Geometria Análitica ListaTRES

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Universidade Estadual de Feira de Santana — UEFS
Departamento de Cieˆncias Exatas — DEXA
Disciplina: EXA 702 – GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA VETORIAL
Professor: Dilcesar Dantas
Per´ıodo: 1o semestre / 2015.1.
Exerc´ıcios - PRODUTO VETORIAL E MISTO.
1. Dados os vetores ~u = (2, 0,−3), ~v = (1, 1, 1), e ~w = (1,−1, 0) calcule:
a) ~u× ~v
b) (2~u)× (−3~v)
c) (~u+ ~v)× (~u− ~v)
d) (~u× ~v)× ~v
e) ~u× (~v × ~w)
f) a a´rea do paralelograo gerado por ~u e ~v
g) a a´rea do triaˆngulo gerado por −2~u e 3~v
2. Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (−1, 0, 2).B = (−4, 1, 1)eC = (0, 1, 3).
R. :
√
6.
3. Mostre que o quadrila´tero de ve´rtices A = 1,−2, 3), B = (4, 3, 1) e C = (5, 7,−3) e
D = (2, 2, 1) e´ um paralelogramo e calcule sua a´rea.
R. :
√
89.
4. Calcule ‖~u × ~v‖ e ‖−1
3
~u × 3
4
~v‖ dados ‖~v‖ = 7; ‖~u‖ = 1 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´
30o. R. :
√
6
5. Sendo ABCD um tetraedro de lado unita´rio, calcule ‖−−→AB ×−→AC‖. R. :
√
3
2
.
6. a) Determine dois vetores unita´rios, ortogonais aos vetores ~u = (1,−3, 1) e ~v = (−3, 3, 3).
b) Determine dois vetores de norma 5, ortogonais aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2,−1, 3).
7. Determine m para que ~w = (1, 2,m) seja orgonal a ~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3,−1).
R. : m = −5
8. Calcule a a´rea do paralelogramo que tem um de seus ve´rtices em A = (3, 2, 1) e uma
diagonal de extremidades B = (1, 1,−1) e C = (0, 1, 2). R. : √74
9. Dado um triaˆngulo ABC, mostre que a altura relativa ao ve´rtice C e´ dada por
‖−−→AB ×−→AC‖
‖−−→AB‖
.
10. Suponha os pontos M = (1, 1, 1), N = (−1, 1, 1) e P = (−1,−1, 1) sejam pontos me´dios
dos segmentos AB,AC e BC respectivamente. Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC, das duas
formas solicitadas abaixo:
a) Obtenha
−−→
MN e
−−→
MP como combinac¸a˜o linear de
−−→
AB e
−→
AC;
b) Obtenha as coordenadas dos pontos A, B, C.
1
11. Calcule x sabendo que A = (x, 1, 1), B = (1,−1, 0) e C = (2,−1, 1) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo de a´rea 1, 5. R. : 1 ou 3.
12. Motre que
a) (~u+ ~v)× (~u− ~v) = (2~v)× ~u.
b) ~u× ~v = 0⇔ ~u,~v sa˜o colineares.
d) ‖~u× ~v‖2 + (~u • ~v)2 = ‖~u‖2.‖~v‖2.
e) (~u− ~v)× (~u− ~w) = ~u× ~v + ~v × ~w + ~w × ~u
c) ‖~u× ~v‖ ≤ ‖~u‖.‖~v‖. A igualdade e´ va´lida se, e somente se, ~u ⊥ ~v.
13. Calcule [~u,~v, ~w], dados ~u = (−1,−3, 1);~v = (1, 0, 1); ~w = (2, 1, 1). R. : −1.
14. Determine o volume do paralelepipedo gerado pelos ve´rtices
a) ~u = (−1,−3, 1);~v = (1, 0, 1); ~w = (2, 1, 1). R. : 1.
b) ~u = (2,−2, 0);~v = (0, 1, 0); ~w = (−2,−1,−1). R. : 2.
15. Calcule o volume do tetraedro ABCD, dados:
a)
−−→
AB = (1, 1, 0);
−→
AC = (0, 1, 1);
−−→
AD = (−4, 0, 0). R. : 2
3
b) A = (−1, 3, 2);B = (0, 1,−1);C = (−2, 0, 1);D = (1,−2, 0). R. : 4
16. a) Verifique que os vetores abaixo na˜o sa˜o colineares ~u = (3,−1, 2);~v = (1, 2, 1); ~w =
(−2, 3, 4).
b) Determine o valor de m para que os vetores ~u = (2,−1,m);~v = (1, 0, 2); ~w = (m, 3,m)
na˜o seja coplanares. R. : m 6= 6.
17. a) Verifique que sa˜o coplaneres os seguintes pontos A = (1, 1, 1);B = (−2,−1,−3);C =
(0, 2,−2);D = (−1, 0,−2).
b) Determine os valores de m para que os vetores A = (m, 1, 2);B = (2,−2,−3);C =
(5,−1, 1);D = (3,−2,−2) na˜o sejam coplanares. R. : m 6= 4.
18. Determine o valor de m sabendo que
a) ~u = 2~i − ~j;~v = 6~i + m~j − 2~k; ~w = −4~i + ~k, geram um paralelepipedo de volume 10.
R. : −4 ou 6
b) A = (m, 1, 2);B = (2,−2,−3);C = (5,−1, 1);D = (3,−2,−2) sa˜o ve´rtices de um
tetraedro de volume
1
3
. R. : 2 ou 6.
19. Calcule o volume do tetraedro gerado por ~u,~v, ~w sabendo que ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 1, ‖~w‖ = 4,
o aˆngulo entre ~u,~v e´ 30o e ~w e´ ortogonal a ~u,~v. R. :
1
3
.
20. Dado um tetraedro ABCD, mostre que sua altura relativa a` base ABC. R. :
[
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD]
‖−−→AB ×−→AC‖
.
21. Mostre que
a) |[~u,~v, ~w]| ≤ ‖~u‖.‖~v‖.‖~w‖
b) [~u+ α~v + β ~w,~v + γ ~w, ~w] = [~u,~v, ~w]
c) [~u+ ~v,~v + ~w, ~u+ ~w] = 2[~u,~v, ~w]
Bons estudos, divirtam-se!!!!
2