C 17) y.senx = x + 6) y = - e x + C 3xe 12) y = secx[(sen²x/2) + C] 18) y = (x/3) – (1/9) + Ce -3x
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