Lista 4 - Integrais

Prévia do material em texto

Lista 4 - Integrais
Prof. André Mandolesi
Integral Indefinida
1) a) Ache a primitiva F (x) de f(x) = x3 − 3ex que satisfaz a condição F (0) = 2.
b) Cheque que F1(x) = sen
2 x e F2(x) = −12 cos 2x são primitivas de f(x) = sen 2x.
Isso viola o resultado de que primitivas devem ser iguais a menos de uma constante?
2) Derive cada resultado para ver se as integrais abaixo estão corretas.
a)
∫ √
x dx =
2x
3
· √x+ c
b)
∫
x4 cosx dx =
x5
5
· senx+ c
c)
∫
lnx dx = x lnx− x+ c
d)
∫
e3x dx = e3x + c
3) Calcule as integrais (se preciso, reescreva o integrando até ficar imediata):
a)
∫
x3 − 2x2 + x
3
− 1
2
dx
b)
∫
(t− 1)(t+ 2)2 dt
c)
∫
2x3 − 5x2 + 2
x4
dx
d)
∫
x
√
x− 1
3
√
x
dx
e)
∫
1− r2
1− r4 dr
(use produto notável no denominador)
f)
∫
ex − 1 dx
g)
∫
1 + ln y dy
h)
∫
4 cosu+ 7 senu du
i)
∫
1 + sen x
cos2 x
dx
(reescreva com secx e tanx)
j)
∫
tan θ + 3 tan2 θ dθ
(use a identidade tan2 θ = sec2 θ − 1)
k)
∫
2
x2 + 1
+
1
4
√
1− x2 dx
Integral Definida
4) Calcule as integrais definidas. Nas últimas, digite no WolframAlpha o comando dado,
para conferir sua resposta e interpretar o resultado.
a)
∫ 3
−5
dx
b)
∫ 1
4
2 dx
c)
∫ 1
0
x4 − 2x3 + x
5
dx
d)
∫ 8
0
3
√
t dt
e)
∫ √3
1
2
1 + s2
ds
f)
∫ 2
−1
x2 dx
integral x^2, -1<x<2
g)
∫ 3
−2
4− 4x dx
integral 4-4x, -2<x<3
h)
∫ 3pi
2
0
cosx dx
integral cos x, 0<x<3pi/2
i)
∫ 3
0
x2 − 2x dx
integral x^2-2x, 0<x<3
5) Calcule as seguintes integrais definidas.
a)
∫ 5
0
f(x) dx, onde f(x) =
{
4x se x ≤ 2
−3 se x > 2 Dica: separe em duas integrais.
b)
∫ 4
0
|x− 3| dx Dica: observe que |x− 3| =
{
3− x se x < 3
x− 3 se x ≥ 3
c)
∫ pi
−pi
senx
1 + x4
dx Dica: cheque a paridade da função.
6) Resolva usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
a) Dada f(x) =
∫ x
2
cos4 t dt, calcule f ′(pi
4
).
b) Dada g(x) =
∫ 5
x
1
t4 + 1
dt, calcule g′(0). Dica: inverta os limites de integração
c)
d
dx
∫ x2
0
t sen t dt Dica: faça y = x2 e use a regra da cadeia d
dx
F (y(x)) = dF
dy
· d y
dx
d)
d
dθ
∫ sen θ
cos θ
1
1− x2 dx Dica: separe a integral em
∫ 0
cos θ
+
∫ sen θ
0
Método da Substituição
7) Use a regra prática para integração de f(ax+ b), e simplifique o resultado se possível:
a)
∫
sen(x+
pi
4
) dx
b)
∫
cos(piω − 5) dω
c)
∫
e2−t dt
d)
∫
(4x− 3)7 dx
e)
∫
dx
(x+ 6)4
f)
∫ √
5 + 2x dx
g)
∫
dx
2x+ 3
h)
∫
2
x− 1 +
3
4− x dx
i)
∫
dx
1 + 9x2
(faça 9x2 = (3x)2)
j)
∫
dx√
1− 4x2
8) Calcule usando o método da substituição (simplifique o resultado se possível):
a)
∫
esenx · cosx dx
b)
∫
x2 senx3 dx
c)
∫
(2x− 1)(x2 − x+ 3)5 dx
d)
∫
t
√
1− t2 dt
e)
∫
e
√
x
√
x
dx
f)
∫
cos θ · sen4 θ dθ
g)
∫
senx
cos4 x
dx
h)
∫
cotanx dx
(reescreva em termos de cosx e senx)
i)
∫
senh y · cosh y dy
j)
∫
x− 2
x2 − 4x+ 3 dx
k)
∫
ex
1− ex dx
l)
∫
sec2 θ · tan4 θ dθ
m)
∫
lnx
x
dx
n)
∫
arctanw
1 + w2
dw
o)
∫
x+ 1
x2 + 1
dx
(separe em 2 frações)
p)
∫
1
s2 + 4s+ 4
ds
(denominador é produto notável)
q)
∫
dt
t2 + 25
r)
∫
dx
x2 − 2x+ 2
(complete o quadrado no denominador)
s)
∫
s
s− 3 ds
(faça u = s− 3 e s = u+ 3)
t)
∫
x
√
x+ 1 dx
(faça u = x+ 1 e x = u− 1)
9) Calcule as seguintes integrais definidas:
a)
∫ 2
1
1
v − 3 dv
b)
∫ 2
1
e2x−3 dx
c)
∫ 1
0
sen pix dx
d)
∫ 1
0
xe1−x
2
dx
e)
∫ 1
0
x2
x3 + 1
dx
f)
∫ ln 2
0
ex
√
ex − 1 dx
g)
∫ 2pi
3
pi
3
sen θ · cos2 θ dθ
h)
∫ e3
e
1
x lnx
dx
i)
∫ 1
4
0
1√
1− 4x2 dx
j)
∫ 2pi
0
senx cos3 x
1 + cos2 x
dx
Integração por Partes
10) Calcule as seguintes integrais usando integração por partes:
a)
∫ pi
2
0
θ sen θ dθ
b)
∫
x cos 4x dx
c)
∫ pi
0
x3 senx dx
d)
∫
t2et dt
e)
∫ 0
−1
x+ 1
ex
dx
f)
∫ pi
2
0
ex cosx dx
g)
∫
e−x sen 2x dx
h)
∫ 1
1
3
ln 3x dx
i)
∫
x3 lnx dx
j)
∫
(lnx)2 dx
k)
∫
arctanx dx
l)
∫
sen(lnx) dx
Aplicações
11) Calcule as áreas das regiões delimitadas pelas curvas dadas.
a) y = x, y = ex, x = −1, x = 1
b) y = x2, y = 4x− x2
c) y = x, y = 3x, y = 4− x
d) y = x2, y = 2− x, x = 0, x = 2
e) y = senx, y = cosx, x = 0, x = pi
f) y = |x|, y = x2 − 6
g) x = y2, x = 12− 2y2
h) y2 = 3 + x, y = x+ 1
Dica: escreva x como função de y.
i) y =
√
1− x, y = x− 1, y = 1
12) Um objeto, inicialmente na posição s0 = 6m e com velocidade inicial v0 = 2m/s, tem
aceleração dada por a(t) =
3
(t+ 1)2
, com a em m/s e t em s. Determine:
a) As equações do movimento v(t) e s(t).
b) A variação ∆v da velocidade no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 s (faça usando integral).
c) A velocidade média vm no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 s (faça usando integral).
13) Calcule o valor médio das funções abaixo. Use o Wolfram Alpha para traçar a área
correspondente à integral, e interprete o resultado.
a) x+ 3, no intervalo [1, 5].
b) x2, no intervalo [0, 1].
c) x4, no intervalo [0, 1].
d) x3, no intervalo [−2, 2].
e) x3, no intervalo [−4, 2].
f) x2 − 3, no intervalo [−3, 3].
Integrais Impróprias
14) Calcule as seguintes integrais impróprias, se elas convergirem.
a)
∫ ∞
2
1
x3
dx
b)
∫ ∞
4
1√
x
dx
c)
∫ 0
−∞
e2x dx
d)
∫ ∞
−∞
senx dx
e)
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx
f)
∫ 0
−1
1
x4
dx
g)
∫ 9
0
1√
x
dx
h)
∫ 1
−1
1
3
√
x
dx
i)
∫ 2
0
1
(x− 1)3 dx
j)
∫ 1
−1
x√
1− x2 dx
k)
∫ ∞
1
1
(2x− 3)2 dx
Integrais Trignométricas
15) Calcule as integrais:
a)
∫ 2pi
0
sen2x dx
b)
∫
cos2 pix dx
c)
∫
sen3x dx
d)
∫
cos4x dx
e)
∫ pi
2
0
sen5 x dx
f)
∫
sen2 x · cos3 x dx
g)
∫
sen5 x · cos2 x dx
h)
∫ pi
4
0
sen3 x · cos3 x dx
i)
∫
sen2 x · cos4 x dx
j)
∫
sen 4x · cosx dx
k)
∫
sen 3x · cos 3x dx
l)
∫ pi
6
−pi
6
senx · sen 5x dx
m)
∫
cos 3x · cos 2x dx
16) Calcule as integrais, e use identidades trigonométricas para reescrever o resultado na
forma apresentada:
a)
∫
cos3 x dx =
9 senx+ sen 3x
12
+ c
b)
∫
cos4 x dx =
12x+ 8 sen 2x+ sen 4x
32
+ c
17) Calcule as integrais:
a)
∫ pi
3
0
tanx dx
b)
∫ pi
6
0
secx dx
c)
∫ pi
4
−pi
4
sec2 x dx
d)
∫ pi
4
0
tan2 x dx
e)
∫
sec3 x dx
f)
∫
tan4 x dx
g)
∫
tan6 x · sec4 x dx
h)
∫ pi
4
0
tanx · sec6 x dx
i)
∫
tan2 x · sec3 x dx
Substituição Trigonométrica
18) Integre usando substituição trigonométrica (simplifique o resultado, se possível):
a)
∫
x√
16− x2 dx
b)
∫ 2
1
dx
x2
√
4− x2
c)
∫ 1
−1
dx
(2− x2) 32
d)
∫
1√
x2 + 1
dx
e)
∫
x√
9 + x2
dx
f)
∫ 1
2
0
x
(1 + 4x2)
3
2
dx
Dica: substitua primeiro x = u/2
g)
∫ 5
3
dx√
x2 − 9
h)
∫ 5√2
5
√
x2 − 25
x
dx
Expressões Quadráticas
19) Resolva as integrais completando o quadrado e fazendo substituição:
a)
∫
x+ 1
x2 + 2x− 1 dx
b)
∫
1
4x2 − 8x+ 5 dx
c)
∫
x
x2 − 4x+ 8 dx
d)
∫
x√
5− 4x− x2 dx
Frações Parciais
20) Calcule as integrais usando frações parciais (simplifique o resultado):
a)
∫
x3 + x
x− 1 dx
b)
∫
5x− 10
x2 − 3x− 4 dx
c)
∫
2x3 − 8x2 + 7x− 1
x2 − x− 2 dx
d)
∫
2x3 + 3x2 − 15x− 6x3 + 2x2 − 3x dx
e)
∫
3x2 − 3x+ 8
x3 + 4x
dx
f)
∫
x2 + 2x+ 10
(x+ 2)(x2 + 2x+ 2)
dx
g)
∫
x+ 2
x3 − 2x2 dx
h)
∫
1
x3 + 2x2 + x
dx
i)
∫
x2
(x+ 2)3
dx
j)
∫
x5 + 2x3 − x2 − 16x+ 4
x4 − 16 dx
k)
∫
x4 + x3 − 1
x6 + 2x4 + x2
dx
l)
∫
x− 1
x3 + 1
dx
Dica: como x = −1 é raiz de x3 + 1,
fatore dividindo por x+ 1.
m)
∫
x4 + 2x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
dx
Dica: para integrar
1
(x2 + 1)2
, faça a
substituição x = tan θ
Respostas
1) a) F (x) = x
4
4
− 3ex + 5
b) Não viola, pois cos 2x = 1− 2 sen2 x, de modo que F2(x) = F1(x)− 12 .
2) a) Correta.
b) Incorreta.
c) Correta.
d) Incorreta.
3) a)
x4
4
− 2x3
3
+ x
2
6
− x
2
+ c
b)
t4
4
+ t3 − 4t+ c
c) 2 ln |x|+ 5
x
− 2
3x3
+ c
d)
2x2
√
x
5
− 3 3
√
x2
2
+ c
e) arctan r + c
f) ex − x+ c
g) y ln y + c
h) 4 senu− 7 cosu+ c
i) tanx+ secx+ c
j) ln | sec θ|+ 3 tan θ − 3θ + c
k) 2 arctanx+ arcsenx
4
+ c
4) a) 8
b) −6
c) −1
5
d) 12
e)
pi
6
f) 3
g) 10
h) −1
i) 0
5) a) −1 (separe em uma integral em [0, 2] e outra em [2, 5])
b) 5 (separe em uma integral em [0, 3] e outra em [3, 4])
c) 0 (função ímpar integrada entre limites opostos −pi e pi)
6) a)
1
4
b) −1
c) 2x3 senx2
d) sec θ + cosec θ
7) a) − cos(x+ pi
4
) + c
b)
1
pi
sen(piω − 5) + c
c) −e2−t + c
d)
(4x−3)8
32
+ c
e) − 1
3(x+6)3
+ c
f)
1
3
√
(5 + 2x)3 + c
g)
1
2
ln |2x+ 3|+ c
h) ln (x−1)
2
|4−x|3 + c
(simplifique com propriedades do ln)
i)
1
3
arctan 3x+ c
j)
1
2
arcsen 2x+ c
8) a) esenx + c
b) −1
3
cosx3 + c
c)
1
6
(x2 − x+ 3)6 + c
d) −1
3
√
(1− t2)3 + c
e) 2e
√
x + c
f)
1
5
sen5 θ + c
g)
1
3 cos3 x
+ c
h) ln | senx|+ c
i)
1
2
senh2 y + c
j)
1
2
ln |x2 − 4x+ 3|+ c
k) − ln |1− ex|+ c
l)
1
5
tan5 θ + c
m)
1
2
ln2 x+ c
n)
1
2
arctan2w + c
o)
1
2
ln(x2 + 1) + arctan x+ c
p) − 1
s+2
+ c
q)
1
5
arctan t
5
+ c
r) arctan(x− 1) + c
s) s+ 3 ln |s− 3|+ c
t)
6x−4
15
·√(x+ 1)3 + c
9) a) − ln 2
b)
e
2
− 1
2e
c)
2
pi
d)
e−1
2
e)
ln 2
3
f)
2
3
g)
1
12
h) ln 3
i)
pi
12
j) 0
10) a) 1
b)
1
4
x sen 4x+
1
16
cos 4x+ c
c) pi3 − 6pi
d) t2et − 2tet + 2et + c
e) e− 2
f)
epi/2 − 1
2
g) −(2 cos 2x+ sen 2x)e
−x
5
h) ln 3− 2
3
i)
x4
16
· (4 lnx− 1) + c
j) x(ln2 x− 2 lnx+ 2) + c
k) x arctanx− 1
2
ln(1 + x2) + c
l)
x
2
(sen(lnx)− cos(lnx)) + c
(integre 2 vezes para voltar à mesma
integral com sinal trocado)
11) Para obter as respostas, digite no WolframAlpha os comandos indicados.
a) area between x, e^x, -1<x<1
b) area between x^2, 4x-x^2
c) area between x, 3x, 4-x
d) area between x^2, 2-x, 0<x<2
e) area between sen x, cos x, 0<x<pi
f) area between |x|, x^2-6
g) area between x=y^2, x=12-2y^2
h) area between y^2=3+x, y=x+1
i) area between y=sqrt(1-x), y=x-1, y=1
12) a) v(t) = 5− 3
t+ 1
s(t) = 6 + 5t− 3 ln(t+ 1).
b) ∆v = 2,25m/s
c) vm = 5− ln 4 ∼= 3,6 m/s.
13) a) 6
b) 0,333 . . .
c) 0,2
d) 0
e) −10
f) 0
14) Para obter as respostas que faltam, digite no WolframAlpha os comandos indicados.
a) integral_2^infinity 1/x^3
b) Diverge.
c) integral_-infinity^0 e^(2x)
d) Diverge.
e) pi
f) Diverge.
g) integral_0^9 1/sqrt(x)
h) integral_-1^1 1/cbrt(x)
i) Diverge.
j) 0
k) Diverge.
15) a) pi
b)
x
2
+ 1
4pi
sen 2pix+ c
c)
1
3
cos3 x− cosx+ c
d)
1
4
cos3 x senx+ 3
8
x+ 3
16
sen 2x+ c
e)
8
15
f)
1
3
sen3 x− 1
5
sen5 x+ c
g) −1
3
cos3 x+ 2
5
cos5 x− 1
7
cos7 x+ c
h)
1
24
i)
x
16
− 1
64
sen 4x+ 1
48
sen3 2x+ c
j) − 1
10
cos 5x− 1
6
cos 3x+ c
k) − 1
12
cos 6x+ c
l)
√
3
8
m)
1
10
sen 5x+ 1
2
senx+ c
Obs: dependendo de como a integral for feita, seu resultado pode parecer diferente.
Use identidades trigonométricas para ver se são iguais, ou derive seu resultado para
ver se dá o integrando.
16) a) Use sen2 x = 1−cos 2x
2
, e senx · cos 2x = sen 3x−senx
2
.
b) Use cos2 x = 1+cos 2x
2
, e senx · cosx = sen 2x
2
.
17) a) ln 2
b)
ln 3
2
c) 2
d) 1− pi
4
e)
1
2
secx · tanx+ 1
2
ln | secx+ tanx|+ c
f)
1
3
tan3 x− tanx+ x+ c
g)
1
7
tan7 x+ 1
9
tan9 x+ c
h)
7
6
i)
1
4
sec3 x · tanx− 1
8
secx · tanx−
− 1
8
ln | secx+ tanx|+ c
18) Para obter as respostas que faltam, digite no WolframAlpha os comandos indicados.
a) −√16− x2 + c
b) integral_1^2 dx/(x^2 sqrt(4-x^2))
c) integral_(-1)^1 1/sqrt(2-x^2)^3
d) ln |x+√x2 + 1|+ c
e)
√
9 + x2
f) integral_0^(1/2) x/sqrt(1+4x^2)^3
g) ln 3
h) 5− 5pi
4
19) a)
1
2
ln |x2 + 2x− 1|+ c
b)
1
2
arctan(2x− 2) + c
c)
1
2
ln(x2 − 4x+ 8) + arctan(x
2
− 1) + c
d) −√5− 4x− x2 − 2 arcsen x+ 2
3
+ c
20) a)
x3
3
+
x2
2
+ 2x+ 2 ln |x− 1|+ c
b) ln |(x− 4)2 · (x+ 1)3|+ c
c) x2 − 6x+ ln (x+ 1)
6
|x− 2| + c
d) 2x+ ln
|x3 + 3x2|
(x− 1)4 + c
e)
1
2
ln(x6 + 4x4)− 3
2
arctan
x
2
+ c
f) ln
|x+ 2|5
(x2 + 2x+ 2)2
+ 4 arctan(x+ 1) + c
g)
1
x
+ ln
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣+ c
h)
1
x+ 1
+ ln
∣∣∣∣ xx+ 1
∣∣∣∣+ c
i)
4x+ 6
(x+ 2)2
+ ln |x+ 2|+ c
Obs: é mais fácil fazer a substituição
u = x+ 2.
j)
1
2
(
x2 + ln |x4 − 16| − arctan x
2
)
+ c
k)
1
x
− 1
2x2 + 2
+ 2 arctanx+ c
l)
1
3
ln
∣∣∣∣ x2 − x+ 1x2 + 2x+ 1
∣∣∣∣+ c
m)
x3
x2 + 1
− arctanx+ c