Lista 8, teste das derivadas

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Toledo 
Curso: Engenharia de bioprocessos e biotecnologia 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Professora: Regiane Slongo Fagundes 
Lista 8 de Exercícios 
Conteúdo Abordado: 
 Pontos Críticos; 
 Teste C/D; 
 Teste da Derivada Primeira; 
 Teste da Derivada Segunda; 
 Esboço de Gráficos. 
 
1. Encontre as equações da tangente e da normal as 
equações abaixo: 
a) x2 + 3xy + y2 = 5, no ponto (1,1). 
b) xy + 16 = 0, no ponto (-2, 8). 
c) y2 – 4x2 = 5, no ponto P(-1, 3). 
d) 2x3 – x2y + y3 – 1 = 0, no ponto 
(2, -3). 
2. Determine os números críticos da função: 
a) f(x) = 4x2 – 3x + 2 R: 
8
3
 
b) g(x) = 2x + 5 R: nenhum 
c) s(t) = 2t3 + t2 – 20t + 4 R: -2, 
3
5
 
d) G(x) = 4x3 + 5x2 – 42x + 7 
R: 
2
3
,
3
7
 
e) f(x) = x4 – 32x R: 2 
f) f(x) = x5 – 2x3 + x -12 R: 
5
5
,1
 
g) f(x) = 
162 x
 R: 
4
 
h) h(x) = (2x-5)
42 x
 
R: 
2,
8
1535

 
i) g(x) = 
9
32
2 

x
x
 R: nenhum 
3. Use o teste da Derivada Primeira e determine os 
extremos locais (relativos) de f e os intervalos em 
que f é crescente ou decrescente. 
a) f(x) = 5 – 7x – 4x2 
b) f(x) = 2x2 – 4x – 4 
c) f(x) = -5x2 + 10x – 5 
d) f(x) = 2x3 + 18x2 + 48x + 5 
e) f(x) = -x3 + 6x2 – 12x + 4 
f) f(x) = 2x3 + x2 – 20x +1 
g) f(x) = x4 – 8x2 + 1 
h) f(x) = 10x3 (x-1)2 
i) f(x) = x5 – 
3
25
x
3
 + 20x – 4 
j) f(x) = -x4 + 2x2 
k) f(x) = 
2
2 45
x
xx 
 
l) f(x) = x + 
x
1
 
m) f(x) = 
3
1
3
4
4xx 
 
 
4. Use o teste da Derivada segunda e ache os intervalos 
em que o gráfico de f é côncavo para cima e/ou para 
baixo e determine as coordenadas dos pontos de 
inflexão: 
a) f(x) = x3 – 2x2 + x +1 
b) f(x) = 3x4 – 4x3 + 6 
c) f(x) = 2x6 – 6x4 
d) f(x) = (x2 – 1)2 
 
5. Utilize o roteiro para fazer um esboço do gráfico de: 
a. 
 
2
3 4
x
x
xf


 
b. 
 
42
2


x
x
xf
 
c. 
 
16
3
2 

x
xf
 
 
RESPOSTAS 
1) 
a) tangente:y = 2 – x 
 normal y = -x 
b) tangente = 4x + 16 
normal y = 
4
30 x
 
c) tangente: y = 
3
54  x
 
normal: y = 
4
153 x
 
d) tangente: y = 
23
336  x
 
normal: y = 
36
15423 x
 
3) 
 
a) Max





 
16
129
,
8
7
, crescente 







8
7
,
, 
decrescente 






 ,
8
7
 
b) Max(1, -6); crescente [4, +  ); decrescente ( -, 4]; 
c) Min (1, 0); crescente ( -, 1]; 
decrescente [1, +) 
d) Max(-4, -27) e Min(-2, -35); crescente 
 (-, -4] e [-2, +); decrescente [-4, -2] 
e) nenhum 
f) Max (-2, 29); Mín






27
548
,
3
5
; crescente 
 2,






,
3
5
e
; decrescente 







3
5
,2
 
g) Max (0 ,1) ; Min (-2, -15) e (2, -15); 
crescente [-2, 0] e [ 2,+ ); decrescente 
(-, -2] e [ 0, 2]. 
h) Max 






625
216
,
5
3
; Min (1, 0); crescente 
(-, 



5
3
 e [1, +); decrescente 






1,
5
3
 
i) Max











 

3
26
,1
3
28
,2 e
; Min





 

3
50
,1
 e 






3
4
,2
; cresc. (-, -2], [-1, +1], [-2, +]; decrescente 
[-2, -1] e [1, 1] 
j) Max(1, 1) e (-1, 1); Min (0, 0); crescente 
( -, -1] e [0, 1]; decresc. [-1, 0] e [1, +) 
k) Min 





 
16
9
,
5
8
; cresc. (-, 0] e [
),
5
8

 
decrescente [0, 8/5]. 
l) Max(-1, -2); Min (1, 2); cresc. (-, -1] e [1, +); 
decrescente [-1, 1]. 
m) Mín (-1, 3); crescente 
  ,1
; decrescente 
 1,
 
 
 
4) 
a) Cônc. p/ cima 






,
3
2
; Cônc. p/ baixo 







3
2
,
; 
Pt inflexão 






27
29
,
3
2
 
b) Cônc. p/ cima (-, 0) e 






,
3
2
; Cônc. p/ baixo 
(0, 



3
2
; Pt. Inflexão (0,6) e 






27
146
,
3
2
 
c) Cônc. p/ cima 









5
6
,
e 








,
5
6
 
Cônc p/ baixo 









5
6
,
5
6
; Pt. Inflexão 
















 184,5,
5
6
184,5,
5
6
e
 
d) Cônc. P/ cima 
















 ,
3
1
3
1
, e
 
 
Cônc. p/ baixo 









3
1
,
3
1 ; Pt. 
inflexão








4,0 ,
3
1 e 








 4,0 ,
3
1 
 
Respostas 
 
5) a) 
 
f(x)=(x^3-4)/x^2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
 
 
 
b) 
 
 
f(x)=x^2/(x^2-4)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
 
 
c) 
 
 
f(x)=3/(x^2-16)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y