Lista de Exercicio

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´
CENTRO DE EDUCACA˜O ABERTA E A DISTAˆNCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Prof: Antonio Wilson Cunha
Lista 1
(1) Prove as seguintes desigualdades para valor absoluto.
(a) |x+ y| ≤ |x|+ |x| para x, y ∈ R.
(b) |x− y| ≤ |x|+ |y| para x, y ∈ R.
(c) ||x| − |y|| ≤ |x− y| para x, y ∈ R.
(2) Ache o dominio e a imagem das func¸o˜es abaixo e esboce o gra´fico.
a)f(x) = 1x b)f(x) =
√
x2 − 4 c)f(x) =
√
2−x√
x−3
d)f(x) = 1
1+
√
x
e)f(x) =

x3 se x ≤ 0
1 se 0 < x < 2
x2 se x ≥ 2.
(3) Seja g(x) = x − 3 e f(x) =

x2−9
x+3 se x 6= −3
α se x = −3.
. Ache α tal que f(x) = g(x) para
todo x.
(4) Descreva de maneira anal´ıtica e geome´trica uma func¸a˜o y = f(x) tal que lim
x→3
f(x) na˜o
existe e lim
x→6
f(x) existe.
(5) Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x+ 5 em x = 3 e que e´ igual a 17.
(6) Calcule os limites abaixo
a) lim
x→1
[(x+ 4)3(x+ 2)−1] b) lim
x→√3
2x2 − x
3x
c) lim
x→pi/2
[3 sinx− cosx− cothx]
d) lim
x→2
x
√
x−√2
3x− 4 e) limx→0 ln(cosx) f) limx→0 ln(e
x/2)
(7) Dada a func¸a˜o f(x) =

x
|x| se x 6= 0
0 se x = 0.
. Mostrar que f(x) na˜o tem limite no ponto
zero.
(8) Seja f(x) =
 x− 2 se x ≤ 4
4x− 7 se x > 4
. Calcule lim
x→4−
f(x), lim
x→4+
f(x) e lim
x→4
f(x).
(9) Calcule os seguintes limites
a) lim
x→1
√
t− 1
t− 1 b) limx→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 c) limx→0
√
x+ 1− 1
−x
d) lim
x→1
3
√
x+ 1− 3√2x
x− 1 e) limx→−1+
x3 + 1
x2 − 1 f) limx→2
3
√
x+ 6− x
x− 2
(10) Calcule os seguinte limites.
2
a) lim
x→+∞(3x
3 + 4x2 − 1) b) lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 1
c) lim
x→+∞
x2 − 1
x− 4
d) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x+ 1
e) lim
x→−∞
−5x3 + 2
7x3 + 3
f) lim
x→−∞
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(11) Calcule os limites abaixo usando os limites fundamentais.
a) lim
x→0
sin 7x
x
b) lim
x→0
sin 10x
7x
c) lim
x→0
tan ax
x
d) lim
x→∞
1− cosx
x
e) lim
x→3pi/2
(1 + cosx)1/ cosx f) lim
x→2
10x−2 − 1
x− 2
(12) Calcule o seguinte limite:
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+10
.
(13) Verifique se a func¸a˜o f(x) = 1
sin 1
x
e´ cont´ınua em x = 2.
(14) Encontre α de modo que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua.
f(x) =
 x
2 + αx+ 4 se x 6= 3
3 se x = 3.
.
(15) Determine, se existirem, os pontos onde a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua.
f(x) =
1
1 + 2 sinx
.
(16) Sejam f, g e h func¸o˜es tais que, para todos x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se f e h sa˜o cont´ınuas
no ponto x = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g e´ cont´ınua no ponto a.
(17) Sejam a ∈ R e f : R → R uma func¸a˜o definida no ponto a. Se lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = L,
prove que f e´ cont´ınua no ponto a.