Avaliação II - Cálculo I

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04/12/2023, 21:45 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:883781)
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Prova 70348051
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 7/3
Nota 7,00
Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente 
deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui 
diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = 2e3x, 
analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é 5e3x.
II. A derivada primeira é 6e3x.
III. A derivada segunda é 18e3x.
IV. A derivada segunda é 22e3x.
V. A derivada terceira é 56e4x.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças II, III e V estão corretas.
C As sentenças I, II e V estão corretas.
D As sentenças III e IV estão corretas.
A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial. Essas regras 
são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e 
eficiente. Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em 
relação à sua variável independente. Analise cada uma das sentenças a seguir, classificando V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas:
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( ) A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 
derivada da primeira função pela segunda função.
( ) A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao 
produto do número real pela função elevada a esse número menos um.
( ) A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual 
à constante multiplicada pela derivada da função.
( ) A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das 
duas funções individuais.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V
B F - V - F - F
C F - F - V - V
D V - V - F - F
Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - PauloClique para baixar o anexo da questão
Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é 
utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um 
determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x) = - 2x³ + 2x + 1 no 
ponto (-1, 1):
A y = 4x + 3.
B y = -4x + 3.
C y = -4x - 3.
D y = 4x - 3.
A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para 
determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da 
Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função 
inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x 
correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando 
temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: 
basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a 
derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. 
Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3) e assinale a 
alternativa CORRETA:
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A g'(4) = 1/4.
B g'(4) = 1/3.
C g'(4) = 1/5.
D g'(4) = 1/2.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela 
também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao 
ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da 
tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais 
vezes. 
Desta forma, sendo a função g(x) = 3x4 - 2x-2 + 4x, assinale a alternativa que apresenta a derivada 
segunda desta função.
A g''(x) = 12x3 - 4x-3 + 4
B g''(x) = 36x2 + 12x-4
C g''(x) = 36x2 - 12x-4
D g''(x) = 12x3 + 4x-3 + 4
A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios. Essa regra 
além de ser uma das mais simples, é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos 
descritos por polinômios, tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais 
eficientes e precisas.
Utilizando dessa regra, derive a função f(x) = 2x5/5 - 4x2 + 28, e acerca do resultado, assinale a 
alternativa CORRETA:
A f'(x) = 10x4 + 8x.
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B f'(x) = 2x4 - 4x.
C f'(x) = 2x4 - 8x.
D f'(x) = 10x4 - 8x + 28.
A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função 
ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta 
forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações 
cruciais sobre o seu comportamento local e global.
Assim sendo, seja a função f(t) = sen(2t) + cos(t3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta a 
sua derivada:
A f'(t) = -2·cos(2t) + 3t2·sen(t3)
B f'(t) = cos(2t) - sen(t3)
C f'(t) = 2·cos(2t) - 3t2·sen(t3)
D f'(t) = - cos(2t) + sen(t3)
Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried 
Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma 
função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
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( ) y = cos(3x), implica em y' = -3·sin(3x). 
( ) y = ln(2x²), implica em y' = 2/x. 
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²). 
( ) y = (2 - x)³, implica em y' = 3·(2 - x)².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - V - F - F
C F - F - V - V.
D V - F - V - V.
O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da 
derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la, precisamos saber o ponto 
em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular.
Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no 
ponto x = 1/2:
A y = -4x + 4.
B y = -x/4 + 1.
C y = x/4 - 1.
D y = 4x - 4.
O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. 
O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas 
diferenciais e que satisfaz a equação dada. 
Então, para a equação diferencial y' - y = 2 (ou seja, o dobro da derivada primeira subtraída com a 
própria função é igual a 2), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
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A F - V - V - F.
B F - V - F - V.
C V - V - F - F.
D V - F - V - F.
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