Aula 5 - Produto Misto

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5 – Produto Misto
5.1 – Definição
Chamamos de produto misto dos vetores u⃗=x1 i⃗ + y1 j⃗+ z1 k⃗ , v⃗=x2 i⃗ + y2 j⃗+z 2 k⃗ e
w⃗=x3 i⃗+ y3 j⃗+z3 k⃗ , nesta ordem, ao número real u⃗. ( v⃗ x w⃗ ) . Este produto misto, u⃗. ( v⃗ x w⃗ ) ,
também é indicado por (u⃗ , v⃗ , w⃗ ) .
Sabemos que:
v⃗ x w⃗=∣ i⃗x2x3
j⃗
y2
y3
k⃗
z2
z3
∣=i⃗.∣y2 z2y3 z3∣− j⃗.∣x2 z 2x3 z3∣+k⃗.∣x2 y2x3 y3∣
Assim:
u⃗.( v⃗ x w⃗)= x1 .∣y2 z 2y3 z 3∣− y1 .∣x 2 z2x3 z3∣+ z1 .∣x2 y2x3 y3∣
Resultando em:
u⃗.( v⃗ x w⃗)=(u⃗ , v⃗ , w⃗ )=∣x1x2x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
∣
Exemplos
1º) Calcular o produto misto dos vetores u⃗=2. i⃗ +3. j⃗+5. k⃗ , v⃗=− i⃗ +3. j⃗+3. k⃗ e
w⃗=4. i⃗−3. j⃗+2. k⃗ .
2º) Determinar (u⃗ , v⃗ , w⃗) dados os vetores u⃗=(−1,0 ,3) , v⃗=(2,−1,2) e w⃗=(1,−1,1) .
5.2 – Propriedades do produto misto
Em todo produto misto (u⃗ , v⃗ , w⃗ ) valem as seguintes propriedades:
i) (u⃗ , v⃗ , w⃗ ) muda de sinal sempre que permutamos os vetores no cálculo do determinante:
• número ímpar de permutas troca o sinal;
• número par de permutas não troca o sinal.
(u⃗ , v⃗ , w⃗ )=−( v⃗ , u⃗ , w⃗) → (u⃗ , v⃗ , w⃗ )=( v⃗ , w⃗ , u⃗)
ii) (u⃗+ x⃗ , v⃗ , w⃗)=( u⃗ , v⃗ , w⃗)+( x⃗ , v⃗ , w⃗ )
(u⃗ , v⃗+ x⃗ , w⃗)=( u⃗ , v⃗ , w⃗)+( u⃗ , x⃗ , w⃗ )
(u⃗ , v⃗ , w⃗+ x⃗ )=( u⃗ , v⃗ , w⃗)+( u⃗ , v⃗ , x⃗)
iii) k. (u⃗ , v⃗ , w⃗)=(k. u⃗ , v⃗ , w⃗)=(u⃗ , k. v⃗ , w⃗)=(u⃗ , v⃗ , k. w⃗)
iv) (u⃗ , v⃗ , w⃗ )=0 se e somente se u⃗ , v⃗ e w⃗ forem coplanares.
Exemplos
3º) Verificar se os vetores u⃗=(2,−1,1) , v⃗=(1,0 ,−1) e w⃗=(2,−1,4) são coplanares.
4º) Qual deve ser o valor de m para que os vetores u⃗=(2,m ,0) , v⃗=(1,−1,2) e
w⃗=(−1,3 ,−1) sejam coplanares?
5º) Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão no mesmo plano.
5.3 – Volume do paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo é dado pelo módulo do produto misto, ou seja:
V P=∣( u⃗ , v⃗ , w⃗)∣
A área da base do paralelepípedo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores
u⃗ e v⃗ : S b=∣⃗u x v⃗∣
O ângulo formado entre o vetor w⃗ e o produto vetorial u⃗ x v⃗ , indicado por θ , tem o
produto vetorial u⃗ x v⃗ ortogonal à base e altura h paralela ao produto vetorial: u⃗ x v⃗
h // u⃗ x v⃗
Assim, obtemos a altura pelas razões trigonométricas em um triângulo retângulo:
cos (θ )= h
∣w⃗∣
→ h=∣w⃗∣. cos (θ)
Da geometria espacial, sabemos que o volume do paralelepípedo é dado por Volume = área
da base x altura:
V P=S b .h → V P=∣( u⃗ x v⃗ )∣.∣w⃗∣.∣cos (θ)∣ → V P=∣∣w⃗∣.∣⃗u x v⃗∣. cos(θ)∣
Como o produto vetorial u⃗ x v⃗ é perpendicular aos vetores u⃗ e v⃗ e a altura h é paralela
ao produto vetorial, temos que o ângulo formado, θ , é de 0º, com cos()=1. Desta forma
obtemos:
V P=∣w⃗ .( u⃗ x v⃗ )∣ → V P=∣( u⃗ , v⃗ , w⃗)∣
Exemplos
6º) Sejam os vetores u⃗=(3 ,m ,−2) , v⃗=(1,−1,0) e w⃗=(2,−1,2) . Calcular o valor de m para
que o volume do paralelepípedo determinado por u⃗ , v⃗ e w⃗ seja de 16 u.v.
6.4 – Volume do tetraedro
Para se obter o volume de um tetraedro, a partir de um paralelepípedo, usamos os conceitos
da geometria espacial. Estes conceitos nos dizem que um paralelepípedo pode ser dividido em dois
prismas triangulares de mesmo tamanho. Assim: V Pr=
1
2
.V P
Também da geometria espacial sabemos que um prisma pode ser dividido em três pirâmides
de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro. Então: V T=
1
3
.V Pr
Desta forma o volume do tetraedro é obtido por meio de:
V T=
1
3
.
1
2
.V P → V T=
1
6
.V P → V T=
1
6
.∣( u⃗ , v⃗ , w⃗ )∣
Exemplos:
7º) Sejam A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3) os vértices de um tetraedro. Calcular:
a) o volume deste tetraedro;
b) A altura do tetraedro, relativa ao vértice D.
Exercícios
1) Dados os vetores u⃗=(3,−1,1) , v⃗=(1,2,2) e w⃗=(2,0 ,−3) , calcular:
a) (u⃗ , v⃗ , w⃗) b) (w⃗ , u⃗ , v⃗ )
2) Sabendo que (u⃗ , v⃗ , w⃗ )=−5 , calcular:
a) (w⃗ , v⃗ , u⃗ ) b) ( v⃗ , u⃗ , w⃗ ) c) (w⃗ , u⃗ , v⃗ ) d) v⃗.( w⃗ x u⃗)
3) Verificar se são coplanares os vetores:
a) u⃗=(1,−1,2) , v⃗=(2,2 ,1) e w⃗=(−2,0 ,−4)
b) u⃗=(2,−1,3) , v⃗=(3,1 ,−2) e w⃗=(7,−1,4)
4) Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
a) u⃗=(2,−1, k ) , v⃗=(1,0,2) e w⃗=(k ,3 , k )
b) u⃗=(2, k ,1) , v⃗=(1,2 , k ) e w⃗=(3,0 ,−3)
5) Verificar se são coplanares os pontos:
a) A (1,1,0) , B(−2,1 ,−6) , C(−1,2 ,−1) , D (2 ,−1 ,−4)
b) A (2,1,2) , B(0,1 ,−2) , C (1,0 ,−3) , D (3,1,−2)
6) Para que valor de m os pontos A (m ,1 ,2) , B(2,−2 ,−3), C (5 ,−1,1) e D (3 ,−2 ,−2) são
coplanares?
7) Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i⃗ , j⃗ e k⃗ ?
8) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u⃗=(3,−1,4) , v⃗=(2,0 ,1) e w⃗=(−2,1,5) .
Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u⃗ e v⃗ .
9) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
u⃗=(0,−1,2) , v⃗=(−4,2 ,−1) e w⃗=(3,m ,−2) seja igual a 33 u.v. Calcular a altura deste
paralelepípedo relativa à base definida por u⃗ e v⃗ .
10) O ponto A (1 ,−2,3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os outros três vértices
adjacentes são B (2 ,−1 ,−4), C (0,2,0) e D (−1 ,m ,1) . Determinar o valor de m para que o
volume deste paralelepípedo seja igual a 20 u.v.
11) Dados os pontos A (2,1,1) , B(−1,0,1) e C (3,2 ,−2) , determinar o ponto D do eixo Oz
para que o volume do paralelepípedo formado seja 25 u.v.
12) Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A (1,1,0) ,
B (6,4,1) , C(2,5,0) e D(0,3,3) .
13) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo
A (2,0,0) , B(2,4,0) , C (0,3,0) e P (2 ,−2,9) . Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P?
14) Sabendo que os vetores A⃗B=(2,1 ,−4) , A⃗C=(m ,−1,3) e A⃗D=(−3,1 ,−2) determinam
um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.
15) Três vértices de um tetraedro de volume 6 u.v. são A (−2,4 ,−1), B(−3,2,3) e
C(1 ,−2 ,−1) . Determinar o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
16) Calcular a distância do ponto D(2,5,2) ao plano determinado pelos pontos A (3,0,0) ,
B (0 ,−3,0) e C(0,0,3) .
Respostas
1) a :(u⃗ , v⃗ , w⃗)=−29
b :(w⃗ , u⃗ , v⃗)=−29
2) a :(w⃗ , v⃗ , u⃗)=5 b :( v⃗ , u⃗ , w⃗)=5
c :(w⃗ ,u⃗ , v⃗ )=−5 d : v⃗ .(w⃗ x u⃗)=−5
3) a : u⃗ , v⃗ , w⃗ não coplanares
b : u⃗ , v⃗ , w⃗ coplanares
4)
a : k=6
b : k=−3
k=2
5) a : A ,B ,C ,D coplanares
b : A ,B ,C ,D não coplanares
6) m=4 7) V=1 u .v . 8)
V=17u .v .
h=17.√30
30
u .c .
9)
m=4
m=−17
4
; h=33.√89
89
u .c . 10) m=2
m=6
11) D(0,0 ,−10)
D (0,0,15)
12) V=19
2
u .v . 13) V=12 u .v .
h=9 u .c .
14)
m=− 17
2
m= 19
2
15) D(0,2,0)
D(0 ,−4,0)
16) d=4.√3
3
u.c.