QUESTOES SOBRE GEOMETRIA EUCLIDIANA

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QUESTÕES DE GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA E ESPACIAL
Q1 (UFRGS – 2015 – adaptada) Considere o padrão de construção representado pelo desenho abaixo. 
O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao disco A no ponto P e passa pelo centro do disco A. O disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco B. O disco D é tangente ao disco C no ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo de construção dos discos é repetido infinitamente. Considerando a sucessão infinita de discos, a soma das áreas dos discos é
Sabendo que a área é uma grandeza bidimensional e o raio, unidimensional, temos que o “quadrado do raio” e a “área” são diretamente proporcionais. Ou seja, ao reduzirmos o raio pela metade (círculo B comparado com A), a área se reduzirá para um quarto (1/4) da original. Esse raciocínio segue-se (a área de C é ¼ da área de B, logo 1/16 da área de A) e assim por diante.
Desse modo, temos a soma das áreas uma PG (Progressão Geométrica) infinita, pois sempre poderemos traçar círculos com raios cada vez menores (ainda que não enxerguemos a olho nu depois de certa quantidade). Para calcular soma de PG infinita, existe a relação, cuja demonstração será omitida, dada por:
Aplicando-a, temos:
Como as áreas são proporcionais a π, temos que a soma será dada por 
Q2 (UFRGS – 2015 – adaptada) Calcule a área do pentágono da figura abaixo
Para simplificar o raciocínio dessa questão, vamos dividir o pentágono em dois polígonos distintos: na parte de cima, um trapézio isósceles (base menor = 8 e altura = 1). O restante, um triângulo de dois lados iguais a 10 e ângulo entre eles de 60°.
Começaremos mostrando que o triângulo é equilátero. Veja, os dois ângulos adjacentes ao lado “diferente” do triângulo isósceles são congruentes. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é dada por 180° e 60° já foram empregados no ângulo dado, para os dois congruentes sobram 120° (60° para cada). Como os três ângulos desse triângulo são congruentes, o triângulo é equilátero e, portanto, terá três lados de 10.
Sua área é dada por: . Calculando-a:
Agora, precisamos calcular a área do trapézio. Sabemos, pelo cálculo acima, que sua base maior é 10 (e a menor 8, altura 1). Basta aplicar a fórmula da área do trapézio: 
Desse modo, a área do pentágono é dada por 
Q3 (UFRGS – 2015 – adaptada) Determine a área do pentágono ABCDF, sabendo que FD = 6 cm e que ABCDEF é um hexágono regular.
Como o pentágono ABCDF não é regular, é mais prático saber a área do hexágono e deduzir a área do triângulo DEF.
A soma dos ângulos internos de um hexágono é igual a 720°. Assim, cada um dos seis ângulos terá 120°.
A Lei dos Cossenos nos dá: , que na verdade é uma ampliação do teorema de Pitágoras (neste 2abcos(a) = 0, já que o ângulo reto tem cosseno zero). Aplicando a lei dos Cossenos, temos:
Portanto, sabemos que estamos lidando com um hexágono de lados iguais a . A área de um hexágono regular é dada por seis vezes a área do triângulo equilátero:
Efetuando os cálculos: 
Agora, vamos calcular a área do triângulo, que é dada por:
Para achar a altura do triângulo, precisamos dividi-lo em dois e teremos, assim um triângulo retângulo com um dos catetos sendo a altura desejada, o outro como 3 (metade do segmento FD) e a hipotenusa . Aplicando o teorema:
Agora, aplicamos na fórmula da área e acharemos a área do triângulo:
Deduzindo da área do hexágono, temos: 
Q4 (ENEM – 2015 – adaptada) Cem containers medindo 2,5 x 2,5 x 6,4m precisam ser alocados em um espaço cuja base é um retângulo 10m x 32m. Aproveitando toda a base e empilhando todos os containers, qual será a altura dessa pilha?
Aproveitando bem as dimensões, é possível colocar cinco containers com o lado de 6,4m paralelo ao lado da base (32m). O que dará exatos cinco containers. Na outra dimensão, 2,5m do container paralelo à outra dimensão da base (10m), totalizando quatro. Desse modo, vinte containers cobrem toda a área. Por outro lado, como são cem containers a serem empilhados, teremos uma pilha de altura de 5 containers (100 : 20 = 5). E, como a altura é de 2,5m por container, a altura total será de 12,5m.
Q5 (ENEM – 2015 – adaptada) Para transmitir o sinal, uma operadora de celular tinha duas antenas com raio de alcance de 2 km. A distância entre essas antenas era de exatos 4 km. Entretanto, a operadora substituiu as duas antenas por uma nova, cujo alcance era um raio de 4 km. Quanto foi o ganho relativo de cobertura do sinal?
Ao dobrar o raio, o alcance quadruplicou (em comparação a uma das antenas antigas). Como havia duas antenas, anteriormente, então o alcance dobrou (em comparação às duas antenas juntas). Podemos afirmar que houve um crescimento de 100% da área de cobertura.
Q6 (UFRGS – 2015 – adaptada) Qual o volume de um objeto formado por dois prismas trapezoidais (vide figura)?
Se trabalharmos com apenas um dos prismas, podemos multiplicar o resultado por 2, já que suas medidas são iguais. Vamos imaginar o sólido “deitado” para que a base seja o trapézio de base menor igual a 10 e maior igual a 20. Vamos achar a altura do trapézio usando a fórmula: (d = lado não paralelo do trapézio).
A área é dada por:
Multiplicamos pela altura (10) e teremos . Por serem dois sólidos, multiplicamos novamente por 2, conforme explicado no começo da resolução e teremos 
Q7 (UFRGS – 2014 – adaptada) Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo.
Sabendo que o cubo tem volume de 216 unidades, qual o perímetro do hexágono?
Para o cubo ter 216 de volume, ele precisa ter 6 unidades de aresta. Além disso, temos que um lado do hexágono é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos são iguais à metade da aresta do cubo (3). De maneira que o lado do hexágono mede . Pelo fato do hexágono ter seis lados, seu perímetro (soma dos lados) será dado por 18.
Q8 (ENEM – 2015 – adaptada) Uma bola elipsoide (figura abaixo) tem os eixos verticais dados por 2.a e 2.b. A diferença entre eles é igual à metade do eixo menor.
Sabemos que 2.a – 2.b = b. Portanto, 2.a = 3.b e a = (3/2)b
Se o volume é dado por V=4ab2, temos: 
Q9 (UFRGS – 2014 - adaptada): Calcule o volume do sólido sombreado sabendo que o mesmo está contido em um cubo de volume 1000 u.v e que tem as especificações conforme a figura abaixo: 
Sugestão: pense num prisma cuja base é um trapézio retangular. A altura do trapézio é a aresta do cubo, ou seja, 10 u.c. De posse desses dados, temos que a área do trapézio será 50 u.a multiplicado por 10, que é a altura do prisma, teremos 500 u.v.
Q10 – (ENEM 2011 – adaptada): A área lateral de um prisma hexagonal é o triplo da área da base do mesmo. Considerando que o hexágono, que é base do prisma, tem 12 cm de perímetro, calcule o seu volume.