28 Base de um espaco vetorial

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n. 28 – Base de um Espaço Vetorial e 
 Componentes de um Vetor 
 
Bases de um Espaço Vetorial 
 
Chama-se base, por exemplo, do 𝑉3, a qualquer tripla ordenada 
𝐸 = (𝑒1⃗⃗ ⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗ ) linearmente independente (LI) de vetores de 𝑉
3. 
Se (𝑒1⃗⃗ ⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗ ) é uma base de 𝑉
3, todo vetor de 𝑉3 é gerado 
por 𝑒1⃗⃗ ⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝑒3⃗⃗ ⃗, isto é, para todo 𝑣 ∈ 𝑉
3, existem escalares 
𝑎1 , 𝑎2 e 𝑎3 tais que 
 𝑣 = 𝑎1 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝑎2 𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝑎3 𝑒3⃗⃗ ⃗ . 
 
Uma base {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗} é dita ortonormal se os vetores forem 
ortogonais e unitários 
 
Isto é, 𝑒1⃗⃗ ⃗ ⏊ 𝑒2⃗⃗ ⃗ e |𝑒1⃗⃗ ⃗| = |𝑒2⃗⃗ ⃗| = 𝟏 
 
Base: para ser base o conjunto de vetores deve ser LI e gerar o 
espaço, nesse caso, o R2. 
 
Exemplo: Considere uma base ortonormal {𝑒1⃗⃗ ⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗ } no plano x O y e 
um vetor 𝑣 com componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, 
 𝑣 = 3 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 2 𝑒2⃗⃗ ⃗, a representação gráfica dessa base é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja V um espaço vetorial. 
Um subconjunto B = {v1, v2, ..., vn } ⊂ V é uma base do espaço 
vetorial V se V = [B] , isto é: 
 B gera V; 
 B é um conjunto de vetores linearmente independente. 
A base B pode ser indicada por B =(v1,v2, ..., vn) ou B = {v1,v2, ..., vn}. 
B = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V é uma base de V se: 
(i) B gera V  
},,,{
21 n
vvv 
= V 
(ii) B é (LI)  
},,,{ 21 nvvv 
 é (LI) 
 
Alguns exemplos 
1. Verifique que o conjunto {v1}, onde v1 = (1) é uma base do 
espaço vetorial V = R (Esta base é chamada de base canônica do 
R). 
Basta provar que este conjunto gera o ℝ e é um conjunto (LI), isto 
é: 
(i) [ (1) ] = V  gera o ℝ 
(ii) {(1)}  é (LI) 
 
i) (x) = a1 v1  provando que gera o ℝ 
(x) = a1 (1) 
(x) = (a1) 
 
Logo, o conjunto V gera o ℝ pois qualquer x ∈ ℝ pode ser escrito 
como: x.1 = x , ou seja é combinação linear de v1. 
 
ii) [1]  provando que é LI 
[1] → 𝑑𝑒𝑡 = 1 
Ou, 
0 = 𝑎 𝑣1 
0 = 𝑎 .1 
0 = 𝑎 
Logo, como a = 0 é LI. 
2. Verifique que o conjunto {v1, v2}, onde v1 = (1, 0) v2 = (0, 1) é 
uma base do espaço vetorial V = R2 (Esta base é chamada de 
base canônica do R2). 
Basta provar que este conjunto gera o ℝ2 e é um conjunto (LI), isto 
é: 
(i) [ (1, 0) , (0, 1) ] = V  gera o ℝ2 
(ii) {(1, 0) , (0, 1)}  é (LI) 
 
iii) (x, y) = a1 v1+ a2 v2  provando que gera o ℝ2 
(x, y) = a1 (1, 0) + a2 (0, 1) 
(x, y) = (a1, 0) + (0, a2) 
(x, y) = (a1, a2) 
Logo, o conjunto V gera o ℝ2, pois qualquer par (x, y) ∈ ℝ2 é 
combinação linear de v1 e v2. 
 
iv) [
1 0
0 1
] = 1 − 0 = 1  provando que é LI 
Determinante diferente de zero, logo é LI. 
 
Ou: a1 v1+ a2 v2 = (0, 0) 
 a1 (1, 0)+ a2 (0, 1) = (0, 0) 
 (a1, 0)+ (0, a2) = (0, 0) 
 (a1, a2) = (0, 0) 
 a1 = 0 e a2 = 0 
 
O que mostra que é (LI). 
Portanto, o conjunto V é uma base do ℝ2. 
 
3. Verifique se o conjunto v1 = (1, 1) v2 = (0, 1) é uma base do 
espaço vetorial V = R2 
 
Basta provar que este conjunto gera o ℝ2 e é um conjunto (LI), isto 
é: 
(i) [ (1, 1) , (0, 1) ] = V  gera o ℝ2 
(ii) {(1, 1) , (0, 1)}  é (LI) 
 
i) (x, y) = a1 v1+ a2 v2  provando que gera o ℝ2 
(x, y) = a1 (1, 1) + a2 (0, 1) 
(x, y) = (a1, a1) + (0, a2) 
(x, y) = (a1, a1+a2) 
Logo, se (x, y) = (0 , 0) 
Temos que: (0 , 0) = (a1, a1+a2) 
Portanto, tomando quaisquer (x , y) teremos todo o ℝ2 
 
 
v) [
1 1
0 1
] = 1 − 0 = 1  provando que é LI 
Determinante diferente de zero, logo é LI. 
 
Ou: a1 v1+ a2 v2 = (0, 0) 
 a1 (1, 1)+ a2 (0, 1) = (0, 0) 
 (a1, a1)+ (0, a2) = (0, 0) 
 (a1, a1+a2) = (0, 0) 
 a1 = 0 e a2 = 0 
 
O que mostra que é (LI). 
Portanto, o conjunto V é uma base do ℝ2. 
 
4. Verifique que o conjunto {v1, v2}, onde v1 = (1, 0) e v2 = (4, 0) 
não é uma base do espaço vetorial V = R2. 
Basta provar que este conjunto não gera o ℝ2, ou que o mesmo não 
é LI. 
(i) [ (1, 0) , (4, 0) ] = V 
(ii) {(1, 0) , (4, 0)} é (LI) 
 
i) (x, y) = a1 v1+ a2 v2 
(x, y) = a1 (1, 0) + a2 (4, 0) 
(x, y) = (a1, 0) + (4 a2, 0) 
(x, y) = (a1 + 4 a2, 0) 
 
Logo, como temos apenas a reta do eixo x, pois y é sempre igual a 
zero, o conjunto V não gera o ℝ2. 
 
ii) [
1 0
4 0
] = 0 − 0 = 0 
Determinante igual à zero, implica que é LD . 
 
Portanto, o conjunto V não é uma base do ℝ2. 
 
Exercícios: 
1. Verifique quais dos conjuntos é base dos espaços a seguir: 
a. B = { (1, 2), (3, 5)} R: É base do ℝ2. 
b. B = { (1, 2), (2, 4)} R: Não é base do ℝ2. 
c. B = { (1, 0), (0, 1), (7, 4)} R: Não é base do ℝ2. 
d. B = { (0, 1), (0, 2)} R: Não é base do ℝ2. 
e. B = { (1, 0,0), (0, 1,0), (0, 0, 1)} R: É base do ℝ3. 
f. B = { (1, 1, 1), (1, - 1 ,0)} R: Não é base do ℝ3. 
g. V = M (2 x 2) R: É base de V. 
 
Resolução dos exercícios 
1. Verifique quais dos conjuntos é base dos espaços a seguir: 
a. B = { (1, 2), (3, 5)} 
Basta provar que este conjunto gera o ℝ2 e é um conjunto (LI), isto 
é: 
(i) {(1, 2), (3, 5)} = 𝑉 → gera o ℝ2 
(ii) {(1, 2), (3, 5)} → é LI 
 
i) (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑣1 + 𝑏 𝑣2 → provando que gera o ℝ2 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎 (1, 2) + 𝑏 (3, 5) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑎, 2𝑎) + (3𝑏, 5𝑏) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑎 + 3𝑏, 2𝑎 + 5𝑏) 
 
Logo, {
𝑥 = 𝑎 + 3𝑏 (1)
𝑦 = 2𝑎 + 5𝑏 (2)
 
 
De (1): 𝑎 = 𝑥 − 3𝑏 (3) 
 
(3) em (2): 𝑦 = 2(𝑥 − 3𝑏) + 5𝑏 
𝑦 = 2𝑥 − 6𝑏 + 5𝑏 
𝑦 = 2𝑥 − 𝑏 
𝑏 = 2𝑥 − 𝑦 (4) 
 
(4) em (3): 𝑎 = 𝑥 − 3(2𝑥 − 𝑦) 
𝑎 = 𝑥 − 6𝑥 + 3𝑦 
𝑎 = −5𝑥 + 3𝑦 (5) 
 
Portanto, (4) e (5) na combinação linear: 
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎 (1, 2) + 𝑏 (3, 5) 
(𝑥, 𝑦) = (−5𝑥 + 3𝑦) (1, 2) + (2𝑥 − 𝑦) (3, 5) 
(𝑥, 𝑦) = (−5𝑥 + 3𝑦,−10𝑥 + 6𝑦) + (6𝑥 − 3𝑦, 10𝑥 − 5𝑦) 
(𝑥, 𝑦) = (−5𝑥 + 3𝑦 + 6𝑥 − 3𝑦 , − 10𝑥 + 6𝑦 + 10𝑥 − 5𝑦) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑥 , 𝑦) 
 
O que prova que {(1, 2), (3, 5)} = 𝑉 gera o ℝ2 
 
Portanto, tomando quaisquer (x , y) teremos todo o ℝ2 
 
 
ii) [
1 2
3 5
] = 5 − 6 = −1 → provando que é LI 
Determinante diferente de zero, logo é LI. 
 
Ou: 
(0,0) = 𝑎 (1, 2) + 𝑏 (3, 5) 
(0, 0) = (𝑎, 2𝑎) + (3𝑏, 5𝑏) 
(0, 0) = (𝑎 + 3𝑏, 2𝑎 + 5𝑏) 
 
Logo, {
0 = 𝑎 + 3𝑏 (1)
0 = 2𝑎 + 5𝑏 (2)
 
 
De (1): 𝑎 = −3𝑏 (3) 
 
(3) em (2): 0 = 2(−3𝑏) + 5𝑏 
0 = −6𝑏 + 5𝑏 
0 = −𝑏 
𝑏 = 0(4) 
 
(4) em (3): 𝑎 = − 3(0) 
𝑎 = 0 (5) 
 
Portanto, como 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0 o conjunto de vetores é LI. 
 
Assim, o conjunto V é uma base do ℝ2. 
R: É base do ℝ2. 
 
b. B = { (1, 2), (2, 4)} 
R: Não é base do ℝ2. 
c. B = { (1, 0), (0, 1), (7, 4)} 
 R: Não é base do ℝ2. 
d. B = { (0, 1), (0, 2)} 
 R: Não é base do ℝ2. 
e. B = { (1, 0,0), (0, 1,0), (0, 0, 1)} 
R: É base do ℝ3. 
f. B = { (1, 1, 1), (1, - 1 ,0)} 
R: Não é base do ℝ3. 
g. V = M (2 x 2) 
Basta provar que este conjunto gera 𝑀2x2 e é um conjunto (LI), isto 
é: 
(ii) {[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
]} = 𝑉 → gera 𝑀2x2 
(ii) {[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
]} → é LI 
 
i. [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] = 𝑎𝑣1 → provando que gera 𝑀2x2 
 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] = 𝑎 [
1 0
0 0
] + 𝑏 [
0 1
0 0
] + 𝑐 [
0 0
1 0
] + 𝑑 [
0 0
0 1
] 
 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
 
{
𝑥 = 𝑎 (1)
𝑦 = 𝑏 (2)
𝑧 = 𝑐 (3)
𝑘 = 𝑑 (4)
 
 
Portanto, (1), (2), (3) e (4) na combinação linear: 
 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] = 𝑥 [
1 0
0 0
] + 𝑦 [
0 1
0 0
] + 𝑧 [
0 0
1 0
] + 𝑘 [
0 0
0 1
] 
 
 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] = [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑘
] 
 
 
O que prova que 
 
 {[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
]} = 𝑉 → gera 𝑀2x2 
 
Portanto, tomando quaisquer {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)} teremos 𝑀2x2 
 
 
ii. [
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
] → provando que é LI 
 
𝑎 [
1 0
0 0
] + 𝑏 [
0 1
0 0
] + 𝑐 [
0 0
1 0
] + 𝑑 [
0 0
0 1
] = [
0 0
0 0
] 
 
{
𝑎 = 0 
𝑏 = 0
𝑐 = 0
𝑑 = 0
 
 
Como: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0 é LI. 
 
Assim, o conjunto V é uma base de 𝑀2x2. 
R: É base 𝑀2x2. 
 
Dimensão de um Espaço Vetorial 
Proposição: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o 
mesmo número de vetores. 
OBS: Este número de vetores que é constante para todas as bases 
de um espaço vetorial é denominado “dimensão” do espaço. 
Podemos representar a dimensão de V por dim V = n. 
Proposição: Dada uma base B = {v1, v2, ..., vn} de V, então cada 
vetor v ∈ V é escrito de maneira única como combinação linear dos 
vetores de B. 
 
Seja V um espaço vetorial : 
 Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e 
escreve-se dim V = n. 
 Se V não possui base, dim V = 0 
 Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é 
infinita e anota-se dim V = ∞. 
 
 
Exemplo: 
A dimensão de qualquer subespaço S do ℝ3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 
3. 
 dim S = 0, então S = {0} é a origem, ou seja, um ponto. 
 dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 
 dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 
 dim S = 3, então S é o próprio ℝ3. 
 
Exemplos: 
 
 V = ℝ2 / { (1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V. 
 Então dim V = 2. 
 
 V = ℝ3 / { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de V. 
 Então dim V = 3. 
 
 V = M (2 x 2) / {[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
1 0
] , [
0 0
0 1
]} é base de V. 
 Então dim V = 4. 
 
Exemplo: 
1. Determine uma base e a dimensão do subespaço 
S = { (x, y, z) ∈ ℝ3 | 2 x + y + z = 0}. 
 
Isolando-se (ou x ou y) na equação de definição temos: 
z = – 2 x – y 
 
onde x e y são as variáveis livres. 
Para qualquer vetor (x, y, z) ∈ S tem-se: 
(x, y, z) = (x, y, – 2 x – y) 
 
Ou: (x, y, z) = (x, 0, – 2 x) + (0 , y , – y) 
ou ainda: (x, y, z) = x (1, 0, – 2) + y (0 , 1 , – 1) 
 
Logo, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 0, – 2) e 
(0 , 1 , – 1). 
 
 Verificando que são LI 
a (1, 0, – 2) + b (0 , 1 , – 1)= (0, 0, 0) 
{
𝑎 = 0
𝑏 = 0
−2𝑎 − 𝑏 = 0
 
Portanto, como 𝑎 = 𝑏 = 0 os vetores são LI. 
 
Como esses dois vetores geradores de S são LI, o conjunto {(1, 0, – 
2), (0, 1, – 1)} é uma base de S e de dim S = 2 . 
 
Tendo em vista que a cada variável livre x e y corresponde um 
vetor da base do subespaço, então, com: 
(x, y, z) = x (1, 0, – 2) + y (0 , 1 , – 1), conclui-se que, se desejarmos 
obter uma outra base do subespaço S, bastaria atribuir valores 
para x e y: 
Fazendo x = 1 e y = 1, temos z = - 3 ⇒ v1 = (1, 1, - 3) 
Fazendo x = - 1 e y = 2, temos z = 0 ⇒ v2 = (- 1, 2, 0) 
Portanto, o conjunto S = {(1, 1, - 3), (- 1, 2, 0)} é outra base de S. 
Na verdade S tem infinitas bases, porém todas com dois vetores 
somente, dim S = 2. 
 
Obs: 
 quando temos um subespaço determinado por uma equação, 
achamos a base abrindo os vetores; 
 quando temos um subespaço determinado por um conjunto de 
vetores, achamos a base escalonando. 
 
Exercícios: 
1. Encontre uma base e a dimensão de W, subespaço de R4 gerado 
pelos vetores, tal que: 
a. W = {(1, -2, 5, -3), ( 2, 3, 1, -4), (3, 8, - 3, - 5)}. 
dim W = 2 
Base: {(1, -2, 5, -3), (0, 7, -9, 2)} 
b. W = {(2, 1, 1, 0), ( 1, 0, 1, 2), (0, -1, 1, 4)}. 
dim W = 2 
Base: {(1, 0, 1, 2), (0, 1, -1, -4)} 
2. Encontre uma base e a dimensão de E, subespaço de R3 gerado 
pelos vetores, tal que: 
a) {(x, y, z) ∈ R3/ y = 3 x} 
dim E = 2 
Base: {(1, 3, 0), (0, 0, 1)} 
b) {(x, y, z) ∈ R3/ y = 5 x e z = 0} 
dim E = 1 
Base: {(1, 5, 0)} 
 
3. Mostre que o subconjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} é uma 
base do seguinte subespaço vetorial do R3: U = { (x, y, z) ∈ R3 | 
 x = 0}. 
Os vetores dados são 𝐿𝐼 e geram todo o U ∈ R3 e a dim U = 2. 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1. Encontre uma base e a dimensão de W, subespaço de R4 gerado 
pelos vetores, tal que: 
a. W = {(1, -2, 5, -3), ( 2, 3, 1, -4), (3, 8, - 3, - 5)}. 
 
Resolvendo por escalonamento: 
 
|
1 −2
2 3
3 8
 
5 −3
1 −4
−3 −5
|
→ 𝐿2 = 𝐿1(−2) + 𝐿2 
 → 𝐿3 = 𝐿1(−3) + 𝐿3 
 → |
1 −2
0 7
0 14
 
5 −3
−9 2
−18 4
| 
 
|
1 −2
0 7
0 14
 
5 −3
−9 2
−18 4
| → 𝐿3 = 𝐿2(−2) + 𝐿3 → |
1 −2
0 7
0 0
 
5 −3
−9 2
0 0
| 
 
Logo, a linha 3 era uma combinação linear, portanto, LD. 
Assim, ficamos com apenas os vetores LI, logo, a base é: 
Base = {(1, -2, 5, -3), (0, 7, -9, 2)}, ou seja dois elementos para a 
base. 
 
Portanto, a base tem dimensão 2: dim = 2 
 
Ou, montando o sistema novamente ficaremos com: 
 {
𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 − 3 𝑘 = 0 (1)
7 𝑦 − 9 𝑧 + 2 𝑘 = 0 (2)
 
 
De (2): 𝑦 =
9𝑧−2 𝑘
7
 (3) 
 (3) em (1): 𝑥 = 2 (
9𝑧−2 𝑘
7
) − 5 𝑧 + 3 𝑘 
 𝑥 =
18𝑧 − 4 𝑘 − 35 𝑧 + 21 𝑘
7
 
 𝑥 =
− 17 𝑧 + 17 𝑘
7
 (5) 
Logo, podemos observar pelas equações (3) e (5) que tanto x, 
quanto y dependem de z e k, portanto temos duas variáveis livres. 
Dim W = 2 
 
 
b. W = {(2, 1, 1, 0), ( 1, 0, 1, 2), (0, -1, 1, 4)}. 
 
Resolvendo por escalonamento: 
 
|
2 1
1 0
0 −1
 
1 0
1 2
1 4
| → 
 
𝐿2 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑐𝑜𝑚 𝐿1 → |
1 0
2 1
0 −1
 
1 2
1 0
1 4
| 
 
|
1 0
2 1
0 −1
 
1 2
1 0
1 4
| → 𝐿2 = 𝐿1(−2) + 𝐿2 → |
1 0
0 1
0 −1
 
1 2
−1 −4
1 4
| 
 
|
1 0
0 1
0 −1
 
1 2
−1 −4
1 4
| → 𝐿3 = 𝐿2 + 𝐿3 → |
1 0
0 1
0 0
 
1 2
−1 −4
0 0
| 
 
Logo, a linha 3 era uma combinação linear, portanto, LD. 
Assim, ficamos com apenas os vetores LI, logo, a base é: 
Base = {(1, 0, 1, 2), (0, 1, -1, -4)}, ou seja dois elementos para a 
base. 
 
Portanto, a base tem dimensão 2: dim = 2 
 
Ou, montando o sistema novamente ficaremos com: 
 {
𝑥 + 𝑧 + 2 𝑘 = 0 (1)
𝑦 − 𝑧 − 4 𝑘 = 0 (2)
 
 
De (2): 𝑦 = 𝑧 + 4 𝑘 (3) 
 De (1): 𝑥 = −𝑧 − 2 𝑘 (4) 
Logo, podemos observar pelas equações (3) e (4) que tanto x, 
quanto y dependem de z e k, portanto temos duas variáveis livres. 
Dim W = 2 
Base: {(1, 0, 1, 2), (0, 1, -1, -4)} 
 
 
2. Encontre uma base e a dimensão de E, subespaço de R3 gerado 
pelos vetores, tal que: 
 
a. {(x, y, z) ∈ R/ y = 3 x} 
(x, 3 x, z) 
 
(x, y, z) = x (1, 3, 0) + z (0, 0, 1) pode ser qualquer z 
 
dim E = 2 
Base: {(1, 3, 0) , (0, 0, 1)} 
 
{
𝑥 = 𝑥
𝑦 = 3𝑥
𝑧 = 𝑧
 
 
Logo, temos duas variáveis livres: x e z, portanto, dimensão igual a 
2. 
 
b. {(x, y, z) ∈ R/ y = 5 x e z = 0} 
 
(x, 5x, 0) 
 
(x, y, z) = x (1, 5, 0) 
 
Dim E = 1 
Base: {(1, 5, 0)} 
 
3. Mostre que o subconjunto de vetores { (0, 2, 2), (0, 4, 1)} é uma 
base do subespaço vetorial do R3, U = { (x, y, z) ∈ R3 | x = 0}. 
 
[
0 2 2
0 4 1
] → 𝐿2: 𝐿1(−2) + 𝐿2 → [
0 2 2
0 0 −3
] 
 
Portanto, vemos que os vetores dados são LI. 
 
Para gerar todo U ∈ R3 , se e somente se x = 0, logo, os vetores são 
da forma (0, y, z), portanto: 
 
(0, 𝑦, 𝑧) = (0, 2, 2) + (0, 0, −3) 
 
(0, 𝑦, 𝑧) = (0, 2 ,0) + (0, 0, 2) + (0, 0, −3) 
 
(0, 𝑦, 𝑧) = (0, 2, −1) 
 
(0, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 (0, 2,0) + 𝑧 (0, 0, −1) 
 
Ou, para 𝑦 = 2 e 𝑧 = −1 
 
(0, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 (0, 1,0) + 𝑧 (0, 0, 1) 
 
Logo, o subconjunto de vetores y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) gera todo 
o U ∈ R3 . 
Assim, o subconjunto de vetores é uma base de U, com dim U = 2. 
 
 
COMPONENTES DE UM VETOR 
Seja V um espaço vetorial e B = {v1, v2, ..., vn} uma base ordenada de 
V. 
Dado v ∈ V, 
nnvavavav  2211
 
Os escalares a1, a2,..., an são denominados componentes ou 
coordenadas de v em relação à base B. 
Um vetor v ∈ V (dim V = n), de componentes a1 , a2, ..., an em 
relação a uma base B, é indicado por vB e representado por: 
vB = (a1 , a2, ..., an ) 
O mesmo vetor pode ser representado na forma matricial: 
[𝑣]𝐵 = [
𝑎1
...
𝑎𝑛
] 
Dizemos que 
B
v][
representa as coordenadas de v na base ordenada B. 
 
Exemplo: 
 
1. Seja V = R2 e E = {(3, –5), (–1, 1)} base ordenada do R2. 
Determine as coordenadas de v = (–1, –1) em relação a E. 
 
(–1, –1) = a (3, –5) + b (–1, 1) 
 
{
−1 = 3𝑎 − 𝑏
−1 = −5𝑎 + 𝑏
 → 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠: − 2 = −2𝑎 
 
Logo, a = 1 e b = 4 , assim, [𝑣]𝐸 = (
1
4
) 
 
2. Determine as coordenadas da matriz [
1 −1
2 0
] de 
 22M
, em 
relação à base: {[
1 0
0 1
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
2 0
] , [
0 0
1 2
]}. 
 
 [
1 −1
2 0
] = a [
1 0
0 1
] + 𝑏 [
0 1
0 0
] + 𝑐 [
0 0
2 0
] + 𝑑 [
0 0
1 2
] 
 
{
𝑎 = 1
𝑏 = −1
2𝑐 + 𝑑 = 2
𝑎 + 2𝑑 = 0
 → 
{
 
 
 
 
 
 
𝑎 = 1
𝑏 = −1
𝑐 =
5
4
𝑑 = −
1
2
 
 
Logo, [𝑣]𝑀 =
(
 
 
 
 
 1
−1
 
5
4
−
1
2
 )
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Encontre as componentes do vetor v = (2, -3) em relação a base 
canônica do R2. 𝑅: [𝑣]𝐵 = (
2
−3
) 
 
2. Encontre as componentes do vetor v = (4, 3) em relação a base 
{ (0, 1 ) , (1, 0 )} do R2. 𝑅: [𝑣]𝐵 = (
3
4
) 
 
3. Encontre as componentes do vetor v = (4, 3) em relação a base 
canônica do R2. 𝑅: [𝑣]𝐵 = (
4
3
) 
 
4. Encontre o vetor coordenada de v, sendo v = (5, 1, 2) em relação 
à base ordenada M: {(1, 0, 3), (-1, 1, 1), (2, 1, 0)} 
𝑅: [𝑣]𝐵 = 
(
 
 
 
 
 
−
9
10
7
10
17
10)
 
 
 
 
 
 
5. Encontre o vetor coordenada de v, sendo os vetores da Base β: 
{(2, -1), (3, 4)} . 𝑅: [𝑣]𝛽 = [
13
10
] 
 
Exercícios resolvidos 
1. Encontre as componentes do vetor v = (2, -3) em relação a base 
canônica do R2. 
(2, -3) = a (1, 0) + b (0, 1) 
{
2 = 𝑎 
− 3 = 𝑏
 
Logo, as componentes do vetor v em relação à base canônica do 
R2 são: [𝑣]𝐵 = (
2
−3
) 
 
2. Encontre as componentes do vetor v = (4, 3) em relação a base 
{ (0, 1 ) , (1, 0 )} do R2. 
(4, 3) = a (0, 1) + b (1, 0) 
{
4 = 𝑏 
 3 = 𝑎
 
Logo, as componentes do vetor v em relação à base 
 {(0, 1), (1, 0)} do R2 são: [𝑣]𝐵 = (
3
4
) 
 
3. Encontre as componentes do vetor v = (4, 3) em relação a base 
canônica do R2. 
 
(4, 3) = a (1, 0) + b (0, 1) 
{
4 = 𝑎 
 3 = 𝑏
 
Logo, as componentes do vetor v em relação à base 
 {(1, 0), (0, 1)} do R2 são: [𝑣]𝐵 = (
4
3
) 
 
4. Encontre o vetor coordenada de v, sendo v = (5, 1, 2) em relação 
à base ordenada M: {(1, 0, 3), (-1, 1, 1), (2, 1, 0)} 
 
(5, 1, 2) = a (1, 0, 3) + b (-1, 1, 1) + c (2, 1, 0) 
 
{
5 = 𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 (1)
1 = 𝑏 + 𝑐 (2)
2 = 3 𝑎 + 𝑏 (3)
 
 
De (2): b = 1 – c (4) 
 
(4) em (3): 2 = 3 a + (1 – c ) 
 2 = 3 a + 1 – c 
 𝑎 =
𝑐 + 1
3
 (6) 
 
(4) e (6) em (1): 5 =
𝑐 + 1
3
 – (1 – c) + 2 c 
 
 5 =
𝑐 + 1 − 3 + 3 𝑐 + 6 𝑐
3
 
 15 = 10 c – 2 
 𝑐 =
17
10
 
 
𝑎 =
9
10
 𝑏 = − 
7
10
 𝑐 =
17
10
 
 
Logo, o vetor coordenada de v é: (
9
10
 , − 
7
10
 , 
17
10
 ) , ou seja, com 
esses valores temos que o vetor v é uma combinação linear dos 
vetores da base ordenada. 
[𝑣]𝐵 = 
(
 
 
 
 
 
−
9
10
7
10
17
10)
 
 
 
 
 
 
 
5. Encontre o vetor coordenada de v, sendo os vetores da Base β: 
{(2, -1), (3, 4)} 
[𝑣]𝛽 = a (v1) + b (v2) 
[𝑣]𝛽 = 2 (2, -1) + 3 (3, 4) 
[𝑣]𝛽 = (4, -2) + (9, 12) 
[𝑣]𝛽 = (13, 10) 
𝑅: [𝑣]𝛽 = [
13
10
] 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – 
UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall, 1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de 
Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.