Matemática

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2017
MateMática
Profª. Ana Carolina Gadotti
Profª. Grazielle Jenske
Copyright © UNIASSELV 2017
Elaboração:
Profa. Ms. Ana Carolina Gadotti
Profa. Ms. Grazielle Jenske
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
 
510 
G125m Gadotti, Ana Carolina
Matemática / Ana Carolina Gadotti; Grazielle Jenske: 
UNIASSELVI, 2017.
 
187 p. : il.
 
ISBN 978-85-515-0097-2
1. Matemática.
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
Impresso por:
III
apresentação
Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Matemática para 
Gestão Financeira. Esta disciplina tem o intuito de aprimorar e aprofundar 
seus conhecimentos de matemática para que sirvam de subsídios às disciplinas 
mais específicas do seu curso.
Este livro apresenta seu conteúdo dividido em três unidades, que 
contemplam partes importantes da matemática aplicada ao Curso de Gestão 
Financeira. Na primeira unidade serão apresentados os conjuntos numéricos, 
as operações elementares envolvendo números fracionários, como também as 
grandezas diretamente e inversamente proporcionais e expressões numéricas.
Na unidade seguinte, você relembrará como identificar equações 
do 1º e do 2º grau, bem como utilizar métodos para encontrar suas raízes. 
Em seguida, relembrará alguns tópicos sobre as equações exponenciais, 
logarítmicas e modulares, cada vez mais presentes no cotidiano. Ainda 
ao término dessa unidade estudará as aplicações destes conceitos na área 
financeira.
Na terceira e última unidade, trataremos sobre as funções. O conceito 
de função é um dos mais importantes da matemática, sendo que em diversas 
ocasiões do nosso dia a dia nos deparamos com situações que envolvem 
relações entre duas grandezas. Vamos iniciar com a noção e o conceito de 
função, o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função, função 
crescente e função decrescente, como também as funções custo, receita e 
lucro. Depois disso, vamos aprender a construir um gráfico manualmente e 
também utilizando recursos computacionais. Para finalizar, trataremos sobre 
a interpolação e o erro.
Queremos aqui salientar que este material traz um curso introdutório 
da Matemática para o curso de Gestão Financeira. Você deve se sentir 
curioso e instigado a pesquisar outros materiais para ampliar e completar 
seu aprendizado. Não se esqueça de desenvolver cada atividade proposta e 
retome os conceitos sempre que necessário, pois elas são muito importantes 
para o seu aprendizado.
Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a evolução 
do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante deve ser o 
objetivo de todo acadêmico, por isso se dedique ao estudo desta disciplina!
Profᵃ. Ms. Ana Carolina Gadotti
Profᵃ. Ms. Grazielle Jenske
IV
UNI
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
suMário
UNIDADE 1 - OPERAÇÕES BÁSICAS .............................................................................................. 1
TÓPICO 1: OS CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 

 .............................................................................. 4
2.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 

 ............................................................................. 4
2.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 

 ......................................................................... 6
2.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ........................................................................ 6
2.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 

 .................................................................................... 7
3 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS ................................................................ 7
3.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA ........................................................................................... 8
3.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL ..................................................................................................... 8
3.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES -
 REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS ........................................................................................... 9
3.3.1 Transformação de número fracionário em número decimal ........................................... 10
3.3.2 Transformação de número decimal em número fracionário ........................................... 10
4 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ......................................................................................................... 13
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO .............................................................................................................. 13
4.2 MULTIPLICAÇÃO ......................................................................................................................... 19
4.3 DIVISÃO .......................................................................................................................................... 20
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 22
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 23
TÓPICO 2: PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS ............................................ 25
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 25
2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS ................................................................................................... 25
2.1 PROPORÇÃO ...................................................................................................................................26
2.1.1 Elementos de uma proporção ............................................................................................... 26
2.2 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES ......................................................... 27
2.3 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ................................................................. 28
2.4 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .............................................................. 30
3 PORCENTAGEM ................................................................................................................................. 32
3.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM ................................................................................................ 33
3.1.1 Aumento em porcentagem ................................................................................................... 35
3.1.2 Desconto em porcentagem ................................................................................................... 36
4 OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMA ............................................................................................... 36
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 40
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 41
TÓPICO 3: EXPRESSÕES NUMÉRICAS ........................................................................................... 45
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 45
2 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................................... 46
3 RADICIAÇÃO ...................................................................................................................................... 48
3.1 RAÍZES NUMÉRICAS .................................................................................................................... 49
VIII
3.2 RAÍZES LITERAIS ........................................................................................................................... 50
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS .................................................................................................... 51
3.3.1 Adição e subtração ................................................................................................................. 51
3.3.2 Multiplicação e divisão ......................................................................................................... 51
4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ............................................................................................................. 52
4.1 CÁLCULO DE UMA EXPRESSÃO NUMÉRICA ....................................................................... 52
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 55
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 56
UNIDADE 2 - EQUAÇÕES ................................................................................................................... 59
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS ......................................................................................... 61
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 61
2 INCÓGNITA ......................................................................................................................................... 61
3 EQUAÇÕES ........................................................................................................................................... 62
3.1 PRINCÍPIOS DA IGUALDADE ................................................................................................... 64
3.2 TIPOS DE EQUAÇÕES ................................................................................................................... 65
3.3 GRAUS DE UMA EQUAÇÃO ...................................................................................................... 66
4 EQUAÇÕES DO 1º GRAU ................................................................................................................. 67
4.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU ........................................................................................... 68
4.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................................. 69
5 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................................................................................................. 73
5.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU ....................................................................................... 74
5.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................................. 77
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 80
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 81
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES MODULARES ........................................................................................... 83
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 83
2 MÓDULO .............................................................................................................................................. 83
3 EQUAÇÕES MODULARES ............................................................................................................... 86
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 90
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 91
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ................................................. 93
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 93
2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ........................................................................................................... 93
3 LOGARITMOS ..................................................................................................................................... 100
3.1 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ..................................................................................................... 102
3.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................................. 105
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 108
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 113
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 114
UNIDADE 3 - FUNÇÕES ....................................................................................................................... 115
TÓPICO 1 – CONCEITO DE FUNÇÕES ............................................................................................ 117
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 117
2CONCEITO DE FUNÇÕES ................................................................................................................ 117
2.1 NOÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................................... 117
2.2 CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................................................................. 121
2.3 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ........................................ 122
IX
3 FUNÇÃO DO 1º GRAU ....................................................................................................................... 124
3.1 PLANO CARTESIANO E SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ..................................... 124
3.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU NO PLANO CARTESIANO .......................... 128
4 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU ............................................................... 130
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 136
TÓPICO 2 – FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES ...................................... 139
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 139
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM .................................................... 139
3 CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ................................... 140
3.1 FUNÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 140
3.2 FUNÇÃO CONSTANTE ................................................................................................................ 142
3.3 FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................................................................... 144
3.4 FUNÇÃO TRANSLAÇÃO ............................................................................................................ 145
4 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE DOIS
 PONTOS DISTINTOS ........................................................................................................................ 147
5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E FUNÇÃO AFIM DECRESCENTE ......................................... 148
6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................. 149
6.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................. 150
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 152
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 154
TÓPICO 3 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS 
REPRESENTAÇÕES ............................................................................................................................... 157
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 157
2 FUNÇÃO MODULAR ........................................................................................................................ 157
2.1 CONCEITO DE FUNÇÃO MODULAR ...................................................................................... 157
2.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR ......................................................................................... 158
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................. 161
3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................. 162
4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................................................ 165
4.1 FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL ....................................................................................... 166
4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................. 166
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 167
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 170
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 172
TÓPICO 4 – INTERPOLAÇÃO E ERRO ............................................................................................ 173
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 173
2 INTERPOLAÇÃO ................................................................................................................................ 173
2.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ............................................................................................... 174
2.1.1 Resolução do sistema linear ................................................................................................. 174
2.1.2 Interpolação polinomial de Lagrange ................................................................................. 177
2.1.3 Interpolação polinomial de Newton ................................................................................... 178
3 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO ................................................................................... 181
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 182
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 185
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 186
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 187
X
1
UNIDADE 1
OPERAÇÕES BÁSICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais;
• realizar operações com frações;
• escrever números decimais na forma de fração e vice-versa;
• interpretar e resolver situações que envolvem mais de uma grandeza 
relacionada;
• entender o que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais;
• compreender e usar as regras das expressões numéricas.
Nesta unidade de ensino, a abordagem da Matemática está dividida em 
três tópicos, nos quais se apresentam desde os conceitos introdutórios sobre 
conjuntos numéricos e operações elementares até expressões numéricas. 
Cada tópico oferecerá subsídios que o auxiliarão na interiorização dos 
conteúdos e na resolução das autoatividades solicitadas.
TÓPICO 1 – OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
TÓPICO 2 – PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
TÓPICO 3 – EXPRESSÕES NUMÉRICAS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1 INTRODUÇÃO
A história nos conta que os números foram criados para suprir a necessidade 
de contagem do ser humano, e conforme a evolução humana foi ocorrendo, os 
números também tiveram seu progresso e hoje são organizados em conjuntos.
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da 
compreensão de um conjunto. Na matemática, um conjunto é uma coleção de 
elementos, representado por uma letra maiúscula do alfabeto. Por exemplo,o 
conjunto dos dias da semana:
D = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-
feira e sábado} onde cada um dos dias da semana representa um elemento do 
conjunto. Um conjunto também pode ser representado graficamente pelo que 
denominamos “Diagrama de Venn”.
domingo
segunda-feira
terça-feira
quarta-feira 
quinta-feira 
sexta-feira
sábado
D
Desta forma, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos 
dos números que possuem características semelhantes. Veremos aqui a concepção 
desses conjuntos, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um 
dos conjuntos numéricos.
Abordaremos os seguintes conjuntos numéricos:
• Conjunto dos números Naturais ( ).
• Conjunto dos números Inteiros ( ).
• Conjunto dos números Racionais ( ).
• Conjunto dos números Irracionais ( ).
• Conjunto dos números Reais ( ).
A seguir, veremos as características de cada um deles.
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
4
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ()
Representado pela letra maiúscula  ,
este conjunto abrange todos os números inteiros 
positivos, incluindo o zero.
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
 0 1
2 3 4
 5 6
7 8 9
 10 11
12 13
 . . .
Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos 
são infinitos.
IMPORTANT
E
Para representar o conjunto dos Números Naturais não nulos (excluindo o 
zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do 

.

* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
O conjunto numérico dos Números Naturais começa no zero e é infinito, 
porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. Por exemplo, 
um subconjunto M do conjunto dos números naturais formado pelos cinco 
primeiros múltiplos de 5, M = {0, 5, 10, 15, 20}.
2.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ()
Representado pela letra , o conjunto dos Números Inteiros é formado por 
todos os números que pertencem ao conjunto dos Números Naturais mais os seus 
respectivos opostos negativos.

 = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Representação gráfica dos Números Inteiros:
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
5

 
ou
São subconjuntos do conjunto dos Números Inteiros:
• Inteiros não negativos: Representado por +, este subconjunto dos inteiros é 
composto por todos os números inteiros que não são negativos, ou seja, são 
todos os inteiros positivos mais o zero. 
+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Note que: 
+,  
=  , ou seja, que o conjunto dos números inteiros não negativos 
é igual ao conjunto dos números naturais.
ATENCAO
• Inteiros não positivos: Representado por - , este subconjunto dos inteiros 
é composto por todos os inteiros não positivos, ou seja, são todos os inteiros 
negativos mais o zero.
– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
• Inteiros não negativos e não nulos: Representado por *+, este subconjunto é 
conjunto + excluindo o zero.
*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
6
Note que: *
+ 
= *.
ATENCAO
• Inteiros não positivos e não nulos: Representado por 

*-, são todos os números 
do conjunto 

–, excluindo o zero.

*– = {… -4, -3, -2, -1}
2.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ()
Representado pela letra , o conjunto dos Números Racionais contempla os 
números inteiros (

), os números decimais finitos e os números decimais infinitos 
periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma a/b, com b ≠ 0.
Representação gráfica dos Números Racionais:

ou


2.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( )
É formado pelos números decimais infinitos não periódicos. Por exemplo, 
o número PI (π = 3,14159265…), que é o resultado da divisão do perímetro de 
uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz 
quadrada de 2, 3 e 5 ( 2, 3 5 e ).
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
7
2.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ()
Representado pela letra , o conjunto dos Números Reais é formado por 
todos os conjuntos descritos anteriormente.
 = { +  +  + }
Veja a representação em diagrama dos conjuntos Numéricos.
3 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS
Como você já estudou no Ensino Básico, um número pode ser representado 
na forma fracionária ou decimal. Vamos relembrar como são essas representações:
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
8
3.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido", 
"quebrado", assim podemos dizer que fração é a representação das partes iguais 
de um todo. Cada fração é formada por três elementos: o numerador (o número da 
parte de cima da fração), o traço (que serve para separar os dois valores e representa 
uma divisão) e, finalmente, o denominador (o número da parte de baixo).
 numerador 
 denominador
O denominador representa quantas partes iguais estão contidas no todo (ou 
seja, em quantas partes algo foi dividido). E o numerador representa a quantidade 
de partes consideradas de um todo (quantas partes do todo nós possuímos).
Por exemplo:
1) 3
4
2) 9
4
 + +
3.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL
Os números decimais são números não inteiros formados por uma parte 
inteira e outra fracionária e separados por vírgulas. Eles podem ser positivos ou 
negativos e suas casas decimais são contadas a partir da vírgula, por exemplo, o 
número 12,451 possui três casas decimais, ou seja, três algarismos após a vírgula. 
São números decimais: -7,45; -3,6; 1,84; 4,5; 8,975, etc.
Alguns números decimais representam frações que possuem denominador 
igual a 10, 100, 1000, 10 000 e etc. Observe:
Fração Decimal = Números Decimais
1
10
= 0,1
1
100 = 0,01
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
9
1
1000
= 0,001
1
10000
= 0,0001
5
10
= 0,5
5
100 = 0,05
5
1000
= 0,005
5
10000
= 0,0005
115
10
= 11,5
115
100
= 1,15
115
1000
= 0,115
115
10000
= 0,0115
Os números 0,1; 0,05; 0,001; 11,5, por exemplo, são números decimais. Nesta 
representação, observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
0,001
Parte decimal
Parte inteira
3.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES 
REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS
A seguir veremos como realizar a transformação de um número fracionário 
em um número decimal e vice-versa.
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
10
3.3.1 Transformação de número fracionário em número 
decimal
Para transformar um número fracionário em número decimal basta dividir 
numerador pelo denominador.
Exemplo:
7 7 : 2 3,5
2
1) = =
9 9 : 4 2,25
4
2) = =
203) 20 : 3 6,66
3
= =
27
- 6
10
-10
0
3,5
49
- 8
10
- 8
20
2,25
- 20
0
Esse traço sobre os dois últimos seis indica que se trata se uma dízima 
periódica, isto é, que esse valor se repete infinitamente.
320
- 18
20
- 18
20
6,666...
- 18
20
- 18
20
- 18
2
3.3.2 Transformação de número decimal em número fracionário
Para transformar números decimais em um número fracionário, nós temos 
três diferentes situações. Atente-se para cada uma delas.
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
11
Situação 1: O número decimal é finito.
Inicialmente, vamos observar a leitura de cada um dos seguintes números:
0,6 (lemos: seis décimos), ou seja, 6
10
.
0,75 (lemos: setenta e cinco centésimos), ou seja, 75
100
.
4,38 (lemos: quatro e trinta e oito centésimos), ou seja, 438
100
.
0,129 (lemos: cento e vinte e nove milésimos), ou seja, 129
1000
.
Verifique que:
60,6
10
=
 Uma casa decimal – Um zero
750,75
100
=
 Duas casas decimais – Dois zeros
4384,38
100
=
 Duas casas decimais – Dois zeros
1290,129
1000
=
 Três casas decimais – Três zeros
Desta forma, o número de zeros colocados no denominador é igual ao 
número de casas após a vírgula.
Situação 2: O número decimal é uma dízima periódica simples.
Inicialmente, vamos recordar que uma dízima periódica é a parte decimal 
infinita (não tem fim). A dízima periódica é dita simples quando for composta 
apenas de um período que se repete igualmente, por exemplo: 0,22222.... ; 
2,5656565656..... Já a dízima periódica composta, é composta de algarismos que 
não fazem parte do período, por exemplo, 0, 1555...; 2, 354444... Esta dízima será 
estudada na Situação 3. 
Esses números também podem ser escritos em forma de fração, mas apesar 
de serem números decimais na sua transformação, é preciso utilizar um processo 
diferente da Situação 1. Acompanhe o raciocínio:
 
Exemplo 1: Transformar 0,2222... em fração. 
Para isso chamaremos a dízima de x:
x = 0,2222... (I)
O objetivo é eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula 
para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 é que repete. Isso é o mesmo que 
multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim:
10x = 2,2222... (II)
Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas: (II) – (I).
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
12
10 2,222...
0, 222...
9 2
2
9
x
x
x
x
=
- =
=
=
Como x = 0,2222.... , então 0,2222.... é o mesmo que 9
2
. Se dividirmos 2 : 9 
chegaremos a 0,2222....
 
Exemplo 2: Transformar a dízima 0, 636363... em fração.
Repetindo o processo, temos:
x = 0,636363.... (I) 
Andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que 
repete nas casas decimais é o 63. Andar duas casas para a direita é o mesmo que 
multiplicar por 100. 
100x = 63,636363.... (II) 
Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas: 
Como x = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que 
100 63,636363 ...
0,636363 ...
99 63
63
99
 
 
x
x
x
x
=
- =
=
= .
Acadêmico! Note que, na prática, o número de noves colocados no 
denominador é igual ao número de dígitos que o período possui. Isso se aplica 
quando a parte inteira for nula. 
Quando tivermos, 2, 777..., teremos que separar a parte inteira da decimal 
para transformar, fazendo 2 + 0,777..., o que resultará em 2 + 
7
9
. Essa soma será 
estudada adiante.
Situação 3: O número decimal é uma dízima periódica composta.
O processo é semelhante da Situação 2. Acompanhe o raciocínio utilizado 
ao transformar a dízima 2,35555... em fração.
x = 2,35555...
100 63,636363 ...
0,636363 ...
99 63
63
99
 
 
x
x
x
x
=
- =
=
=
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
13
Como o 3 não faz parte da dízima, devemos multiplicar a equação por 10 
para que o número 3 passe para o outro lado deixando nas casas decimais apenas 
a dízima.
10x = 23,5555... (I) 
Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos 
ter um período fazendo parte da parte inteira.
10 . 10 . x = 235,5555... 
100x = 235,5555... (II)
Subtraindo as equações (II) e (I), teremos:
Como x = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que 
212
90
.
4 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Acadêmico! É imprescindível que você tenha domínio destas operações 
e que as realize sem o auxílio de calculadoras. Elas farão parte da sua jornada 
acadêmica e profissional, por este motivo é importante compreendê-las e não 
somente resolvê-las.
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador.
100 235,5555 ...
10 23,5555 ...
90 212
212
90
 
 
x
x
x
x
=
- =
=
=
Atente para a definição: SÓ PODEMOS SOMAR OU SUBTRAIR FRAÇÕES QUE 
POSSUAM O MESMO DENOMINADOR. Esta definição permite que você compreenda os 
artifícios utilizados adiante.
ATENCAO
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
14
Exemplo 1:
Veja a representação geométrica.
1 3
5 5
+
+
Como ambos os “todos” estão divididos em cinco partes, podemos 
“transportar” as quantidades, ficando com 4 das 5 partes do todo.
Assim, 
1 3 4
5 5 5
+ =
Exemplo 2: 
+ =
3 2
4 4
+
3 2 5 1
4 4 4 4
 ou 1 inteiro e + =
+
+ =
Exemplo 3: 
3 2
4 4
-
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
15
- =
3 2 1
4 4 4
 - =
-
Assim, para somar ou subtrair frações que possuem o mesmo denominador, 
basta manter o denominador e operar o numerador.
E se quisermos somar, 1 1
2 3
+ , como fazer?
Geometricamente, teremos:
Note que se “transportarmos” a quantidade 1 1
2 3
+ para o 1 1
2 3
+ , não irá caber. E, 
se “transportarmos” a quantidade 1 1
2 3
+ para o 1 1
2 3
+ irá sobrar espaço. Isso porque o 
todo está repartido em quantidades diferentes e, pela definição, somente podemos 
somar e subtrair frações que possuem o mesmo denominador, ou seja, que estejam 
repartidas em quantidades iguais.
Para podermos efetuar essa operação, devemos recorrer a frações 
equivalentes. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do 
todo. Por exemplo:
+
1 2 3 4 5 6, , , , , ,
2 4 6 8 10 12
 São frações equivalentes.…
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
16
Veja a representação gráfica:
1 inteiro
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
Acadêmico! Observe que apesar do “todo” estar repartido em quantidades 
diferentes, a parte pintada corresponde à metade da figura (todo) em todas as 
frações. Por isso dizemos que elas são frações equivalentes. 
Quando as frações não possuem o mesmo denominador, devemos reduzi-
las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida, 
somar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas.
+1
2
1
3
+3
6
2
6
Veja que agora o todo está repartido em partes iguais e assim podemos 
realizar a adição.
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
17
+ =
1 1 3 2 5
2 3 6 6 6
+ = + =
Exemplo:
Frações equivalentes 
às frações dadas, com o 
mesmo denominador
15 é o menor 
denominador comum 
ou o mínimo múltiplo 
comum de 3 e 5.
1 4 5 12 17
3 5 15 15 15
+ = + =
Veja, o denominador da fração 1 4 5 12 17
3 5 15 15 15
+ = + =, que era 3 e aumentou para 15, ou seja, 
multiplicamos por 5. Para encontrarmos o numerador que vai manter a equivalência, 
precisamos realizar a mesma operação feita no denominador (multiplicar por 5), 
assim, 1 x 5 = 5.
O mesmo ocorre para a fração 1 4 5 12 17
3 5 15 15 15
+ = + =, que tinha o denominador 5 e devido 
ao m.m.c., precisamos de uma fração equivalente com denominador 15, assim 
multiplicamos por 3 o denominador 5, logo precisamos fazer a mesma coisa no 
denominador, 4 x 3 =12.
1 5 
3 15
 Frações equivalentes=
4 12 
5 15
 Frações equivalentes=
É comum você ter aprendido que depois de ter encontrado o m.m.c., basta 
dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Claro que na prática é a mesma coisa 
que mostramos aqui, mas cuidado para não interiorizar que você pode realizar uma operação 
com o denominador e outra com o numerador. Então a dica é entender que a mesma 
operação (multiplicação ou divisão) que você faz para o denominador precisa ser repetida 
para o numerador da fração.
DICAS
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
18
Como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais 
denominadores?
Vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 5:
Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,...
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...
Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15, 30, 45, 60, ...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 15 é o menor deles. Chamamos 
o número 15 de mínimo múltiplo comum de 3 e 5.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é 
chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
IMPORTANT
E
Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea 
em fatores primos”. Esta técnica consiste em decompor simultaneamente cada 
denominador em fatores primos. O produto de todos os fatores primos que 
aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum.
Número primo é um número que possui apenas dois divisores (o número 
1 e ele mesmo). São números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Utilizando essa técnica, observe como determinar o m.m.c. de 12, 8 e 6.
Vejamos como utilizar esse conceito para determinar as frações equivalentes 
e conseguir resolver a adição e subtração de frações com denominadores diferentes, 
vamos a mais um exemplo:
Como os denominadores são diferentes, iniciamos determinando o m.m.c.
3 1 5 
10 2 6
- +
12,8,6 2
 6,4,3 2
 3,2,3 2
 3,1,3 3
 1,1,1 2.2.2.3 = 24
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
19
Sabemos que o novo denominador deve ser 30 para que possamosescrever 
frações equivalentes e, assim, obter frações de mesmo denominador para poder 
efetuar a adição e subtração.
4.2 MULTIPLICAÇÃO
Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por 
denominador.
Exemplo:
1 5 1 5 5
3 4 3 4 12
2 5 2 10
5
3 1 3 3
�
� � �
�
�
� � �
�
Lembre que 5 =
1
5
Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que as frações tenham 
denominadores iguais.
ATENCAO
10,2,6 2
 5,1,3 3
 5,1,1 5
 1,1,1 2.3.5=30
.
.
.
.
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
20
Para ilustrar esse conceito de multiplicação, vamos recorrer à geometria, 
acompanhe o procedimento. Seja a multiplicação entre duas frações: 1 2
2 3
⋅ , observe 
o processo geométrico.
Inicialmente, repre-
sentamos a primeira 
fração.
Na sequência, de-
vemos subdividir 
igualmente cada 
uma dessas partes, 
em quantidades 
iguais ao denomi-
nador da segunda 
fração, que neste 
exemplo é 3.
Nesta etapa, para
cada parte pintada 
tomamos a quanti-
dade de subdivisões
iguais ao numera-
dor da segunda fra-
ção, que no caso é 2.
Note que o círcu-
lo original foi divi-
dido em duas par-
tes e depois cada
parte subdividida 
em três, totalizando
seis subdivisões, 
destas seis, tomamos
duas, ou seja: 2/6.
Assim, verificamos que:
4.3 DIVISÃO
Você já aprendeu que para dividir frações devemos manter a primeira 
fração e inverter a segunda, passando a divisão para multiplicação. Desta forma:
1 2 2
2 3 6
⋅ =
1 3 1 2 1 2 2
:
5 2 5 3 5 3 15
�
� � � �
�
1 1 7 1 1 1 1 1
: 7 :
5 5 1 5 7 5 7 35
ou
�
� � � �
�
2
2
2 8 2 8 3 8 3 24 12
8 : : 12
3 1 3 1 2 1 2 2 1
ou
�
�
�
� � � � � �
�
1.
2.
3.
Este é um processo prático, mas você sabe por que mantemos a primeira 
fração e invertemos a segunda passando a divisão para multiplicação?
1)
2)
3)
.
.
.
.
.
.
TÓPICO 1 | OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
21
Na verdade, quando fazemos isso estamos omitindo uma passagem. 
O que se pretende ao multiplicar numerador e denominador pelo inverso do 
denominador é obter um denominador igual a 1, para operar apenas com o 
numerador, facilitando o cálculo. Observe:
Vamos ver também a forma geométrica da divisão entre frações, para isso, 
tomemos como exemplo a divisão 1 1:
2 4
.
Iniciamos representando geometricamente ambas as frações.
1 1 2 1 2
1 3 1 2 25 5 3 5 3: 3 3 25 2 1 5 3 15
2 2 3
⋅ ⋅
= = = = ⋅ =
⋅
Observe que a fração 1 1:
2 4
 cabe duas vezes na fração 1 1:
2 4
, portanto, podemos 
dizer que: 
1 1: 2
2 4
= .
Pelo artifício do algoritmo, 1 1 1 4 4: 2
2 4 2 2 2
= ⋅ = = .
1
4
1
2
22
Neste tópico estudamos:
• As características dos seguintes conjuntos numéricos: Conjunto dos números 
Naturais ( ); Conjunto dos números Inteiros ( ); Conjunto dos números 
Racionais (

); Conjunto dos números Irracionais ( ); Conjunto dos números Reais 
(

).
• A transformar um número fracionário em um número decimal e vice-versa. Na 
transformação de decimal para fracionário existem três situações, fique atento!
• Revisamos também as quatro operações básicas da matemática envolvendo 
frações. Vale lembrar:
a) Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador. 
Para isso, basta manter o denominador e somar ou subtrair o numerador. 
Quando os denominadores forem diferentes, precisamos buscar frações 
equivalentes.
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e 
denominador por denominador.
c) Para dividir frações, mantenha a primeira fração e inverta a segunda 
passando a divisão para multiplicação.
RESUMO DO TÓPICO 1
23
Prezado acadêmico! Chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre os 
conteúdos básicos da Matemática. Lápis e borracha em mãos e boa atividade!
1. Transforme os números decimais a seguir em fração:
a) 0,4
b) –1,3
c) 0,580
d) 45,6
2. Calcule e dê a resposta na forma fracionária:
a) 
1 3
2 5
+ =
b) 
7 1
3 5
- =
c) 2 1 3
3 4 5
- + =
d) 
2 1
5
+ =
e) 
1 1
2
- =
 
f) 5 3
6 4
- + =
3. Calcule os produtos e dê a resposta na forma fracionária:
a) 13 5 16
8 26 15
- ⋅ ⋅ =
b) 2,4.( 0,7).( 1,5)- - - =
c) 13 12. ( 0,6)
8 39
 - ⋅ - ⋅ = 
 
d) 1,7.( 0,3).( 4,1).6- - - =
AUTOATIVIDADE
24
4. Calcule as divisões:
a) 
2
3
9
4
=
b) 
1
5
3
5
=
c) 
3
4
4
=
d) 1 2
7
-
=
5. Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I) 3/1000 = 0,003
II) 2367/100 = 23,67
III) 129/10000 = 0,0129
IV) 267/10 = 2,67
Com base nas igualdades anteriores, escolha a alternativa correta.
a) ( ) Somente as alternativas I e II estão corretas.
b) ( ) Somente as alternativas I e IV estão corretas.
c) ( ) Somente as alternativas I, II e III estão corretas.
d) ( ) Somente as alternativas I, II, III e IV estão corretas.
25
TÓPICO 2
PORCENTAGEM E GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico teremos como objeto de estudo as grandezas diretamente 
e inversamente proporcionais. Este tema possibilita a resolução de situações-
problema em diversas áreas, inclusive na financeira. Problemas do tipo: “Com 120 
reais, compro 30 unidades de um determinado produto. Quanto pagarei por 54 
unidades desse mesmo produto?” farão parte desse estudo, assim como muitos 
outros que veremos a seguir.
Tão importante como conhecer as grandezas diretamente e inversamente 
proporcionais, é entender e realizar operações com porcentagem, tanto no 
cotidiano como no trabalho. Certamente você já ouviu e já deve ter dito expressões 
que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, 
referenciadas por porcentagem, por exemplo:
• A gasolina teve um aumento de 7,5%.
• Maria recebeu um desconto de 10% na compra de sua televisão.
• Dos acadêmicos da UNIASSELVI, 60% são mulheres.
Agora que você já sabe o que iremos estudar, deve estar ansioso para 
começar. Lembre-se de ter em mãos papel, lápis, borracha e calculadora para 
acompanhar os exemplos e resolver as atividades. 
2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Na física, grandeza tem um conceito mais amplo, porém na matemática, 
que é o nosso foco, podemos defini-la como tudo aquilo que pode ser mensurado, 
isto é, medido. Por exemplo, seu peso, sua altura, o salário de uma pessoa, a idade, 
o tempo e muito mais.
Ao medir, comparamos duas grandezas, utilizando uma delas como 
modelo ou padrão. Um marceneiro, por exemplo, para obter as medidas de um 
armário, utiliza uma trena, que lhe permite comparar as medidas da pessoa com as 
da trena, que se baseia no metro como unidade de medida. Ele então irá desenhar 
um projeto e o irá utilizar como padrão para o corte da madeira. As medidas deste 
projeto tornam-se uma grandeza que pode ser utilizada para fazer outro armário 
nas mesmas proporções do primeiro.
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
26
2.1 PROPORÇÃO
A proporção também se trata de um conceito muito importante. É comum 
escutarmos expressões do tipo:
“1/2 é proporcional a 2/4”
Aí vem a pergunta, por que 1/2 é proporcional a 2/4, o que quer dizer esta 
afirmação? Isto quer dizer que o resultado da divisão 1/2 é igual ao resultado da 
divisão 2/4, podemos ainda escrever, lembrando do conceito de razão, que a razão 
1/2 é igual à razão 2/4. Observe:
Portanto, como 1 2
2 4
= , podemos afirmar que as razões 1/2 e 2/4 são 
proporcionais, e ainda, que a igualdade 1 2
2 4
= forma uma proporção.
2.1.1 Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais quaisquer, genericamente representados 
por: a, b, c e d, diferentes de zero, podemos dizer que eles formam uma proporção 
quando a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o 
quarto, ou seja:
: :a c ou a b c d
b d
= = (lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Nesta situação, os números a, b, c e d são denominados de termos da 
proporção, onde os termos b e c são chamados de meios da proporção e os termos 
a e d de extremos da proporção.
Escrevendo a razão da seguinte forma:
1 20,5 0,5
2 4
 e = =
a b = c d: :
extremos
meios
Fica fácil identificar os meios e os extremos.
 Na proporção a seguir,
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZASPROPORCIONAIS
27
ou 1 : 5 = 3 : 15 (lê-se: 1 está para 5, assim como 3 está para 15) 
temos: meios da proporção: 5 e 3; extremos da proporção: 1 e 15.
2.2 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
A propriedade fundamental das proporções diz que:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Acompanhe os exemplos:
a) 4 24
3 18
=
Para a igualdade ser uma proporção, a razão 4 24
3 18
= deve ser igual à razão 
4 24
3 18
= 
e, de fato, temos que 4 24
3 18
= = 1,33 e 
4 24
3 18
= = 1,33.
Por outro lado, já que estamos diante de uma proporção, podemos verificar 
que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
Produto dos meios: 3 . 24 = 72
Produto dos extremos: 4 . 18 = 72
b)
A igualdade dada “não” se trata de uma proporção, pois a razão 1 5
3 8
=
 
é 
diferente da razão 1 5
3 8
= , ou seja, 
1 5
3 8
= = 0,33 e 
1 5
3 8
=
 
= 0,625.
Por “não” ser uma proporção, podemos verificar que o produto dos meios 
“não” é igual ao produto dos extremos:
Produto dos meios: 3 . 5 = 15
Produto dos extremos: 1 . 8=8
c) Determine o valor de x que torne a igualdade 
3
4 2
x
= uma proporção.
1 3
5 15
=
1 5
3 8
=
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
28
Pela propriedade fundamental das proporções podemos escrever:
x ∙ 2 = 4 ∙ 3 
2x = 12
x = 6
Verificação:
6 3
4 2
=
1,5 = 1,5
Ou seja, concluímos que x realmente deve ser igual a 6.
2.3 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Um exemplo de grandezas diretamente proporcionais é quando em um 
tanque abrimos uma torneira. Quanto mais tempo a torneira permanecer aberta, 
mais água o tanque irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As grandezas tempo 
de vazão da água e volume de água no tanque são grandezas diretamente 
proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de 
água no tanque.
Desta forma, duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, 
ao aumentarmos o valor de uma delas certo número de vezes, o respectivo valor 
da outra grandeza aumenta na mesma proporção. E, consequentemente, o mesmo 
ocorre quando diminuímos o valor de uma delas: proporcionalmente, o respectivo 
valor da outra também diminui.
Acompanhe a seguir duas clássicas situações-problema, que são resolvidas 
utilizando-se deste conceito.
Situação 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma 
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora 
de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Resolução: Podemos iniciar montando uma tabela que contemple as 
informações do problema.
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Agora, é preciso identificar o tipo de relação entre as variáveis. Por dedução, 
ao aumentar a área de absorção, a energia solar também aumentará.
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
29
Como as relações correspondem (aumentando - aumenta), podemos 
afirmar que as grandezas (área e energia) são diretamente proporcionais e podemos 
escrever a seguinte proporção:
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
1,2 ∙ x = 1,5 ∙ 400
1,2x = 600
1,2 400
1,5 x
=
Desta forma, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Situação 2: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 120,00. Quanto ela 
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Resolução: Montando uma tabela com os dados do problema:
600 500
1,2
x = =
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observamos que aumentando o número de camisetas, por dedução, o 
preço também aumentará. Visto que as relações correspondem (aumentando - 
aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. 
Como as grandezas são proporcionais, podemos escrever a proporção:
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
3 ∙ x = 5 ∙ 120
3x = 600
3 120
5 x
=
Portanto, concluímos que Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.
600 200
3
x = =
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
30
2.4 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Na situação de grandezas diretamente proporcionais, vimos que quanto 
maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no tanque. Agora 
imagine se aumentássemos para duas, três ou quatro, o número de torneiras 
abertas nesse tanque. O que aconteceria? Você deve ter percebido o óbvio. Quanto 
mais torneiras se tem, menor é o tempo para se encher o tanque.
Desta forma, duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, 
ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor 
da outra grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos 
o valor de uma delas e, proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta.
Acompanhe a seguir duas clássicas situações-problema, que são resolvidas 
utilizando-se deste conceito.
Situação 1: Um trem, ao se deslocar a uma velocidade média de 400Km/h, 
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo 
percurso se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Resolução: Novamente, iniciamos montando uma tabela que contemple as 
informações do problema.
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Ao tentar identificar o tipo de relação entre as variáveis, observamos que 
aumentando a velocidade, por dedução, o tempo do percurso diminuirá.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar 
que as grandezas são inversamente proporcionais. 
Observe, acadêmico, que a igualdade 
400 3
480 x
= montada conforme a 
tabela não forma uma proporção, pois as grandezas: velocidade e tempo não são 
proporcionais.
Nestes casos, para obtermos uma proporção, devemos inverter um dos 
termos da igualdade. Assim teremos:
480 3
400 x
�
Invertemos
os termos
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
31
Resolvendo a equação, teremos:
Assim, concluímos que o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 
horas e 30 minutos.
Situação 2: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou 
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 
horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Resolução: Iniciamos montando uma tabela que sintetize as informações 
do problema.
480 400 3
480 1200
1200
480
2,5
x
x
x
x
⋅ = ⋅
=
=
=
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Observamos que diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, 
por dedução, o prazo para término aumentará. Como as relações são contrárias 
(diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais, portanto a igualdade 8 20
5 x
= , escrita de acordo com a tabela, não 
forma uma proporção. 
Para obter a proporção devemos inverter um dos membros da igualdade. 
Observe que você pode inverter qualquer um dos membros da igualdade:
• Invertendo o primeiro membro da igualdade.
5 20
8 x
=
Resolvendo a equação temos:
5 8 20
160 32
5
x
x
= ⋅
= =
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
32
• Invertendo o segundo membro da igualdade.
8
5 20
x
=
Resolvendo a equação temos:
5 8 20
160 32
5
x
x
= ⋅
= =
Logo, a equipe fará o mesmo trabalho em 32 dias.
 
3 PORCENTAGEM 
Como tratamos na introdução deste tópico, porcentagem (ou percentagem) 
é uma operação matemática frequentemente utilizada em transações comerciais 
para calcular descontos, acréscimo de preços, quantidade, números, lucros, etc. 
Seu nome tem origem do latim (per centum), é indicada pelo símbolo % e quer dizer 
“por cento”, ou seja, uma razão de base 100. 
No tópico anterior estudamos que um número não inteiro pode ser 
representado na forma fracionária ou decimal. A porcentagem é uma outra forma 
de representar esses números. Veja:
3 0,03 3%
100
17 0,17 17%
100
3 20 60 0,60 60
5 20 100
%
= =
= =
⋅ = = =
Acadêmico! Atente ao fato de que nem sempre teremos que o denominador 
da fração é igual a 100, nestes casos é necessário que utilizemos algum artifício matemático 
para transformar o denominador no valor 100 e para isso utilizamos o conceito de frações 
equivalentes (estudadas no Tópico 1 desta unidade).
ATENCAO
TÓPICO 2 | PORCENTAGEME GRANDEZAS PROPORCIONAIS
33
Da mesma forma, podemos fazer o movimento inverso, transformando 
porcentagem em frações e decimais.
3.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM
Os cálculos que envolvem porcentagem são relativamente simples, no 
entanto, existem questões que demandam um olhar mais atento para interpretar a 
questão da maneira correta. Inicialmente, é fundamental estabelecer e compreender 
as seguintes relações:
1313% 0,13
100
8 28% 0,08
100 25
25 125% 0,25
100 4
= =
= = =
= = =
Porcentagem 100% 50% 25% 10% 5%
Fração
100
100
50 1
100 2
=
25 1
100 4
=
10 1
100 10
=
5 1
100 20
=
Decimal 1 0,5 0,25 0,10 0,05
Representa O todo
A metade 
(dividir o 
todo por 
dois)
A quarta 
parte 
(dividir o 
todo por 
quatro)
A décima 
parte 
(dividir o 
todo por 
dez)
A vigésima 
parte (dividir 
o todo por 
20)
Representação 
Gráfica
Com esta relação, resolvemos mentalmente, e de maneira rápida, várias 
situações que envolvem porcentagem. São exemplos:
• Uma peça de roupa que custa R$ 184,00 está em promoção com 50% desconto 
para pagamento à vista. Para calcular o valor da peça em promoção, basta 
dividir o valor total por dois, ou seja, 184/2 = 92. Logo, a peça de roupa custa R$ 
92,00 na promoção.
• Uma empresa de crédito está oferecendo um desconto de 15% para a quitação 
dos empréstimos para os contratantes que estão inadimplentes há mais de quatro 
meses. Júlio está nessa situação e tem como débito total a quantia de R$ 1.200,00. 
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
34
Para calcular o valor do desconto, basta calcularmos 10% e 5% do total e depois 
somarmos as quantias: 10% de R$ 1.200 é 120 e 5% de R$ 1.200 é a metade do valor 
de 10%, logo 60. Desta forma, 120 + 60 = 180, ou seja, o valor do desconto é de R$ 
180,00 e Júlio pagará a quantia de R$ 1.020,00 (R$ 1200 – R$ 180).
• Ao realizar o parcelamento do seguro do seu automóvel, Mariana irá pagar 
um acréscimo de 10%. O valor do seguro à vista é de R$ 1.500,00. Para saber 
quanto Mariana irá pagar pelo parcelamento do seguro, basta calcular 10% de 
R$ 1.500,00, isto é, R$ 150,00 (juros). Somando essa quantia ao valor do seguro 
para pagamento à vista, temos: R$ 1.500,00 + R$ 150,00 = R$ 1.650,00, valor total 
a ser pago pelo seguro ao efetuar o parcelamento.
• Marcelo realizou um empréstimo no valor de R$ 8.000,00. Irá pagar em 24 
vezes e, ao término, o montante total será acrescido de 60%. Para calcularmos 
o montante total, basta calcularmos 50% e 10% do valor inicial e somarmos: 
50% de R$ 8.000,00 = R$ 4.000,00 e 10% de R$ 8.000,00 = R$ 800,00. Portanto, o 
montante final será de R$ 12.800,00 (R$ 8.000,00 + R$ 4.000,00 + R$ 800,00).
Acadêmico! Veja que com essas porcentagens é possível calcular várias outras 
combinações de porcentagem. Treine outras possibilidades!
ATENCAO
Para casos mais complexos é possível calcular a porcentagem utilizando 
grandezas diretamente proporcionais, ou seja, a regra de três. Veja a situação a 
seguir: Ao comprar um produto que custa R$ 1.600,00, a loja concede um desconto 
de 16% sobre o valor para pagamento à vista. Qual será o preço à vista?
Valor original: 1.600,00
Desconto: 16%
O valor original é o preço total, e o total é sempre representado por 100, logo:
1600 = 100
Agora, quanto será 16% de 1600?
1600 -------- 100
x ----------- 16
Basta calcular na regra de três:
1600 ∙ 16 = x ∙ 100
x ∙ 100 = 25600
x = 25600 / 100
x = 256
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
35
Agora, sabemos que o valor de desconto será de R$ 256,00 e o produto terá 
um preço à vista de R$ 1.344,00 (R$ 1.600,00 – R$ 256,00).
Outra forma de calcular o valor da porcentagem é com a seguinte fórmula:
V = p ∙ (VI/100)
Sendo
V = valor da porcentagem
p = percentual aplicado
VI = valor inicial
Veja:
V = 16 ∙ (1600 / 100)
V = 16 ∙ (16)
V = 256
3.1.1 Aumento em porcentagem
Já tratamos aqui alguns exemplos que envolvem aumento/acréscimo em 
porcentagem, mas o intuito aqui é apresentar um método prático para essa classe 
de situações.
Vamos direto ao problema prático: Está chegando o mês de março e foi 
anunciado o seu reajuste salarial. O departamento de RH de sua empresa anunciou 
que o aumento será de 15%. Na mesma hora você já quer calcular quanto isso vai 
representar no seu salário? Então vamos lá:
Salário atual = 2.500,00 reais
Dissídio anual = 15 % ou 15/100 = 0,15
Novo salário: NS = 2500 + (0,15 ∙ 2500)
 NS = 2875 
O valor em reais do seu aumento será de R$ 375,00. Seu novo salário então 
passará a ser de R$ 2.875,00.
Existe uma maneira para fazer este cálculo bem rápido, pode utilizar uma 
calculadora. Para evitar o cálculo da fração mais a multiplicação (0,15 ∙ 2500) 
coloque o número 1 no lugar do zero (1,15), o número 1 representa os 100% do 
salário antigo que são adicionados ao acréscimo, neste caso de 15%. Desta forma, 
o cálculo fica:
NS = 2500 ∙ 1,15 = R$ 2.875,00
A quantia do aumento pode ser calculada da seguinte forma:
A = 2875 – 2500 = R$ 375,00
Fácil, não é? Se fosse 36% seria por 1,36, 70% seria 1,7 e se fosse de 100% 
simplesmente basta multiplicar por 2 = Valor + 100%.
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
36
3.1.2 Desconto em porcentagem
Da mesma forma que ocorre para situações que envolvem aumento em 
porcentagem, para situações que envolvem desconto em porcentagem também 
dispomos de um método prático para a resolução.
Suponhamos que você está procurando um smartphone para compra e, 
passeando pelo shopping, vê um anúncio onde o preço do produto é de R$ 1.800,00, 
porém, pagando à vista, no cartão da loja, o celular tem um desconto de 29%. 
Trata-se de um belo desconto, mas para comparar com os valores oferecidos pelas 
demais lojas, devemos calcular o valor final do smartphone.
Y = 1800 – (0,29 ∙ 1800)
Y = 1800 – 522
Y = 1278
O valor do seu desconto será de R$ 522 e o preço do smartphone será de 
R$ 1.278,00.
Como você viu na situação anterior, quando falamos de aumento percentual, 
colocamos o número 1 adicionado à porcentagem de acréscimo. Para desconto 
devemos realizar a operação contrária, ou seja, você deve subtrair: 1 – 0,29 = 0,71. 
Y = 1800 ∙ 0,71 = R$ 1278
Para determinar o desconto, basta calcular: D = 1800 – 1278 = R$ 522
Se o desconto aplicado fosse de 5%, faríamos: 1800 ∙ 0,95, ou 40% 1800 ∙ 0,60.
ATENCAO
4 OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMA
A seguir, apresentamos mais algumas situações que envolvem os conceitos 
estudados neste tópico.
Situação 1: Enem 2014 – Matemática – De acordo com a ONU, da água 
utilizada diariamente,
25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes.
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
37
• 33% são utilizadas em descarga de banheiro.
• 27% são utilizadas para cozinhar e beber.
• 15% são para demais atividades.
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por 
dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, em 
algumas atividades.
Atividade Consumo total de água na atividade (em litros)
Tomar banho 24,0
Dar descarga 18,0
Lavar as mãos 3,2
Escovar os dentes 2,4
Beber e cozinhar 22,0
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo 
o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em 
média, em litros de água,
 a) 30,0 b) 69,6 c) 100,4 d) 130,4 e) 170,0
Resolução: Dos 200 litros de água, desconsideramos os 15% usados para 
outras atividades (que não sejam as listadas na tabela)
200 – 15% = 200 ∙ 0,85 = 170
Somando os consumos da tabela do enunciado: 24,0 + 18,0 + 3,2 + 2,4 + 22,0 = 69,6.
Desta forma, cada brasileiro economizaria 170 – 69,6 = 100,4 litros de água 
por dia.
Situação 2: (ENEM 2013) – Matemática – Para aumentar as vendas no início 
do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% 
abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o 
cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor 
total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da 
remarcaçãode preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente 
possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a 
compra, em reais, seria de:
 a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00 e) 4,00
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
38
Resolução: Preço do produto sem o desconto: R$ 50,00.
Preço do produto com o desconto de 20% (1 – 0,20 = 0,80): R$ 50,00 ∙ 0,80 = 
R$ 40,00.
Valor do desconto fidelidade de 10% sobre os R$ 40,00: R$ 40,00 ∙ 10% = R$ 4,00.
Portanto, o desconto do cartão fidelidade, caso o cliente o possuísse, seria 
de R$ 4,00.
Situação 3: (EXATUS-PR 2016) Considere que uma caixa de bombom 
custava, em novembro, R$ 8,60 e passou a custar, em dezembro, R$ 10,75. O 
aumento no preço dessa caixa de bombom foi de:
 a) 30% b) 25% c) 20% d) 15%
Resolução: Resolvemos facilmente esse problema, usando regra de três 
simples.
R$ 8,60 era o valor total antes do reajuste, ou seja, os 100%.
O reajuste foi de R$ 2,15 (R$ 10,75 – R$ 8,60)
Logo,
8,60 -------- 100%
2,15 --------- x%
8,60 ∙ x = 2,15 ∙ 100
8,60x = 215
x = 215/8,60
x = 25%
Situação 4: Uma hamburgueria localizada na cidade de Blumenau, em 
Santa Catarina, vende, em média, 500 hambúrgueres artesanais por semana, a R$ 
20,00 a unidade. O proprietário estima que, para cada real de aumento no preço 
unitário de venda dos hambúrgueres, haverá redução de dez unidades na média 
semanal de vendas. Com base nessas informações, julgue a afirmação a seguir em 
certa ou errada.
“Caso o proprietário da hamburgueria aumente em 50% o preço de cada 
hamburguer, a média semanal de vendas diminuirá em 50%.”
Resolução: Vamos analisar as informações iniciais.
Vende 500 hambúrgueres por semana a R$ 20,00.
Se aumentar o valor para R$ 21,00, venderá apenas 490 hambúrgueres.
TÓPICO 2 | PORCENTAGEM E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
39
Em porcentagem, temos:
• Em relação ao aumento de preço
20 ------ 100%
1 -------- x %
20x = 100
x = 100/20
x = 5%
Portanto, o aumento de R$ 1,00 representa 5%.
• Em relação à redução do número de hambúrgueres vendidos 
semanalmente
500 ------ 100%
10 ------- x %
500x = 10 ∙ 100
500x = 1000
x = 1000/500
x = 2%
Desta maneira, concluímos que se o proprietário aumentar o preço do 
hambúrguer em 5%, haverá uma redução de 2% nas vendas. E, ao aumentar o 
preço em 50% (10 vezes mais), as vendas cairão em 20% (2% vezes 10). Assim, 
concluímos que a afirmação é falsa.
40
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você, acadêmico, fez o estudo das proporções e porcentagens, 
bem como aprendeu a utilizar estes conceitos na resolução de problemas. É 
importante destacar:
• A propriedade fundamental das proporções garante que “Em toda proporção, 
o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
• Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, ao aumentarmos 
o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra 
grandeza aumenta na mesma proporção. E, consequentemente, o mesmo ocorre 
quando diminuímos o valor de uma delas: proporcionalmente, o respectivo valor 
da outra também diminui.
• Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, ao aumentarmos 
o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra 
grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos o valor de 
uma delas e proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta.
• O termo porcentagem tem origem do latim (per centum), é indicado pelo símbolo 
% e quer dizer “por cento”, ou seja, uma razão de base 100.
• Quando falamos de aumento percentual, colocamos o número 1 adicionado à 
porcentagem de acréscimo. Para desconto devemos realizar a operação contrária, 
ou seja, você deve subtrair de 1.
41
Prezado acadêmico! Chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre 
as grandezas direta ou inversamente proporcionais e porcentagens. Lápis, 
borracha e calculadora em mãos e boa atividade!
1 Cloreto de sódio, também conhecido como sal de cozinha, é produzido 
em diversas formas: sal não refinado (como o sal marinho), sal refinado (sal 
de cozinha) e sal iodado. Embora a maioria das pessoas esteja familiarizada 
com os vários usos do sal na culinária, desconhece que a substância é utilizada 
em várias outras aplicações, como a manufatura de papel e a produção 
de sabão e detergentes. O sal de cozinha é uma substância formada por cloro 
e sódio na razão 71
46
. Calcule, em gramas, a massa de cloro contida em uma 
mistura de sal com 23 g de sódio.
a) ( ) 142 g
b) ( ) 71 g
c) ( ) 35,5 g 
d) ( ) 14,9 g
2 Os medicamentos genéricos são cópias de medicamentos inovadores cujas 
patentes já expiraram, isto é, contém o mesmo princípio ativo, na mesma dose e 
forma farmacêutica, são administrados pela mesma via e com a mesma indicação 
terapêutica do medicamento de referência, apresentando a mesma segurança. 
Carlos Eduardo faz uso de uma medicação que atualmente é fornecida pelos 
laboratórios A, B e C. Sabe-se que o laboratório B custa 20% menos que o 
laboratório A e que o custo do laboratório C é 10% menor que o laboratório 
B. Considerando que uma caixa com 30 comprimidos deste medicamento 
fornecido pelo laboratório A custe R$ 60,00, quanto custa a mesma quantidade 
desta medicação fornecida pelo laboratório C?
a) ( ) R$ 42,00.
b) ( ) R$ 43,20.
c) ( ) R$ 48,00.
d) ( ) R$ 52,80.
3 Uma empresa de representações oferece aos seus vendedores quatro tipos 
diferentes de contrato de trabalho. Cada um deles possui um valor fixo (que 
independe de quanto o vendedor vendeu durante o mês) e uma comissão, em 
porcentagem, baseada na quantia vendida. Os quatro contratos oferecidos são:
A – Valor fixo de R$ 1.200,00 + 1% de comissão da quantia vendida no mês.
B – Valor fixo de R$ 1.000,00 + 5% de comissão da quantia vendida no mês.
C – Valor fixo de R$ 800,00 + 10% de comissão da quantia vendida no mês.
D – Valor fixo de R$ 600,00 + 15% de comissão da quantia vendida no mês.
AUTOATIVIDADE
42
Sabendo que, em média, o volume de vendas mensais de cada vendedor é de 
R$ 6.000,00, qual tipo de contrato gera o maior salário?
a) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 6.000,00 é o A.
b) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 6.000,00 é o B.
C) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 6.000,00 é o C.
D) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 6.000,00 é o D.
4 Antônio possui uma piscina em forma de paralelepípedo reto re-
tângulo em sua casa, cujas dimensões são 10 metros de comprimento, 
5 metros de largura e 1,5 metro de altura. Para fazer a limpeza de sua 
piscina ele comprou um produto à base de cloro. Antes de aplicar o 
produto, ele leu as instruções, que indicavam que deveriam ser aplicadas 3 gotas do 
produto para cada 15.000 litros de água. Sabendo que 1m3 de água equivale a 1.000 
litros, indique quantas gotas do produto ele deverá aplicar na limpeza da piscina.
a) ( ) 5 gotas.
b) ( ) 10 gotas.
c) ( ) 15 gotas.
d) ( ) 20 gotas.
5 Juros é a quantia gerada pela aplicação de um valor por determinado tempo 
a um percentual fixo. O regime de juros será simples quando o percentual 
de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada 
período não incidirão novos juros. Desta forma, resolva o seguinte problema: 
um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado durante três meses à taxa de 10% a.t. (ao 
trimestre). Quanto foi pago de juros após três meses?
a) ( ) Após três meses foram pagos de juros 300 reais.
b) ( ) Após três meses foram pagos de juros 3.000 reais.
c) ( ) Após três meses foram pagos de juros 100 reais.
d) ( ) Após três meses foram pagos de juros 1.000 reais.
6 (UDESC 2010) Seu Antônio, um sujeito organizado e atento a promoções, 
decidiu pesquisar os preços de passagens aéreas, após ler a seguinte manchete:
“As medidas tomadas para aumentar a concorrência no setor aéreo já tiveram 
efeito.Os preços das passagens nacionais e internacionais baixaram. Esses 
preços podem ficar ainda menores se o consumidor se organizar”. 
(O Globo, 12/05/2009)
Seu Antônio descobriu que certa empresa aérea estava operando o trajeto 
Florianópolis – São Paulo com um desconto de 40% durante o mês de novembro, e 
que esta empresa oferecia ainda um desconto adicional de 10%, às segundas-feiras. 
43
Ele então decidiu viajar em uma segunda-feira de novembro para economizar R$ 
138,00, aproveitando esta promoção. O valor desta passagem, em reais, cobrado 
por esta empresa antes da promoção, era igual a:
a) ( ) 255,55
b) ( ) 215,62
c) ( ) 276,00
d) ( ) 313,63
e) ( ) 300,00
7 (PUC-RIO 2007) 30% de 30% são:
a) ( ) 3000%.
b) ( ) 300%.
c) ( ) 900%.
d) ( ) 9%.
e) ( ) 0,3%.
8 (PUC-RIO 2009) João recebeu um aumento de 10% e com 
isso seu salário chegou a R$ 1.320,00. O salário de João antes do 
aumento era igual a?
a) ( ) R$ 1.188,00.
b) ( ) R$ 1.200,00.
c) ( ) R$ 1.220,00.
d) ( ) R$ 1.310,00.
e) ( ) R$ 1.452,00.
44
45
TÓPICO 3
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico! Você reconhece esses testes?
FONTE(1): Disponível em: <https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR
vKpY1oznL6tOsdnu1NFV-KvvGbQ7hlfZ_169UxKQ1dFiptnCM>. Acesso em: 25 abr. 2017.
( 2 ) D i s p o n í v e l e m : < h t t p : / / o t e d i o m e a m a . c o m . b r / w p - c o n t e n t /
uploads/2016/02/20_1456139210-300x157.png>. Acesso em: 25 abr. 2017.
Eles rodam a internet e parecem muito simples, mas realmente muitas 
pessoas falham na sua resolução! Os erros ocorrem, não porque não sabem 
somar ou multiplicar, mas pelo fato de não respeitar a ordem de resolução dessas 
expressões.
As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de 
operações fundamentais (radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição 
e subtração) com qualquer tipo de números (naturais, inteiros, racionais e reais). 
Os cálculos que envolvem expressões numéricas são altamente necessários 
para solucionarmos as mais variadas situações. Através do conhecimento das 
operações básicas da matemática e da interpretação dos dados contidos nas 
situações, podemos extrair suas principais informações e transformá-los em um 
modelo matemático, para então, efetuar os cálculos para a sua resolução.
Para iniciar este estudo, vamos fazer algumas inferências para oportunizar 
que você recorde algumas regras importantes das operações elementares.
46
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
2 = 32
5
Expoente
Base
Potência
2 POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma operação que indica, de forma resumida, a 
multiplicação de fatores iguais. Por exemplo, a multiplicação 2.2.2.2.2, pode ser 
indicada na forma 25 e recebe as seguintes denominações:
Onde a base é o fator que repete, o expoente indica a quantidade de vezes 
que o fator irá repetir e a potência é o resultado da operação.
Desta forma, definimos como potência todo número na forma an, com 
a ≠ 0. Onde a é a base, n é o expoente e an é a potência.
an = a . a . a . a . ... . a (n vezes)
Exemplos:
1) 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81
2) (-2)2 = (-2) ∙ (-2) = +4
3) (-2)3 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -8
4) 
24 4 4 16
5 5 5 25
  = ⋅ = 
 
CUIDADO com os sinais.
Quando estamos multiplicando, devemos aplicar a regra de sinais:
ATENCAO
++ = +
-- = +
-+ = -
+- = -
TÓPICO 3 | EXPRESSÕES NUMÉRICAS
47
Por convenção, todo número elevado a  0  é igual a 1,  a0  = 1  e todo número 
elevado a 1 é igual a ele próprio, a1 = a.
ATENCAO
São importantes algumas observações:
• Base negativa elevada a expoente PAR tem resultado positivo. Exemplos:
1) (-2)2 = (-2) . (-2) = +4
2) (-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = +16
3) (-3)2 = (-3) . (-3) = +9
4) (-5)4 = (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = +625
• Base negativa elevada à expoente ÍMPAR tem resultado negativo. 
Exemplos:
1) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8
2) (-2)5 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32
3) (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = -27
4) (-5)3 = (-5) . (-5) . (-5) = -125
• Quando a base for positiva, não importa o expoente, o resultado será 
sempre positivo. Exemplos:
1) (+2)2 = (+2) . (+2) = +4
2) (+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8
3) (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
4) (+5)3 = (+5) . (+5) . (+5) = +125
• Atenção nestas situações!
1) - (+2)2 = - [(+2) . (+2)] = - [+4] = -4
2) - (-2)2 = - [(-2) . (-2)] = - [+4] = -4
3) - (-2)3 = - [(-2) . (-2) . (-2)] = - [-8] = +8
4) - (+2)3 = - [(+2) . (+2) . (+2)] = - [+8] = -8
Acadêmico! O sinal negativo também pode aparecer no expoente. Quando 
isso ocorre, temos a indicação de que a base da potência deve ser invertida e 
simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente. Isto é:
1 
n n
n
n
a ba ou
a b a
-
-    = =   
   
1 
n n
n
n
a ba ou
a b a
-
-    = =   
   
48
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
Acompanhe alguns exemplos:
( )
( )
3
3
5
5
4
4
2 2 2
2
3 3 3 3
3
3 3
1 1)2
2 8
1)
1 1) 3
813
2 3 3 9)
3 2 2 4
5)
5 5 125
4 7 7 7 7 343)
7 4 4 4 4 64
1
2
3
4
5
6
x
x
a a a
a
-
-
-
-
-
-
= =
=
- = =
-
   = = =   
   
   = = =   
   
         - = - = - ⋅ - ⋅ - = -         
         
Observe que nos exemplos 3 e 6, o sinal negativo do expoente não interferiu no 
sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
IMPORTANT
E
3 RADICIAÇÃO
Da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição e a 
divisão é a operação inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da 
potenciação. De modo geral podemos escrever: 
( ) 1nn a b b a n en= ⇔ = ∈ ≥ , onde:
Índice
Radicando
Raiz
n
a = b
Exemplos:
2
2
33
55
1) 25=5, pois 5 =25
2) 81=9, pois 9 =81
3) 27 =3, pois 3 =27
4) 32=2, pois 2 =32
TÓPICO 3 | EXPRESSÕES NUMÉRICAS
49
3.1 RAÍZES NUMÉRICAS
Para resolvermos as raízes numéricas, usamos a técnica de fatoração em 
números primos, que já estudamos no Tópico 1.
Exemplos: 
4 2
144 2 3� � �
4 2
2 3� �
4 2
2 2
2 3� �
2 1
2 3 4 3 12� � � �
4 2
2144
272
236
218
39
33
1 2 3 144� �
Forma
fatorada
de 144
1)
5
243 3� �
4 2
3 3� �
3 2
3 3
3 3� �
5
243
81
27
9
3
1
3 243�
Forma
fatorada
de 243
2) 3 3 33
3 2
3�
3 3
2
3
3 3�
3 �
2
3
3
3 � 9
3
ou
ou
Resultados
possíveis
3
3
3
3
3
Note que nem sempre chegaremos a eliminar o radical. Muitas vezes, apenas 
escrevemos em uma forma mais simplificada.
ATENCAO
50
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
3.2 RAÍZES LITERAIS
Veja um exemplo de raiz literal: 5t . Escrever o radical 5t na forma de 
expoente fracionário t5/2 não resolve o problema, pois cinco não é divisível por 2. 
Para simplificar esta raiz, vamos decompor o número cinco da seguinte forma: 5 = 
4 + 1, pois 4 é divisível por 2 que é o índice da raiz.
Assim temos:
Acompanhe outros exemplos:
1) 3 314 12 2x x += pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
45 4 1 4 1 4 1 22t t t t t t t t t t+= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
2) 
3 12 2
3 312 2
12 3 23
34 2
x x
x x
x x
x x
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
3 36 63
63 3 3
3 23
1 2
2
27. 27
3
3
3
3
(pois 6 é divisível por 3)
x x
x
x
x
x
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
3
327
39
33
1 3 27=

34 6 4 633 3
63 33 3 1 3
3 33 3 23
3 3 23 3
23 3
2 3 3
2 3
48 48
2 .6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
pois 4
não é
divisível
por 3
x y x y
x y
x x y
x x y
x x y
xy x
xy x
+
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
3) 48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
23.2.3 = 23.6 = 48
TÓPICO 3 | EXPRESSÕES NUMÉRICAS
51
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS
Acompanhe as operações que podemos realizar com radicais e como 
resolver cada uma delas.
3.3.1 Adição e subtração
Para efetuar a adição ou subtração com radicais é necessário que os radicais 
sejam semelhantes, isto é, que tenham o mesmo índice e o mesmo radicando. 
Então, basta somar ou subtrair os fatores externos.
Exemplos:
1) 3 3 32 2 2 2+ =
2) 32 8 2 2 2 2 2 3 2+ = + = + =
3) 
4) 3 5 2 23 8 32 4 18 3 2 2 4 2.3 3.2 2 2 2 4.3 2 = - + - + = - + =
= 6 2 4 2 12 2 14 2- + =
3.3.2 Multiplicação e divisão
Namultiplicação e divisão de radicais, só haverá solução se os índices 
forem iguais. Caso contrário, é necessário primeiramente reduzir ao mesmo índice 
e depois se efetuar a operação indicada.
Índices iguais:
Índices diferentes:
.
.
. .
: : ,
 
 com b 0.
nn n
n n n
a b a b
a b a b
=
= ≠
. .. .
. .. .
. . .
: : : ,
 
 
 
 com b 0.
n m m n n mm n m nn m
n m m n n mm n m nn m
a b a b a b
a b a b a b
= =
= = ≠
3 3 310 2 4 2 2+ - =
52
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
Exemplos:
1) 2. 5 2.5 10= =
2) 2.3 3.2 63 2 3 23 6 62. 3 2 . 3 2 .3 8.9 72 = = = =
3) 2.3 3.2 63 2 3 23 65 : 3 5 : 3 5 : 3 125 : 9 = = =
4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Expressões numéricas são formadas por conjuntos de números que são 
submetidos a operações matemáticas com uma ordem de operações preestabelecida 
por uma convenção. Além de números reais e operações, as expressões numéricas 
também apresentam sinais de associação. Observe os elementos de uma expressão 
numérica:
 Números Reais
 Operações:
• Adição +
• Subtração –
• Multiplicação × ou ∙
• Divisão ÷ ou /
• Potenciação an
• Radiciação √
 Sinais de associação:
• Parênteses ( )
• Colchetes [ ]
• Chaves { }
Ainda para efeitos didáticos, as expressões são classificadas em:
• expressões contendo só operações;
• expressões contendo operações e parênteses.
• expressões contendo operações, parênteses e colchetes;
• expressões contendo operações, parênteses, colchetes e chaves.
A seguir, veremos o cálculo de cada uma dessas expressões.
4.1 CÁLCULO DE UMA EXPRESSÃO NUMÉRICA
Conforme já dito aqui, o cálculo de expressões numéricas possui regras e é 
preciso conhecê-las para que os resultados sejam verdadeiros. Vamos recordá-las!
• Entre as operações de adição e subtração, efetuamos a que aparecer primeiro.
TÓPICO 3 | EXPRESSÕES NUMÉRICAS
53
Uma boa ideia é sublinhar as operações realizadas para facilitar uma revisão.
DICAS
2 + 4 – 5 + 2 – 1 =
6 – 5 + 2 – 1 =
1+ 2 – 1 =
3 – 1 = 2
232 + 4 – 105 – 4 – 1 =
236 – 105 – 4 – 1 =
131 – 4 – 1 =
127 – 1 = 126
Exemplos:
• Entre as operações de multiplicação e divisão, devemos efetuar as operações na 
ordem que é apresentada. Exemplos:
2 . 4 ÷ 1 ÷ 2 . 3 =
8 ÷ 1 ÷ 2 . 3 =
8 ÷ 2 . 3 =
4 . 3 = 12
22 ÷ 11 . 5 ÷ 2 ÷ 5 =
2 . 5 ÷ 2 ÷ 5 =
10 ÷ 2 ÷ 5=
5 ÷ 5 = 1
• Nas expressões com as operações de multiplicação, divisão, adição e subtração, 
efetuaremos primeiramente as multiplicações e divisões e depois as adições e 
subtrações. Exemplos:
2 + 4 ÷ 1 – 2 . 3 =
2 + 4 – 2 . 3 =
2 + 4 – 6 =
6 – 6 = 0
22 ÷ 11 + 5 . 2 – 5 =
2 + 5 . 2 – 5 =
2 + 10 – 5 =
12 – 5 = 7
• Nas expressões com as operações de potenciação, radiciação, multiplicação, 
divisão, adição e subtração, efetuaremos primeiramente as potenciações 
e radiciações, depois as multiplicações e divisões e, por fim, as adições e 
subtrações. Exemplos:
5 + 3² . 2 =
5 + 9 . 2 =
5 + 18 =
23
 √36 . 3² – √64 =
6 . 9 – 8 = 
54 – 8 = 
46
Desta forma, podemos sintetizar que para resolver uma expressão numérica, 
efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem:
1°) Potenciação e radiciação.
2°) Multiplicações e divisões.
3°) Adições e subtrações.
54
UNIDADE 1 | OPERAÇÕES BÁSICAS
Acadêmico! Fique atento, pois há elementos que podem interferir nessas 
regras. São os parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }. As operações que estão 
indicadas entre parênteses devem ser efetuadas por primeiro sempre. Depois as 
que estão entre colchetes (quando houver), na sequência as que estão entre chaves 
e, por fim, as operações que não estão acompanhadas destes elementos. Observe 
os exemplos:
(2 + 4) ÷ 1 – 2 . 3 =
6 ÷ 1 – 2 . 3 =
6 – 2 . 3 =
6 – 6 = 0
32 ÷ (11 + 5) . 2 – 1 =
32 ÷ 16 . 2 – 1 =
2 . 2 – 1 =
4 – 1 = 3
34 ÷ (2 + 3 . 5) – 1 =
34 ÷ (2 + 15) – 1 =
34 ÷ 17 – 1 =
2 – 1 = 1
12 . (4 – 2) ÷ (2 . 3 – 2) =
12 . 2 ÷ (6 – 2) =
12 . 2 ÷ 4 =
24 ÷ 4 = 6
35 ÷ [(14 – 2 . 5) + 1] =
35 ÷ [(14 – 10) + 1] =
35 ÷ [4 + 1] =
35 ÷ 5= 7
74 + {10 - [5 - (6 - 4) + 1]}= 
74 + {10 - [5 – 2 + 1]}= 
74 + {10 - [3 + 1]}= 
74 + {10 - 4}= 
74 + 6= 
80
40 – [25 + ( 2³ - 7 )] =
40 – [25+ ( 8 - 7 )]
40 – [25 + 1 ]=
40 – 26 =
14
{[( 8 . 4 + 3) ÷ 7 + ( 3 + 15 ÷ 5) . 3] . 2 – (19 – 7) ÷ 6}=
{[( 32 + 3) ÷ 7 + ( 3 + 3) . 3] . 2 – (12) ÷ 6}=
{[( 35) ÷ 7 + ( 6 ) . 3] . 2 – 12 ÷ 6}=
{[ 5 + 18 ] . 2 – 12 ÷ 6}=
{[ 23 ] . 2 – 12 ÷ 6}=
{46 – 2 }=
44 
Assim, destacamos que nas expressões onde aparecem os sinais de 
associação, estes devem ser eliminados na seguinte ordem:
1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }
55
RESUMO DO TÓPICO 3
Acadêmico! Neste tópico, tivemos a oportunidade de relembrar as 
operações de potenciação e radiciação, bem como resolver expressões numéricas. 
Deste estudo, é válido destacar:
• Potenciação indica multiplicações de fatores iguais.
• Radiciação é a operação inversa da potenciação e simbolicamente representamos 
por: ( ) 1nn a b b a n en= ⇔ = ∈ ≥
• Para resolver as raízes numéricas, devemos usar a fatoração em números primos. 
Já as raízes literais, devemos simplificá-las levando em consideração o índice.
• Expressões numéricas são formadas por conjuntos de números que são 
submetidos a operações matemáticas com uma ordem de operações preestabelecida 
por uma convenção.
56
Acadêmico! O processo de resolução de expressões numéricas pode parecer 
difícil no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos caminhos que 
não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o importante 
é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e 
mãos à obra! 
1 Calcule as seguintes potências:
a) 62
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h) 
43
2
 
 
 
i) 
43
2
 - 
 
j) 
33
2
 - 
 
k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o) 
23
5
 - 
 
2 Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) 3 32 =
b) 3 25 =
c) 4 27 =
d) 7 81 =
e) 8 512 =
f) 8 625 =
3 Calcule a raiz indicada:
a) 24a =
b) 2 636a b =
c) 2 44
9
a b =
d) 
2
100
x
=
e) 
1016
25
a
=
f) 24 100x =
g) 8 121 =
h) 5 105 1024x y =
i) 4 1
25
=
j) 
6
3
3
a
b
=
k) 
4
2 6
16x
y z
=
4 Efetue as seguintes adições e subtrações que envolvem radicais:
AUTOATIVIDADE
3 3 3 3
33 3 3
3 3
4 4 4 4
24 54 96 6
8 2 50 6 98 3 32
300 50 162 243
2 16 54 128
54 24 250 192
4 5 4 2
80 3 16 3 3125 4 5
a) 
b) 5
c) 
d) 
e) 
f) 2
d) 2
+ - +
+ - +
+ - +
+ + +
+ + +
- +
+ - +
57
5 Coloque os parênteses de forma que as expressões sejam verdadeiras.
a) 2 x 5 + 6 – 1 = 20 b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2 c) 12 ÷ 4 x 5 – 1 = 12 
d) 102 x 2 – 1 = 102 e) 23 – 2 x 2 + 4 = 126 f) 100 ÷ 4 x 6 + 1 = 4
6 Associe cada frase à expressão numérica adequada. Para isso, escreva a letra 
e o símbolo romano correspondentes. Depois, resolva cada expressão.
I) O dobro de 9, adicionado ao cubo de 5 e subtraída desse resultado a raiz 
quadrada de 64.
II) O quadrado de 9, adicionado ao triplo de 5 e subtraída desse resultado a 
metade de 64.
III) A raiz quadrada de 9, adicionada ao quadrado de 5 e subtraída desse 
resultado a raiz quadrada de 64.
a) ( ) 9² + 3.5 – 64 : 2
b) ( ) 9 + 5² - 64
c) ( ) 2 . 9 + 5³ - 64
7 Resolva as expressões numéricas:
a) 50 – [ 37 – ( 15 – 8 ) ] = 
b) 28 + [50 – (24 – 2) -10 ] = 
c) 20 + [ 13 + (10 – 6) + 4] =
d) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4)]} = 
e) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = 
f) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = 
g) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = 
h) 45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = 
i) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = 
j) 38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = 
3 3 3 3
33 3 3
3 3
4 4 4 4
24 54 96 6
8 2 50 6 98 3 32
300 50 162 243
2 16 54 128
54 24 250 192
4 5 4 2
80 3 16 3 3125 4 5
a) 
b) 5
c) 
d) 
e) 
f) 2
d) 2
+ - +
+ - +
+ - +
+ + +
+ + +
- +
+ - +
58
59
UNIDADE 2
EQUAÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partirdesta unidade você será capaz de:
• identificar os tipos de equações, reconhecer seus elementos e determinar 
suas raízes;
• compreender situações-problemas que envolvam proporcionalidade, 
sabendo representá-las por meio de equações;
• traduzir uma sentença matemática expressa em linguagem corrente;
• generalizar regularidades sem recorrer a processos aritméticos;
• compreender as diversas aplicações dos conceitos de equações.
Nesta unidade de ensino, a abordagem da Matemática para Gestão Finan-
ceira está dividida em três tópicos, nos quais se apresentam conceitos fun-
damentais sobre equações e suas tipologias. Cada tópico oferecerá subsídios 
que o auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoati-
vidades solicitadas.
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES MODULARES
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
60
61
TÓPICO 1
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Pior que o boitatá e a mula-sem-cabeça, somente a matemática. Essa 
comparação de horror pode ser ouvida diariamente, ainda que em palavras 
diversas, em instituições particulares e públicas, em todos os níveis de ensino. Para 
os alunos, o horror é tanto que, muitas vezes, perdura por toda a vida. 
Há um preconceito de que a matemática é difícil e chata. E isto já é histórico. 
Na maioria das vezes, os alunos recebem dos pais essa ideia, ouvindo-os dizer 
que nunca entenderam e sempre tiveram dificuldade em matemática. Alguns pais 
chegam a estranhar quando um filho diz que gosta da disciplina.
O problema é quando a dificuldade com os números e a falta de 
conhecimento da importância do processo impactam na vida financeira, seja na 
de pessoa física ou na pessoa do empreendimento. Devido à aversão criada desde 
cedo com a matemática, muitos microempreendedores tropeçam em questões 
essenciais na gestão do seu negócio. As dúvidas comuns são: Quanto tenho em 
caixa? Qual é meu ponto de equilíbrio? Qual é o melhor investimento? Invisto 
agora ou é melhor aguardar um outro momento?
Não há fórmula mágica, mas acreditamos que a gestão financeira é essencial 
para o empreendimento e, consequentemente, o domínio dos números. Portanto, 
essa unidade de estudo lhe dará subsídios que o levarão a compreender e aplicar 
os conceitos de equações.
2 INCÓGNITA
Na língua portuguesa, incógnita é um substantivo feminino que indica algo 
desconhecido e que se pretende conhecer. São sinônimos de incógnita: mistério, 
problema, segredo, enigma etc.
Na matemática, incógnita é uma grandeza ou quantidade desconhecida, 
que se pretende descobrir para resolver uma determinada situação. As incógnitas 
são comumente representadas pelas letras x, y e z, mas podemos representá-las 
por qualquer letra do alfabeto. Acompanhe, no quadro a seguir, algumas situações 
transcritas para expressões matemáticas que utilizam incógnitas (expressões 
algébricas).
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
62
QUADRO 1 – QUADRO COMPARATIVO ENTRE SITUAÇÃO E EXPRESSÃO ALGÉBRICA
Situação Expressão Algébrica
Cinco adicionado a um número qualquer 5 + x
O dobro de um número 2y
Um número subtraído de 10 a – 10
10 subtraído de um número 10 – a
A terça parte de um número
t
3
O triplo de um número adicionado a 7 3b + 7
A metade de um número
z
2
O quádruplo de um número adicionado à sua quinta 
parte 4x + 
O dobro de um número adicionado ao triplo de um 
outro número 2x + 3y
Um número elevado ao quadrado x2
O dobro de um número adicionado a 5 2m + 5
O quíntuplo de um número elevado ao cubo (5y)3
O dobro da soma de dois números 2(x + y)
A soma do dobro de dois números 2x + 2y
A diferença de dois números ao quadrado a2 – b2
O quadrado da diferença de dois números (a – b)2
FONTE: A autora
Acadêmico! As incógnitas ganham seu sentido no cálculo de equações, em 
que teremos como objetivo determinar esse “número”, esse “valor” desconhecido 
ou, ainda, essa “grandeza”. 
3 EQUAÇÕES
Quando falamos em equação, estamos tratando de uma sentença 
matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas. Desta forma, 
toda equação precisa ter:
• Sinal de igualdade (=).
• Incógnita.
• Primeiro membro (expressão antes do sinal de igualdade). 
• Segundo membro (expressão depois do sinal de igualdade).
x
5
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
63
Para compreender o conceito de equação, imagine uma balança de pratos 
em equilíbrio, como da figura a seguir.
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO DE EQUAÇÃO
FONTE: Disponível em: <http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_ 
691/79.gif>. Acesso em: 20 maio 2017.
Os objetos sobre os pratos podem ser matematicamente representados por:
• Prato 1 → x + 250
• Prato 2 → 500
Como a balança está em equilíbrio, podemos escrever que x + 250 = 500, 
sentença essa denominada equação.
Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro e segundo membro e 
uma ou mais incógnitas.
ATENCAO
Acompanhe os exemplos do quadro a seguir:
QUADRO 2 – EXEMPLOS SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DE UMA EQUAÇÃO
2y – 6 = 2
Características:
Primeiro membro: 2y – 6
Segundo membro: 2
Possui sinal de igualdade e y é a incógnita. Desta forma, 
2y – 6 = 2 é uma equação.
Atenção
Características:
Possui sinal de igualdade, mas não tem incógnita. 
Portanto, 5 + 4 = 2 – 3 não é uma equação.
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
64
Atenção
Nesse exemplo, temos somente uma expressão algébrica. 
Não é possível determinar o primeiro e o segundo 
membro, pois a expressão não possui sinal de igualdade. 
Portanto, 2a + 3b – 1 não é uma equação.
FONTE: A autora
3.1 PRINCÍPIOS DA IGUALDADE
Em uma igualdade existem dois princípios, os quais nos permitem realizar 
operações em ambos os membros, sem alterar sua equivalência. Esses princípios 
são o aditivo e o multiplicativo.
O princípio aditivo da igualdade nos garante que ao adicionar ou subtrair 
um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ainda teremos uma 
igualdade.
Voltando à situação da balança, a qual é representada pela equação x + 250 
= 500, se tirarmos 250g de ambos os pratos da igualdade (ambos os membros da 
equação), a balança continuará em equilíbrio.
FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO DO PRINCÍPIO ADITIVO DA IGUALDADE
FONTE: Adaptado de: <http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/
conteudo_691/79.gif> Acesso em: 20 maio 2017.
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
65
Algebricamente, representamos essa situação por:
x + 250 = 500 (situação inicial)
x + 250 – 250 = 500 – 250 (equação com a retirada de 250g de cada membro)
Em ambas as equações, a grandeza x desconhecida possui o mesmo valor 
(peso). Desta forma, podemos afirmar que estas são equações equivalentes.
Outro exemplo da utilização do princípio aditivo da igualdade é na equação 
3x - 5 = x + 15. Se somarmos o número 5 em ambos os seus membros, teremos a 
igualdade 3x - 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe que 
a raiz ou solução desta equação é igual à solução da equação original, ou seja, para 
que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue sendo igual a 10. 
Observe que se subtrairmos x em ambos os membros da equação 3x = x + 20 ainda 
continuaremos com uma igualdade, 3x - x = x + 20 - x, que é equivalente a 2x = 20.
E o princípio multiplicativo da igualdade nos garante que ao multiplicar 
ou dividir os dois membros de uma igualdade por um mesmo número (diferente 
de zero), a igualdade será mantida.
Em exemplo disso é se na equação 2x = 20 dividirmos ambos os membros da 
igualdade por 2, teremos a equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à equação x = 10, 
cuja solução ainda é 10.
3.2 TIPOS DE EQUAÇÕES
Existem inúmeros tipos de equações, acompanhe os principais.
• Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é 
um polinômio p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. São exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
• Equação modular apresenta a incógnita dentro do módulo. São exemplos:
|x + 3| = 5
|x| – 9 = 8
– |2x| = 10
|x2 – 2x + 8| = 32
• Equação exponencialé uma expressão algébrica que possui uma igualdade e 
pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes. São exemplos:
3x = 81
4x + 2 + 16x = 8
16x + 42x = 32
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
66
• Equações logarítmicas, como o próprio nome sugere, envolvem operações com 
logarítmicos. São exemplos:
log3x = 4
log2(5x -2) = 8
log5(2a + 4) = log5(3a + 1)
• Equação fracionária é aquela em que ao menos uma incógnita aparece no 
denominador de uma fração. São exemplos:
Nesta unidade de estudo, veremos detalhadamente os tipos de equações 
que farão parte do seu cotidiano profissional, iniciando pelas polinomiais.
3.3 GRAUS DE UMA EQUAÇÃO
Nas equações polinomiais existem graus distintos que definem o tipo de 
equação. O grau é determinado pelo maior valor que os seus expoentes assumem. 
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) 3x2 + x = 10
O maior expoente da incógnita x é 2. Portanto, essa é uma equação de grau 
2 e a denominamos “equação do segundo grau”.
2) 3y5 + 2y4 – 4y3 + y2 + y + 7 = 0
Observe que 5 é o maior grau para a incógnita y, portanto, a equação é de 
grau 5.
2
x
= x
x+2
3
2
= 5
y
+ 1
5
2
b
+ 1
b+2
+ 2
b-2
= 1
b -42
O grau da equação é o maior valor que o expoente da incógnita assume. Se o 
grau for um, trata-se de uma equação do primeiro grau. Se o grau for dois, trata-se de uma 
equação do segundo grau. E assim, sucessivamente.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
67
Uma equação do primeiro grau (ou equação linear) é toda equação da forma ax 
+ b = 0, em que a ≠ 0.
IMPORTANT
E
4 EQUAÇÕES DO 1º GRAU
As equações polinomiais do primeiro grau, ou simplesmente, equações do 
primeiro grau, são também chamadas de equações lineares. Trata-se de equações 
compostas por coeficientes e uma incógnita cujo expoente é igual a um. Dessa 
maneira, as equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas 
pela forma ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, sendo que a ≠ 0, e x é a 
incógnita.
Vejamos alguns exemplos de equações do 1º grau:
• 4x + 12 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = 4 e b = 12.
• -3x - 15 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = -3 e b = -15.
• 2x - 1 = x + 6 é uma equação do 1º grau.
Apesar da equação 2x - 1 = x + 6 não estar escrita da forma ax + b = 0, ela 
é considerada uma equação do 1º grau, pois é possível transformá-la na forma 
desejada. Lembre-se de que: 
2x - 1 = x + 6
 
Para transformarmos a equação acima para a forma ax + b = 0, é necessário, 
primeiramente, transformar o segundo membro em zero. Para isso, é preciso levar 
em conta o princípio aditivo e o princípio multiplicativo, ou seja, é possível somar 
ou subtrair e multiplicar ou dividir ambos os membros da equação pelo mesmo 
número sem alterar a igualdade. Assim,
2x - 1 = x + 6 
2x - 1 - 6 = x + 6 - 6 (subtrair 6 em ambos os lados da igualdade)
2x - 7 = x (união dos termos semelhantes)
2x - 7 - x = x - x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)
x - 7 = 0 (equação na forma ax + b = 0, com a = 1 e b = -7)
Dessa forma, temos que: 2x - 1 = x + 6 ↔ x - 7 = 0
1º membro 2º membro
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
68
Acompanhe mais um exemplo: -3x + 5 = -2x + 12 é uma equação do 1º grau. 
Vamos transformá-la para a forma ax + b = 0. 
-3x + 5 = -2x + 12
-3x + 5 - 12 = -2x + 12 - 12 (subtrair 12 em ambos os lados da igualdade)
-3x - 7 = -2x (unir os termos semelhantes)
-3x - 7 + 2x = -2x + 2x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)
-x - 7 = 0(equação na forma ax + b = 0 com a = -1 e b = -7)
4.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Chamamos de raiz da equação do 1º grau o número real que substituído no 
lugar da variável x torna a sentença verdadeira. Por exemplo, 3 é raiz da equação 
2x - 6 = 0, já que 2 . 3 - 6 = 0 → 6 - 6 = 0 → 0 = 0, e assim a sentença é verdadeira. E se 
não soubéssemos que 3 é a raiz da equação 2x - 6 = 0, como faríamos para encontrá-
lo? O processo é muito semelhante ao que foi feito para escrever a equação em sua 
forma geral, mas agora o objetivo é isolar a variável x.
2x - 6 = 0
2x - 6 + 6 = 0 + 6 (somar 6 em ambos os lados da igualdade)
2x = 6 (unir os termos semelhantes)
2
2
6
2
x
= (dividir por 2 ambos os lados da igualdade)
x = 3 (raiz da equação do 1º grau 2x - 6 = 0)
Vale ressaltar que qualquer equação do 1º grau possui uma única raiz! E, para 
determinar a raiz de uma equação do 1º grau, é preciso isolar a variável x por meio dos 
princípios aditivo e multiplicativo.
IMPORTANT
E
Agora que você já compreendeu como determinar a raiz de uma equação 
do 1º grau, vamos ensinar um método prático. Fique atento!
Primeiramente, destacamos que a equação do 1º grau é expressa por ax + b 
= 0. Feito isso, vamos determinar sua raiz em função de a e de b.
ax + b = 0
ax + b - b = 0 - b (subtrair b em ambos os lados da igualdade)
ax = -b (unir os termos semelhantes)
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
69
Para encontrar a raiz de uma equação do 1º grau podemos utilizar a fórmula 
prática x b
a
�
�
.
IMPORTANT
E
ax
a
b
a
�
� (dividir por a ambos os lados da igualdade)
x b
a
�
� (raiz da equação do 1º grau ax + b = 0)
Por exemplo, na equação 2x + 6 = 0, temos a = 2 e b = -6.Portanto, pela 
fórmula acima, a raiz dessa equação é x
b
a
x x x� � � �
� �� �
� � � �
6
2
6
2
3. Logo, 3 
é raiz da equação 2x + 6 = 0, conforme visto anteriormente.
4.2 APLICAÇÕES 
Agora que sabemos identificar uma equação do 1º grau, seus coeficientes 
e variáveis e dominamos o processo de resolução, podemos aplicar esses 
conhecimentos em algumas situações através da resolução de problemas.
Exemplo 1: João trabalha em uma loja de informática. Ele recebe um salário 
fixo mensal de R$ 1.500,00 mais R$ 25,00 por hora extra trabalhada no mês. Como 
podemos expressar o salário mensal total de João em um determinado mês por 
meio de uma expressão matemática?
Não sabemos quantas horas extras João trabalhou nesse determinado mês. 
Digamos então que a quantidade de horas extras trabalhadas por João seja x. Então,
Salário de João = 1.500 + 25x
 Portanto, a expressão matemática que representa o salário de João é 
1.500 + 25x, em que x é a quantidade de horas extras trabalhadas. Assim, podemos 
calcular o salário total de João em um mês sabendo quantas horas extras ele 
trabalhou. Por exemplo, se João trabalhar 12 horas extras em um mês, seu salário 
nesse mês pode ser calculado da seguinte forma: 1.500 + 25 ∙ 12 = 1.500 + 300 = 1.800. 
Logo, seu salário será de R$ 1.800,00.
Exemplo 2: Diariamente, Rafaela pega um táxi para ir ao trabalho, que fica 
a 20km de distância de sua casa. Os valores aplicados pelo taxista são: bandeirada: 
Valor fixo Valor para cada hora extra
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
70
4,15 reais e quilômetro rodado: 2,15 reais (bandeira 1). Desta situação, podemos 
questionar, quanto ela pagou na corrida em bandeira 1?
A cada quilômetro rodado ela paga, na bandeira 1, 2,15 reais. Isso implica 
que em 20 quilômetros ela pagou 2,15 ∙ 20 = 43,00, mais o valor da bandeirada que 
é de 4,15 reais, resultará em 2,15 ∙ 20 + 4,15 = 47,15. Logo, Rafaela pagou R$ 47,15 
de táxi para ir de sua casa até o trabalho.
Acadêmico! Observe que no cálculo do custo da corrida há valores que 
variam de acordo com a distância percorrida. R$ 2,15 e R$ 4,15 são os preços fixos 
nesta situação e 20 km (distância) é o valor que varia. Isto é, existe uma equação por 
trás destes simples cálculos aritméticos. Acompanhe o problema algebricamente:
Vamos nomear (usando incógnitas) as informações encontradas no 
problema e montar uma equação geral que mostre as despesas de Rafaela para ir 
de casa até o trabalho.
• Valor total a ser pago pela corrida: y
• Preço pela bandeirada: 4,15 reais
• Preço por quilômetro rodado: 2,15 reais
• Número de quilômetros rodados: x
Agora fica fácil escrever uma expressão matemática que mostra o valor 
total gasto por Rafaela com o táxi.
y = 2,15 ∙ x + 4,15
Exemplo 3: Rafael tinha um saldo bancário positivo de 5.000,00 reais. Ao 
chegar ao banco ele percebe, em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem 
cédulas de 50,00reais. Qual será o novo saldo de Rafael em função da retirada de 
cédulas?
Este problema mostra como o saldo de Rafael pode variar de acordo com o 
número de cédulas que ele saca de sua conta. Acompanhe:
• Saldo atual de Rafael: 5.000
• Valor fixo em reais que podem ser sacados: 50,00 reais
• Saldo final de Rafael: y
• Número de cédulas sacadas: x
Com estes dados é possível transformar esta situação em uma equação 
matemática. 
y = 5.000 – 50 ∙ x
Observe que se Rafael sacar 15 notas (x), seu saldo final será de 4.250,00 
reais (y).
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
71
Exemplo 4: Isabel irá escolher um plano de saúde entre duas opções: Plano 
A e Plano B. Acompanhe as condições dos dois planos.
• Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num 
certo período.
• Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num 
certo período.
A partir disso, responda: qual plano é mais econômico?
Inicialmente, vamos determinar as equações que representam cada um dos 
planos:
Plano A: VA = 140 + 20x
Plano B: VB = 110 + 25x
Note que haverá situações em que o Plano A será mais econômico, e em 
outras o Plano B pode ser mais econômico.
Para que o plano A seja mais econômico:
VB precisa ser maior que VA. Isto é:
110 + 25x > 140 + 20x
25x – 20x > 140 – 110
5x > 30
x > 30/5
x > 6
O que significa que para que o plano A seja mais econômico, o número de 
consultas no período deve ser superior a 6.
Para que o Plano B seja mais econômico:
VB precisa ser menor que VA. Isto é:
110 + 25x < 140 + 20x
25x – 20x < 140 – 110
5x < 30
x < 30/5
x < 6
O que significa que para que o plano B seja mais econômico, o número de 
consultas no período deve ser inferior a 6.
Para que eles sejam equivalentes:
VB precisa ser igual a VA. Isto é: 
110 + 25x = 140 + 20x
25x – 20x = 140 – 110
5x = 30
x = 30/5
x = 6
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
72
Conclusão: O plano mais econômico será o Plano A quando o número 
de consultas for maior que 6, e será o Plano B quando número de consultas for 
menor que 6. Bem como, ambos os planos serão equivalentes quando o número de 
consultas for igual a 6.
É difícil não enxergar algum problema, do nosso dia a dia, que não envolva 
uma equação do 1º grau. Nestes exemplos é possível perceber que a matemática está 
muito presente em nosso dia a dia. Por mais que consigamos calcular as situações 
dos exemplos sem escrever uma expressão matemática para isso, é importante 
que saibamos que por trás das nossas contas e raciocínio está uma aplicação dos 
conhecimentos em equações do 1º grau.
Acadêmico! Acompanhe essa situação da área financeira adaptada de <http://
educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/interdisciplinarizando-matematica-
administracao-financeira.htm>, com acesso em 26 de maio de 2017.
Uma fábrica produz peças automotivas a um custo fixo de R$ 102,00 e um custo por unidade 
de R$ 2,50. Para obter um lucro satisfatório, a fábrica deseja vender essa peça no mercado a 
um preço de R$ 3,25 a unidade. Determine:
a) O custo, a receita e o lucro.
b) O número mínimo de peças a serem vendidas para que não se tenha prejuízo.
c) O lucro obtido com a venda de 1000 unidades dessa peça. 
 
Para responder à situação, devemos saber:
Custo – é o gasto pertinente à produção de um produto por uma fábrica ou indústria. As 
empresas prestadoras de serviços possuem custos em seu operacional. Mão de obra de 
trabalhadores, impostos, encargos sociais, transporte, telefone, internet, água, energia 
elétrica, entre outros gastos diretos ou opcionais são considerados custos. Um custo pode ser 
considerado fixo ou variável, a maioria das empresas trabalha com os dois tipos.
Receita – é o valor arrecadado com a venda do produto no mercado. 
 
Lucro – é o valor calculado entre a diferença da receita e do custo. Caso esse cálculo tenha 
como resultado um número positivo, verificamos a ocorrência de lucro; caso seja um número 
negativo, existe a ocorrência de prejuízo. Na ocorrência de valor nulo, concluímos que houve 
receita igual ao custo da produção.
  
Retornando às questões, temos:
a)  Custo
(C) = 102 + 2,5x
 
Receita
(R) = 3,25x
UNI
http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/interdisciplinarizando-matematica-administracao-financeira.htm
http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/interdisciplinarizando-matematica-administracao-financeira.htm
http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/interdisciplinarizando-matematica-administracao-financeira.htm
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
73
Lucro
(L) = receita – custo 
(L) = 3,25x – (102 + 2,5x) 
(L) = 3,25x – 102 – 2,5x 
(L) = 0,75x – 102 
 
b) Para que não se tenha prejuízo, o valor da receita deve ser igual ao dinheiro gasto com o 
custo da fabricação.
  
(R) = (C) 
3,25x = 102 + 2,5x 
3,25x – 2,5x = 102 
0,75x = 102 
x = 102/0,75 
x = 136 
Desta forma, para que a fábrica não tenha prejuízo, deverá vender 136 peças.
c) (L) = 0,75x – 102
(L) = 0,75 ∙ 1000 – 102 
(L) = 750 – 102 
(L) = 648 
O lucro relativo a 1000 peças corresponde a R$ 648,00.
Agora que já conhecemos as equações do 1º grau, vamos conhecer as 
equações do 2º grau. 
5 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
As equações do segundo grau, também chamadas de equações quadráticas, 
são compostas por coeficientes e uma variável cujo maior expoente é igual a dois. 
Assim, chamamos de equação do 2º grau toda equação escrita na forma ax2 + bx + c 
= 0, em que a,b e c são coeficientes reais, sendo que a ≠ 0, e x é a variável. Novamente 
como foi feito nas equações do 1º grau, note que a ≠ 0, pois, caso contrário, teríamos 
0 . x2 + bx + c = 0 → 0 + bx + c = 0 → bx + c = 0 que não é uma equação do 2º grau, 
mas sim do 1º grau. Portanto, para que a expressão ax2 + bx + c = 0 represente uma 
equação do 2º grau, devemos ter obrigatoriamente o coeficiente a diferente de zero.
Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda equação da 
forma ax2 +bx + c = 0, em que a ≠ 0.
ATENCAO
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
74
Acompanhe alguns exemplos:
Exemplo 1: x2 - 5x + 3 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 1, b = -5 e c = 3.
Exemplo 2: 2x2 - 10x = 0 é uma equação do 2º grau incompleta, com a = 2, 
b = -10 e c = 0.
Exemplo 3: -x2 + 4 = 0 é uma equação do 2º grau incompleta, com a = -1, b = 0 e 
c = 4.
As equações dos exemplos 2 e 3 são chamadas de equações do 2º grau 
incompletas por apresentarem os coeficientes b ou c iguais a zero. 
5.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
As raízes (ou soluções) de uma equação do 2º grau são os valores que, 
atribuídos à variável, tornam a sentença verdadeira. Por exemplo, 3 é raiz da 
equação do 2º grau x2 - 5x + 6 = 0, pois 32 - 5 . 3 + 6 = 0 → 9 - 15 + 6 = 0 → 0 = 0, e 
assim a sentença é verdadeira. Note que 2 também é raiz da equação x2 - 5x + 6 = 
0, pois 22 - 5 . 2 + 6 = 0 → 4 - 10 +6 = 0 → 0 = 0, ou seja, a sentença é verdadeira. 
Logo, a equação x2 - 5x + 6 = 0 possui duas raízes, 2 e 3. E agora você pode estar se 
perguntando se não existem outras raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, diferentes do 
2 e do 3, ou como faria para encontrar as raízes de x2 - 5x + 6 = 0, caso não soubesse 
que são 2 e 3. 
Existe uma fórmula que permite encontrar as raízes de uma equação do 
2º grau completa ou incompleta. Você já deve ter ouvido falar dessa fórmula tão 
importante, a fórmula de Bhaskara.
Bhaskara nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. Também era 
conhecido como Bhaskaracharya e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII, 
graças aos seus avanços em álgebra, no estudo de equações e na compreensão do sistema 
numérico – avanços esses que os matemáticos europeus levariam séculos para atingir. Suas 
coleções mais conhecidas são Lilavati, que trata de aritmética, e Bijaganita, que discorre sobre 
álgebra e contém vários problemas sobre equações lineares e quadráticas com soluções feitas 
em prosa.
FONTE: Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm>. Acesso em: 27 de 
maio de 2017.
UNI
http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htmTÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
75
A igualdade x
b
a
�
� � �
�2
 é a fórmula de Bhaskara, também conhecida 
como fórmula resolutiva, onde ∆ (delta) é igual a b2 - 4 . a . c.
Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, utilizamos a fórmula 
x b
a
�
� � �
�2
, em que ∆ = b2 - 4ac.
IMPORTANT
E
Acompanhe os exemplos a seguir: 
Exemplo 1: Determine o delta e as raízes da equação x2 - 2x - 8 = 0.
Nesse caso, a = 1, b = -2 e c = -8. Então:
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-2)2 - 4 . 1 . (-8)
∆ = 4 + 32
∆ = 36 
Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x b
a
x
x
x x
�
� � �
�
�
� �� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
��
2
2 36
2 1
2 6
2
2 6
2
8
2
2 6
2
4
2
4 -; " 22
Portanto, -2 e 4 são as raízes da equação x2 - 2x - 8 = 0 e a equação possui 
duas raízes reais e distintas. 
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
76
Exemplo 2: Determine o delta e as raízes da equação x2 + 2x + 1 = 0.
Nesse caso, a = 1, b = 2 e c = 1. Então:
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (2)2 - 4 . 1 . 1
∆ = 4 - 4
∆ = 0 
Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x b
a
x
x
x x
�
� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
��
2
2 0
2 1
2 0
2
2 0
2
2
2
2 0
2
2
2
-1; " �� -1
Portanto, -1 e -1 são as raízes da equação x2 + 2x + 1 = 0 e a equação possui 
duas raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que -1 é raiz de multiplicidade dois, 
já que é raiz duas vezes da equação. 
Exemplo 3: Determine o delta e as raízes da equação x2 + 3x + 4 = 0.
Nesse caso, a = 1, b = 3 e c = 4. Então:
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (3)2 - 4 . 1 . 4
∆ = 9 - 16
∆ = -7 
Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x b
a
x
�
� � �
�
�
� � �
�
2
3 7
2 1
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
77
Acadêmico! Note que não existe, nos números reais, o valor -7 , pois 
não conseguimos calcular raiz quadrada de número negativo no conjunto dos 
números reais. Portanto, nesse caso, não conseguimos encontrar valores para x e 
assim a equação x2 + 3x + 4 = 0 não possui raízes. 
ATENCAO
O valor do ∆ determina o número de raízes de uma equação do 2º grau. Observe:
• ∆ > 0: a equação possui duas raízes reais e diferentes (x
1
 ≠ x
2
);
• ∆ = 0: a equação possui duas raízes reais e iguais (x
1
 = x
2
);
• ∆ < 0: a equação não possui raízes reais (x
1
 e x
2
 não existem - ∃).
5.2 APLICAÇÕES 
Agora que sabemos identificar uma equação do 2º grau, seus coeficientes 
e variáveis e dominamos o processo de resolução, podemos aplicar esses 
conhecimentos em algumas situações do cotidiano, por meio da resolução de 
problemas simples. 
Exemplo 1: No final de cada ano, uma empresa realiza uma excursão para 
seus funcionários como forma de integração. O gerente da empresa contrata um 
ônibus cuja capacidade de lotação máxima é 48 passageiros. Essa empresa cobra 
de cada funcionário o valor de R$ 60,00 mais R$ 3,00 por lugar não ocupado, isto é, 
que fique vago. Quanto a empresa receberá se viajarem x passageiros? 
Se viajarem x passageiros, ficarão (48 - x) lugares vagos no ônibus, já que a 
capacidade de lotação máxima é 48 passageiros. 
Cada um dos funcionários pagará R$ 60,00 mais R$ 3,00 por cada lugar 
vago, ou seja, cada funcionário pagará 60 + 3 . (48 - x) = 60 + 144 - 3x = 204 - 3x.
Portanto, se viajarem x passageiros, a empresa receberá x(204 - 3x) = 204x - 3x2.
 Note que a expressão que fornece o recebimento da empresa de ônibus 
em função do número de funcionários que irá viajar é uma equação do 2º grau. 
Assim, fica fácil sabermos quanto a empresa receberá se soubermos o número de 
funcionários que irão na excursão. Por exemplo, se viajarem 30 funcionários, a 
empresa receberá 204 . 30 - 3 . 302 = 6.120 - 2.700 = 3.420. Portanto, a empresa 
receberia R$ 3.420,00.
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
78
Exemplo 2: Wilson tem uma frota de ônibus e aluga cada ônibus para 40 
ou mais passageiros. Se o número de passageiros for exatamente 40, cada um 
pagará R$ 300,00. Haverá um abatimento de R$ 5,00 para cada passageiro que 
exceder os 40. Como a capacidade de cada ônibus é de 60 passageiros, qual deverá 
ser o número de passageiros em cada ônibus, a fim de que ele obtenha a maior 
receita possível, ou seja, a receita máxima? 
Seja, R = Receita. 
R = número de passageiros vezes pagamento por passageiro. 
Se o número de passageiros passar de 40 para 41, então:
Pagamento por passageiro = 300 – 5 ∙ (41 – 40) = 300 – 5 ∙ (1). 
Se o número de passageiros passar de 40 para 42, então: 
Pagamento por passageiro = 300 – 5 ∙ (42 – 40) = 300 – 5 ∙ (2). 
Assim, se o número de passageiros for x, então:
Pagamento por passageiro = 300 – 5 ∙ (x – 40) = 300 – 5x + 200 = 500 – 5x.
Como x corresponde ao número de passageiros, e a receita é igual ao 
número de passageiros vezes pagamento por passageiro, logo:
R = x ∙ (500 – 5x) ou R(x) = –5x2 + 500x
Vamos determinar o valor de x que dá o máximo a R(x) = –5x2 + 500x.
Dados: a = –5; b = 500 e c = 0.
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (500)2 - 4 . (-5) . 0
∆ = 250000 - 0
∆ = 250000 
Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x b
a
x
x
x
x
�
� � �
�
�
� �
� �� �
�
� �
�
�
�
2
500 250000
2 5
500 500
10
0
100
1
2
TÓPICO 1 | EQUAÇÕES POLINOMIAIS
79
Como o valor máximo (VM) de R(x) é dado pela média entre as duas raízes, 
logo:
VM x x
VM
�
�
�
�
�
1 2
2
0 100
2
50
Portanto, x = 50 (por se tratar de pessoas, o arredondamento sempre deve 
ser para cima) dá o maior valor a R(x)= – 5x2 + 500x. Como x corresponde ao 
número de passageiros, logo, para Wilson obter a maior receita possível, ele deve 
alugar cada ônibus para grupo de 50 passageiros. Se Wilson alugar um ônibus 
para grupo com menos de 50 passageiros ou mais, a receita será menor.
Essas são apenas duas das aplicações das equações do 2º grau. Nas 
autoatividades você poderá verificar demais aplicações interessantes dessas 
equações.
80
RESUMO DO TÓPICO 1
Nesse tópico você estudou que: 
• Incógnita é uma grandeza ou quantidade desconhecida, que se pretende 
descobrir para resolver uma determinada situação.
• Equação é uma sentença matemática que possui igualdade entre duas expressões 
algébricas.
• Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro e segundo membro e 
uma ou mais incógnitas.
• O princípio aditivo da igualdade garante que ao adicionar ou subtrair um 
mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ainda teremos uma 
igualdade.
• O princípio multiplicativo da igualdade garante que ao multiplicar ou dividir 
os dois membros de uma igualdade por um mesmo número (diferente de zero), 
a igualdade será mantida.
• As equações do 1º grau têm a forma ax + b = 0 e para encontrar as raízes dessas 
equações você pode isolar a variável x por meio dos princípios aditivo e 
multiplicativo ou ainda utilizar a fórmula prática x b
a
�
�
.
• As equações do 2º grau têm a forma ax2 + bx + c = 0 e para encontrar as raízes 
dessas equações você pode utilizar a fórmula de Bhaskara.
81
AUTOATIVIDADE
Acadêmico! Um dos princípios da Uniasselvi é “Não basta saber, é preciso 
saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos.
1 Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros 
e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da 
fábrica?
2 Dois quintos do salário de Ana são reservados para o aluguel e a metade é 
gasta com alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o 
salário de Ana?
3 Em uma indústria, o custo de fabricação de x unidades de 
um produto é dado por C(x) = x2 + 2x + 400 reais. Em um dia de 
trabalho, o número de unidades produzidas é x(t) = 12t unidade, 
em que t é o número de horas trabalhadas no dia. Determine o 
custo de fabricação quando são decorridas três horas de trabalho.
4 Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 
cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que 
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no 
dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando-sex o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada 
litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a 
expressão que relaciona V e x é:
a) ( ) V = 10.000 + 50x - x2
b) ( ) V = 10.000 + 50x + x2
c) ( ) V = 15.000 - 50x - x2
d) ( ) V = 15.000 + 50x - x2
e) ( ) V = 15.000 - 50x + x2 
82
5 Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou 
mais incógnitas. A incógnita de uma equação representa o valor desconhecido 
que se quer descobrir. Para determinar o valor desconhecido utilizamos 
operações inversas. Utilize estes conhecimentos para determinar o valor da 
incógnita y na equação a seguir:
Assim, assinale a alternativa que apresenta o resultado CORRETO:
a) ( ) y = 0
b) ( ) y = 1
c) ( ) y = 2
d) ( ) y = 3
6 Uma empresa de representações oferece aos seus vendedores quatro tipos 
diferentes de contrato de trabalho. Cada um deles possui um valor fixo (que 
independe de quanto o vendedor vendeu durante o mês) e uma comissão, em 
porcentagem, baseada na quantia vendida. Os quatro contratos oferecidos são:
A – Valor fixo de R$ 1 500,00 + 1% de comissão da quantia vendida no mês.
B – Valor fixo de R$ 1 200,00 + 5% de comissão da quantia vendida no mês.
C – Valor fixo de R$ 1 000,00 + 10% de comissão da quantia vendida no mês.
D – Valor fixo de R$ 800,00 + 15% de comissão da quantia vendida no mês.
Sabendo que, em média, o volume de vendas mensais de cada vendedor é de 
R$ 10.000,00, qual tipo de contrato gera o maior salário?
a) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10 000,00 é o A.
b) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10 000,00 é o B.
c) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10 000,00 é o C.
d) ( ) O contrato de trabalho que gera o maior salário para um volume médio 
de vendas mensais de R$ 10 000,00 é o D.
y y y�
�
�
�
�3
5
2 1
3
2
4
83
TÓPICO 2
EQUAÇÕES MODULARES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico! No tópico anterior estudamos o conceito de equações, 
bem como as equações polinomiais de primeiro e segundo grau. Neste tópico 
daremos continuidade a esse estudo, conhecendo mais sobre as equações 
modulares.
As equações modulares podem ser associadas com conceitos como 
translação de eixos, geometria analítica, função modular, funções polinomiais, 
zero da função e interpretação geométrica de sistemas de equações lineares. 
Porém, antes de aprendermos os métodos de resolução das equações modulares 
propriamente ditas, será necessário entender o conceito de módulo. Vamos lá? 
2 MÓDULO
O módulo de um número real x, que também é conhecido como valor 
absoluto, tem sua notação dada pelo número entre dois traços verticais representado 
|x|e tem como definição as seguintes afirmações:
• O módulo de um número positivo x é igual ao próprio x, isto é, |x| = x se x > 0. 
• O módulo de um número negativo x é igual ao oposto de x (que é positivo), ou 
seja, |x|= -x se x < 0. E no caso particular do número zero, tem-se |0| = 0. 
A partir disto, concluímos que o módulo de um número real x é positivo ou nulo, 
porém nunca negativo. Essa afirmação também é facilmente compreendida quando 
relacionamos o módulo à sua representação geométrica, pois em uma reta real o módulo 
representa a distância da origem O e um ponto A, conforme mostra a figura a seguir.
FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO DO MÓDULO DE UM NÚMERO X
FONTE: A autora.
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
84
Perceba que a distância sempre assume valores positivos, segue que o 
módulo sempre é um valor positivo. Veja que |x| = |–x|. Portanto, um número e 
o seu oposto têm o mesmo valor em módulo. Acompanhe o exemplo a seguir para 
que essa definição fique mais clara.
Exemplo 1: Encontre o módulo de 5 e de -5. 
De acordo com a definição, |x| = x, se x ≥ 0. Como 5 > 0, fazemos: |5| = 5. 
No segundo caso, ainda de acordo com a definição, |x| = -x, se x < 0. Sendo –5 < 0, 
fazemos: |5| = -(-5) = 5.Também podemos utilizar a ideia intuitiva. Sabemos que 
módulo de um número nada mais é do que a distância desse número ao zero. A 
distância do número 5 até 0 é cinco. Da mesma forma, a distância de -5 até 0 também 
é cinco. Logo, tanto o módulo de 5 quanto o de -5 valem cinco. Geometricamente, 
temos:
FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DO MÓDULO DE 5 E DE -5
FONTE: A autora.
O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre um valor positivo ou nulo.
ATENCAO
A seguir vamos apresentar as principais propriedades de módulo. Sabê-las 
e entendê-las pode facilitar a solucionar equações modulares. Se x e y são números 
reais, então valem as propriedades:
1. O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto ⇒|x|=|-x|.
Podemos constatar isso facilmente. Observe:
|4| = 4 e |-4| = 4
|-10| = 10 e |10| = 10
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES MODULARES
85
É errado pensar que x2 = x. Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.
ATENCAO
2. O módulo do produto é o produto dos módulos ⇒|x∙y|=|x|∙|y|.
Sendo x = -3 e y = 5 , temos:
|x ∙ y|=|(-3) ∙ 5| = |-15| = 15
|x| ∙ |y| = |-3| ∙ |5| = 3 ∙ 5 = 15 
3.O módulo do quociente é o quociente dos módulos x
y
x
y
= . 
Sendo x = -10 e y = 5, temos:
x
y
x
y
�
�
� � �
�
�
� �
10
5
2 2
10
5
10
5
2
4. O quadrado do módulo de um número é o quadrado deste número ⇒|x|2 = x2
Vamos verificar isso para todas as possibilidades de valores de x (positivo, 
nulo e negativo).
(i) para x = 6
|x|2 = |6|2 = 62 = 36
x2 = 62 = 36 
(ii) para x = 0
|x|2 = |0|2 = 02 = 0
x2 = 02 = 0 
(iii) para x = -6
|x|2 = |-6|2 = 62 = 36
x2 = (-6)2 = 36 
5. A raiz quadrada de um número ao quadrado é o módulo deste número ⇒ x2 =|x|
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
86
Vamos verificar isso para todas as possibilidades de valores de x (positivo, 
nulo e negativo).
(i) para x = 6
x2 26 36 6= = =
|x| = |6| = 6
(ii) para x = 0
x2 20 0 0= = =
|x| = |0| = 0
(iii) para x = -6
x2 26 36 0� � � �( )
|x| = |-6| = 6
6. O módulo de um número é nulo se,e somente se,esse número é zero ⇒ |x| = 0 
↔ x = 0 
Agora que já sabemos o conceito de módulo e suas propriedades, vamos 
iniciar o estudo das equações modulares.
3 EQUAÇÕES MODULARES
Equação modular é toda equação cuja variável se apresenta em módulo. 
Dessa forma, observe alguns exemplos de equações modulares.
Exemplo 1: |-3x + 4| = x
Exemplo 2: |x + 8| = 5
Exemplo 3: |10 - 5x| = 3x + 2
Exemplo 4: |x| -9 = 12
Exemplo 5: -|2x| = 10
Exemplo 6: |x2 - 2x + 8| = 32
Para resolvermos as equações modulares devemos nos basear na definição 
de módulo e nas propriedades, mostradas anteriormente. Acompanhe a resolução 
das equações a seguir para compreendermos o método de resolução dessas 
equações. 
Exemplo 1: Resolver a equação |-3x + 4| = x.
Precisamos analisar os dois casos que aparecem na definição de módulo.
1º caso) |-3x + 4| = x. Nesse caso, -3x + 4 ≥ 0.
2º caso) 3x - 4 = x. Nesse caso, -3x + 4 < x.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES MODULARES
87
Resolvendo cada caso separadamente, temos:
1º caso) -3x + 4 = x
-4x = -4
x = 1
2º caso) 3x - 4 = x
2x = 4
x = 2
Portanto, as soluções da equação |-3x + 4| = x são x = 1 e x = 2.
Exemplo 2: Resolver a equação |-3x + 1| = 5.
Precisamos analisar os dois casos que aparecem na definição de módulo.
1º caso: Se –3x + 1 ≥ 0 temos –3x + 1 = 5.
2º caso: Se –3x + 1 < 0 temos –(–3x + 1) = 5.
Resolvendo cada caso separadamente, temos:
1º caso) –3x + 1 = 5
 –3x = 4
2º caso) –(–3x + 1) = 5
 3x – 1 = 5
 3x = 6
 x = 2
Portanto, as soluções da equação |–3x + 1| = 5 são x = 2 e x = 
-4
3
. 
Exemplo 3: |10 - 5x| = 3x + 2
Precisamos analisar os dois casos que aparecem na definição de módulo.
1º caso) 10 - 5x = 3x + 2. Nesse caso, 10 - 5x ≥ 0.
2º caso) -10 + 5x = 3x + 2. Nesse caso, 10 - 5x < 0.
Resolvendo cada caso separadamente, temos:
1º caso) 10 - 5x = 3x + 2
-8x = -8
x = 1
2º caso) -10 + 5x = 3x + 2
2x = 12
x = 6
Portanto, as soluções da equação |10 - 5x| = 3x + 2 são x = 1e x = 6. 
Exemplo 4: Resolver a equação modular |x2 - 5x + 8| = 2.
4
3
x = -UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
88
Da mesma forma, precisamos analisar dois casos apresentados na definição 
de módulo: 
1º caso) x2 - 5x + 8 = 2. Nesse caso x2 - 5x + 8 ≥ 0.
2º caso) -x2 + 5x - 8 = 2. Nesse caso x2 - 5x + 8 < 0.
Resolvendo cada uma das equações separadamente, obtemos:
1º caso) x2 - 5x + 8 = 2 → x2 - 5x + 6 = 0.
Vamos resolver a equação do 2º grau formada, por meio da fórmula de 
Bhaskara.
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-5)2 - 4 . 1 . 6 
∆ = 25 - 24 
∆ = 1 
Determinando x:
x b
a
x
x
x x
�
� � �
�
�
� �� � �
�
�
�
� ��
2
5 1
2 1
5 1
2
2 3; "
2º caso) -x2 + 5x - 8 = 2 → -x2 + 5x - 10 = 0.
Através da fórmula de Bhaskara, temos: 
∆ = b2 - 4ac 
∆ = 52 - 4 . (-1) . (-10) 
∆ = 25 - 40 
∆ = -15 
Determinando x:
x b
a
x
�
� � �
�
�
� � �
� �� �
2
5 15
2 1
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES MODULARES
89
Note que não existe raiz de número negativo no conjunto dos números 
reais. Portanto, -15 não existe em reais e, portanto, o 2º caso não tem solução. 
Logo, as soluções da equação |x2 - 5x + 8| = 2 são x = 2 e x = 3.
Exemplo 5: Resolva a equação modular |x + 1| = |3x - 7|.
Nesse caso, temos módulo em ambos os membros da igualdade e precisamos 
fazer a análise apresentada na definição em ambos os lados da igualdade.
Para o primeiro membro:
1º caso) x + 1 = 3x - 7. Nesse caso, x + 1 ≥ 0 e 3x - 7 ≥ 0.
2º caso) -x - 1 = 3x - 7. Nesse caso, x + 1 < 0 e 3x - 7 ≥ 0.
Analisando cada caso separadamente: 
1º caso) x + 1 = 3x - 7
-2x = -8
x = 4
2º caso) -x - 1 = 3x - 7
-4x = -6
x = 
3
2
Para o segundo membro;
3º caso) x + 1 = -3x + 7. Nesse caso, x + 1 ≥ 0 e 3x - 7 < 0.
4º caso) -x - 1 = -3x + 7. Nesse caso, x + 1 < 0 e 3x - 7 < 0.
Analisando cada caso separadamente: 
3º caso) x + 1 = -3x + 7
4x = 6
x = 
3
2
4º caso) -x - 1 = -3x + 7
2x = 8
x = 4
Desta forma, as soluções da equação modular |x + 1| = |3x -7|são x = 3
2
 e x = 4.
Como você pôde observar, cada tipo de equação necessita de um artifício 
específico para a sua resolução, no entanto em todos os casos precisamos levar em 
consideração a definição de módulo.
ATENCAO
90
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico você estudou que: 
• O módulo de um número real x, também conhecido como valor absoluto, tem 
sua notação dada pelo número entre dois traços verticais representado |x|.
• Geometricamente, o módulo de um número real representa a distância desse 
número até a origem.
• O módulo de um número é sempre um valor positivo ou zero. 
• Formalmente, a definição de módulo é dada por: 
 O módulo de um número positivo x é igual ao próprio x, isto é, |x| = x se x > 0. 
 O módulo de um número negativo x é igual ao oposto de x (que é positivo), 
ou seja, |x| = -x se x < 0. E no caso particular do número zero, tem-se |0| = 0.
• As propriedades do módulo podem nos auxiliar a resolver equações modulares.
• Equações modulares são aquelas em que a incógnita se apresenta em módulo.
91
AUTOATIVIDADE
Prezado acadêmico! Seguem alguns exercícios que se destinam à averiguação 
da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!
1 Resolva as equações a seguir:
a) |2x - 1| = x + 2 
Solução: {- 1
3
,3}
b) |2x2 + 15x -3| = x2 + 2x -3
Solução: {-13, -6}
c) |3x + 2| = 2x - 3
Solução: não existe.
d) |x -1| = 3
Solução: {-2, 4}
e) x
x
-
-
3
2 1
 = 1
Solução: {-2, 
3
4
}
f) |x - 1| + |x + 6| = 13
Solução: {-9, 4}
2 Se |2x – 3| = 1
4
, então x vale:
a) 13
8
b) - 7
8
c) 13
8
11
8
 ou 
d) 11
8
3
8
 ou 
e) n. d. a.
92
3 A soma e o produto das raízes da equação |x|2 – 2 . |x| - 8 = 0 são, 
respectivamente:
a) ( ) 0 e -16
b) ( ) 0 e 16
c) ( ) 1 e -16
d) ( ) 2 e -8
e) ( ) -2 e 8
4 O número de raízes da equação |2x – 1| = |1 – x| é:
a) ( ) 0
b) ( ) 2
c) ( ) 3
d) ( ) 4
e) ( ) 6
5 A soma das soluções reais de |x + 2| = 2|x – 2| é:
a) ( ) 1
3
b) ( ) 2
3
c) ( ) 6
d) ( ) 19
3
e) ( ) 20
3
93
TÓPICO 3
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
E LOGARÍTMICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Caro acadêmico! Em muitos problemas aplicados na área financeira, lidamos 
com fenômenos que apresentam um crescimento ou decrescimento que não pode 
ser representado por uma função polinomial. Problemas cuja modelagem exige o 
emprego de uma equação exponencial, que ocorrem principalmente em situações 
que envolvem o cálculo de juros de investimentos e dívidas bancárias. Já as 
equações logarítmicas desempenham o papel contrário, possibilitando determinar 
o instante em que uma função exponencial atinge um valor preestabelecido. 
Para compreender essa relação, neste tópico estudaremos as equações 
exponenciais e métodos para resolvê-las. Também compreenderemos o conceito 
de logaritmos e estratégias para resolução de equações logarítmicas. Veremos 
que os logaritmos surgem para facilitar a resolução de alguns tipos de equações 
exponenciais. Vamos lá?
2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Já vimos que uma equação é composta por incógnitas e uma igualdade 
que separa os membros da equação. Uma equação exponencial se diferencia por 
apresentar ao menos uma incógnita no expoente de uma potência. Observe os 
exemplos a seguir:
2x = 8
3x = 81
4x + 2 + 16x = 8
16x + 42x = 32
Equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e 
pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.
IMPORTANT
E
94
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Para resolver as equações exponenciais, podemos dividi-las em dois tipos:
1º tipo: Transformamos a equação em uma igualdade na qual, em ambos os 
membros, temos potências de mesma base. Por exemplo:
2x = 8
3x = 81 
Utilizando o método proposto, devemos transformar o 8 em base 2 e o 81 
em base 3, através da fatoração. Veja:
2x = 8 → 2x = 23
3x = 81 → 3x = 34
 
Ou seja, no primeiro caso temos que x = 3 e no segundo caso temos que x = 4. 
Acompanhe alguns exemplos mais sofisticados utilizando a mesma ideia.
Exemplo 1: Resolver a equação exponencial 3x² - 3x = 1
9
.
 
Pelo método que acabamos de estudar, precisamos transformar 1
9
 em base 3.
Pelas propriedades de potência sabemos que 1
9
 = 3-2. Portanto, reescrevendo 
a equação, obtemos:
3x² - 3x = 1
9
 → 3x² - 3x = 3-2.
Agora que temos bases iguais, igualamos os expoentes, ou seja:
x2 - 3x = -2 → x2 - 3x + 2 = 0
 
Resolvendo essa equação do 2º grau pela fórmula de Bhaskara, temos: 
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-3)2 - 4 . 1 . 2 
∆ = 9 - 8 
∆ = 1 
Determinando x:
x b
a
x
x
x
�
� � �
�
�
� �� � �
�
�
�
� ��
2
3 1
2 1
3 1
2
1 2; " � x
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
95
Portanto, a equação 3x² - 3x = 1
9
 tem como soluções x = 1 e x = 2.
Acadêmico! Aqui será necessário utilizar algumas propriedades de potenciação 
para a resolução de equações exponenciais. Caso tenha dúvidas, acompanhe as principais 
propriedades.
• Quando tivermos a multiplicação de potências de bases iguais devemos conservar a base e 
somar seus expoentes ⇒ am . an = am+n.
Exemplo: 23 . 25 = 28 .
• Quando tivermos a divisão de potências de bases iguais devemos conservar a base e subtrair 
seus expoentes ⇒ am : an = am-n.
Exemplo: 25 : 23 = 22.
• Quando tivermos uma potência elevada a um outro expoente, para resolver temos que 
conservar a base e multiplicar os expoentes ⇒ (am)n = am.n.
Exemplo: (42)5 = 410.
• Quando tivermos uma potenciação cuja base for um produto, podemos escrever ⇒ (a . b)n 
= an . bn.
Exemplo: (22 . 3 . 53)3 = (22)3 . 33 . (53)3 = 26 . 33 . 59.
• Quando tivermos uma divisão cuja base for um produto, podemos escrever ⇒ (a : b)n = an : bn.
Exemplo: (3 : 53)3 = 33 : (53)3 = 33 : 59.
• O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e 
simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente. 
Isto é: a-n = 
1
an
 ou 
a
b
�
�
�
�
�
�
�n
 = b
a
�
�
�
�
�
�
n
.
Exemplos: 2-3 = 
1
23
 = 
1
8
.
2
3
3
2
3
2
9
4
2 2 2
2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
• Toda potência de expoente fracionário pode ser transformada em um radical, onde o 
denominador do expoente é o índice da raiz � �a a
m
n mn .
Exemplo: 3 3 3 3
1
2 12 2= = = .
IMPORTANT
E
QUADRO 3 - RESUMO DAS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOFONTE: A autora
( )
( )
-:
 
m n m n
m n m n
nm m n
n n n
a a a
a a a
a a
a b a b
+
×
⋅ =
=
=
⋅ = ⋅
a) 
b) 
c)
d) 
( ) : :
1 
e) 
f) 
g)
n n n
n n
n
n
m n mn
a b a b
a ba ou
a b a
a a
-
-
=
   = =   
   
=
( )c) nm m na a ⋅=
96
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Exemplo 2: Resolva a equação exponencial 
43 27x = .
Precisamos escrever 3 e 27 na mesma base, ou seja, na base 3. Sabemos que 
3 = 31 e 27 = 33. Reescrevendo a equação, obtemos: 
( )1 3443 27 3 3 xx = → =
Pelas propriedades da potência, temos: 
( )
3
1 34 43 3 3 3
x x= → =
Agora, igualando os expoentes, temos:
x = ( )
3
1 34 43 3 3 3
x x= → =
Portanto, a solução da equação 43 27x = é 3
4
x = .
Exemplo 3: Resolver a equação exponencial 3 1 22 32x x- = .
Precisamos escrever 32 na base 2, ou seja, 32 = 25. Reescrevendo a equação, 
obtemos:
( )23 1 2 3 6 52 32 2 2 xx x x- -= → =
Pelas propriedades temos:
( )23 1 5 3 1 102 2 2 2xx x x- -= → =
Agora, igualando os expoentes, temos:
13 1 10
7
x x x- = → = -
Portanto, a solução da equação 3 1 22 32x x- = é 13 1 10
7
x x x- = → = - . 
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
97
Para resolvermos equações exponenciais do tipo 1, podemos transformar a 
equação em uma igualdade na qual, em ambos os membros, temos potências de mesma 
base. Após, usamos as propriedades de potenciação e igualamos os expoentes, resolvendo a 
equação formada. 
IMPORTANT
E
2º tipo: Nesse tipo de equação exponencial, iremos primeiramente realizar 
uma transformação e depois seguimos com os passos aprendidos no 1º tipo. A 
transformação consiste em substituir as potências, cujo expoente tem a incógnita, 
por uma incógnita auxiliar. Feito isso, determinamos as raízes dessa equação. Em 
seguida, igualamos as raízes obtidas à potência cujo expoente tem a incógnita. Por 
fim, resolvemos a equação exponencial do 1º tipo. Acompanhe alguns exemplos 
para o método ficar mais claro. 
Exemplo 1: Resolva a equação exponencial 5x+1 + 5x + 5x-1 = 775.
Pelas propriedades da potenciação, podemos reescrever a equação da 
seguinte forma:
5x+1 + 5x + 5x-1 = 775 → 5x . 51 + 5x + 5x . 5-1 = 775
Fazendo a substituição 5x = k e resolvendo a equação, obtemos: 
5x . 51 + 5x + 5x . 5-1 = 775 → k . 51 + k + k . 5-1 = 775 → 5k + k + 
5
k
 = 775 → 
31
5
k
 = 775
31k = 3875 → k = 125
Voltando na substituição 5x = k, temos:
5x = k → 5x = 125
Resolvendo a equação exponencial do 1º tipo: 
5x = 125 → 5x = 53 → x = 3
Portanto, a solução da equação 5x+1 + 5x + 5x-1 = 775 é x = 3. 
Exemplo 2: Resolva a equação exponencial 32x - 12 . 3x + 27 = 0.
98
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Pelas propriedades da potenciação, podemos reescrever a equação da 
seguinte forma:
32x - 12 . 3x + 27 = 0 → (3x)2 - 12 . 3x + 27 = 0 
Fazendo a substituição 3x = k e resolvendo a equação, obtemos: 
(3x)2 - 12 . 3x + 27 = 0 → k2 - 12k + 27 = 0
Agora, vamos resolver a equação do 2º grau formada, utilizando a fórmula 
de Bhaskara.
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-12)2 - 4 . 1 . 27 
∆ = 144 - 108 
∆ = 36 
Determinando k:
( )
 
2
12 36
2 1
12 6
2
3; 9 
bk
a
k
k
k k
- ± ∆
=
- - ±
=
⋅
±
=
= ′ =′ ′
Voltando na substituição 3x = k, temos: 3x = k
Agora, vamos resolver as equações exponenciais do 1º tipo: 
3x = 3 → 3x = 31 → x = 1
3x = 9 → 3x = 32 → x = 2 
Portanto, as soluções da equação 32x - 12 . 3x + 27 = 0 são x = 1 e x = 2. 
2.1 APLICAÇÕES 
São inúmeras as aplicações das equações exponenciais. Vamos conferir 
alguns exemplos. 
3x = 3 3x = 9
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
99
Exemplo 1: Bruno contratou um empréstimo de R$ 1.000,00 com um banco 
que cobra 6% de juros ao mês. Enquanto Bruno não saldar sua dívida, ela irá crescer 
mês a mês, conforme indicado a seguir:
• Dívida após um mês (contado a partir da data do empréstimo)
6% de 1000 equivale a 0,06 ∙ 1000
Colocando 1000 em evidência
Efetuando a soma entre parênteses
Efetuando a multiplicação
Assim, concluímos que aumentar a dívida em 6% é o mesmo que multiplicá-
la por 1,06, de modo que, ao final de um mês, Bruno deve R$ 1.060,00. 
A cada mês, a taxa de juros incide sobre todo o valor devido, e não apenas 
sobre os 1000 reais iniciais. Assim, a dívida nos meses subsequentes será:
• Dívida após dois meses: 1060 • 1,06 = 1123,60. 
• Dívida após três meses: 1123,60 • 1,06 = 1191,016 (≈ R$ 1.191,02).
• Dívida após quatro meses: 1191,016 • 1,06 = 1262,47696 (≈ R$ 1.262,48). 
Observe que a dívida em um determinado mês é igual ao produto da dívida 
do mês anterior por 1,06. Escrevendo essa dívida em relação ao valor original do 
empréstimo (R$ 1000,00), obtemos:
Note que para calcular a dívida após 1, 2, 3 ou 4 meses, multiplicamos o 
valor do empréstimo (1000) por 1,06 elevado ao número de meses. Desta forma, 
podemos estender o raciocínio acima e calcular o montante devido após x meses, 
em que x é um número inteiro positivo:
1000 • (1,06)x 
1000 + 6% de 1000 = 1000 + 0,06 ∙ 1000
= 1000 ∙ (1 + 0,06)
= 1000 ∙ 1,06
= 1060
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
100
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
De posse dessa fórmula e de uma calculadora, somos capazes de 
determinar a dívida de Bruno após 1 e 2 anos sem precisar fazer as contas mês a 
mês. Acompanhe:
• Dívida após 12 meses (um ano): 1000 • 1,0612 ≈ R$ 2012,20.
• Dívida após 24 meses (dois anos): 1000 • 1,0624 ≈ R$ 4048,93.
Exemplo 2: A partir de um ano (considerado como ano 0), o número de 
indivíduos de uma população é dado, aproximadamente, pela expressão n(t) = 
5.000 . 20,5t na qual t indica o ano. Em que ano se espera que a população seja de 
80.000 indivíduos? 
Substituindo 80.000 na expressão dada temos: 
80.000 = 5.000 . 20,5t 
16 = 20,5t
Agora, resolvendo a equação do 1º tipo:
16 = 20,5t → 24 = 20,5t
Igualando os expoentes:
4 = 0,5t → t = 8
Portanto, espera-se que a população seja de 80.000 indivíduos no ano 8. 
Exemplo 3: Em uma indústria, um funcionário recém-contratado produz 
menos que um operário experiente. A equação que descreve o número de peças 
produzidas diariamente por um trabalhador da metalúrgica Metal & Cia. é:
P(t) = 180 - 110 . 20,5t, em que t é o tempo de experiência no serviço, em 
semanas. Sabendo disso, determine quantas peças um operário recém-contratado 
produz diariamente.
O número de peças produzidas diariamente por um novato na indústria é 
P(0) = 180 − 110 . 2 −0,5 . 0 = 180 − 110 . 20 = 180 – 110 . 1 = 180 – 110 = 70.
3 LOGARITMOS
As equações envolvendo logaritmos são chamadas de equações logarítmicas 
e para resolvê-las aplicamos as propriedades dos logaritmos. Desta forma, nosso 
objetivo será escrever todos os logaritmos da equação em uma mesma base, para 
então aplicarmos a condição:
loga N = b ↔ ab = N (com N > 0, a > 0 e a ≠ 1)
Onde, N é o logaritmando, a é a base do logaritmo e b é o logaritmo.
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
101
A palavra logaritmo vem da composição de duas palavras gregas: logos (razão) 
e arithmos (números).
UNI
Acompanhe alguns exemplos para a definição de logaritmo ficar mais clara: 
Exemplo 1: Calcular o logaritmo log2 32 = x.
Nesse caso, a = 2, N = 32 e x é o logaritmo que queremos descobrir. Calcular 
o logaritmo log2 32 = x é calcular o valor de x, ou seja, o valor a que deve elevar 2 
para obter 32. Pela regra vista acima, temos:
log2 32 = x ↔ 2x = 32
Observe que, aplicando a regra acima, calcular o logaritmo se resume em 
resolver a equação exponencial formada do 1º tipo. Transformando na mesma 
base, temos: 
2x = 32 → 2x = 25
Agora, igualando os expoentes, temos que x = 5.
Portanto, a solução de log2 32 = x é x = 5.
Exemplo 2: Calcular o logaritmo log5 125 = x.
Nesse caso, a = 5, N = 125 e x é o logaritmo que queremos descobrir. Calcular 
esse logaritmo é calcular o valor a que se deve elevar 5 para obter 125, ou seja: 
log5 125 = x ↔ 5x = 125
Agora, resolvendo a equação exponencial formada, temos: 
5x = 125 → 5x = 53 → x = 3
Portanto, a solução da equação log5 125 = x é x = 3.
102
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Acadêmico, por definição, temos:∙ log
a
 1 = 0
∙ log
a
 a = 1 
∙ log
a
 b = log
a
 c → b = c
∙ aloga N = N log
10
 A = log A (omite-se a base quando esta for igual a 10)
∙ log
6
 A = In A (quando a base for igual a e, escreve-se In)
 
Destacamos ainda três propriedades dos logaritmos que são muito utilizadas para a resolução 
de problemas envolvendo logaritmos. Considere M > 0, N > 0, a > 0 e a ≠ 1. São válidas as 
seguintes propriedades:
Propriedade 1) Logaritmo do produto
log
a
 (M . N) = log
a
 M + log
a
 N
Exemplo: log
a
 (2 . 32) = log2 + log32.
Propriedade 2) Logaritmo do quociente
log
a
 M
N
 = log
a
 M - log
a
 N
Exemplo: log 
3
2
 = log3 - log2.
Propriedade 3) Logaritmo da potência
log
a
 Mn = n . log
a
 M
Exemplo: log32 = 2 . log3.
ATENCAO
3.1 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Equações logarítmicas, como o próprio nome sugere, são equações em que 
a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos. São exemplos:
log3 x = 4
log3(5x -2) = 8
log(x+2)(2x2 + x) = 1
log5(2a + 4) = log5(3a + 1)
As equações exponenciais não podem ser resolvidas apenas cancelando as 
bases e igualando os expoentes, podemos utilizar o método de aplicar logaritmos 
em ambos os membros da igualdade. 
Acompanhe alguns exemplos para compreender os métodos de resolução 
de equações logarítmicas. 
Exemplo 1: Resolver a equação logarítmica log3 x = 5.
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
103
Quando resolvemos uma equação logarítmica devemos sempre verificar, na 
equação inicial, os resultados encontrados, pois a base e o logaritmando devem ser diferentes 
de zero. 
ATENCAO
Essa é uma equação logarítmica em que a incógnita está no logaritmando, 
ou seja, N = x. Nesse caso, o logaritmo vale 5 e a base vale 3. 
Aplicando a definição de logaritmos, obtemos:
log3x = 5 → 35 = x
Resolvendo a equação 35 = x, temos que 243 = x. 
Portanto, a solução da equação log3x = 5 é x = 243.
Exemplo 2: Resolver a equação logarítmica log3(x + 5) = 2.
Essa é uma equação logarítmica em que a incógnita está no logaritmando, 
ou seja, N = x + 5. Nesse caso, o logaritmo vale 2 e a base vale 3. 
Aplicando a definição de logaritmos, obtemos:
log3(x + 5) = 2 → 32 = x + 5
Resolvendo, temos que 9 = x + 5 ⇔ x = 9 - 5 ⇔ x = 4. 
Portanto, a solução da equação log3(x + 5) = 2 é x = 4.
Exemplo 3: Resolver a equação logarítmica log5(2x + 4) = log5(3x + 1).
Nesse caso, precisamos usar um item das observações que foram feitas 
anteriormente a respeito dos logaritmos. Se log5(2x + 4) = log5(3x + 1), então 2x + 
4 = 3x + 1. Ou seja, a equação logarítmica se reduz a uma equação linear. Observe 
que para isso acontecer as bases dos logaritmos devem ser obrigatoriamente as 
mesmas. Então, resolvendo a equação linear, temos:
2x + 4 = 3x + 1 → x = 3
Portanto, a solução da equação log5(2x + 4) = log5(3x + 1) é x = 3.
Exemplo 4: Resolver a equação exponencial 5x = 
13
5
x+
. 
Primeiramente, vamos eliminar a fração que aparece na equação. Para isso, 
façamos:
1
1 1 135 5 5 3 5 3
5
x
x x x x x
+
+ + += → ⋅ = → =
104
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Observe que nenhum dos métodos vistos anteriormente, para resolver 
equações exponenciais, resolve a equação exponencial 5x+1 = 3x+1. Não é possível 
escrever ambos os membros da igualdade na mesma base e nem mesmo fazer uma 
substituição. Para isso usamos os logaritmos. Vamos aplicar logaritmo, na base 10, 
em ambos os membros da igualdade e resolvê-la. Acompanhe:
5x+1 = 3x+1 → log5x+1 = log3x+1
Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos, temos: 
log5x+1 = log3x+1 → (x + 1) log5 = (x + 1) log3 
Com o auxílio de uma calculadora, obtemos que log5 = 0,69 e log3 = 0,48. 
Então, substituindo na equação e resolvendo-a, temos: 
(x + 1) log5 = (x + 1) log3 → (x + 1) . 0,69 = (x + 1) . 0,48
0,69x + 0,69 = 0,48x + 0,48 → 0,21x = -0,21 → x = -1
Portanto, a solução da equação 5x = 
13
5
x+
 é x = -1.
Exemplo 5: Resolver a equação logarítmica (log4x)2 - 3 . log4x = 4.
Nesse caso, é necessário fazermos uma mudança de variável. 
Seja y = log4x. Fazendo a mudança de variável na equação, obtemos:
(log4x)2 - 3 . log4x = 4 → y2 - 3y = 4 → y2 - 3y - 4 = 0
Agora, precisamos resolver a equação do 2º grau formada, utilizando a 
fórmula de Bhaskara.
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-3)2 - 4 . 1 . (-4) 
∆ = 9 + 16
∆ = 25 
Determinando y:
( )
 
2
3 25
2 1
3 5
2
1; 4 
by
a
y
y
y y
- ± ∆
=
- - ±
=
⋅
±
=
= - ′ =′ ′
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
105
Voltando na substituição y = log4x, temos:
y = log4x
Portanto, as soluções da equação (log4x)2 - 3 . log4x = 4 são x = 
1
4
e x = 256.
3.2 APLICAÇÕES
São inúmeras as aplicações das equações logarítmicas. Vamos conferir 
alguns exemplos. 
Exemplo 1: Cristiane resolve fazer uma aplicação de um capital inicial igual 
a R$ 10.000,00 e deseja saber em quanto tempo o seu capital dobrará e triplicará, 
sendo a taxa de juros igual a 5% ao mês. 
• Aplicação após um mês
5% de 10.000 equivale a 0,05 ∙ 10.000
Colocando 10.000 em evidência
Efetuando a soma entre parênteses
Efetuando a multiplicação
 Assim, concluímos que aumentar o capital inicial em 5% é o mesmo que 
multiplicá-lo por 1,05, de modo que, ao final de um mês, Cristiane tem R$ 10.500,00. 
A cada mês, a taxa de juros incide sobre todo o valor devido, e não apenas 
sobre os 10.000 reais iniciais. Assim, o montante nos meses subsequentes será:
• Aplicação após dois meses: 10.500 • 1,05 = 11.025. 
• Aplicação após três meses: 11.025 • 1,05 = 11.576,25.
• Aplicação após quatro meses: 11.576,25 • 1,05 = 12.155,0625. 
Observe que o montante em um determinado mês é igual ao produto do 
montante do mês anterior por 1,05. Escrevendo essa aplicação em relação ao capital 
inicial (R$ 10.000,00), obtemos:
-1 = log4x
4-1 = x
x = 1
4
4 = log4x
44 = x
x = 256
10.000 + 5% de 10.000 = 10.000 + 0,05 ∙ 10.000
= 10.000 ∙ (1 + 0,05)
= 10.000 ∙ 1,05
= 10.500
106
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
Observe o montante da aplicação da Cristiane ao final de cada mês:
10.000 x 1,05
10.000 x 1,05 x 1,05 = 10.000 x (1,05)²
10.000 x (1,05) x 1,05 = 10.000 x (1,05)² ³
10.000 x (1,05) x 1,05 = 10.000 x (1,05)³ ⁴
• Aplicação após um mês
• Aplicação após dois meses
• Aplicação após três meses
• Aplicação após quatro meses
• Aplicação após x meses
Capital inicial Rendimento
Rendimento
Rendimento
Rendimento
Montante após 1 mês
Montante após 2 meses
Montante após 3 meses
Note que para calcular a aplicação após 1, 2, 3 ou 4 meses, multiplicamos o 
valor do capital inicial (10.000) por 1,05 elevado ao número de meses. Desta forma, 
podemos estender o raciocínio acima e calcular o montante devido após x meses, 
em que x é um número inteiro positivo:
10.000 • (1,05)x
Isso significa que no mês n o montante final é de 1,05n . 10.000.
Para sabermos o tempo necessário para que o capital dobre, devemos 
calcular quanto tempo leva para que o capital inicial R$ 10.000,00 se transforme 
em R$ 20.000,00. Para isso, façamos:
20.000 = 1,05n . 10.000
2 = 1,05n
Agora, precisamos resolver a equação exponencial formada. Observe que 
não é possível escrever ambos os membros da igualdade na mesma base e nem 
mesmo fazer uma substituição. Então, é necessário aplicar logaritmos, na base 10, 
em ambos os membros da igualdade para resolvê-la. 
2 = 1,05n → log2 = log 1,05n 
Utilizando a propriedade da potência dos logaritmos, temos:
log2 = log 1,05n → log2 = n . log 1,05
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
107
Resolvendo essa equação, obtemos:
log 2
log1,05
n=
Com o auxílio de uma calculadora, chegamos que n = 14,2. Portanto, para 
que o capital dobre são necessários 14,2 meses, aproximadamente. 
Agora, vamos repetir o procedimento para descobrirmos quanto tempo é 
necessário para que o capital triplique. Para isso, façamos:
30.000 = 1,05n . 10.000
3 = 1,05n
Devemos aplicar logaritmos, na base 10, em ambos os membros da 
igualdade para resolvê-la. 
3 = 1,05n → log3 = log 1,05n 
Utilizando a propriedade da potência dos logaritmos,temos:
log3 = log 1,05n → log3 = n . log 1,05
Resolvendo essa equação, obtemos:
log3
log1,05
n=
Com o auxílio de uma calculadora, chegamos que n = 22,5. Portanto, para 
que o capital triplque são necessários 22,5 meses, aproximadamente. 
Exemplo 2: Wilson aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição 
bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto 
tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Já vimos que em situações que envolvem a determinação do tempo e juros 
compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Você também já percebeu que para determinar o cálculo dos juros 
compostos, podemos utilizar a fórmula: 
M = C • (1 + i)t
Onde,
M = montante
C = capital
108
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
i = taxa
t = tempo
De acordo com a situação deste problema, temos:
M = 3500
C = 500
i = 3,5% = 0,035
t = ?
Substituindo na fórmula, temos:
M = C • (1 + i)t
3500 = 500 • (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo, temos:
log 1,035t = log 7
t ∙ log 1,035 = log 7 (utilize a calculadora científica)
t ∙ 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
Desta forma, o montante de R$ 3 500,00 será obtido após 56,7 meses de 
aplicação.
LEITURA COMPLEMENTAR
O PROBLEMA DA DÍVIDA DO JOALHEIRO – EXTRAÍDO DO CAPÍTULO V 
DE O HOMEM QUE CALCULAVA – MALBA TAHAN
Ilydio Pereira de Sá
 O texto que apresentaremos a seguir é um recorte do capítulo V de “O 
homem que calculava”, o mais importante livro escrito pelo professor carioca Júlio 
César de Melo e Souza, o Malba Tahan. Esse livro já tem cerca de 80 edições e foi 
traduzido para cerca de uma dúzia de idiomas. 
Essa interessante história, sobre a dívida de um joalheiro e a intervenção 
do calculista do livro, é uma excelente contextualização para uma antiga técnica da 
Aritmética, que é a “Regra da Falsa Posição”, e sua consequência, que é a “Dupla 
Regra da Falsa Posição”. Modernamente essas técnicas geraram os conhecidos 
métodos de interpolação linear, usados no cálculo numérico e na Matemática 
Financeira. 
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
109
CAPÍTULO V – O HOMEM QUE CALCULAVA
No qual vamos para a hospedaria.
Palavras calculadas por minuto.
Beremiz resolve um problema e determina a dívida de um joalheiro.
[...]
 − Esse homem é calculista? – indagou o velho Salim. – Chegou então em momento 
oportuno para tirar-me de um embaraço. Acabo de ter séria divergência com um vendedor 
de joias. Discutimos longo tempo e de nossa discussão resultou, afinal, um problema que 
não sabemos resolver.
Informadas de que um grande calculista havia chegado à hospedaria, várias 
pessoas aproximaram-se curiosas. O vendedor de joias foi chamado e declarou 
achar-se interessadíssimo na resolução do tal problema.
− Qual é, afinal, a origem da dúvida? – perguntou Beremiz. 
− Esse homem (e apontou para o joalheiro) veio da Síria vender joias em Bagdá; 
prometeu-me que pagaria, pela hospedagem, 20 dinares se vendesse as joias por 100 dinares, 
pagando 35 se as vendesse por 200. Ao cabo de vários dias, tendo andado daqui para ali, 
acabou vendendo tudo por 140 dinares. Quanto deve pagar, consoante a nossa combinação 
pela hospedagem? 
− Devo pagar apenas vinte e quatro dinares e meio! – replicou logo o mercador 
sírio. – Se para a venda de 200 eu pagaria 35, para a venda de 140 eu devo pagar 24 e meio!
− Está errado! – contrariou irritado o velho Salim. – Pelas minhas contas são 28. 
– Veja bem: Se para 100 eu deveria receber 20, para 140, da venda, devo receber 28. E vou 
provar. 
E o velho Salim raciocinou do seguinte modo: 
− Se para 100 eu deveria receber 20, para 10 (que é a décima parte de 100), eu 
deveria receber a décima parte de 20. Qual é a décima parte de 20? A décima parte de 20 é 
2. Logo, para 10, eu deveria receber 2. 140 quantos 10 contém? 140 contêm 14 vezes 10.
Proporção feita pelo mercador de Joias:
200 está para 35, assim como 140 está para X ou:
200 : 35 : : 140 : X
Multiplicando os meios e dividindo pelo 
extremo, o resultado será:
X = 24,5
Total da dívida
110
UNIDADE 2 | EQUAÇÕES
- Logo, para 140, eu devo receber 14 vezes 2, que é igual a 28, como já disse. 
E o velho Salim, depois de todos aqueles cálculos, bradou enérgico: 
− Devo receber 28. É esta a conta certa! 
− Calma, meus amigos – interrompeu o calculista – É preciso encarar as dúvidas 
com serenidade e mansidão. A precipitação conduz ao erro e à discórdia. Os resultados que 
os senhores indicam estão errados, conforme vou provar. 
E esclareceu o caso do seguinte modo: 
− De acordo com a combinação feita, o sírio seria obrigado pagar 20 dinares pela 
hospedagem, se vendesse as joias por 100, e seria obrigado a pagar 35 se as vendesse por 
200. Temos assim:
Reparem que a diferença de 100, no preço da venda, corresponde a uma 
diferença de 15 no preço da hospedagem! Não é claro? - Claro como leite de 
camela! – assentiram os dois. 
− Ora – prosseguiu o calculista –, se o acréscimo de 100 na venda traria um 
aumento de 15 na hospedagem, eu pergunto: Qual será o aumento da hospedagem para o 
acréscimo de 40 na venda? Se a diferença fosse de 20 (que é um quinto de 100), o aumento 
da hospedagem seria de 3 (pois 3 é um quinto de 15). Para a diferença de 40 (que é o dobro 
de 20), o acréscimo da hospedagem deverá ser de 6. O pagamento correspondente a 140, é, 
portanto, de 26.
Proporção feita pelo dono da hospedaria:
100 está para 20, assim como
140 está para X ou:
100 : 20 : : 140 : X
Valor de X é
X = 24,5
Total da dívida
 Preço de venda Custo da hospedagem
 200 ................................. 35
 100 ................................. 20
diferença 100 diferença 15
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
111
− Meu amigo! Os números, na simplicidade com que se apresentam, iludem, não 
raro, os mais atilados. As proporções que nos parecem perfeitas estão, por vezes, falseadas 
pelo erro. Da incerteza dos cálculos é que resulta o indiscutível prestígio da Matemática. 
Nos termos da combinação, o senhor deverá pagar ao hospedeiro 26 dinares e não 24 e meio, 
como a princípio acreditava! Há ainda, na solução final desse problema, pequena diferença 
que não merece ser apurada e cuja grandeza não disponho de recursos para exprimir 
numericamente.
− O senhor tem toda razão – assentiu o joalheiro. – Reconheço agora que o meu 
cálculo estava errado.
E sem hesitar, tirou da bolsa 26 dinares e entregou-os ao velho Salim, 
oferecendo de presente ao talentoso Beremiz um belo anel de ouro com duas 
pedras escuras, exortando a dádiva com afetuosas expressões.
Todos quantos se achavam na hospedaria admiraram-se da sagacidade do 
novo calculista, cuja fama, dia a dia, galgava a passos largos, a almenara do triunfo.
Resolução por dupla falsa posição – interpolação linear
Analisando o problema proposto no Capítulo V do Homem que Calculava, 
percebemos nitidamente que se trata de uma questão sobre “interpolação linear”. A 
seguir vamos fazer um breve relato sobre esse tema e resolver a questão utilizando 
esse método. 
Maiores detalhes sobre o assunto você pode obter em nosso artigo “A 
Regra da Falsa Posição”, publicado na Revista “Pesquisas e Práticas em Educação 
Matemática” da Universidade Severino Sombra. O texto integral do artigo está 
disponível em: <http://www.magiadamatematica.com/diversos/artpub/regra.
pdf>. 
De uma forma resumida, podemos dizer que quando temos uma função 
qualquer, dois valores de seu domínio: x1 e x2 e suas respectivas imagens f(x1) e 
f(x2), se desejarmos obter o valor x, compreendido entre x1 e x2 e que tenha imagem 
(f(x) = c) compreendida entre f(x1) e f(x2), podemos aplicar a interpolação linear 
através da relação:
Proporção feita pelo calculista:
100 está para 15, assim como 40
está para X ou:
100 : 15 : : 40 : X
Valor de X é
6
(Acréscimo de preço e não o total da dívida)
http://www.magiadamatematica.com/diversos/artpub/regra.pdf
http://www.magiadamatematica.com/diversos/artpub/regra.pdf
112
UNIDADE 2 |EQUAÇÕES
Dependendo do tipo de função envolvida no problema, a resposta será 
exata ou aproximada.
Trazendo essa técnica para o caso relatado no livro, teremos:
f(20) = 100 e f(35) = 200, ou seja: x1 = 20 e f(x1) = 100; x2 = 35 e f(x2) = 200. Como 
as joias foram vendidas por 140 dinares, temos que c = f(x) = 140 e desejamos obter 
o valor correspondente a x, ou seja:
Resolvendo essa proporção, obtemos x = 26, que são os 26 dinares devidos 
pela hospedagem.
FONTE: http://www.magiadamatematica.com/unifeso/4-joalheiro.pdf Acesso em 28 de maio de 2017.
113
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico você estudou que: 
• As equações exponenciais são aquelas em que a variável está no expoente de 
uma potência.
• Existem equações exponenciais de dois tipos: aquelas que podem ser resolvidas 
transformando ambos os membros da igualdade na mesma base e aquelas que 
são resolvidas substituindo-se a potência comum dos termos.
• As equações logarítmicas são aquelas em que a variável aparece no logaritmando, 
na base ou em ambos.
• Os conceitos de equações exponenciais e equações logarítmicas são 
constantemente utilizados em situações na área financeira, especialmente nas 
situações que envolvem juros compostos.
114
Acadêmico! A resolução de equações exponenciais e logarítmicas pode 
parecer complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos 
caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, 
mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e começar outra vez. 
Lápis, borracha e mãos à obra! 
1. Dada a equação 3x-4 . 81x = 1,determine o valor de x que verifica a igualdade. 
2. Qual é o conjunto solução da equação 4x + 2 . 2x - 8 = 0?
3. Quais os valores que satisfazem a equação 22x+1 - 5 . 2x+2 = -32?
4. O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida comparativa 
de riqueza, alfabetização, educação, esperança de vida, natalidade e outros 
fatores para diversos países do mundo. É uma maneira padronizada de 
avaliação e medida do bem-estar de uma população, especialmente bem-estar 
infantil. Todos os anos, os países da ONU são classificados de acordo com 
essas medidas. Para se calcular o Índice de Desenvolvimento Humano-renda, 
determina-se o PIB per capita do país em dólares (P) e, em seguida, aplica-se a 
fórmula: 
log 2
2,6
PIDH R -- = .
Se um determinado país possui 
10
13
IDH R- = , determine seu PIB per capita. 
5. No conjunto dos números reais, determine a solução das equações 
logarítmicas:
a) log(3x + 23) - log(2x - 3) = log 4
b) log3(x + 2) = -1 + log3x
6. As instituições financeiras usam o regime de juro composto 
tanto para aplicações quanto para empréstimos. Um banco 
oferece um tipo de aplicação financeira a uma taxa de juros de 8% 
ao ano. Em quantos anos o valor inicial será duplicado?
AUTOATIVIDADE
115
UNIDADE 3
FUNÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Após o estudo desta unidade você será capaz de:
• desenvolver o conceito de função;
• analisar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função;
• reconhecer e definir uma função custo, função receita e função lucro;
• construir e identificar gráficos de funções polinomiais, exponenciais, 
logarítmicas e modulares;
• criar gráficos que auxiliem na tomada de decisões, partindo de uma 
situação-problema da área financeira.
Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada um 
deles, você encontrará autoatividades que contribuirão para a apropriação 
dos conteúdos.
TÓPICO 1 – CONCEITO DE FUNÇÕES
TÓPICO 2 – FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
TÓPICO 3 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, 
E SUAS REPRESENTAÇÕES
TÓPICO 4 – INTERPOLAÇÃO E ERRO
116
117
TÓPICO 1
CONCEITO DE FUNÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nesse primeiro tópico propomos o estudo das funções. Os estudos 
das funções estão relacionados a questões que envolvem grandezas, e sua 
aplicabilidade abrange diversas ciências. Primeiramente vamos relembrar a noção 
de função, partindo de alguns exemplos. Em seguida iremos estudar o domínio, o 
contradomínio e a imagem de uma função. 
Para construir o gráfico de uma função do 1º grau, vamos relembrar alguns 
conceitos importantes do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, como a 
localização de um ponto no plano cartesiano, que é indicado por meio de coordenadas 
cartesianas. Depois veremos alguns exemplos de construção de gráficos de funções 
do 1º grau. Por último, estudaremos as funções custo, receita e lucro, que estão 
relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa.
2 CONCEITO DE FUNÇÕES
2.1 NOÇÃO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática, sendo 
que, com muita frequência, nos deparamos com situações que envolvem relações 
entre duas grandezas variáveis. Para compreender melhor o conceito de função, 
acompanhe algumas dessas situações:
1ª situação: 
Marcela deseja realizar o seu sonho: ter seu próprio negócio. Marcela gosta 
muito de roupas, então decidiu iniciar seu negócio com a venda de uma blusa 
feminina que está na moda e que muitas mulheres estão usando. Esse modelo de 
blusa custa 50 reais. Se representarmos por x o número de blusas iguais a essa 
que Marcela deseja comprar e por y o preço em reais que ela irá pagar, podemos 
organizar o seguinte quadro:
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
118
Número de blusas (x) Preço a pagar (y)
1 1 . 50 = 50
2 2 . 50 = 100
3 3 . 50 = 150
4 4 . 50 = 200
... ...
10 10 . 50 = 500
11 11 . 50 = 550
... ...
Observando o quadro acima, podemos perceber que o preço y que Marcela 
pagará pelas blusas depende do número x de blusas que Marcela deseja comprar. 
Entre as grandezas y e x existe uma relação expressa pela sentença matemática y = 50x.
O preço y a pagar é dado pela função do número x de blusas adquiridas, e a 
sentença y = 50x é chamada lei de formação da função.
IMPORTANT
E
Com essa situação podemos também notar que:
• O número x de blusas é uma grandeza que varia de forma independente.
• O preço y a pagar é uma grandeza que varia de acordo com a grandeza “número 
de blusas”.
• A todos os valores de x estão associados valores de y.
• Para cada valor de x está associado um único valor de y.
A variável x é chamada de variável independente e a variável y é chamada de 
dependente da variável x.
NOTA
Depois de estabelecida a relação entre as grandezas número de blusas e 
preço a pagar, podemos responder a algumas questões:
1) Quanto Marcela pagará por 40 blusas iguais a essa?
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
119
Tempo de acesso (em minutos) Valor a ser pago (em R$)
1 30 + 0,15 = 30,15
2 30 + 0,15 . 2 = 30,30
3 30 + 0,15 . 3 = 30,45
4 30 + 0,15 . 4 = 30.60
... ...
10 30 + 0,15 . 10 = 31,50
... ...
20 30 + 0,15 . 20 = 33,00
... ...
60 30 + 0,15 . 60 = 39,00
... ...
t 30 + 0,15 . t
Lembrando que x é o número de blusas (que nesse caso é 40) e y é o preço 
a pagar (que ainda não sabemos o valor), substituindo na função y = 50x, temos:
y = 50x
y = 50 . 40
y = 2 000
Logo, Marcela pagará R$ 2 000,00 por 40 blusas iguais a essa.
2) Se Marcela tiver R$ 800,00, quantas dessas blusas ela conseguirá comprar?
Como x é o número de blusas (que ainda não sabemos a quantidade) e y é o 
preço a pagar (que nesse caso é R$ 800,00), substituindo na função y = 50x, temos:
y = 50x
800 = 50x
x = 800
50
x = 16
Logo, Marcela conseguirá comprar 16 blusas.
2ª situação:
Maria contratou um pacote de internet. Para utilizar essa internet ela paga 
uma mensalidade fixa de R$ 30,00, mais R$ 0,15 por cada minuto de uso. O valor 
a ser pago por Maria ao final do mês depende, então, do tempo que ela gasta 
acessando a internet. Observe o quadro que relaciona o valor a ser pago com o 
tempo de acesso à internet:
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
120
Com isso podemos estabelecer uma relação entre as grandezas tempo de 
utilização da internet e o valor a ser pago por Maria no final do mês por meio da 
expressão:
 
V = 30 + 0,15 . t
Em que V é o valor a ser pago (em reais) e t é o tempo de utilização da 
internet (em minutos).
Nessarelação dizemos que t é a variável independente e V é a variável 
dependente da variável de t, ou seja, a variável V é dada em função da variável t.
NOTA
Estabelecida a relação entre as grandezas tempo de utilização da internet e 
valor a ser pago, podemos responder a algumas questões:
a) Maria gastará quanto, durante o mês, se utilizar a internet por 10h20min?
Primeiramente precisamos calcular quantos minutos há em 10h20min:
Cada hora tem 60 minutos, então 10 horas (10 . 60) tem 600 minutos + 20 
minutos = 620 min. Logo t = 620.
Substituindo: 
V = 30 + 0,15 . t
V = 30 + 0,15 . 620
V = 30 + 93
V = 123
Logo, Maria gastará R$ 123,00 se utilizar a internet por 10h20min.
b) Quantas horas Maria poderá utilizar a internet se quiser gastar, no 
máximo, R$ 90,00 no mês?
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
121
Nesse caso temos que V = 90. Substituindo:
V = 30 + 0,15 . t
90 = 30 + 0,15 . t
90 – 30 = 0,15 . t
60 = 0,15 . t
t = 60
0,15
t = 400 min = 6h40min
Portanto, se Maria quiser gastar, no máximo, R$ 90,00 no mês, ela poderá 
utilizar a internet por 6h40min.
Quando escrevemos a lei de formação de uma função utilizamos, em geral, 
as letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando, sendo y dado 
em função de x. No entanto, existem relações em que utilizamos outras letras, por 
exemplo, V= d
t
, em que V é a velocidade, e t é o tempo que se leva para percorrer 
a distância d.
Atividade:
Um vendedor trabalha à base de comissão. Assim, seu ganho mensal y 
depende (ou é dado em função) do total x de vendas que ele realiza durante o 
mês. Sabendo-se que esse vendedor recebe 15% do total que vende, qual é a lei de 
formação da função estabelecida entre essas duas grandezas? 
2.2 CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre 
conjuntos. Uma função associa elementos de um conjunto a elementos de outro 
conjunto. Funções estão presentes em nosso cotidiano, seja na hora de pagar a 
conta de luz que depende da quantidade de energia consumida, ou no momento 
de escolher um investimento que seja mais vantajoso.
Definição:
Se x ∈ A e y ∈ B são duas variáveis, dizemos então que y é um função de A 
em B ou uma função f(x) (lê-se “f de x”), se:
(i) Todos os elementos x de A estão envolvidos na relação;
(ii) Para cada elemento x ∈ A existe um único elemento y ∈ B que lhe 
corresponde.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
122
O primeiro item (i) da definição declara que todos os elementos de A devem 
estar relacionados com elementos de B. Já o segundo item (ii) da definição afirma 
que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento de B.
O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a x é chamado de 
domínio da função, e usualmente é representado pela letra D. Lembrando que a 
variável x é chamada de variável independente.
O valor de y correspondente a determinado valor atribuído a x é chamado 
imagem de x pela função f e é representado por f(x). Lembrando que a variável y 
é chamada de variável dependente porque y assume valores que dependem dos 
correspondentes valores de x.
2.3 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA 
FUNÇÃO
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e 
o conjunto B contradomínio da função. Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B chama-se 
imagem de x pela função.
Domínio: O conjunto A é chamado de domínio da função, isto é, é o “conjunto 
de partida” da função f. Denotamos o domínio por D(f) ou Dom(f).
Contradomínio: O conjunto B é chamado de contradomínio ou campo de 
valores da função. O contradomínio é o “conjunto de chegada”.
Imagem: Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B é chamado de valor da função f no 
ponto x ou imagem de x por f. O conjunto de todos os valores assumidos pela função 
é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im(f). Assim, a imagem de uma 
função é um subconjunto do contradomínio.
Para melhor compreensão desses três elementos, veja dois exemplos através 
do diagrama das flechas:
Exemplo 1: Os elementos do conjunto A serão relacionados com os 
elementos do conjunto B através de uma lei de formação:
A B
-1
-2
2
7
14
-1
0
2
3
4
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
123
A B
-1
1
5
7
9
8
0
6
-1
0
2
3
4
Nesse caso, o conjunto A é formado pelos elementos A = {-1, 0, 2, 3, 4}, e 
o conjunto B = {-1, -2, 2, 7, 14}. Os elementos do conjunto A se relacionam com os 
elementos de B segundo a função de A → B (lê-se: função de A em B) pela lei de 
formação f(x) = x2 - 2. Observe como foram realizados os cálculos:
f(-1) = (-1)2 – 2 = 1 – 2 = – 1
f(0) = 02 – 2 = 0 – 2 = – 2
f(2) = 22 – 2 = 4 – 2 = 2
f(3) = 32 – 2 = 9 – 2 = 7
f(4) = 42 – 2 = 16 – 2 = 14
Nessa relação temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio 
representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem 
relação com os elementos do conjunto A. Podemos observar que o contradomínio 
e a imagem são iguais, ou seja, possuem os mesmos elementos. Logo, o domínio, o 
contradomínio e a imagem dessa função são:
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, –2, 2, 7, 14}
Imagem: {–1, –2, 2, 7, 14}
Exemplo 2: vamos determinar o domínio, contradomínio e a imagem da 
função a seguir.
O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos 
elementos {-1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Logo:
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}
Diferente do exemplo anterior, nessa relação podemos observar que 
o contradomínio é diferente da imagem, pois a imagem é representada pelos 
elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
124
3 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
A função do 1º grau apresenta um grande número de aplicações. Nesse 
item vamos enfatizar a construção de gráficos de funções do 1º grau, porém, 
primeiramente, vamos relembrar alguns conceitos importantes do plano cartesiano.
3.1 PLANO CARTESIANO E SISTEMA CARTESIANO 
ORTOGONAL
O plano cartesiano é composto por duas retas numéricas, uma horizontal e 
outra vertical, que se cruzam perpendicularmente em um ponto chamado origem. 
A reta horizontal é denominada eixo das abscissas (eixo x), e a reta vertical é 
chamada de eixo das ordenadas (eixo y). 
Eles determinam quatro quadrantes: I, II, III e IV. Cada ponto do plano é 
determinado por um par ordenado de números. Veja a seguir uma imagem do 
plano cartesiano com os quadrantes I, II, III e IV:
FIGURA 3 - SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
y
x-3 -2 -1
II I
IVIII
0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
FONTE: As autoras
A um sistema de eixos perpendiculares com essa característica damos o 
nome de sistema cartesiano ortogonal ou sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais.
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
125
A localização de um ponto no plano cartesiano é indicada por meio de 
coordenadas cartesianas, que são representadas por um par ordenado na forma 
(x, y).
No plano cartesiano a seguir, as coordenadas cartesianas do ponto A são 
(-3, 4), onde -3 indica a posição de A em relação ao eixo x, que é o eixo das abscissas, 
e 4 indica a posição de A em relação ao eixo y, eixo das ordenadas. 
Logo, o número -3 é a abscissa do ponto A, e o número 4 é a ordenada de 
A. A localização do ponto A é indicada por A(-3, 4).
FIGURA 4 - PLANO CARTESIANO COM O PONTO A(-3, 4)
FONTE: As autoras
O ponto A(-3, 4) pertence ao quadrante II.
y
x-3 -2 -1
A
0 1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
126
FIGURA 5 - PLANO CARTESIANO COM OS PONTOS A, B, C, D, E e F
y
x
FONTE: As autoras
FONTE: As autoras
Agora, vamos aprender a construir um plano cartesiano manualmente. 
Para isso, vamos indicar o ponto A (5, -3).
Passo 1: Trace duas retas perpendiculares entre si, a reta horizontal x e a 
vertical y.
FIGURA 6 - TRAÇANDO AS RETAS X E Y
Nesse mesmo plano cartesiano, vamos indicar as coordenadas de outros 
pontos: B(-4, -2), C(-1, 5), D(3, 3), E(-2, 0) e F(0, 4).
D
B
E
C
F
y
x-4 -3 -2 -1
A
0 1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
TÓPICO 1 | CONCEITODE FUNÇÕES
127
FONTE: As autoras
FONTE: As autoras
Passo 2: Tomando como unidade de medida 1cm, enumere as retas x e y.
FIGURA 7 - ENUMERANDO AS RETAS X E Y
y
x-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Passo 3: Para representar o ponto A, conte 5 cm no eixo x no sentido positivo 
a partir da origem, e 3 cm no eixo y no sentido negativo. No encontro das duas 
retas tracejadas, marque o ponto A. 
FIGURA 8 - REPRESENTANDO O PONTO A (5, -3)
O ponto A(5, -3) pertence ao IV quadrante.
y
x-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3 A
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
128
A ordem em que os números aparecem no par é importante. O ponto A(3, 2) é 
diferente do ponto B(2, 3).
IMPORTANT
E
Atividade: 
Construa um plano cartesiano e represente os pontos indicados a seguir: 
A(-3 , 4), B(-2, 2), C(3, 2), D(3, 4), E(3, -2), F(-4, 0), G(0, -3). 
3.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM NO PLANO 
CARTESIANO
Agora vamos construir gráficos de funções determinadas por leis y = f(x)= 
ax + b em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
O gráfico de uma função do afim é uma reta. Assim, o gráfico pode ser 
obtido por meio de dois pontos distintos, pois dois pontos distintos determinam 
uma reta.
Exemplo 1: Vamos esboçar o gráfico da função y = 2x + 1.
Primeiramente devemos atribuir a x no mínimo dois valores. Nesse exemplo 
vamos utilizar os valores 0 e 1. Logo, substituindo esses valores em x, teremos:
x = 0 → y = 2x + 1 → y = 2 . 0 + 1 → y = 0 + 1 → y = 1, assim temos o ponto (0, 1)
x = 1 → y = 2x + 1 → y = 2 . 1 + 1 → y = 2 + 1 → y = 3, assim temos o ponto (1, 3)
Dessa maneira, a reta procurada passa pelos pontos (0, 1) e (1, 3). Veja a 
seguir o gráfico da função y = 2x + 1.
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
129
FIGURA 9 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 2X +1
y
x
FONTE: As autoras
Exemplo 2: Agora vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 3x.
Para esse exemplo vamos atribuir a x os valores -2, -1, 0, 1 e 2.
x y = 3x (x, y)
-2 y = 3 (-2) = -6 (-2, -6)
-1 y = 3 (-1) = -3 (-1, -3)
0 y = 3 (0) = 0 (0 , 0)
1 y = 3 (1) = 3 (1, 3)
2 y = 3 (2) = 6 (2, 6)
Agora vamos graficar a função e traçar a reta:
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
130
FIGURA 10 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 3X
x
y
Para a execução dos gráficos, as autoras utilizaram o software GeoGebra, 
disponível em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>. Acesso em: 21 maio 
2017.
NOTA
4 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO NA FUNÇÃO AFIM
Sabemos que os estudos das funções estão relacionados a questões que 
envolvem grandezas, e sua aplicabilidade abrange diversas ciências. Nesse item 
vamos enfatizar as funções custo, receita e lucro, que estão relacionadas aos 
fundamentos administrativos de qualquer empresa. Vamos iniciar o nosso estudo 
com a função custo. 
A função custo está relacionada aos gastos realizados por uma empresa na 
produção ou aquisição de algum produto. 
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
FONTE: As autoras
f
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
131
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção, 
ou simplesmente custo, depende de x, e a relação entre eles chamamos de função 
custo total, ou também, função custo, e a indicamos por C.
Existem custos que não dependem da quantidade produzida, por exemplo, 
aluguel, seguros, entre outros. A soma desses custos que não dependem da 
quantidade produzida, chamamos de custo fixo, e indicamos por CF. Já a parcela 
do custo que depende de x chamamos de custo variável, e indicamos por CV.
Assim, podemos escrever:
C = CF + CV
R(x) = p . x
L(x) = R(x) – C(x)
Em relação à função custo variável, os autores Morettin, Hazzan e Bussab 
(2003, p. 59) destacam que “Verificamos também que, para x variando dentro de 
certos limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente 
igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada 
de custo variável por unidade”. 
Já a função receita está ligada ao faturamento bruto de uma empresa, 
que depende do número de vendas de determinado produto. Seja x a quantidade 
vendida de um produto, chamamos de função receita ao produto x pelo preço de 
venda e a indicamos por R. Assim, temos:
Onde p representa o preço do mercado e x o número de mercadorias 
vendidas.
Por fim, a função lucro é definida como a diferença entre a função receita R 
e a função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, temos que:
Agora, veremos alguns exemplos com situações que abordam as funções 
custo, receita e lucro na função afim.
Exemplo 1: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 5 000,00, e o 
custo variável por unidade é R$ 10,00. Logo, a função custo total por C(x) = 5 000 + 10x.
Vamos representar a função custo no plano cartesiano.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
132
FIGURA 11 - GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO C(X) = 5 000 + 10X
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
C(x)
X
Agora, vamos supor que este produto é vendido a R$ 15,00 a unidade. 
Logo, a função receita será: R(x) = 15x.
O gráfico dessa função será uma semirreta passando pela origem, pois 
trata-se de uma função afim com coeficiente linear igual a zero. Veja o gráfico da 
função receita 
R(x) = 15x.
FONTE: As autoras
TÓPICO 1 | CONCEITO DE FUNÇÕES
133
FIGURA 12 - GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA R(X) = 15X
FIGURA 13 - GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA E DA FUNÇÃO CUSTO EM UM 
MESMO SISTEMA DE EIXOS
Se colocarmos o gráfico da função receita desse exemplo e o da função 
custo em um mesmo sistema de eixos, obteremos a seguinte figura:
X0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
R(x)
X
y
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
R(x)
Ponto de nivelamento
C(x)
FONTE: As autoras
FONTE: As autoras
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
134
Nessa figura podemos observar que os gráficos se interceptam em um 
ponto. Nesse ponto a receita e o custo são iguais e, consequentemente, o lucro é 
zero. 
A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto 
crítico, e é indicada por x*.
Observe que:
• Se x > x*, então R(x) > C(x), portanto L(x) > 0 (lucro positivo).
• Se x < x*, então R(x) < C(x), portanto L(x) < 0(lucro negativo ou prejuízo)
Exemplo 2: Vamos supor que a função custo seja C(x) = 5 000 + 10x e a 
função receita seja R(x) = 15x, como no exemplo anterior. O ponto de nivelamento 
é o valor x tal que:
R(x) = C(x)
Substituindo C(x) = 5 000 + 10x e R(x) = 15x em R(x) = C(x), temos:
15x = 5 000 + 10x
15x – 10x = 5 000
5x = 5 000
x = 1 000
Assim, se x > 1 000, o lucro será positivo, e se x < 1 000 o lucro será negativo, 
indicando prejuízo.
Agora vamos determinar a função lucro. A função lucro é dada por: L(x) = 
R(x) – C(x). Substituindo R(x) = 15x e C(X) = 5 000 + 10x em L(x) temos:
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 15x – (5 000 + 10x)
L(x) = 15x – 5 000 – 10x
L(x) = 5x – 5 000
Observe que, para x = 1 000, vamos obter L(x) = 0:
L(x) = 5x – 5 000
L(x) = 5 . 1 000 – 5 000 
L(x) = 5 000 – 5 000 
L(x) = 0.
Ou seja, o ponto de nivelamento indica a quantidade para a qual não há 
nem lucro e nem prejuízo.
135
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quando escrevemos a lei de formação de uma função utilizamos, em geral, as 
letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando, sendo y 
dado em função de x.
• O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre 
conjuntos. Uma função associa elementos de um conjunto a elementos de outro 
conjunto.
• O plano cartesiano é composto por duas retas numéricas, uma horizontal e outra 
vertical, que se cruzam perpendicularmente em um ponto chamado origem. A 
reta horizontal é denominada eixo das abscissas (eixo x), e a reta vertical é 
chamada de eixo das ordenadas (eixo y). Eles determinam quatro quadrantes: 
I, II, III e IV. Cada ponto do planoé determinado por um par ordenado de 
números.
• O gráfico de uma função do afim é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido 
por meio de dois pontos distintos, pois dois pontos distintos determinam uma 
reta.
• A soma dos custos de um determinado produto que não depende da quantidade 
produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo 
que depende de x, onde x representa a quantidade produzida, chamamos de 
custo variável, e indicamos por CV. Assim, estabelecemos que o custo C para 
fabricação de determinado produto é dado por C = CV + CF.
• A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma empresa e depende 
do número de vendas de determinado produto. Assim, chamamos de função 
receita ao produto de x unidades produzidas pelo preço de venda p e indicamos 
por R(x) = p . x.
• A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função 
custo C. Assim, indicando a função lucro por L, temos que L(x) = R(x) – C(x).
RESUMO DO TÓPICO 1
136
Prezado acadêmico! Realize todas as autoatividades propostas e 
teste a sua aprendizagem sobre os conteúdos abordados neste tópico.
1. Uma firma especializada em conserto de geladeiras cobra uma taxa fixa 
de 25 reais pela visita do técnico, mais 10 reais, por hora, de mão de obra. 
Logo, o preço y que se paga pelo conserto depende (ou é dado pela função) 
dessas condições. Sabendo-se que foram empregadas x horas de mão de 
obra, qual é a lei de formação que define uma função entre essas duas 
grandezas? 
2. Construa um plano cartesiano e represente os pontos indicados a seguir: 
A(-2 , -4), B(-3, 5), C(2, 2), D(3, 1), E(3, -2), F(-4, 4), G(1, -3). Em seguida, 
escreva em qual quadrante cada ponto pertence. 
3. Determine o valor de cada uma das letras em destaque no quadro. Em 
seguida, construa um plano cartesiano e indique os pontos correspondentes 
aos pares ordenados.
AUTOATIVIDADE
Par ordenado Abscissa Ordenada
(3, 8) A B
(C, 2) 5 D
(E, F) -4 -7
(0, G) H 6
(-1, -1) I J
4. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y = 2x – 6
b) y = 3x + 12
c) y = –3x
d) y = 5
5. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função 
C(x) = 100 + 2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? 
b) Faça o esboço do gráfico da função custo.
137
6. Determinada agência de aluguel de carros cobra R$ 25,00 por dia, mais 30 
centavos por quilômetro.
a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em 
função do número de quilômetros rodados. 
b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 50 km de um dia? 
c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo do aluguel diário foi 
de R$ 42,70? 
7. O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30 000,00, o preço 
unitário de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00.
a) Obtenha a função lucro mensal.
b) Qual o lucro obtido na venda de 50 000 unidades? 
c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter lucro? 
d) Qual a quantidade que determina o ponto de nivelamento? 
e) Faça o gráfico indicando as coordenadas do ponto de nivelamento.
f) Represente o esboço do gráfico da função lucro.
138
139
TÓPICO 2
FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS 
REPRESENTAÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Depois de tratarmos das funções de uma forma genérica, é hora de passar 
a discutir aquelas funções que são usadas com maior frequência na modelagem 
de fenômenos reais. Neste tópico trataremos sobre as funções polinomiais e suas 
representações.
As funções polinomiais de uma variável aparecem com frequência em 
diversos tipos de problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Neste 
tópico, vamos estudar características que definem a função polinomial do afim, sua 
representação algébrica e também gráfica. Após, estudaremos a função quadrática.
2 FUNÇÃO AFIM
Função polinomial é toda função cuja imagem é um polinômio da variável 
x, isto é, f é uma função polinomial de grau n se:
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x1 + an, em que a0, a1, a2, ... , an 
são todos números reais com a0 ≠ 0, para garantir o grau n.
Observe a situação a seguir, do autor Dante (2005, p. 73):
Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque 
no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em 
função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por f(x) = 230 – 50x 
ou f(x) = – 50x + 230 ou y = – 50x + 230.
A lei da formação y = – 50x + 230 é uma função polinomial do 1º grau ou 
função afim, pois atende à seguinte definição: 
Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem dois reais a e 
b, tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R.
140
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
3 CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO AFIM
Acompanhe a seguir as explicações sobre os casos particulares da função 
afim.
3.1 FUNÇÃO LINEAR
Função linear é toda função f: R → R definida por f(x) = ax, para todo x ∈ 
R. Observe que, neste caso, a ≠ 0 e b = 0, por isso trata-se de um caso particular da 
função do afim.
Exemplos:
• f(x) = 2x ( a = 2 e b = 0)
• f(x) = -4x ( a = -4 e b = 0)
• f(x) = 5 x ( a = 5 e b = 0)
A representação gráfica de uma função polinomial do 1º grau, ou função 
afim, é uma reta não vertical. No caso da função linear, esta reta sempre conterá 
o ponto de coordenadas (0, 0), ou seja, sempre passará pela origem do sistema 
cartesiano.
Como exemplo, observe a seguir os gráficos das seguintes funções lineares: 
f(x) = 2x e f(x) = -2x. Para isso, vamos construir um quadro atribuindo valores a x 
e determinando os respectivos correspondentes de f(x) através da lei de formação 
de cada uma das funções.
Vamos iniciar com a construção do quadro para a função f(x) = 2x, atribuindo 
para x os valores: -2, -1, 0, 1 e 2. Observe como foram realizados os cálculos:
x f(x) = 2x (x, y)
-2 f(-2) = 2 (-2) = -4 (-2, -4)
-1 f(-1) = 2 (-1) = -2 (-1, -2)
0 f(0) = 2 . 0 = 0 (0, 0)
1 f(1) = 2 . 1 = 2 (1, 2)
2 f(2) = 2 . 2 = 4 (2, 4)
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
141
FIGURA 14 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 2X
FONTE: As autoras
Agora, vamos construir o gráfico da função f(x) = -2x. Observe novamente 
como foram realizados os cálculos e também a construção do gráfico:
x f(x) = -2x (x, y)
-2 f(-2) = - 2 (-2) = 4 (-2, 4)
-1 f(-1) = -2 (-1) = 2 (-1, 2)
0 f(0) = - 2 . 0 = 0 (0, 0)
1 f(1) = -2 . 1 = -2 (1, -2)
2 f(2) = -2 . 2 = -4 (2, -4)
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
142
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
FIGURA 15 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = -2X
FONTE: As autoras
3.2 FUNÇÃO CONSTANTE
Função constante é toda função f: R → R, definida por f(x) = b, para todo x 
∈ R. Nesse caso, a = 0. 
Essa função pode ser utilizada para representar os custos fixos de uma 
empresa, tais como aluguel, despesas administrativas etc. Por exemplo: uma 
empresa tem um custo fixo de R$ 1.200,00 mensais referente ao aluguel do imóvel. 
Este valor não depende de variável alguma, ou seja, independente da produção 
mensal ou das vendas, o valor do aluguel é constante.
Outros exemplos:
• f(x) = 3 (a = 0 e b = 3)
• f(x) = -2 (a = 0 e b = -2)
• f(x) = 0 (a = 0 e b = 0)
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo 
ponto (0, b). Nesse caso, a Im(f) = {b}, pois qualquer variação provocada em x não 
altera o valor de y. Observe essa explicação através dos gráficos a seguir:
a) f(x) = 3
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
143
FIGURA 16 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 3
FIGURA 17 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = -3
FONTE: As autoras
FONTE: As autoras
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
144
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
3.3 FUNÇÃO IDENTIDADE
Função identidade é toda função f: R → R, definida por f(x) = x, para todo 
x ∈ R. Nesse caso, a = 1 e b = 0. 
O gráfico da função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, 
divide o 1°quadrante e o 3° quadrante, definindo ângulos de 45° em cada um 
deles. Veja o exemplo a seguir:
x f(x) = x (x, y)
-2 f(-2) = -2 (-2, -2)
-1 f(-1) = -1 (-1, -1)
0 f(0) = 0 (0, 0)
1 f(1) = 1 (1, 1)
2 f(2) = 2 (2, 2)
FIGURA 18 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X
FONTE: As autoras
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
145
FIGURA 19 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X + 2
FONTE: As autoras
3.4 FUNÇÃO TRANSLAÇÃO
Função translação é toda função f: R → R, definida por f(x) = x + b, para 
todo x ∈ R. Nesse caso, a = 1 e b ≠ 0. 
O gráfico da função translação f(x) = x + b é uma reta paralela à função 
identidade, ou seja, à bissetriz do 1º e do 3º quadrante. 
Observe o exemplo abaixo da função f(x) = x + 2:
x f(x) = x + 2 (x, y)
-2 f(-2) = -2 + 2 = 0 (-2, 0)
-1 f(-1) = -1 + 2= 1 (-1, 1)
0 f(0) = 0 + 2 = 2 (0, 2)
1 f(1) = 1 + 2 = 3 (1, 3)
2 f(2) = 2 + 2 = 4 (2, 4)
Observe que o “deslocamento” ou a “translação” é dado a partir do valor 
de b da função, que determinará a intersecção com o eixo das ordenadas (eixo x). 
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
146
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
No exemplo anterior o valor de b corresponde a 2, e o gráfico sofre uma translação 
com relação à função identidade de duas unidades para cima.
Observe agora o exemplo da função f(x) = x – 2:
x f(x) = x -2 (x, y)
-2 f(-2) = -2 -2 = -4 (-2, -4)
-1 f(-1) = -1 -2= -3 (-1, -3)
0 f(0) = 0 -2 = -2 (0, -2)
1 f(1) = 1 - 2 = -1 (1, -1)
2 f(2) = 2 - 2 = 0 (2, 0)
FIGURA 20 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X – 2
FONTE: As autoras
Nesse exemplo, o valor de b corresponde a – 2, provocando uma translação 
de duas unidades para baixo, interceptando o eixo y no ponto de coordenadas (0, 
– 2).
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
147
4 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE DOIS 
PONTOS DISTINTOS
Um dos importantes postulados da Geometria Plana diz: “Dois pontos 
distintos determinam uma reta”. De acordo com esse postulado, a construção 
do gráfico de uma função do 1º grau é feita obtendo-se seus pontos distintos e 
traçando-se a reta determinada por eles.
É possível também determinar a lei de formação de uma função afim, se 
conhecidos dois pontos distintos dessa função. Para determinar a lei de formação 
de uma função afim y = ax + b, é necessário encontrar os coeficientes que definem 
este tipo de função, ou seja, a e b. 
Veja o exemplo a seguir, que apresenta uma forma de determinar f(x) a 
partir de dois pontos conhecidos:
Determine a função polinomial do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto 
P(1, 2) e pelo ponto Q(3, 7).
• Sistema linear correspondente: 
2
3 7
a b
a b
+ =
 + =
• Resolução através do Método da Adição: 
 2
3 7
a b
a b
- - = -
 + =
Logo: 2a = 5
 a = 5
2
• Substituindo o valor de a encontrado acima, em uma das equações, e determinar 
o coeficiente de b:
a + b = 2
5
2
 + b = 2
b = 2 - 5
2
b = 
4 5
2
-
b = 1
2
-
• Função procurada: y = 5
2
x 1
2
-
148
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E FUNÇÃO AFIM DECRESCENTE
Já vimos que uma função afim f(x) = ax + b (ou simplesmente y = ax + b) tem 
como gráfico uma reta não vertical, ou seja, não paralela ao eixo y.
A ordenada do ponto onde a reta intersecta o eixo y sempre corresponde 
ao valor de b da função. O ângulo α que a reta faz com o eixo x, quando a ≠ 0, é 
chamado ângulo de declividade da reta. Ele pode ser agudo, ou seja, entre 0° e 90°, 
ou obtuso, entre 90° e 180°.
Ao valor de a da função, denominamos coeficiente angular ou inclinação 
da reta em relação ao eixo horizontal x. Quanto maior o valor absoluto em a, mais a 
reta se afasta da posição horizontal. Sendo assim, para a ≠ 0, há duas possibilidades 
a se considerar:
• Função Crescente: a > 0
Quando a > 0, dizemos que a função afim é crescente, pois para qualquer 
x1 < x2, teremos f(x1) < f(x2). O ângulo α é agudo.
y
x
f(x)
x₂x₁
f(x )₁
f(x )₂
(0,b)
0
�
• Função Decrescente: a < 0
Quando a < 0, dizemos que a função afim é decrescente, pois para qualquer 
x1 < x2,, teremos f(x1) > f(x2). O ângulo α é obtuso.
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
149
y
x
f(x)
x₂x₁
f(x )₁
f(x )₂
0
�
(0,b)
Assim, o que determina se a função afim f(x) = ax + b, com a ≠ 0 é crescente 
ou decrescente, é o sinal de a. Se a é positivo, ela é crescente. Logo, se a é negativo, 
ela é decrescente.
No caso de a = 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) = b] e o gráfico 
de f é a reta paralela ao eixo x que passa por (0, b).
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma função f: R → R chama-se função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática quando existem números reais a, b e c, tais que f(x) = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0, para todo x ∈ R.: 
Exemplos:
a) f(x) = 6x2 – 4x + 1, onde a = 6, b = – 4 e c = 1
b) f(x) = x2 – 2, onde a = 1, b = 0 e c = –2
c) f(x) = 5x2 + x – 2, onde a = 5, b = 1 e c = –2
d) f(x) = –7x2, onde a = –7, b = 0 e c = 0
Observe agora a situação a seguir, do autor Paiva (2002, p. 166): 
O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é 
dado pela função C(x) = x2 – 86x + 2 500, onde C(x) é o custo em dólares, e x é 
o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos 
diariamente para que o custo seja mínimo?
A expressão que define o custo, C(x) = x2 – 86x + 2 500, é uma função polinomial 
do 2º grau ou função quadrática. Nessa função, temos que a = 1, b = – 86 e c = 2 500.
150
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
6.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico de uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R, e a ≠ 0, 
é uma parábola.
Essa parábola tem o eixo de simetria perpendicular ao eixo x, e sua 
concavidade é voltada para o sentido positivo do eixo y, se a > 0, ou voltada para 
o sentido negativo do eixo y, se a < 0.
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1: Construir o gráfico da função y = x2 – 1. Vamos atribuir a x os 
seguintes valores: –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3. Observe no quadro a seguir como foram 
realizados os cálculos, e em seguida o gráfico da função:
x f(x) = x2 - 1 (x, y)
-3 f(-3) = (-3)2 - 1 = 9 - 1 = 8 (-3, 8)
-2 f(-2) = (-2)2 - 1 = 4 - 1 = 3 (-2, 3)
-1 f(-1) = (-1)2 - 1 = 1 - 1 = 0 (-1, 0)
0 f(0) = (0)2 - 1 = 0 - 1 = - 1 (0, -1)
1 f(1) = (1)2 - 1 = 1 -1 = 0 (1, 0)
2 f(2) = (2)2 - 1 = 4 - 1 = 3 (2, 3)
3 f(3) = (3)2 - 1 = 9 - 1 = 8 (3, 8)
FIGURA 21 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X2 -1
FONTE: As autoras
x
y
1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
TÓPICO 2 | FUNÇÕES POLINOMIAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES
151
FIGURA 22 - GRÁFICO DA FUNÇÃO y = –2x2 – 1
FONTE: As autoras
Na função y = x2 – 1, temos que a = 1, b = 0 e c = – 1. Observe que, como a > 0, 
a abertura da parábola, ou seja, a concavidade, é voltada para cima.
Na função y = –2x² – 1, temos que a = –2, b = 0 e c = – 1. Observe que, como a 
< 0, a abertura da parábola, ou seja, a concavidade, é voltada para baixo.
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
Exemplo 2: Construir o gráfi co da função y = –2x2 – 1. Vamos atribuir a x 
os seguintes valores: –2, –1, 0, 1 e 2. Acompanhe a construção do quadro, e, em 
seguida, o gráfi co da função:
x y = –2x2 – 1 (x, y)
-2 y = –2(–2)2 – 1 = –2(4) – 1 = – 8– 1 = – 9 (– 2, –9)
-1 y = –2(–1)2 – 1 = –2(1) – 1 = – 2 – 1 = – 3 (–1, –3)
0 y = –2(0)2 – 1 = 0 – 1 = –1 (0, –1)
1 y = –2(1)2 – 1 = –2(1) – 1 = –2 –1 = –3 (1, –3)
2 y = –2(2)2 – 1 = –2(4) – 1 = –8 – 1 = –9 (2, –9)
152
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Uma função f: R → R chama-se função polinomial do 1º grau ou função afim 
quando existem dois números reais a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R.
• Função linear é toda função f: R → R definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R. 
Observe que, neste caso, a ≠ 0 e b = 0, por isso trata-se de um caso particular da 
função do 1º grau.
• A representação gráfica de uma função polinomial do 1º grau,ou função afim, 
é uma reta não vertical. No caso da função linear, esta reta sempre conterá o 
ponto de coordenadas (0, 0), ou seja, sempre passará pela origem do sistema 
cartesiano.
• Função constante é toda função f: R → R, definida por f(x) = b, para todo x ∈ R. 
Nesse caso, a = 0. 
• O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo 
ponto (0, b). Nesse caso, a Im(f) = {b}, pois qualquer variação provocada em x 
não altera o valor de y.
• Função identidade é toda função f: R → R, definida por f(x) = x, para todo x ∈ 
R. 
• O gráfico da função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, 
divide o 1º quadrante e o 3° quadrante, definindo ângulos de 45° em cada um 
deles.
• Função translação é toda função f: R → R, definida por f(x) = x + b, para todo x 
∈ R. Nesse caso, a = 1 e b ≠ 0. 
• O gráfico da função translação f(x) = x + b é uma reta paralela à função identidade, 
ou seja, à bissetriz do 1° e do 3° quadrante. 
• Um dos importantes postulados da Geometria Plana diz: “Dois pontos distintos 
determinam uma reta”. De acordo com esse postulado, a construção do gráfico 
de uma função do 1° grau é feita obtendo-se seus pontos distintos e traçando-se 
a reta determinada por eles.
• Função Crescente: a > 0
• Quando a > 0, dizemos que a função afim é crescente, pois para qualquer x1 < x2, 
teremos f(x1) < f(x2). O ângulo α é agudo.
RESUMO DO TÓPICO 2
153
• Função Decrescente: a < 0
Quando a < 0, dizemos que a função afim é decrescente, pois para qualquer x1 < x2, 
teremos f(x1) > f(x2). O ângulo α é obtuso.
• Uma função f: R → R chama-se função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática quando existem números reais a, b e c, tais que f(x) = ax2 + bx + c, 
com a ≠ 0, para todo x ∈ R. 
• O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma 
curva chamada parábola.
• Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos 
sempre que: se a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima, e se a < 0 
a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
154
AUTOATIVIDADE
Prezado acadêmico! Seguem alguns exercícios sobre os conteúdos 
estudados no tópico 2. Chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos 
sobre funções polinomiais do 1º e do 2º grau. Bom trabalho!
1. Faça os gráficos das seguintes funções:
a) y= 3x
b) y = - 3x
c) y = - x + 1
d) y = 3x + 2
e) y = x
f) y = 1
3
x
g) y = 2
2. (Faap-SP) Em 1999, uma indústria fabricou 4000 unidades de um determinado 
produto. A cada ano, porém, acrescenta 250 unidades à sua produção. Se 
esse ritmo de crescimento for mantido, a produção da indústria num ano t 
qualquer será:
a) ( ) 250 t
b) ( ) 4000 t
c) ( ) 4000 + 250 t
d) ( ) 4000 – 250 t
e) ( ) 4000 t + 250
3. (Unicap-PE) A função definida no conjunto dos reais, representada pelo 
gráfico na figura a seguir é:
a) ( ) y = x2 + 5
b) ( ) y = x2 + x + 1
(0,2)
(-2,0)
155
c) ( ) y = 3x
d) ( ) y = x + 2
e) ( ) y = 2x + 2
4. Classifique as funções a seguir em afim, linear, identidade, constante e 
translação:
a) y = 5x + 2
b) y = 3x 
c) y = 7 
d) y = x 
e) y = x + 8 
5. Esboce e classifique as funções a seguir em crescentes, decrescentes ou 
constantes:
a) y = 2x
b) y = x + 1
c) y = – 2 – 2x
d) y = 6
e) y = x
f) y = – x
g) y = 2x + 3
6. Escreva a função afim y = ax + b, cujo gráfico passa pelos 
seguintes pontos:
a) P(1, 5) e Q (–3, –7)
b) P(–1, 7) e Q (2, 1)
c) P (2, –2) e Q(1, 1)
156
157
TÓPICO 3
FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, 
MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
O que caracteriza uma função modular é que seu conjunto imagem é 
sempre constituído por valores não negativos, gerando um gráfico com pontos 
pertencentes exclusivamente ao 1º e 2º quadrantes. 
A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento 
característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos 
juros compostos, importantes na matemática financeira. 
Neste tópico, vamos estudar as características que definem uma função 
modular, uma função exponencial e uma função logarítmica, como também as 
suas representações gráficas.
2 FUNÇÃO MODULAR
Vamos iniciar nosso estudo sobre função modular relembrando o módulo 
(ou valor absoluto) de um número real e definindo o que é uma função modular.
2.1 CONCEITO DE FUNÇÃO MODULAR
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por |x| é 
definido da seguinte maneira:
|x| = 
, 0
, 0
x se x
x se x
≥
- <
Então:
• Se x é positivo ou zero, |x| é igual ao próprio x.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
158
Exemplos:
a) |2| = 2
b) |14| = 14
c) |1,87| = 1,87
• Se x é negativo, |x| é igual a - x.
Exemplos:
a) |-4| = - (-4) = 4
b) |-15| = - (-15) = 15
c) |-2,38| = - (-2,38) = 2,38
Com isso podemos observar que o módulo de um número real é sempre 
positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo, ou seja, todos 
os números que são positivos continuam positivos, e todos os negativos tornam-se 
positivos.
Observe agora o conceito de função modular:
Chamamos de função modular a função f(x) = |x| definida por:
f(x) = 
, 0
, 0
x se x
x se x
≥
- <
Com isso podemos perceber que a função modular é uma função definida 
por duas sentenças.
2.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR
Vamos construir o gráfico da função f(x) = |x|. Observe como realizar os 
cálculos para construir o gráfico dessa função:
x f(x) = |x| (x, y)
-1 f(-1) = |-1| = - (-1) = 1 (-1, 1)
-2 f(-2) = |-2| = - (-2) = 2 (-2, 2)
0 f(0) = |0| = 0 (0, 0)
1 f(1) = |1| = 1 (1, 1)
2 f(2) = |2| = 2 (2, 2)
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
159
FIGURA 23 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(x) = |x|
FONTE: As autoras
Consequências importantes:
→ |x| ≥ 0, para qualquer x real.
→ |x| = 0 ⇔ x = 0.
→ |x|.|y|= |x . y|, para qualquer x e y reais.
→ |x|2 = x2 para qualquer x real.
→ |x|+|y|≥ |x + y| para qualquer x e y reais.
→ |x|-|y|≤ |x - y| para qualquer x e y reais.
→ |x| ≤ a e a > 0 ⇔ - a ≤ x ≤ a
→ |x| ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ -a ou x ≥ a
Função modular é aquela que associa a cada elemento x real um elemento 
|x| ∈ IR. Para que o conceito de função fique claro, adotamos a notação de uma 
função f(x) = |x|, como sendo:
Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, a parte 
negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo. Observe a figura 
a seguir:
, 0
( )
, 0
x se x
f x
x se x
≥
= - <
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
160
FIGURA 24 - FUNÇÕES f(x) = |x| e f(x) = x
FIGURA 25 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = |x2 – 4|
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-modular/>. 
Acesso em: 4 jun. 2017.
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-
modular/>. Acesso em: 4 jun. 2017.
Outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º 
grau. Sendo f(x) = |x2 – 4|, assim :
 , temos o gráfico:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
f(x) = |x|
f(x) = x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
f(x) = |x² - 4|
f(x) = x² - 4
( )
2 2
2 2
4, 4 0
4, 4 0
x se x
f x
x se x
 - - ≥
= 
- + - <
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
161
FIGURA 26 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = |x – 2|
Acompanhe agora o passo a passo para a construção do gráfico da modular:
1º passo: Construímos o gráfico da função f(x) > 0.
2º passo: Onde a função é negativa, construímos o gráfico de – f(x) (“rebate” 
para o outro lado na vertical).
3º passo: Unem-se os gráficos.
Veja outro exemplo:
FONTE: As autoras
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Para iniciarmos nosso estudo sobre função exponencial, observe a situação 
a seguir:
Chama-se montante (M) a quantiaque uma pessoa deve receber após 
aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O 
montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital 
aplicado é de R$ 2.000.000,00, a uma taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente 
a expressão algébrica que descreve esta situação.
Substituindo os dados C = 2.000.000 e i = 0,12 na fórmula M = C(1 + i)t 
obtemos a seguinte expressão algébrica: M = 2.000.000 (1,12)t.
Esta expressão que relaciona o montante M para um determinado tempo 
t é um exemplo de uma função exponencial, tendo em vista que a variável 
independente t aparece no expoente.
Vejamos agora a definição da função exponencial:
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
162
Dado um número a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial 
de base a toda função f: R→ R*+ definida por f(x) = ax ou y = ax.
No exemplo anterior, a função não está apresentada na forma ax, mas 
sim, modificada por uma constante característica do fenômeno, que, no caso, 
corresponde ao capital inicial de R$ 2.000.000,00.
Veja agora outros exemplos de função exponencial:
a) f(x) = 4x
b) y = 3x
c) f(x) = (0,3)x
d) f(x) = ( 2 )x
e) f(x) = 
2
3
x
 
 
 
As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois:
• Para a = 0 e x negativo, não existiria ax, ou seja, não teríamos uma função definida em R.
• Para a < 0 a x = 1
2
 por exemplo, não haveria ax, ou seja, não teríamos uma função em R.
Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1, ou seja, teríamos uma função constante.
IMPORTANT
E
3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A construção de gráficos de funções exponenciais segue dois modelos: 
quando o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 
e 1 (0 < a < 1). Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1: f(x) = 2x
x f(x) = 2x (x, y)
-2 f(x) = 2-2 = (1/2)2 = 1/4 (-2,
1
4 )
-1 f(x) = 2-1 = (1/2)1 = 1/2 (-1, 12 )
0 f(x) = 20 = 1 (0, 1)
1 f(x) = 21 = 2 (1, 2)
2 f(x) = 22 = 4 (2, 4)
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
163
FIGURA 27 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = 2x
FONTE: As autoras
Exemplo 2: f(x) = 1
2
x
 
 
 
x f(x) = 1
2
x
 
 
 
(x, y)
-2 f(-2) = 
21
2
-
 
 
 
 = (2)2 = 4 (-2,4)
-1 f(-1) = 
11
2
-
 
 
 
 = (2)1 = 2 (-1, 2)
0 f(0) = 
01
2
 
 
 
 = 1 (0, 1)
1 f(1) = 
11
2
 
 
 
 = 12 (1, 12 )
2 f(2) = 
21
2
 
 
 
 = 
1
4 (2, 
1
4 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
164
FIGURA 28 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = 
1
2
x
 
 
 
FONTE: As autoras
x
Esses dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, e essas são 
características para qualquer gráfico de função exponencial. No entanto, algumas 
particularidades devem ser observadas quanto à base da função.
Observe que, nos exemplos anteriores:
No exemplo 1, a função f(x) = 2x é crescente. Isso ocorre sempre que a base 
for maior que 1. Logo, para a > 1, a função é crescente. Observe também que, quanto 
menor for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do 
eixo x, sem, no entanto, atingi-la.
No exemplo 2, a função 1
2
x
 
 
 
 é decrescente. Isso ocorre sempre que a base 
estiver entre 0 e 1. Logo, para 0 < a < 1, a função é decrescente. Nesse caso, quanto 
maior for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no 
entanto, atingi-lo.
O gráfico da função exponencial é uma figura chamada curva exponencial que 
passa por (0, 1). O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV.
NOTA
As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) = ax podem 
ser aplicadas em outras funções em que a variável aparece no exponente, por 
exemplo:
x
y
1 2 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
165
a) f(x) = 10 . 2x
b) f(x) = 5x-2
c) f(x) = 5x -2
4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica é a função definida por f(x) = logax, onde a ∈ R, a > 0 
e a ≠ 1. A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a 
(função que você estudou anteriormente nesse tópico). 
Assim, temos que y = logax ⇔ ay = x.
Exemplos de funções logarítmicas:
a) f(x) = log2x
b) f(x) = log2x (x - 2)
c) f(x) = log0,5x
d) f(x) = log(a-2) 4
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes 
condições:
• Crescente: base maior que 1 (a > 1)
y
1 x
• Decrescente: base maior que zero e menor que 1 (0 < a < 1)
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
166
y
1 x
4.1 FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL
As funções logarítmicas envolvem, em sua resolução, propriedades 
destinadas ao estudo dos logaritmos, portanto, o seu desenvolvimento depende 
do conhecimento prévio dessas propriedades. Vamos relembrar as propriedades 
dos logaritmos:
→ logb 1 = 0 porque b0 = 1.
→ logb b = 1 porque b1 = b.
→ logb bk = k, porque bk = bk.
→ blogb M = M
→ loga (b . c) = loga b + loga c
→ loga (b ÷ c) = loga b - loga c
→ loga bn = n . loga b
→ logam b = 
1
m
 loga b
Função logarítmica natural: Se a = e (número de Euler), a função logaritmo 
é chamada de função logarítmica natural, e é notada por f(x) = ln x ou f(x) = L(x).
Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, de 
base e temos que: y = ln x ⇔ ey = x.
4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Assim como no caso das funções exponenciais, já estudadas nesse tópico, 
as funções logarítmicas também podem ser classificadas como função crescente 
ou função decrescente. Isto se dará em função da base "a" ser maior ou entre 0 e 1. 
Veja a figura a seguir representando a função logarítmica crescente e 
decrescente.
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
167
FIGURA 29 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA CRESCENTE E FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA DECRESCENTE
FONTE: Disponível em: <http://www.centraldasformulas.com.br/
matematica/funcao-logaritmica>. Acesso em: 4 jun. 2017.
Algumas observações importantes:
• Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo x no ponto (1, 0).
• Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos 
positivos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos negativos.
• Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos 
negativos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos positivos.
LEITURA COMPLEMENTAR
ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE FUNÇÃO MATEMÁTICA
Por Robison Sá
A gênese de muitas descobertas matemáticas que nos beneficia até os dias 
atuais ocorreu num passado bastante remoto. Várias pessoas ligadas à matemática, 
seja pelo profissionalismo ou mesmo pela simples admiração pela ciência das 
formas e nos números, contribuíram para a sua evolução, dedicando seu tempo, 
seus esforços e doando ao mundo um pouco da sua capacidade intelectual. O 
conhecimento matemático evolui pela sua disseminação, pelo compartilhamento, 
assim como todo conhecimento.
Registros históricos
A partir do século XVII começaram a surgir as primeiras ideias sobre o 
conceito de função, com a necessidade de observação dos fenômenos e das leis que 
buscavam explicá-los. Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727), por 
exemplo, utilizaram em seus trabalhos algumas noções de lei e dependência, como 
hoje sabemos, fortemente ligadas ao conceito de função.
http://www.infoescola.com/biografias/galileu-galilei/
http://www.infoescola.com/biografias/isaac-newton/
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
168
No século XVIII, Jean Bernoulli, matemático suíço (1667-1748), utilizou o 
termo função, assim designando os valores obtidos por operações entre variáveis e 
constantes. Ainda no século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) fez uso da notação 
atual, mas foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quem criou o termo função.
Entre 1811 e 1819, o grande matemático Davies’ Legendre publicou um 
tratado em três volumes denominado “Exercices du calcul integral”,rivalizando 
em pé de igualdade, tanto em qualidade quanto em autoridade, com o tratado 
de Leonhard Euler. Um pouco mais adiante, Legendre expandiu o seu trabalho 
obtendo outros três importantes volumes e formando o “Traité des fonctions 
elliptiques et des intégrales eulerianas", algo entre os 1825 e 1832. Foi de Legendre 
que partiu o termo Equações Eulerianas para as equações Beta e Gama. Outra 
contribuição de Legendre são as integrais elíticas de primeira e segunda espécie:
Jean Bernoulli Leonhard Euler Gottfried Leibniz
Galileu Galilei Isaac Newton
0 2 2
0 2 2
( , )
1
( , )
1
 
 
 
dF k
K sen
dD k
K sen d
φ
φ
φφ
φ
φφ
φ φ
=
-
=
-
∫
∫


http://www.infoescola.com/biografias/galileu-galilei/
TÓPICO 3 | FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS, MODULARES, E SUAS REPRESENTAÇÕES
169
Lagrange
Peter Dirichlet
O mais importante matemático do século XVIII foi Joseph Louis Lagrange. 
Dentre várias contribuições de Lagrange estão estudos sobre o cálculo de variações, 
à época ramo novo da matemática, cujo nome era originado de notações usadas 
pelo próprio Lagrange por volta de 1760. Em linguagem simples, o cálculo de 
variações trata de encontrar uma relação funcional (y = f(x)), de maneira que uma 
integral ∫bag(x,y)dx seja máxima ou mínima.
Quedas mais rápidas e problemas de isoperimetria eram casos especiais 
do cálculo de variações. No ano de 1755 Lagrange escrevera a Euler mostrando 
os métodos gerais que ele tinha desenvolvido para resolução de problemas dessa 
natureza. Euler, por sua vez, humilde e generosamente, adiou a publicação de um 
trabalho semelhante para que Lagrange recebesse todo o crédito.
Ainda voltando no tempo, já tendo claras as várias contribuições de tantas 
pessoas ligadas à matemática para o desenvolvimento dos conceitos sobre função, 
a definição antiga que talvez mais se assemelhe com a que utilizamos hoje é do 
matemático alemão Peter G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), diferenciando-se da 
atual apenas pela não criação, à época, da Teoria dos Conjuntos.
“O futuro é determinado por ações do presente”. (Robison Sá)
FONTE: SÁ, Robison. Aspectos históricos sobre função matemática. Disponível em: 
<http://www.infoescola.com/matematica/aspectos-historicos-sobre-funcao-matematica/>. Acesso 
em: 25 maio 2017.
170
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Chamamos de função modular a função f(x) = |x| definida por:
f(x) = 
, 0
, 0
x se x
x se x
≥
- <
• Dado um número a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a 
toda função f: R→ R*+ definida por f(x) = ax ou y = ax.
• Quanto às restrições da função exponencial: 
As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois:
(i) Para a = 0 e x negativo, não existiria ax, ou seja, não teríamos uma função 
definida em R.
(ii) Para a < 0 a x = 12 por exemplo, não haveria a
x, ou seja, não teríamos uma 
função em R.
(iii) Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1, ou seja, teríamos uma função 
constante.
• A construção de gráficos de funções exponenciais segue dois modelos: quando 
o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 e 1 (0 
< a < 1).
• O gráfico da função exponencial é uma figura chamada curva exponencial que 
passa por (0, 1). O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III 
e IV.
• A função logarítmica é a função definida por f(x) = loga x, onde a ∈ R, a > 0 e a ≠ 
1. A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a.
• O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes 
condições: Crescente: base maior que 1 (a > 1). Decrescente: base maior que 
zero e menor que 1 (0 < a < 1).
• Se a = e (número de Euler), a função logaritmo é chamada de função logarítmica 
natural, e é notada por f(x) = ln x ou f(x) = L(x). Como a função logarítmica 
natural é a inversa da função exponencial, temos que: y = ln x ⇔ ey = x.
RESUMO DO TÓPICO 3
171
• Quanto aos gráficos das funções logarítmicas:
(i) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo x no ponto (1, 0).
(ii) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos 
positivos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos negativos.
(iii) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos 
negativos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos positivos.
172
AUTOATIVIDADE
Prezado acadêmico! Seguem alguns exercícios sobre os conteúdos 
estudados no Tópico 3. Bom trabalho!
1. Identifique as seguintes funções como crescentes ou decrescentes:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = (0,01)x
c) f(x) = 2-x
d) f(x) = ( 3 )x 
e) f(x) = 43
x
 
 
 
f) f(x) = 2
3
x-
 
 
 
2. Construa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 43
x
 
 
 
c) f(x) = |x-1| + |x - 3|
d) f(x) = |x2 - 4|
e) f(x) = |x|
3. Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500(3t) 
milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em 
relação a hoje será de:
a) ( ) 4 milhões de reais.
b) ( ) 3,5 milhões de reais.
c) ( ) 2 milhões de reais.
d) ( ) 1,5 milhão de reais.
e) ( ) 1 milhão de reais.
4. Construa o gráfico das seguintes funções e classifique-as em função crescente 
ou função decrescente:
a) y = log2 x 
b) y = log 1
2
 x
173
TÓPICO 4
INTERPOLAÇÃO E ERRO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Considere a seguinte tabela, que relaciona o lucro, em reais, de uma 
empresa, ao longo dos anos:
Ano 1991 1996 2000 2007
Lucro (em reais) 1.244,689 1.140,349 1.280,614 1.408,847
Suponhamos que desejássemos saber qual foi o lucro dessa empresa no ano 
1993. Infelizmente, não temos essa informação na tabela, mas poderíamos tentar 
descobrir esse valor. Pela tabela, há um decréscimo no lucro entre os anos de 1991 
e 1996, o que poderia nos levar a crer que o lucro em 1993 fosse menor do que 
1.244.689 e maior do que 1.104.349, certo? Se sua resposta foi sim, você acabou de 
fazer mentalmente um processo que chamamos de interpolação. Vamos explicar: 
você supôs que entre esses dois pontos, o gráfico da função que relaciona o lucro 
ao ano é decrescente, o que não necessariamente é verdade: nada impede que o 
lucro de 1993 seja maior do que 1.244.689 e só então tenha decrescido; ou mesmo 
que seja inferior a 1.140.349, tendo havido um acréscimo depois de 1993.
Neste tópico estudaremos sobre a interpolação polinomial através da 
resolução do sistema linear e dos métodos de Lagrange e de Newton. Esses 
métodos podem ser utilizados para qualquer interpolação polinomial.
2 INTERPOLAÇÃO 
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por outra 
função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça 
algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x). 
A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, por 
exemplo: 
(i) São conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de 
pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; 
(ii) A função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação 
e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
174
Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos:
x x0 x1 x2 ... xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn)
A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:
0 0
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )n n
g x f x
g x f x
g x f x
=
=
=

FIGURA 30 - INTERPOLAÇÃO 
FONTE: As autoras
x₁x₀ x₂ x₃
f(x)
x
p(x)
2.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
O polinômio pn(x) que interpola f(x), em x0, x1, ..., xn é único. No entanto, 
existem várias formas para se obter tal polinômio. Uma dessas formas é a resolução 
do sistema linear formado pelos pontos que desejamos interpolar. Estudaremos 
ainda as formas de Lagrange e de Newton. 
Teoricamente as três formas conduzem a polinômios cujos valores numéricos 
por aproximação podem ser considerados os mesmos. A escolha entre elas depende 
de condições comoestabilidade do sistema linear, tempo computacional etc.
2.1.1 Resolução do sistema linear
Exemplo 1: Vamos encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos 
da tabela abaixo:
g(x)
f(x)
TÓPICO 4 | INTERPOLAÇÃO E ERRO
175
x0 x1 x2
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Temos que p2(x) = a0 + a1 x + a2 x2:
p2(x0) = f(x0) ⇔ a0 - a1 + a2 = 4
p2(x1) = f(x1) ⇔ a0 = 1 
p2(x2) = f(x2) ⇔ a0 + 2a1 + 4a2 = -1
Resolvendo o sistema linear:
Sabemos que a0 = 1, portanto falta encontrarmos os valores de a1 e a2. 
a0 - a1 + a2 = 4
a0 + 2a1 + 4a2 = -1
Substituindo a0 = 1:
1 - a1 + a2 = 4
1 + 2a1 + 4a2 = -1
Resolvendo esse sistema pelo método da adição:
1 - a1 + a2 = 4
1 + 2a1 + 4a2 = -1
2 + a1 + 5a2 = 3
a1 = 3 - 2 - 5a2
a1 = -5a2 + 1 
Agora, vamos substituir a1 em uma das duas equações:
1 + 2a1 + 4a2 = -1
1 + 2(-5a2 + 1) + 4a2 = -1
1 - 10a2 + 2 + 4a2 = -1
-6a2 = -1 - 1 - 2
a2 = 
4
6
 (dividindo o numerador e o denominador por 2)
a2 = 
2
3
{
{
{
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
176
Agora, vamos encontrar o valor de a1 (vamos novamente substituir os 
valores em uma das equações):
a0 - a1 + a2 = 4
1 - a1 + 
2
3
 = 4
- a1 = 4 - 1 - 
2
3
- a1 = 
7
3
 (multiplicando por -1 para a1 ser positivo):
a1 = - 
7
3
Temos que p2(x) = a0 + a1 x + a2 x2, e a0 = 1,a1 = - 
7
3
 e a2 = 
2
3
, assim:
p2(x) = 1 + - 
7
3
 x + 
2
3
 x2 é o polinômio que interpola f(x) em x0 = -1, x1 = 0 e x2 = 2.
Embora a resolução do sistema linear neste exemplo tenha sido um processo 
simples e exato na obtenção de p
2
(x), não podemos esperar que isto ocorra para qualquer 
interpolação. 
NOTA
Exemplo 2: Considerando a tabela a seguir, suponhamos que estejamos 
interessados em obter o valor de f(x) no ponto 0,25.
x -1 0 1 2
f(x) 4 2 1 5
Perceba que a tabela não nos fornece o valor de f(0,25), porém, sabemos que:
• 0 < 0,25 < 1
• f(0) = 2
• f(1) = 1
 
TÓPICO 4 | INTERPOLAÇÃO E ERRO
177
Agora vamos interpolar f(x) linearmente entre esses dois pontos:
Seja P(x) = a0 + a1 x um polinômio de grau um para o qual P(0) = f(0) = 2 e 
P(1) = f(1) = 1. Então:
P(0) = a0 + a1 0 = 2 ⇒ a0 = 2
P(1) = a0 + a1 1 = 1 ⇒ a0 + a1 = 1
Logo: 
a0 + a1 = 1
2 + a1 = 1
a1 = 1 – 2
a1 = – 1
Sendo P(x) = a0 + a1 x, e substituindo a0 = 2 e a1 = – 1, logo, o polinômio 
interpolador de f no intervalo [0,1] é P(x) = 2 – x, e portanto P(0,25) = 2 – 0,25 = 1,75.
2.1.2 Interpolação polinomial de Lagrange
Sejam x0, x1, ... , xn, (n + 1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, ... , n.
Seja Pn(x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em
Pn(x) = y0L0(x) + y1 L1 (x) + ... + yn Ln (x), onde os polinômios Lk(x) são de grau 
n. Para cada i, queremos a condição Pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:
Pn(xi) = y0L0(xi) + y1 L1 (xi) + ... + yn Ln (xi) = yi
Exemplo 3: Seja a tabela
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Pela forma de Lagrange temos que p2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x), onde:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 2
0
0 1 0 2
2
0 2
1
1 0 1 2
2
0 1
2
2 0 2 1
 0 2 2L )
 1 0 1 2 3
 1 2 2L )
 0 1 0 2 2
 1 0
L )
 2 1 2 0 6
(
(
(
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
- - - - -
= = =
- - - - - -
- - + - - -
= = =
- - + - -
- - + - +
= = =
- - + -
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 2
0
0 1 0 2
2
0 2
1
1 0 1 2
2
0 1
2
2 0 2 1
 0 2 2L )
 1 0 1 2 3
 1 2 2L )
 0 1 0 2 2
 1 0
L )
 2 1 2 0 6
(
(
(
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
- - - - -
= = =
- - - - - -
- - + - - -
= = =
- - + - -
- - + - +
= = =
- - + -
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 2
0
0 1 0 2
2
0 2
1
1 0 1 2
2
0 1
2
2 0 2 1
 0 2 2L )
 1 0 1 2 3
 1 2 2L )
 0 1 0 2 2
 1 0
L )
 2 1 2 0 6
(
(
(
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
x x x x x x x xx
x x x x
- - - - -
= = =
- - - - - -
- - + - - -
= = =
- - + - -
- - + - +
= = =
- - + -
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
178
Pela forma de Lagrange temos que p2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x), assim:
Assim, encontramos o polinômio interpolador de Lagrange para esta 
função:
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
( ) 4
( )
( )
2 21 ( 1)
3 2 6
4 8 2
3 2 6
8 16 3 3 6 
6
4 14 6 
6
4 14 6 
6 6 6
( )
( )
( 2 7 1
3 3
)
p
p
p
p
p
p
x
x
x
x
x
x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
     - - - +
+ + -     -     
- - - - -
+ +
-
- - + + - -
- +
- +
-
=
=
=
=
= +
=
2
2
2 7 1
3
(
3
)p x xx - +=
Perceba que é a mesma expressão obtida no exemplo 1, que resolvemos pela 
resolução de sistema linear.
NOTA
2.1.3 Interpolação polinomial de Newton 
A forma de Newton para o polinômio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn, 
(n + 1) pontos distintos é a seguinte:
TÓPICO 4 | INTERPOLAÇÃO E ERRO
179
Operador diferenças divididas: Seja f(x) uma função tabelada em n + 1 
pontos distintos: x0, x1, ..., xn. Definimos o operador diferenças divididas por:
[ ] [ ] ( ) ( )1 0 1 0
1 0 1 0
 
 
0 0
0 1
f[x ] = f(x ) (Ord
f f f f
 
em Zero)
f[x , x ] = 
x x x x
x x x x
- -
=
- -
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 2 0 1
2 0
1 2 3 0 1 2
3 0
 , , 
 
 , , , , 
 
0 1 2
0 1 2 3
f f
 
(Ordem 1)
f[x , x ,x ] = (Ordem 2)
f[x , x ,x ,x ] = 
 
f f
 
x x x x
x x
x x x x x x
x x
-
-
-
-
(Ordem 3)
 
 
 
 
 
 
• • •
• •
1 
0 1 2 n
 
 
f[x , x ,x , ,x ] = 
f x
•
• • •
⋅ ⋅⋅
[ ] [ ]2 0 1 2 1
0
, , , , , , , 
 
(Ordem 
f
 n)n n
n
x x x x x x
x x
-… - …
-
[ ] [ ] ( ) ( )1 0 1 0
1 0 1 0
 
 
0 0
0 1
f[x ] = f(x ) (Ord
f f f f
 
em Zero)
f[x , x ] = 
x x x x
x x x x
- -
=
- -
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 2 0 1
2 0
1 2 3 0 1 2
3 0
 , , 
 
 , , , , 
 
0 1 2
0 1 2 3
f f
 
(Ordem 1)
f[x , x ,x ] = (Ordem 2)
f[x , x ,x ,x ] = 
 
f f
 
x x x x
x x
x x x x x x
x x
-
-
-
-
(Ordem 3)
 
 
 
 
 
 
• • •
• •
1 
0 1 2 n
 
 
f[x , x ,x , ,x ] = 
f x
•
• • •
⋅ ⋅⋅
[ ] [ ]2 0 1 2 1
0
, , , , , , , 
 
(Ordem 
f
 n)n n
n
x x x x x x
x x
-… - …
-
[ ] [ ] ( ) ( )1 0 1 0
1 0 1 0
 
 
0 0
0 1
f[x ] = f(x ) (Ord
f f f f
 
em Zero)
f[x , x ] = 
x x x x
x x x x
- -
=
- -
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 2 0 1
2 0
1 2 3 0 1 2
3 0
 , , 
 
 , , , , 
 
0 1 2
0 1 2 3
f f
 
(Ordem 1)
f[x , x ,x ] = (Ordem 2)
f[x , x ,x ,x ] = 
 
f f
 
x x x x
x x
x x x x x x
x x
-
-
-
-
(Ordem 3)• • •
• •
1 
0 1 2 n
 
 
f[x , x ,x , ,x ] = 
f x
•
• • •
⋅ ⋅⋅
[ ] [ ]2 0 1 2 1
0
, , , , , , , 
 
(Ordem 
f
 n)n n
n
x x x x x x
x x
-… - …
-
Dizemos que f[x0, x1, ..., xk] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) 
sobre os k + 1 pontos: x0, x1, ..., xk.
Dada uma função f(x) e conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos 
distintos x0, x1, ..., xn podemos construir a tabela:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 ... Ordem n
x0 f[x0]
f[x0 , x1]
x1 f[x1] f[x0 , x1, x2]
f[x1 , x2] f[x0 , x1, x2 , x3]
x2 f[x2] f[x1, x2 , x3]
f[x2 , x3] f[x1, x2 , x3, x4]
x3 f[x3] f[x2 , x3, x4] . f[x0, x1, x2 , ..., x3 ]
f[x3 , x4] . .
x4 f[x4]
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
f[xn-1, xn ]
.
f[xn-2 , xn-1, xn ]
f[xn-3, xn-2 , xn-1, xn ]
xn f[xn]
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )0 0 1 0 0 1 0 1, , , n n np x f x f x x x x f x x x x x x x -= + - + + - -  
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
180
Para compreender melhor a forma de Newton para o polinômio 
interpolador, veja o exemplo abaixo:
Exemplo 3: Usando a forma de Newton, o polinômio p2(x), que interpola 
f(x) nos pontos dados abaixo é:
X -1 0 2
f(x) 4 1 -1
p2(x) = f(x0) + (x - x0) f[x0, x1] + (x - x0) (x - x1) f[x0, x1, x2]
Calculando as diferenças divididas pela fórmula geral
f[xi] = f(xi) e f[x0 , x1, x2, ..., xn] = 
[ ] [ ]1 2 0 1 2 1
0
 , , , , , , , 
 
f fn n
n
x x x x x x x
x x
-… - …
-
 (Ordem n)
construímos a tabela das diferenças divididas abaixo.
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
x0 f[x0]
f[x0 , x1]
x1 f[x1] f[x0 , x1, x2] 
f[x1, x2]
x2 f[x2]
Logo temos a seguinte tabela:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
-1 4
-3
0 1 23
-1
2 -1
Veja como chegar nos resultados da Ordem 1 e da Ordem 2 da tabela acima:
Ordem 1:
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ]
1 0 1 0
1 0 1 0
2 1
2 1
 
 
1
, ]
, ]
,
 4 3 3
1 0 1
 
 
1 1 2 1
2 0
]
2
, ]
0 1
0 1
1 2
1 2
f
f f
[x x
f[x x
f[x x
f[x
f
f f
 x
fx x x x
x x x x
x x
x x
- -
=
- -
- -
= = -
-
-
-
- - -
=
-
=
=
= = -
=
-
  = = - = -  +0 1
1 4 3f x , x 3
0 1 1
TÓPICO 4 | INTERPOLAÇÃO E ERRO
181
Assim, substituindo em p2(x) = f(x0) + (x - x0) f[x0, x1] + (x - x0) (x - x1) f[x0, x1, x2], 
temos: 
p2(x) = 4 + (x + 1)( – 3) + (x + 1)(x – 0) 
2
3
Resolvendo: 
p2(x) = 4 + (– 3x – 3) + (x2 - 0x + x + 0) 
2
3
p2(x) = – 3x + 1 + 
2
3
 x2 + 
2
3
x
p2(x) = 
2
3
 x2 - 
7
3
x + 1
Perceba que obtemos p2(x) = 
2
3
 x2 - 
7
3
x + 1, que é a mesma expressão obtida 
nos exemplos 1 e 3.
3 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO
Ao aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ 
n, comete-se um erro, ou seja, En (x) = f(x) - pn(x) para todo x no intervalo [x0, xn].
O exemplo abaixo ilustra esse fato no caso da interpolação linear:
Ordem 2:
[ ] [ ] ( ) ( )
[ ] [ ]
1 0 1 0
1 0 1 0
2 1
2 1
 
 
1
, ]
, ]
,
 4 3 3
1 0 1
 
 
1 1 2 1
2 0
]
2
, ]
0 1
0 1
1 2
1 2
f
f f
[x x
f[x x
f[x x
f[x
f
f f
 x
fx x x x
x x x x
x x
x x
- -
=
- -
- -
= = -
-
-
-
- - -
=
-
=
=
= = -
=
[ ] [ ]
( )
( )
1 2 0 1
2 0
1 3
2 1
1 3
2 1
2
3
 , , 
 
, , ]
, , ]
0 1 2
0 1 2
 
f[x x x
f[x
f
x
f
x
x x x x
x x
- - -
=
- -
- +
=
+
-
=
-
=
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
182
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), escolheremos x0 = 3 e x1 = 4
Pela forma de Newton, temos:
Dado que, com quatro casas decimais ln(3.7) = 1.3083, o erro cometido é E1 
(3.7) = ln(3.7) - p1 (3.7) = 1.3083 - 1.3 = 0,0083 = 8.3 x 10-3.
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 0 0 0 1
1 1
1.3863 1.0986
 , 1.0986 – 3
4 3
1.0986 – 3 0.2877 3,7 1.300
 
 
p x f x x x f x x x
p x x p
-
= + - = +
-
= + ⇒ =
O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1.
E
n
 (x) = f[x
0
,x]∙(x - x
0
 )= f(x)- P
0
(x) será a função erro que inevitavelmente aparecerá 
ao tentarmos aproximar f por P
0
.
IMPORTANT
E
Exemplo: Obter ln(3.7) por interpolação linear, onde ln(x) está tabelada 
abaixo:
x 1 2 3 4
ln(x) 0 0.6931 1.0986 1.3863
FIGURA 31 - ERRO NA INTERPOLAÇÃO LINEAR
FONTE: Disponível em: <http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pdf>. 
Acesso em: 3 jun. 2017.
TÓPICO 4 | INTERPOLAÇÃO E ERRO
183
O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de p
n
(x).
NOTA
LEITURA COMPLEMENTAR
Gestão Financeira: usando a matemática a seu favor
Por Pedro Araújo
Já não é de hoje que o ser humano se debate com a matemática. São as notas 
do colégio, a utilização constante da calculadora, o professor mal-humorado da 
faculdade que insiste em usar letras ao invés de números. O pior é quando isso 
impacta na saúde financeira, seja na da pessoa física, como na do empreendimento. 
Devido a essa resistência criada desde cedo com a ciência exata, muitos pequenos 
empreendedores esbarram numa barreira perigosa na gestão do seu negócio. São 
dúvidas constantes: Quanto tenho em caixa? Qual meu ponto de equilíbrio? Posso 
realizar determinado investimento ou é melhor aguardar um outro momento?
Fica a dúvida: Se a gestão financeira é essencial para o empreendimento, por 
que as micro e pequenas empresas relutam tanto em adotá-la? Entre as principais 
razões estão a dificuldade com os números e a falta de conhecimento da importância 
do processo. Mas o fator predominante é o fato de que, adotando-a, a empresa 
necessariamente passa por uma etapa de mudança e inovação organizacional. Mais 
estruturada e com dados consistentes sobre o negócio, outras partes da empresa 
são alteradas e passam a ser mais controladas, gerando um potencial para novas 
melhorias. É o começo de uma nova cultura organizacional.
Anotar é necessário
Como realizar uma gestão financeira saudável, com informações precisas 
e tomando as melhores decisões possíveis? A solução é bem simples, na verdade, 
mas exige dedicação e, principalmente, disciplina do empresário. Para tratar da 
gestão de custos, comecemos do processo mais básico, já conhecido pela “conta no 
papel de pão”. Um calendário simples com as entradas e saídas do dia resolve uma 
situação bem comum: a de não saber qual foi o fluxo de dinheiro que passou pelo 
estabelecimento durante aquelas horas de funcionamento.
Entender a importância da informação escrita e planilhada (cada um a seu 
modo, seja no excel, através de software ou no caderninho) é o primeiro grande 
passo. Os números estão no papel. E agora, o que fazer com eles? Sem susto, tudo 
o que o empresário pode tirar de informação será decorrente das quatro operações 
básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Logo, assim como na época 
do colégio, não há motivo para pânico. Então, começamos a extrair informação 
daqueles dados brutos que possuíamos. Identificar quais são os indicadores vitais 
é essencial nessa fase: faturamento, ticket médio (a grosso modo, o quanto é gasto 
por um cliente quando efetua uma compra), custos fixos, custos variáveis, margem 
de lucro, entre outros.
UNIDADE 3 | FUNÇÕES
184
Assim, chegamos à fase do conhecimento. Utilizamos dados brutos para 
transformá-los em informação útil, que nada mais é do que os dados tratados. O 
conhecimento é quando trabalhamos essa informação e podemos aplicá-la, gerando 
um resultado palpável, tangível ou quantificável. O conhecimento levou à execução 
da ação, mudando o fornecedor do setor de hortifruti e gerando uma economia de 
aproximadamente 50% com os insumos (como eles sabiam desse número? Bem, 
voltamos ao primeiro passo, mapeamento e alimentação da informação!).
Serve para todas as áreas!
Depois disso tudo, já imaginou o que poderia acontecer se esse modelo 
de gestão, economia e mudança fosse aplicado nos mais diversos setores da 
empresa? Que tipos de inovação em processos, produtos e relacionamento com o 
consumidor poderiam surgir, diferenciando-se ainda mais do mercado? Por isso, 
independentemente do setor em que a sua empresa atua, seja comércio, serviço 
ou indústria,repense sua relação com a matemática e em como utilizá-la. Ou você 
quer que ela seja sua inimiga (como talvez tenha sido na época da escola) por 
quanto tempo ainda?
FONTE: Disponível em: <https://clubesebrae.com.br/blog/gestao-financeira-usando-a-matematica-
a-seu-favor?>. Acesso em: 14 jun. 2017.
E na prática, como fica?
Na minha experiência como Agente Local de Inovação – projeto do Sebrae 
em parceria com o CNPq, focado no desenvolvimento da cultura de inovação em 
pequenas empresas – ressalto sempre para os meus clientes a importância de uma 
gestão financeira estruturada e que serve como base para tomada de decisões 
estratégicas futuras. Uma pergunta recorrente é: Como posso dizer que quero 
reduzir meu custo em 10%, se não sei qual o valor dos 100%?
Foi com essa mentalidade que, atuando em um restaurante de alta qualidade no 
centro da cidade, implantamos a ação de criação de indicadores financeiros, levando a 
uma posterior análise dos custos e a um resultado extremamente satisfatório. Veja bem, 
nessa situação, os empresários já estavam conscientes da importância de munirem-
se de dados e possuíam planilhas alimentadas com os custos dos seus insumos, mas 
ainda não estavam otimizando as informações que possuíam.
185
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por outra função 
g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça 
algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função 
f(x). 
• O polinômio Pn(x) que interpola f(x), em x0, x1, ..., xn é único. No entanto, existem 
várias formas para se obter tal polinômio. Algumas dessas formas é a resolução 
do sistema linear formado pelos pontos que desejamos interpolar, as formas de 
Lagrange e de Newton.
• Ao aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, 
comete-se um erro, ou seja, En (x) = f(x) - pn(x) para todo x no intervalo [x0, xn] .
• En (x) = f[x0,x]∙(x - x0 )= f(x)- P0(x) será a função erro que inevitavelmente aparecerá 
ao tentarmos aproximar f por P0.
• O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de Pn(x).
RESUMO DO TÓPICO 4
186
AUTOATIVIDADE
Prezado acadêmico! Seguem algumas atividades sobre interpolação e 
erro, conteúdos estudados nesse tópico:
1) Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela a seguir, utilizando 
a interpolação linear:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
2) Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela a seguir, utilizando 
a forma de Lagrange:
3) Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela a seguir, utilizando 
a forma de Newton:
4) Seja f(x) dada na forma:
a) Obter f(0.47) usando um polinômio de grau 2. 
b) Dar uma estimativa para o erro. 
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
f(x) 0,16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
187
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996.
CARVALHO, Thomas. Função modular. Disponível em: <http://www.infoescola.
com/matematica/funcao-modular/>. Acesso em: 4 jun. 2017.
CASTRUCCI, Benedicto; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática. 
São Paulo: FTD, 2009.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 1999. v. 1.
FACCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1996.
FRANCO, N. B., Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI Jr., José Ruy. 
Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar: complexos, polinômios e 
equações. V. 6. São Paulo: Atual. 1993.
MATEMÁTICA INTERATIVA. Disponível em: <http://matiterativa.blogspot.com.
br/p/plano-de-aula.html>. Acesso em: 15 maio 2017.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: 
funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto 
da. Números racionais, reais e complexos. Porto Alegre: UFRGS, 2006.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R., Cálculo numérico: características 
matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2003.
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/bhaskara.htm>. Acesso em: 20 maio 2017.