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1 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 2 Derivadas de ordem superior f(n) = A n-ésima derivada de f. f’, f’’, f’’’, f(4) Pela notação de Leibniz, temos: 2 3 2 3 ( ) , ( ) , , . . . n n d d d d f x f x y y dx dx dx dx 3 Exemplos 1) Determine a derivada de quarta ordem de: 2) Determine a derivada de terceira ordem de: 3) Determine a derivada de segunda ordem de: 4 3 2( ) 3 2 4 2f x x x x x cosy senx x ln(cos )y x 4 Diferenciação Implícita O que é algo explícito? E como você define “implícito”? Observe equação da circunferência de raio 1 unidade 2 2 1x y Podemos resolver a equação para y em ternos de x: 21y x 5 INTRODUÇÃO Na primeira equação, dizemos que y é implícito com respeito a x; Na segunda, diz-se que y é definido explicitamente como função de x. Definição Dizemos que uma dada equação em x e y define uma função f implicitamente se o gráfico de y=f(x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação. 6 Nem toda função é possível resolver uma equação para y em termos de x. Assim, para diferenciar implicitamente, deve-se levar em consideração que y é uma função de x, portanto, utiliza-se a Regra da Cadeia na Diferenciação. PASSOS PARA DIFERENCIAR IMPLICITAMENTE: Diferencie ambos os lados com respeito a x; Lembre que y é função de x, portanto, deve-se utilizar a regra da cadeia; Isole y’ ou em um dos lados da igualdade. dx dy 7 EXEMPLOS 1) Se y =f(x), onde f é definida implicitamente pela equação , determine y’. 2) Encontre y’ se . 3 2 34 5 6 0xy x y x x 2 2 1x y 8 3) a)Encontre a y’ se 3 3 6x y xy 9 6 10 3) a)Encontre a y’ se b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto (3, 3). c) Quais pontos sobre a curva à reta tangente é horizontal? 4) Determine y’, se y = x2 seny. 3 3 6x y xy 3 3 6x y xy
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