Unidade VII Teoria Cinetica dos Gases

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Unidade VII - Teoria Cinética dos Gases 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 Até agora tratamos as propriedades da matéria em termos de energia 
térmica sob o ponto de vista macroscópico, estudando a pressão, o volume e 
a temperatura. Entretanto, um gás é composto de átomos ou moléculas. A 
pressão de um gás deve estar relacionada com as colisões das suas molécula 
com o recipiente que o contém. A capacidade de um gás em ocupar um 
recipiente – volume - deve estar ligada à liberdade de movimento das 
moléculas. Por outro lado, a temperatura e a energia térmica de um gás 
devem estar relacionadas à energia cinética destas moléculas. A descrição 
macroscópica está intimamente relacionada com a descrição microscópica. 
Por exemplo, a pressão atmosférica é igual a 10 5 Pa em condições normais. 
Para produzir esta pressão, cerca de 10 32 moléculas colidem com anteparos 
na terra. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Nesta unidade, usaremos descrições macroscópicas e microscópicas 
para compreender as propriedades térmicas da matéria. Daremos enfoque ao 
estudo dos gases ideais. Esses gases não são reais mas devido à 
complexidade das propriedades em um caso realístico optamos por começar 
com este caso mais simples. Gases assumem papel importante no tratamento 
de processos termodinâmicos. Aqui seguiremos as seguintes hipóteses: 
- o número de moléculas é ‘grande’. 
- o gás é diluído, isto é, tende ocupar os espaços. 
- as moléculas são tratadas como objetos pontuais. 
- as moléculas obedecem as leis de Newton. 
 
fig. VII.1. Nesse processo, a pressão em um gás aumenta e o volume diminui. Isto é, a colisão de 
suas moléculas deve aumentar, sua energia cinética aumenta e diminui a liberdade de movimento 
das moléculas. 
 66 
- as moléculas se movem aleatoriamente. 
- as moléculas não interagem, exceto quando colidem. 
- supomos as colisões elásticas. 
 Denominamos variáveis de estado as variáveis que indicam o estado 
do material, como volume, massa, temperatura e pressão. A relação entre 
essas variáveis pode ser expressa através de uma equação chamada: equação 
de estado. 
 
3. Equação do Gás Ideal 
 
 Um mol é definido como 231002,6  de partículas, que podem ser 
elétrons, átomos, moléculas, etc. Nós dizemos que 12 g de carbono é um mol 
de carbono. O carbono tem 6 prótons e 6 nêutrons. A massa atômica do 
carbono é 12. Isto significa que 12 g de carbono contém 231002,6  átomos, 
chamado número de Avogadro. Moléculas são agrupamentos de 
átomos, a massa molecular é a soma das massas atômicas da molécula. 
 Experimentalmente é encontrado que a pressão, volume e 
temperatura absoluta (K) de um gás ideal obedecem aproximadamente a 
seguinte equação de estado, chamada lei dos gases ideais: 
 
nRTpV  eq. VII. 1 
 
onde n é o numero de mols do gás e R = 8,31 J/K, a constante dos gases 
ideais. 
 
4. O Conceito de Pressão e Temperatura do Ponto de Vista Molecular 
 
 Vamos deduzir uma expressão para a pressão devido a um gás ideal. 
Considere N moléculas contidas em um recipiente (cubo) de lado L, com os 
limites alinhados aos eixos x, y, z. Uma molécula movendo-se ao longo de x 
com velocidade xv colidirá elasticamente com uma parede e vem de volta 
com uma velocidade - xv . Seu momentum mudará de xmv para -
 xmv , uma resultante de -2 xmv . Depois de bater na parede, a 
molécula volta numa direção oposta e bate na parede oposta e volta a bater 
na primeira parede uma segunda vez. Ela viaja uma distância 2L na direção 
x e isso gasta um tempo 2L/ xv , tempo entre as colisões com a primeira 
parede. A força exercida sobre a molécula pela parede, pela secunda lei de 
Newton: 
F’ = 
L
mv
vL
mv
tempomudança
momentummudança x
x
x
2
/2
2




 . 
Pela terceira lei de Newton, a força exercida sobre a parede pela molécula é 
F = -F’. A força total exercida sobre a parede é a soma das forças exercidas 
por cada molécula, 
F )...( 221 Nxx vvL
m
 . 
 67 
Mas o valor médio de 2xv para N moléculas é 
)...(1 221
2
Nxxx vvN
v  . Então, 
F
L
Nmvx 
2 
Se uma molécula tem componentes da velocidade zyx vvv ,, , então pelo 
teorema de Pitágoras, 
2222
zyx vvvv  , e os valores médios estão relacionados por 
2222
zyx vvvv  
Como o movimento é aleatório, 
2
xv = 
2
yv = 2zv = 3
1 2v 
A força total sobre a parede é, 
F = )(
3
2
L
vmN
 
A pressão sobre a parede é 
 
 p = 
2L
F
A
F
 , )
2
1)((
3
2 2vm
V
Np  eq. VII. 2 
 
Isto é utilizado para definir a constante de Boltzmann, 231038,1 Bk J/K, 
onde R = N A Bk . A lei do gás ideal e a eq. VII. 2 nos leva a 
 
)
2
1(
3
2 2vm
k
T
B
 eq. VII. 3 
 
Este resultado nos diz que a temperatura absoluta de um gás é proporcional 
à energia cinética molecular. 
2
xv = 
2
yv =
2
zv = 3
1 2v , assim 
m
2
1 2
xv = m2
1 2
yv = m2
1 2
zv = 3
1
( m
2
1 2v ) = 
2
1 TkB 
 Esta última equação ilustra o chamado teorema da equipartição da 
energia que nos diz que cada grau de liberdade de um gás contribui com 
uma quantidade de energia 
2
1 TkB para energia interna total. Um grau de 
liberdade é um movimento independente que pode contribuir para energia 
total do sistema. Por exemplo, o grau de liberdade de uma molécula está 
associado com a rotação e vibração da molécula A energia interna total de n 
mols de um gás monoatômico com 3 graus de liberdade é 
 
nRTTNvmTNE
2
3k
2
3)
2
1(k B
2
B  eq. VII. 4 
 
A eq. VII. 3 pode ser resolvida para encontrarmos a raiz quadrada da 
velocidade quadrada média molecular, 
 68 
MRTmTv /3/3k B
2  eq. VII. 5 
 
Onde BAkNR  e mNM A = massa molar em gramas e m = massa de 
uma molécula. 
Note que essa raiz quadrada da velocidade quadrada média é uma 
velocidade média, e que algumas moléculas se movem com mais ou menos 
velocidade. 
 Nessa discussão supomos as moléculas como partículas pontuais. Se 
formos mais realistas podemos supor as moléculas como esferas de diâmetro 
d e assim possível calcular ao livre caminho médio  entre as colisões das 
moléculas. Isto é, a distância média percorrida entre duas colisões 
sucessivas. Usando uma abordagem estatística nos leva a 
 
pNd
RT
VNd A
22 2/2
1

  eq. VII. 6 
 
5. A Distribuição de Maxwell-Boltzmann 
 
 As moléculas em um gás se propagam em uma ampla faixa de 
velocidades. Usando-se métodos da mecânica estatística podemos chegar ao 
número de partículas dN em um gás com velocidade entre v e v + dv, dN = 
Nf(v)dv, onde 
 
Tkmv
B
Bev
k
mvf 2/22
3
2
)
2
(4)( 

 eq. VII. 7 
 
f(v) é a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann, N é o número de 
partículas do gás de massa m. A fig. VII. 2 mostra a função de distribuição 
para três temperaturas. 
 
Note que a unidade de f(v) é s/m. A velocidade mais 
provável é aquela que corresponde ao pico da 
distribuição, onde df/dv = 0. O resultado é 
 
M
RT
m
Tkv Bmp
22
 eq. VII. 8 
 
Onde M = N A m é a massa molar. Através da 
distribuição podemos calcular também a velocidade 
média, 
 
M
RT
m
Tkdvvvfv B

88)(
0
 

 eq. VII. 9 
 
 
fig. VII.2. Função de distribuição para 
temperaturas, 1T > 2T > 3T . 
 
 69 
 
A velocidade quadrada média é dada por, 
 
M
RT
m
Tkdvvfvv B 33)(
0
22  

 eq. VII.10 
 
6. Calor Específico de um Gás 
 
 O calor específico molar de um gás é a quantidade de calor 
necessária para aumentar a temperatura de um mol por 1 o C. Considere 1 
mol de um gás ideal monoatômico a volume constante. A energia interna do 
gás é dada, paran = 1, E = 3/2 RT. Teremos o calor específico, vC , a 
volume constante, n ,ETCv  n = 1; .2/3/ RTECv  Então, a 
volume constante para este gás monoatômico, 
 
RC v 2
3
 eq. VII.11 
 
 Caso o gás não seja monoatômico e tem f graus de liberdade, cada 
grau de liberdade contribui com ½ R T para a energia interna e assim C v = 
fR/2. 
O gás se expande quando calor é adicionado a um recipiente que o 
contém e o volume não é mantido constante. Imagine um gás contido em um 
cilindro, dentro tem um pistão com um peso em cima, como mostra a fig. 
VII. 3. O pistão mantém uma pressão constante sobre o gás. Como o gás 
expande, ele puxa o pistão para cima e realiza um trabalho sobre ele. Se a 
área da base do pistão é levantada uma distância dx, o trabalho realizado 
pelo gás é dW = Fdx = PAdx = FdV, onde o volume cresce dV = Adx e P = 
F/A. Usando conservação de energia, 
dQ = dE + dW = dE + pdV 
Daí podemos escrever 
dQ/dT = dE/dT + dW/dT = dE/dT + pdV/dT. 
O calor específico molar é então, pC dQ/dT. Da lei dos gases ideais 
dE/dT = 3R/2. Logo, para um gás monoatômico, 
 
2
5
2
3 RRRC p  eq. VII.12 
 
Para um caso geral, isto é, para um gás ideal qualquer, 
 
vp CCR  eq. VII.13 
 Para um gás diatômico teremos RCv 2
5
 e RC p 2
7
 . 
 
 
 
 
fig. VII. 3. Cilindro com 
um pistão interno e um peso 
em cima do pistão. 
 70 
7. Processos Adiabáticos 
 
 Um processo adiabático em um gás é aquele em que nenhum calor é 
trocado para fora ou para dentro do recipiente que contém este gás. Este 
processo pode ser obtido mudando o volume rapidamente ou por manter o 
recipiente bem fechado de forma que somente uma quantidade muito 
pequena de calor pode ser trocada. 
 Se o volume do gás cresce por dV, o trabalho realizado pelo gás 
sobre um pistão imaginário é dW = pdV. O calor absorvido é zero e assim a 
mudança de energia do gás é dE = -dW = -pdV, onde dE pode ser expressa 
em termos de mudança de temperatura. Daí encontramos 
p
dp
V
dV
  , 
onde 
v
p
v
v
C
C
C
CR


 e da equação anterior encontramos uma equação que 
relaciona p com V 
 
.constpV  eq. VII.14 
 
e 
 
).(1 adiabáticaconstTV  eq. VII.15 
 
Podemos estudar os gráficos de p versus V para o caso adiabático sem fluxo 
de calor, isto é, Q = 0 e constpV  . Para o caso isotérmico pV = nRT = 
const. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo VII. 1 
Um compressor de ar usado para fazer pinturas em automóveis tem um tanque de 
capacidade 0.40 m 3 que contem ar a uma temperatura de 27 0 C a 6 atm. Quantos 
mols de ar têm no tanque? 
Solução: 
moles
RT
pVn 5,97
30031,8
4,010013,16 5



 
 
Exemplo VII. 2 
Um pequeno vaso de de volume V contém um gás ideal a 300 K e 5 atm. Esse vaso 
é conectado a um vaso de volume 6V que contém o mesmo gás a uma pressão de 1 
atm e 600 K. A temperatura de cada vaso é mantida constante.Qual será a pressão 
final em cada vaso, após a mistura? 
Solução: 
1
11
1 RT
Vpn  e 
2
22
2 RT
Vpn  
 71 
No final ppp  21 e 
1
1'
1 RT
pVn  e 
2
2'
2 RT
pVn  e assim '2
'
121 nnnn  , 
note que 216 VV  , logo, p = 5,3 atm. 
 
Exemplo VII. 3 
22106 moléculas de um gás ideal são armazenados em um tanque de 0,5 atm a 
37 0 C. Determine a pressão em pascal e a temperatura em Kelvin, o volume do 
tanque e a pressão quando a temperatura aumenta para 152 0 C. 
Solução: 
33101,5 m
p
RT
N
N
p
nRTV
A
 , então, 
atmp
V
nR
T
p
T
p 69,01
2
2
1
1  . 
 
Exemplo VII. 4 
O melhor vácuo que se atinge no laboratório é cerca de 18105  Pa a uma 
temperatura de 293 K. Quantas moléculas possui por centímetro cúbico desse 
vácuo? 
Solução: 
333 /102,11240 cmm
TR
pN
V
N
p
RT
N
N
p
nRTV A
A
  . 
 
Exemplo VII. 5 
O gás hélio com massa molar 4 g a 330 K tem raiz quadrada da velocidade quadrada 
média molecular é 1350 m/s. Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada média 
molecular do oxigênio com massa molar 32 g a essa temperatura? 
Solução: 
A relação entre as velocidades do oxigênio e hélio é: 35,0
/3
/3

He
O
mRT
mRT
 
Assim, raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular do oxigênio é igual a 
0,35 da do hélio, isto é, 0,35 1350 m/s = 472,5 m/s. 
 
 
Exemplo VII. 6 
Gás argônio tem um diâmetro de aproximadamente 10101,3  m e é usado em um 
recipiente de laboratório, mantido a uma temperatura de 300 K. Qual a pressão que 
devemos empregar para evacuar o gás de forma que o livre caminho médio seja de 
1cm. 
Solução: 
pNd
RT
VNd A
22 2/2
1

  , atmp 15103  
 
Exemplo VII. 7 
Uma sala está bem isolada e possui 120 m 3 de ar. O ar da sala está a uma 
temperatura de 21 0 C. Quanto de calor devemos adicionar ao ar de forma que a 
temperatura aumente de 1 0 C. 
 72 
Solução: 
TnCQ v , onde: RT
pVn  , RCv 2
5
 , logo 51006,2 Q J 
 
Exemplo VII. 8 
Dois mols de ar, vC = 5R/2, a uma temperatura de 300 K, estão contidos em um 
pistão pesado dentro de um cilindro de volume 6 L. Se o 5,2 kJ de calor é 
adicionado ao ar, qual será o volume resultante de ar? 
Solução: 
TnCQ p , onde RCC vp  KTTTnRQ 389)(72
1
212  
22 nRTpV  e 11 nRTpV  , teremos LVT
TV 8,71
1
2
2  
 
Exemplo VII. 9 
Durante a compressão de uma máquina de combustão interna, a pressão muda 
adiabaticamente de 1 para 18 atm. Supondo que o gás é ideal e tem 4,1 , por 
qual fator a temperatura muda? Qual o fator de mudança do volume? 
Solução: 
1
/1
1
2
22211 13,0 Vp
pVVpVp 






 
 
Usando que ,nRTpV  encontramos uma relação entre as temperaturas. 
12 3,2 TT  . 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício VII. 1 
Um motorista começa uma viagem em uma manhã fria quando a temperatura é de 
4 0 C. Em um posto, ele checa a pressão no pneu de 32 psi + 15 psi (1 atm), onde 15 
psi é a pressão atmosférica. Depois de rodar o dia todo, a temperatura do pneu subiu 
para 50 0 C. Supondo que o volume é constante, qual a pressão que o ar do pneu tem 
aumentado? 
Resposta: 54,8 psi 
 
Exercício VII. 2 
A temperatura e pressão padrão de um um gás é definida como 0 0 C ou 273 K e 1 
atm ou 1,013 10 5 Pa. Qual o volume que um mol de gás ideal ocupa? 
Resposta: 22,4 L. 
 
Exercício VII. 3 
Quantas moléculas tem em 1 cm 3 de hélio a uma tempertura de 300 K? 
Resposta: 2,410 19 
 
 
 
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Exercício VII. 4 
Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular de uma molécula de 
nitrogênio no ar a uma temperatura de 300 K? A massa atômica do nitrogênio é 14. 
Resposta: 517 m/s 
 
Exercício VII. 5 
Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a 273 K e uma pressão de 1 
atm, supondo que ela é uma esfera de diâmetro 410 10 m. Estime também o tempo 
médio entre as colisões para uma molécula de nitrogênio sob essas condições. (use a 
velocidade do exercício VII.4) 
 
Resposta:  5,210 8 m 
 t = 10 10 s 
 
Exercício VII. 6 
4 mols de argônio estão contidos em um cilindro a uma temperatura de 300 K. 
Quanto de calor deve ser adicionado para aumentar a temperatura a 600 K a volume 
constante? E a pressão constante? 
Resposta: 1,510 4 J e 2,5 10 4 J. 
 
Exercício VII. 7 
O gás hélio a uma temperatura de 400 K e 1 atm é comprimido adiabaticamente de 
20 para 4 L. Qual a temperatura final e pressão? 
Resposta: 1170 K e 14,6 atm