Dimensionamento de Concreto Armado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO III 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos 
 
 sergiohampshire@poli.ufrj.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 2009 - 
 2 
 SUMÁRIO PÁGINA 
 
1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3 
- Verificação da segurança. Definição dos estados limites. 
- Coeficientes de ponderação. 
- Características dos aços. 
- Características do concreto. 
- Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão composta no estado limite último 
2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA 11 
- Dimensionamento na flexão composta reta 
- Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação 
3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 22 
- Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118 
- Cálculo exato 
- Exemplos 
4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES 25 
- Cargas atuantes nos pilares de edifícios. 
- Classificação das estruturas relativamente a sua deformabilidade horizontal 
- Métodos de análise dos efeitos de 2a ordem 
- Pilares-parede. 
- Verificação ao cisalhamento. 
5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE 37 
6. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO 43 
7. TORÇÃO 60 
ANEXOS – Ábacos adimensionais para dimensionamento na flexão composta reta 62 
 
 3 
1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
1.1. Verificação da segurança. Definição dos estados limites 
1.1.1. Condições construtivas e analíticas de segurança 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, devem ser atendidas as condições 
construtivas e as condições analíticas de segurança (item 12.5, pg.65, da NBR 6118). 
Do ponto de vista das condições construtivas, devem ser atendidos os critérios de 
detalhamento, as normas de controle dos materiais e as exigências no controle da execução da obra, 
definidos nas Normas Brasileiras e nas Especificações de Projeto. A NBR 14931 (“Execução de 
estruturas de concreto – Procedimento”) define estas exigências do ponto de vista construtivo. 
Do ponto de vista das condições analíticas, define-se que as resistências disponíveis não podem 
ser menores que as solicitações atuantes, com relação a todos os estados limites e a todos os 
carregamentos (os de Norma e os específicos para a construção considerada). 
Simbolicamente, Rd ≥ Sd. 
1.1.2. Estados limites últimos e de serviço 
Define-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo efetivo ou 
convencional, se torna inutilizável, ou deixa de satisfazer às condições previstas para a sua utilização. 
Segundo a NBR 6118, em seus itens 3.2 (pg. 4) e 10.2 (pg. 50), devem ser considerados no projeto 
estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). Simbolicamente, Rd = Fd em um estado limite. 
 Os estados limites últimos estão relacionados ao colapso, ou a outra forma de ruína estrutural 
que determine a paralisação do uso das estruturas. 
Os estados limites de utilização (de serviço), de abertura de fissuras, de deformações excessivas 
e de vibrações excessivas devem ser atendidos em todas as estruturas de concreto armado. 
 
1.2. Coeficientes de ponderação 
A NBR 6118, em seus itens 11.6.1 (pg. 57) e 12.2 (pg. 63), define os valores característicos 
para as grandezas envolvidas nas verificações dos estados limites (ou seja, as ações e as resistências). 
1.2.1 Valores característicos para as resistências 
Os valores característicos fk a serem considerados para as resistências de um material, são 
definidos como os valores que têm uma probabilidade de apenas 5% de não serem atingidos em um 
determinado lote do material. Admite-se uma distribuição normal para estas resistências. 
 fck = fcm - 1,65 sc 
 fk = fm - 1,65 s fyk = fym - 1,65 sy 
 
 
1n
)ff(
s
n
1i
2
mi
−
−
=
∑
=
 
 
A NBR 6118, em seu item 8.2.1 (pg. 22), define classes de resistência em MPa para o concreto. 
Para superestruturas de concreto armado, o concreto deve ser no mínimo de classe C20 (fck = 20 MPa). 
Para estruturas de fundações e em obras provisórias, o concreto pode ser de classe C15 (fck = 15 MPa). 
A Norma é aplicável para concretos de classe até C50. 
A resistência característica do aço à tração, fyk (ou à compressão, fyck) é definida em função da 
tensão mínima de escoamento, real ou convencional, fixada como sendo a tensão correspondente à 
 4 
deformação específica permanente de 0,2%, determinada de acordo com a NBR 6152. Os aços para 
concreto armado são classificados pela NBR 7480, de acordo com o valor característico da sua 
resistência de escoamento, nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60. 
1.2.2 Valores de cálculo para as resistências 
As resistências de cálculo são estabelecidas pela NBR 6118, no seu item 12.3 (pg. 63), a partir 
dos respectivos valores característicos e dos coeficientes de ponderação das resistências. Estes 
coeficientes levam em conta a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos, as diferenças entre 
resistências medidas em corpos de provas e nas estruturas, desvios ocorridos na construção das 
estruturas e aproximações feitas no projeto, do ponto de vista das resistências. Para verificações 
estruturais realizadas com concreto de idade igual ou superior a 28 dias, as expressões abaixo se 
aplicam. 
 fcd = fck /γc ftd = ftk /γ c fyd = fyk /γ s fycd = fyck / γ s 
 
 Os coeficientes de minoração (γc e γs) são definidos na NBR 6118, item 12.4.1 (pg. 64): 
Concreto: γc = 1,4 em condições normais. 
γc = 1,2 em condições de construção. 
 Aço: γs = 1,15 em condições normais ou em condições de construção. 
1.2.3 Valores característicos e valores representativos para as ações e solicitações 
Os valores característicos a serem considerados para as ações Fk são definidos nas diversas 
Normas Brasileiras pertinentes, em função de uma probabilidade de estes valores serem ultrapassados 
durante a vida útil da construção. 
 Para as cargas permanentes, a NBR 8681 define os valores característicos como os seus 
próprios valores médios. 
 Para as cargas acidentais, os valores característicos são aqueles que têm de 25% a 35% de 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável em 50 anos, o que corresponde a 
períodos de recorrência de, respectivamente 171 e 116 anos. Não se dispondo de dados estatísticos 
suficientes, como é o caso em geral para as ações variáveis, os valores característicos a serem 
considerados são os valores nominais fixados pelas Normas Brasileiras específicas, para cada tipo de 
carregamento. Para vento e sismo, as probabilidades de ultrapassagem em 50 anos são fixadas nas 
Normas NBR 6123 e NBR 15421 em 63% e 10%, respectivamente, o que corresponde a períodos de 
recorrência de 50 e 475 anos. 
 Os valores definidos como representativos pela NBR 6118 para as ações, podem ser os próprios 
valores característicos de ações permanentes ou variáveis, valores arbitrados para ações excepcionais, 
ou valores reduzidos por um parâmetro ψ, de ações variáveis secundárias quando combinadas com 
uma ação variável principal. 
1.2.4 Valores de cálculo para as ações e solicitações 
A NBR 6118, no seu item 11.7 (pg. 58), define valores de cálculo para as ações, por meio de 
coeficientes de majoração γf, que levam em conta a variabilidade das ações, a simultaneidade da 
atuação das ações, desvios gerados na construção não explicitamente considerados no cálculo e as 
aproximações feitas noprojeto do ponto de vista das solicitações.
 
 
Os valores de cálculo das ações são genericamente, os valores das ações representativas vezes 
os coeficientes de majoração: 
 
Fd = γf .Fk 
 
Nos casos em que os pilares e pilares-parede tenham sua menor dimensão entre 12 e 19 cm, 
deverá ser considerado um coeficiente adicional de majoração de cargas γn = 1,95 – 0,05. b, sendo b a 
menor dimensão da seção transversal do pilar em cm, de acordo com o item 13.2.3 da NBR 6118, pg. 
66. Este coeficiente adicional é justificado pela maior probabilidade de falhas de construção em peças 
 5 
esbeltas e da maior importância relativa dos desvios construtivos, por exemplo, nos cobrimentos. Um 
pilar de 12x60 terá, por exemplo, γn = 1,35. 
1.2.5 Ponderação das ações nos estados limites últimos (ações variáveis de só um tipo): 
Fd = 1,4 Fgk + 1,4 F qk + 1,2 Fεk. (condições normais, quando as ações são desfavoráveis) 
(ou 1,0
 
Fgk , 0,0 F qk , 0,0 Fεk.) (condições normais ou de construção, quando as ações são 
 favoráveis) 
Fd = 1,3 Fgk + 1,2 F qk + 1,2 Fεk. (condições de construção, quando as ações são 
desfavoráveis) 
 
 (Fgk - ação permanente característica, Fqk - ação variável característica, Fεk. - ação característica 
devida a deformações próprias e impostas: recalques de apoio, retração, temperatura, etc.) 
No caso dos efeitos da carga variável decorrerem da atuação simultânea de cargas acidentais e 
de vento, considera-se a baixa probabilidade dos dois carregamentos atingirem simultaneamente o seu 
valor máximo. Neste caso, se considera a soma dos efeitos máximos de um carregamento, com o outro 
reduzido por um fator ψ0 (aplica-se uma redução também para os efeitos de temperatura): 
 
qk0qqjkj0k1qqgkgd F..)F.F.(F.F εεε ψγ+ψ+γ+γ= ∑ 
 
As seguintes combinações devem ser verificadas (Tabela 11.3, pg. 61 da NBR 6118): 
- Edifícios residenciais: 
Combinação 1: carga acidental com ψ0 = 0,5, com vento total e temperatura com ψ0 = 0,6 
- Edifícios comerciais, de escritórios, públicos e estações: 
Combinação 1: carga acidental com ψ0 = 0,7, com vento total e temperatura com ψ0 = 0,6 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos: 
Combinação 1: carga acidental com ψ0 = 0,8, com vento total e temperatura com ψ0 = 0,6 
- Para os três tipos de edifício: 
Combinação 2: carga acidental total, com vento com ψ0 = 0,6 e temperatura com ψ0 = 0,6 
 
Além disso, para o projeto de pilares e fundações de edifícios residenciais e comerciais (não 
destinados a depósito), também se considera a baixa probabilidade das cargas acidentais atingirem seu 
valor máximo simultaneamente em todos os pavimentos. Sendo assim, pode ser aplicado um 
coeficiente de redução nas cargas acidentais nos pavimentos inferiores das edificações, conforme 
tabela da NBR 6120. 
 
 
 
1.2.5.1 Exemplo numérico 1: 
Em um edifício residencial, definir as diversas combinações de momentos fletores para o 
dimensionamento à flexão na seção extrema de uma viga em um edifício residencial. Os momentos 
característicos atuantes são: 
Cargas permanentes: Mgk = - 78,6 kN.m; 
Cargas acidentais: Mqak = - 45,3 kN.m; 
Cargas de vento: Mqvk = ± 69,7 kN.m (pode assumir sinal positivo ou negativo). 
- Combinação 1a – momento de vento negativo com carga variável de vento dominante: 
Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 0,5 . 1,4 – 69,7 . 1,4 = - 239,33 kN.m. 
 6 
- Combinação 1b – momento de vento positivo com carga variável de vento dominante: 
Md = - 78,6 . 1,0 – 45,3 . 0,0 + 69,7 . 1,4 = + 18,98 kN.m. 
- Combinação 2 – momento de vento negativo com carga acidental dominante: 
Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 1,4 – 69,7 . 1,4 . 0,6 = - 232,01 kN.m. 
A combinação com momento de vento positivo não dominante não é crítica. 
 
1.2.5.2 Exemplo numérico 2: 
Em um edifício de oito pavimentos, a carga aplicada em um pilar tem uma parcela permanente 
Ngk = - 238,6 kN e uma parcela acidental de Nqk = - 157,1 kN. 
Avaliar a carga de cálculo para o dimensionamento do pilar, em cada pavimento. 
(1-RP) é o percentual da carga acidental a ser considerada, conforme definido acima. 
 
Pavimento (1-RP) 
 
Ngk Nqk. 
(1-RP) 
Nd 
(parcial) 
Nd (total 
no piso) 
8º 100% - 238,6 - 157,1 - 553,98 - 553,98 
7º 100% - 238,6 - 157,1 - 553,98 - 1107,96 
6º 100% - 238,6 - 157,1 - 553,98 - 1661,94 
5º 80% - 238,6 - 125,7 - 510,02 - 2171,96 
4º 60% - 238,6 - 94,3 - 466,06 - 2638,02 
3º 40% - 238,6 - 62,8 - 421,96 -3059,98 
2º 40% - 238,6 - 62,8 - 421,96 - 3481,94 
1º 40% - 238,6 - 62,8 - 421,96 - 3903,90 
 
1.2.6 Ponderação das ações nos estados limites de serviço: 
Pode ser sempre conservadoramente considerado: 
 
Fd = Fgk + F qk + Fεk 
 
Ou seja, nos estados limites de serviço, γf =1,0. Coeficientes de redução para cargas acidentais, 
de vento e de temperatura podem ser considerados, conforme item 11.7.2, pg. 59, da NBR 6118. 
1.3 Características dos aços 
 Para o cálculo nos estados limites últimos, considera-se o diagrama tensão-deformação bilinear 
genérico para os aços, definido pela NBR 6118, em seu item 8.3.6 (pg. 27). O patamar de escoamento 
é bem definido e sem acréscimo de tensões após a deformação de escoamento. A aplicação dos 
critérios de dimensionamento que serão a seguir detalhados leva a este diagrama tensão-deformação de 
projeto: 
 
 7 
 
 
Considera-se, para todos os tipos de aço, Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2 = 21 . 107 kN/m2. 
No caso, por exemplo, do aço CA-50: 
fyd = fycd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 
εyd = fyd / Es = 43,48/21000 = 0,002070 = 2,070 0/00 
 
Os valores de
 
fyd e εyd para os três tipos de aço são fornecidos ns tabela abaixo: 
 
 
 
As bitolas da tabela a seguir são as das barras normalizadas pela NBR 7480 (“Barras e fios 
destinados a armaduras para concreto armado”). É fornecida também a área em cm2 de cada bitola. 
 
 
 
 8 
Os fios são fornecidos em rolos até a bitola de 10 mm e as barras a partir da bitola de 5 mm. A 
bitola de 22 mm, apesar de padronizada pela NBR 7480, não tem sido disponibilizada pelos 
fabricantes. O aço CA-60 é fornecido em fios e barras. Fios padronizados com bitolas inferiores a 5 
mm não têm aplicação como armadura estrutural. 
O aço CA-50 é utilizado em todos os tipos de armadura estrutural. O aço CA-60 pode ser 
empregado nas armaduras das lajes e nas armaduras de estribos de vigas e pilares. O aço CA-25, por 
ser o único que depois de dobrado, pode ser redobrado para sua conformação inicial, é usado em 
detalhes construtivos especiais. 
As barras podem ser também classificadas, conforme a NBR 6118, item 9.3.2.1, pg. 32, de 
acordo com a conformação superficial (nervuras), em barras lisas (CA-25), barras entalhadas (CA-60) 
e barras de alta aderência (CA-50), ver item 9.3.2.1 da Norma, pg. 32. As nervuras têm sua 
configuração geométrica definida na NBR 7480. 
O uso simultâneo de aços de diferentes categorias só é permitido no caso de armaduras 
longitudinais e estribos, em vigas ou em pilares. 
 
1.4 Características do concreto 
A resistência característica do concreto à compressão é determinada a partir dos resultados de 
ensaios em corpos de prova cilíndricos, de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, moldados de acordo 
com a NBR 5738, com a idade de 28 dias, com procedimento estatístico de acordo com a NBR 5739. 
 A resistência do concreto à tração pode ser determinada pelo ensaio de compressão diametral, 
de acordo com a NBR 7222. Na ausência de ensaios, seus valores médio e característicos (inferior e 
superior) podem ser estimados em função da resistência à compressão
 
fck como: 
 
fct,m = 0,3 fck 2/3 fctk,inf = 0,7 fct,mfctk,sup = 1,3 fct,m (MPa) 
 
O diagrama tensão-deformação idealizado, a ser usado nas análises no estado limite último, 
para o concreto à compressão, é definido a seguir, de acordo com a NBR 6118, item 8.2.10.1, pg.24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fck 
20/00 3,50/00 
σc =0,85 fcd [1-(1-εc/0,002)2] 
 σc 
εc 
0,85 fcd 
 
Outras propriedades do concreto: 
• Estimativa para o módulo de deformação longitudinal tangente inicial na origem (item 8.2.8, pg. 23, 
da Norma): 
ckci fE 5600= (MPa) 
• Módulo de elasticidade secante, determinado para uma tensão igual a ckf,40 , a ser utilizado nas 
análises estruturais elásticas para valeres de tensão de até ckf,50 , especialmente na determinação de 
esforços solicitantes e verificações dos estados limites em serviço: 
Ecs = 0,85 Eci 
 
 9 
1.5 Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão composta no estado limite último. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
 εc = 3,5 0/00 
 
20/00 
 
x 
 0,85 fcd 
y=0,8x 
 0,85 ou 0,8 fcd 
(Domínio 3) 
 εs 
 
 
 As hipóteses para o dimensionamento para solicitações normais (quando momentos fletores 
podem atuar simultaneamente com forças normais), nas seções de concreto armado, no estado limite 
último, segundo a NBR 6118, em seu item 17.2.2 (pg.107), são: 
 
• as seções transversais permanecem planas após a deformação (hipóteses de Bernoulli e Navier). 
• a deformação das barras de aço é admitida como igual à deformação do concreto em seu entorno. 
• a resistência à tração do concreto é desprezada. 
• a distribuição de tensões no concreto se faz com o diagrama parábola-retângulo, com a resistência 
do concreto igual a 0,85 fcd. Este diagrama pode ser simplificado para um diagrama retangular com 
profundidade igual a 0,8 x (sendo x igual à profundidade efetiva da linha neutra), e tensão igual a 
0,80 fcd ou 0,85 fcd, caso a largura da seção diminua ou não a partir da linha neutra em direção à 
borda mais comprimida. 
• os estados limites últimos são caracterizados (situações limite), quando a distribuição de 
deformações na seção transversal atingir uma das configurações definidas nos diversos domínios de 
dimensionamento à compressão, tração e flexão simples ou composta, normal ou oblíqua, 
estabelecidos pela NBR 6118 (de acordo com a figura a seguir). 
 
 
 
 
 10 
 
Deformação plástica excessiva: 
Reta a: tração uniforme. 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão. 
Domínio 2: flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto, aço a 100/00. 
 
Ruptura: 
Domínio 3: flexão simples (seção sub-armada) ou composta, com ruptura à compressão do 
concreto, e com escoamento do aço. 
Domínio 4: flexão simples (seção super-armada) ou composta, com ruptura à compressão do 
concreto, e com aço tracionado sem escoamento. 
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas. 
Domínio 5: compressão não uniforme. 
Reta b: compressão uniforme. 
 11 
 
2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA 
2.1 Dimensionamento na flexão composta reta 
 
As diversas possibilidades de dimensionamento e verificação das seções de concreto armado na 
flexão composta reta se realizam quando os diversos domínios de deformações específicas no estado 
limite último são percorridos: tração simples, flexão composta com tração, flexão simples, flexão 
composta com compressão e compressão simples. Durante este desenvolvimento, a profundidade da 
linha neutra assume os valores: 
Domínio 1: de - ∞ a 0 
Domínio 2: de 0 a 0,259d 
Domínios 3 e 4: de 0,259d a d 
Domínio 4a: de d a h 
Domínio 5: de h a + ∞ 
São inicialmente definidas as notações a serem seguidas, através das figuras abaixo: 
 
 
 
 
 d’’ 
 
 As2 
 
 
 
 d h 
 Md Nd 
 Asi 
 
 
 h/2 
 
 
 
 
 
 
 As1 d’ 
 
 
 Seção longitudinal 
 b 
 
 d’’ 
 As2 
 
 
 
t2 c d h 
 
 Asi 
 
 t
 i As1 
 
 
 t1 
 
Seção transversal 
 
d’ 
 
 12 
 De acordo com a figura, as seguintes designações foram definidas, para uma seção retangular: 
b, h - largura e altura total da seção de concreto. 
As1 e As2 – armaduras mais próximas, respectivamente, da face inferior e superior da seção (em 
uma viga em flexão simples seriam, respectivamente, as armaduras principais de tração e compressão). 
 d', d'' - distâncias dos centros de gravidade das armaduras As1 e As2 às faces do concreto mais 
próximas. 
 d = h - d' - “altura útil” da seção. 
c = d - d'' - distância entre centros de gravidade das armaduras As1 e As2. 
Asi e ti – armadura genérica e sua respectiva distância à face inferior da seção. 
Nd e Md – esforço normal e momento fletor de cálculo referidos ao centro de gravidade da seção 
retangular. 
As forças normais positivas são as de tração e os momentos fletores positivos tracionam a face 
inferior da seção. Da mesma forma, na seção resistente, forças e tensões de tração são positivas e as de 
compressão são negativas. 
2.1.1 Equações para o Domínio 1 
O Domínio 1 corresponde às situações de tração pura (reta a) e às de tração composta com 
flexão em que as deformações no concreto são todas positivas, ou seja, as tensões no concreto são 
nulas. Neste caso, o par de esforços Nd e Md é resistido pelas forças de tração nas armaduras. O estado 
limite se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (εs = 100/00). 
O Domínio 1 é definido pelas seguintes condições de deformação específica: 
εs1 = 100/00; εc = 100/00 a 00/00 
εs1 e εc - deformações específicas da seção, respectivamente aos níveis da armadura mais 
inferior e da fibra correspondente à face superior do concreto. Neste domínio não faz sentido avaliar a 
profundidade da linha neutra (x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d'' 
 
 
 
 
 h d c 
 
 
 
 d' 
 b 
 As2 
 
 
 
 
 Asi 
 
 
 As1 
 
 εc 
 
 εs2 F s2 
 
 
Md 
 
Nd 
 
 
εsi F si 
 
 
εs1= 100/00 F s1 
 
 
As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações 
geométricas, com o auxílio da figura a seguir: 
 
 
 εs1-εc εc 
 
 
 
 εs1-εsi εsi d 
 
 
 
 εs1 ti–d’ 
 
 
 
 13 
∴
−
−
=
−
cs
sisi
d
'dt
εε
εε
1
1
 ∴
−−
−=
d
)'dt).(( ics
ssi
εε
εε 11 d
)'dt).(( ic
si
−−
−=
ε
ε
1010Já que no caso específico do Domínio 1, εs1 = 100/00. 
De acordo com o diagrama tensão-deformação definido no item 2.3, as tensões na armadura 
serão: 
ydsiyd
si
si
si f. εεε
ε
σ ≥= se ; ydsisissi .E εεεσ ≤= se , com E s = 21000 kN/cm
2 
A força Fsi (de tração) na armadura genérica i é dada por: 
Fi = Asi . σsi 
O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos 
equilibrantes: 
∑= id FN ; ∑−= iidd t.F
h
.NM
2
 
Nas peças submetidas à tração pura ou composta com flexão é necessária a verificação à 
fissuração, de acordo com o item 17.3.3, pg. 114, da NBR 6118. 
A NBR 6118, em seu item 17.3.3, pg. 116, fornece uma alternativa ao cálculo analítico da 
abertura esperada de fissuras. Para os diversos diâmetros das barras, é definida uma tensão máxima nas 
mesmas, em condições de serviço, e um espaçamento máximo das armaduras. Desta forma, esperam-
se aberturas máximas de fissuras da ordem de 0,3 mm. É atendido desta forma o estado limite de 
fissuração. Estes valores são definidos na tabela a seguir. 
 
 
 
 
Diâmetro da 
armadura (Ф) 
Tensão máxima em 
serviço (σs), em MPa 
Espaçamento máximo 
(smax), em cm 
Acréscimo da 
armadura (CA-50) 
8 360 6 1,00 
10 320 10 1,00 
12,5 280 15 1,11 
16 e 20 240 20 1,29 
25 200 25 1,55 
32 160 30 1,94 
2.1.2 Equações para o Domínio 2 
O Domínio 2 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a parte superior da seção 
está comprimida e as armaduras superiores encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite 
se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (εs = 100/00); 
corresponde a diversas situações de flexão composta com tração, flexão simples e flexão composta 
com compressão. 
 
 14 
O Domínio 2 é definido pelas seguintes condições de deformação específica: 
εs = 100/00; εc = 00/00 a -3,50/00 
Profundidade da linha neutra x: 
1sc
c
.dx
ε+ε−
ε−
= ; no caso particular do Domínio 2, εs1 = 100/00. 
O limite para o Domínio 2 corresponderá a εc = -3,50/00 ou 2593,0d
xk maxmax,x == 
Para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura genérica i, vale a expressão 
apresentada para o Domínio 1, observando-se que, neste caso, εc tem sinal negativo. As tensões e 
forças nas armaduras também são determinadas com as expressões do Domínio 1. 
A força de compressão Fc, resultante das tensões de compressão atuantes no concreto, é 
determinada com a expressão a seguir, devendo Fc ser tomado com o sinal negativo (compressão): 
x.,.b.f.,F cdc 80850−= 
Para o equilíbrio de momentos é necessário definir a distância do ponto de aplicação da força 
Fc à face inferior da seção: 
x.,htc 40−= 
O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos 
equilibrantes: 
∑+= icd FFN ; ∑−−= iiccdd t.Ft.F
h
.NM
2
 
2.1.3 Equações para o Domínio 3 
O Domínio 3 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a parte superior da seção 
está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se 
caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima 
deformação específica (εc = - 3,50/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é 
no mínimo igual à de escoamento (εyd). Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão 
simples e flexão composta com compressão. 
O Domínio 3 é definido pelas seguintes condições de deformação específica: 
εs = 100/00 a εyd; εc = - 3,50/00 
O cálculo da profundidade de linha neutra é igual ao do Domínio 2, sendo que no Domínio 3, 
deve-se considerar que εc = - 3,50/00. 
O limite do Domínio 3, para aço CA-50, com εyd = 2,070/00 será 6284,0d
xk maxmax,x == 
As expressões do Domínio 2 para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura 
genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no concreto e de equilíbrio entre 
forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas. 
2.1.4 Equações para os Domínios 4 e 4a 
O Domínio 4 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a parte superior da seção 
está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se 
caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima 
deformação específica (εc = -3,50/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é 
inferior à de escoamento (εyd). Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão composta 
com compressão. Como o aço não atinge à sua tensão de escoamento, a seção romperá por ruptura 
frágil (compressão do concreto). Por esta razão, a NBR 6118 não permite a utilização do domínio 4 na 
flexão simples (seções super-armadas). 
 15 
O Domínio 4 é definido pelas seguintes condições de deformação específica: 
εs = εyd a 00/00 ; εc = - 3,50/00 
 
As expressões do Domínio 3 para o cálculo da profundidade da linha neutra, das deformações 
específicas no nível da armadura genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão 
no concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas. 
O Domínio 4a corresponde a uma transição matemática entre os Domínios 4 e 5, quando surge 
uma pequena compressão na armadura As1. Este caso pode ser tratado, conservadoramente, com as 
expressões do Domínio 4. 
2.1.5 Equações para o Domínio 5 
O Domínio 5 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a seção está totalmente 
comprimida, estando as armaduras também comprimidas. O Domínio 5 corresponde a diversas 
situações de flexão composta com compressão e de compressão simples. 
O Domínio 5 é definido pelas seguintes condições de deformação específica: 
εc = -3,50/00 a – 2,00/00 e 3
414 c
inf,c
.ε
ε
−−
= o que corresponde a εc = -20/00 a h7
3
 
Sendo inf,cε a deformação específica na face inferior do concreto, devendo ser consideradas 
ambas as deformações com seus respectivos valores negativos.
 
 
 
Profundidade da linha neutra x: 
147
3
+
=
−
=
c
c
inf,cc
c
.
.
.h.hx
ε
ε
εε
ε
 
 
As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações 
geométricas, com o auxílio da figura a seguir: 
 





 −+
=∴
−+
=
x
hxt
.
hxt
x i
csi
isi
c εε
ε
ε
 
 16 
 
 
Substituindo 
147
3
+
=
c
c
.
.
.hx
ε
ε
, vem: 
∴
−−++
=
c
ccici
csi
.h.
h..h..h.t..t.
.
ε
εεε
εε
3
1473147
 
h.
h..h.t..t. cici
si 3
144147 −−+
=
εε
ε 
 As expressões do Domínio 3 para tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no 
concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas. 
2.1.6 Método simplificado da NBR 6118 
 
 
.circularesseçõesem
;gularestanreseçõesem,se
;gularestanreseçõesem,se,
;gularestanreseçõesem,se,/
s
ss
ss
4
66
61
11
−=
≥=
≤≤=
≤−=
α
αα
ααα
ααα
 
 
 A NBR 6118, pg. 110, item 
17.2.5.1, permite a transformação da 
flexão composta com compressão em 
um problema de compressão simples 
equivalente, desde que 7,0≥ν , 
considerando as seguintes fórmulas: 






+=
h
e
.NN sdeq,Sd β1 , onde: 
h/'d.8,0)01,039,0(
1
;
N.h
M
h
e
;7,0
f.bh
N
Sd
Sd
cd
Sd
−α+
=β
−
=≥
−
=ν
 
Os valores de α são dados por: 
 
 17 
Sendo: 
)n(
)n(
v
h
s 1
1
−
−
=α , nh e nv são definidos na figura acima. 
O esforço normal resistente deve ser superior ao esforço normal equivalente solicitante: 
 eq,Sd,ydscdRd Nf.Af.,.h.bN ≥+= 0002850 ; 0002,yf é a tensão na armadura paraa deformação 
específica de 20/00. No caso específico do aço CA-50, 
00
02,ydf = Es . 20/00 = 21000. 20/00 = 42kN/cm2. 
• Exemplo resolvido 1 
 Pilar com b = 20, h= 80; fck = 15 MPa, As3 = As4 = 0 (somente barras nh) e d’=4cm 
 Esforços atuantes: Nk = -1050 kN, Mk = 100 kNm. 
 119,0
1050.4,1.80,0
100.4,1
N.h
M
h
e);OK(7,086,0
4,1/15000.80,0.20,0
1050.4,1
Sd
Sd
===≥==ν 
 Considerando nh = 3, nv =2, 2)1n(
)1n(
v
h
s =
−
−
=α=α 
 
( ) kN1943119,0.702,21.1050.4,1
h
e1.NN
;702,2
8,0/04,0.8,0)2.01,039,0(
1
h/'d.8,0)01,039,0(
1
sdeq,Sd =+=




 β+=
=
−+
=
−α+
=β
 
 kN194342.A4,1/15000.85,0.2,0.8,0f.Af.85,0.h.bN s2,ydscdRd 000 =+=+= 
 Então: As = 11,56cm2 (6 barras de 16mm), o que é conservador, ver exemplo 2.2.4b. 
 
• Exemplo resolvido 2 
 Pilar circular, com d = 0,60m; fck = 18 MPa; d’= 0,03cm 
 Esforços atuantes: Nd = -5082 kN, Md = 102 kNm. 
 4;0335,0
5082.6,0
102
N.h
M
h
e);OK(7,04,1
4,1/18000).4/60,0.(
5082
Sd
Sd
2 −=α===≥=pi
=ν 
 
kN5901
6,0
03,0
.226,31.5082
h
e1.NN
226,3
6,0/03,0.8,0])4.[01,039,0(
1
h/'d.8,0)01,039,0(
1
sdeq,Sd =





+=




 β+=
=
−−+
=
−α+
=β
 
 kN590142.A4,1/18000.85,0.
4
6,0.f.Af.85,0.
4
d.N s
2
2,ydscd
2
Rd 000
=+
pi
=+
pi
= 
 Então: As = 66,9cm2 (14 barras de 25mm), o que é conservador, comparando com o 
dimensionamento usual, apresentado a seguir: 
 
 037,0
4,1/18000.6,0
102
f.d
M
;098,1
4,1/18000.6,0
5082
f.d
N
3
cb
3
d
2
cd
2
d
===µ−=−==η 
 
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco Adimensional 12, ω = 0,6. 
 
 Como: 2
2
s
cd
2
yds
cm9,63
15,1/50
4,1/18000.6,0.6,0A;
f.d
f.A
===ω , 
 
 o que confirma que a armadura avaliada pelo método aproximado. 
 
 18 
2.2 Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação 
A formulação apresentada no item 2.1 é sistematizada através de planilhas EXCEL. Estas 
planilhas têm um formato que permitem a verificação de uma seção retangular qualquer submetida à 
flexão composta reta. Também com estas planilhas serão geradas tabelas adimensionais, que expressas 
graficamente, permitirão o dimensionamento através de ábacos de interação. 
2.2.1 Exemplo de dimensionamento. Duas camadas, armadura simétrica. 
É apresentada, nas páginas seguintes, a planilha correspondente ao primeiro exemplo (arquivo 
“FlexãoComposta-Dimensionamento ou FlexãoComposta-Dimensionamento-Bitolas”). 
 
A planilha EXCEL da página seguinte fornece os seguintes dados e resultados, sendo cada 
linha correspondente às diversas configurações deformadas, nos diversos Domínios da NBR 6118: 
• x(m) – profundidade da linha neutra. No Domínio 5, foi limitada, para viabilizar o 
cálculo automático da compressão no concreto, a h/0,8. 
• εc (0/00), εs1 (0/00), εs2 (0/00) – deformações específicas a nível da face superior do 
concreto e das armaduras As1 e As2. 
 
 
• σσσσs1 (kN/cm2) e σσσσs1 (kN/cm2) – tensões nas armaduras As1 e As2. 
• pares de valores resistentes Nd, Md para a armadura fornecida e para As = 0 e valores 
atuantes na seção. 
Na figura em página posterior, estes valores de Nd e Md são plotados em curvas de interação. 
Observar que, com a armadura adotada, os valores atuantes estão na região segura (interna) do ábaco. 
É traçada uma linha reta, unindo dois pares de valores com a mesma posição de linha neutra, para a 
armadura fornecida e para As = 0, passando próximo ao ponto correspondente ao par de esforços 
atuante. Observar, que nesta reta, os acréscimos nos pares de esforços resistentes são proporcionais à 
armadura adotada, permitindo assim uma interpolação (ou extrapolação). A adoção deste 
procedimento no exemplo leva às armaduras As1 = As2 = 3cm2, o que é uma excelente aproximação 
para a solução exata. 
 Resolvendo pelos ábacos de interação adimensionais, a serem apresentados no item 2.2.2, 
considerando o ábaco Adimensional 3: 
117,0
4,1/20000.3,0.6,0
90
f.h.b
M
;233,0
4,1/20000.3,0.6,0
600
f.h.b
N
2
cb
2
d
cd
d
===µ−=−==η 
 
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,1. 
 Como: 2s
cd
yds
cm9,5
15,1/50
4,1/20000.3,0.6,0.1,0A;
f.h.b
f.A
===ω , 
 
 o que confirma que a armadura acima avaliada. 
 19 
 
Seção Transversal Concreto Aço CA50A
b (m) 0,6 d'(m) 0,05 fck (MPa) 20 fyk (kN/cm2) 50
h (m) 0,3 d''(m) 0,05 fcd (kN/m2) 14286 Es (kN/cm2) 21000
d(m) 0,25 εyd (‰) 2,070
Disposição das Armaduras fyd (kN/cm2) 43,48
Camadas Asi (cm2) ti (m) Nd(kN) = -600,0
1 5 0,05 Md(kN.m) = 91,00
2 5 0,25
3
4
5
6
7
SOMA = 10
As dado As = 0
Domínios x (m) εεεεc (‰) εεεεs1 (‰) εεεεs2 (‰) σσσσs1 (kN/cm2) σσσσs2 (kN/cm2) Nd (kN) Md (kN.m) Nd (kN) Md (kN.m)
Domínio 1 10,00 10,00 10,00 43,48 43,48 435 0 0 0
εεεεs1 = 10‰ 8,00 10,00 8,40 43,48 43,48 435 0 0 0
6,00 10,00 6,80 43,48 43,48 435 0 0 0
4,00 10,00 5,20 43,48 43,48 435 0 0 0
2,00 10,00 3,60 43,48 43,48 435 0 0 0
0,00 10,00 2,00 43,48 42,00 427 1 0 0
Domínio 2 0,012 -0,50 10,00 1,60 43,48 33,60 316 15 -69 10
εεεεs1 = 10‰ 0,023 -1,00 10,00 1,20 43,48 25,20 211 28 -132 19
0,033 -1,50 10,00 0,80 43,48 16,80 111 39 -190 26
0,042 -2,00 10,00 0,40 43,48 8,40 17 50 -243 32
0,050 -2,50 10,00 0,00 43,48 0,00 -74 60 -291 38
0,058 -3,00 10,00 -0,40 43,48 -8,40 -161 69 -336 43
0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47
Domínio 3 0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47
εεεεc = 3,5‰ 0,070 -3,50 9,00 -1,00 43,48 -21,00 -296 82 -408 50
0,076 -3,50 8,00 -1,20 43,48 -25,20 -352 87 -443 53
0,083 -3,50 7,00 -1,40 43,48 -29,40 -415 93 -486 57
0,092 -3,50 6,00 -1,60 43,48 -33,60 -487 99 -537 61
0,103 -3,50 5,00 -1,80 43,48 -37,80 -572 106 -600 65
0,117 -3,50 4,00 -2,00 43,48 -42,00 -673 113 -680 70
0,135 -3,50 3,00 -2,20 43,48 -43,48 -785 119 -785 75
0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80
Domínio 4 0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80
εεεεc = 3,5‰ 0,159 -3,50 2,00 -2,40 42,00 -43,48 -935 123 -927 80
0,175 -3,50 1,50 -2,50 31,50 -43,48 -1080 119 -1020 82
0,194 -3,50 1,00 -2,60 21,00 -43,48 -1246 114 -1133 82
0,219 -3,50 0,50 -2,70 10,50 -43,48 -1440 107 -1275 80
0,250 -3,50 0,00 -2,80 0,00 -43,48 -1675 95 -1457 73
Domínio 5 0,300 -3,50 -0,58 -2,92 -12,25 -43,48 -2027 68 -1749 52
0,343 -3,20 -0,87 -2,73 -18,20 -43,48 -2307 38 -1998 26
0,375 -2,90 -1,15 -2,55 -24,15 -43,48 -2524 10 -2186 0
0,375 -2,60 -1,43 -2,37 -30,10 -43,48 -2554 7 -2186 0
0,375 -2,30 -1,72 -2,18 -36,05 -43,48 -2583 4 -2186 0
0,375 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2606 0 -2186 0
Curva de Interação (Nd x Md)
0
20
40
60
80
100
120
140
-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500
Nd (kN)
M
d 
(kN
.
m
)
As=0
As dado
Nd,Md
 
 20 
 
2.2.2 Desenvolvimento de ábacos de interação adimensionais. 
O dimensionamento com auxílio de ábacos adimensionais segue os mesmos procedimentos já 
descritos, desenvolvendo-se as planilhas para uma seção retangular com b = h = 1,00m; 
fcd =1,00 kN/m2; fyd = 1 kN/cm2. Os parâmetros adimensionais para entrada nos ábacos serão o esforço 
normal adimensionalizado η e o momento adimensionalizado µ; os resultados são em termos da 
percentagem mecânica de armadura ω, válidos para CA-50. 
cd
yds
cd
d
cd
d
f.h.b
f.A
;f.h.b
M
;f.h.b
N
=== ωµη 2 
Os ábacos são obtidos com o arquivo “FlexãoComposta-Ábaco”. Os ábacos adimensionais 
definidos a seguir são apresentados no ANEXO (todos para aço CA-50): 
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco 
Adimensional 1) 
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,10 e As1 = As2 = 0,5 As(Ábaco 
Adimensional 2) 
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,15 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco 
Adimensional 3) 
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,20 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco 
Adimensional 4) 
• Seção TIPO 1 - Armadura simétrica com d’/h = 0,25 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco 
Adimensional 5) 
• Seção TIPO 2 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e armaduras divididas igualmente 
nas quatro faces, As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 6) 
• Seção TIPO 2 - Armadura simétrica com d’/h = 0,10 e armaduras divididas igualmente 
nas quatro faces, As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 7) 
• Seção TIPO 2 - Armadura simétrica com d’/h = 0,15 e armaduras divididas igualmente 
nas quatro faces, As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 8) 
• Seção TIPO 2 - Armadura simétrica com d’/h = 0,20 e armaduras divididas igualmente 
nas quatro faces, As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 9) 
• Seção TIPO 3 - Armadura simétrica com d’/h = 0,05, nas faces laterais, com As3 = As4 
= 0,5As
 
(Ábaco Adimensional 10) 
• Seção TIPO 3 - Armadura simétrica com d’/h = 0,10, nas faces laterais, com As3 = As4 
= 0,5As
 
(Ábaco Adimensional 11) 
• Seção TIPO 4 - d’/d = 0,05 – Seção Circular (Ábaco Adimensional 12) 
• Seção TIPO 4 - d’/d = 0,10 – Seção Circular (Ábaco Adimensional 13) 
 
2.2.3 Exemplo numérico resolvido 
 
 
 
 
 
 
 
2100
41300006060
9704670
41300006060
3600
22 ,
,/.,.,f.h.b
M
;,
,/.,.,f.h.b
N
cb
d
cd
d
===−=
−
== µη 
 
 
 
 Seja verificar um pilar quadrado, conforme esquematizado na 
figura ao lado, com dimensões de 60 cm x 60 cm, considerando o concreto 
com fck = 30 MPa e aço CA-50. A armadura consiste em 24 barras de 
diâmetro 20 mm, com d’= d’’= 6 cm. 
Os esforços de cálculo são Nd = -3600 kN e Md = 970kN.m. A 
aplicação direta da planilha de dimensionamento indica que este par de 
esforços está na região segura do ábaco (ver abaixo). 
Verificação, aplicando o Ábaco Adimensional 7: 
 21 
Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,4. 
 Como: 271
15150
4130000606040
cm
,/
,/.,.,.,A;f.h.b
f.A
s
cd
yds
===ω , 
 o que confirma que a armadura adotada (75,36 cm2) é suficiente. 
 
Curva de Interação (Nd x Md)
0
200
400
600
800
1000
1200
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000
Nd (kN)
M
d 
(kN
.
m
)
As=0
As dado
Nd,Md
 
2.2.4 Exemplos numéricos propostos 
a) 20x60, d’=5cm, fck = 25 MPa, As3 = As4 = 0; 
Ngk = -20 kN, Nqk = -30 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 120 kNm. R: As = 24cm2. 
b) 20x80, d’=4cm, fck = 15 MPa, As3 = As4 = 0; 
Nk = -1050 kN, Mk = 100 kNm. R: As = 10cm2. 
(Comparar com o resultado obtido no item 2.1.6, As = 11,56cm2) 
c) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0; 
Ngk = -140 kN, Nqk = -217 kN, Mgk = 56 kNm, Mqk = 87 kNm. R: As = 7,6cm2. 
d) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0; Nd = -250 kN, Md = 175 kNm. R: As = 8,8cm2. 
e) 20x80, d’=3cm, fck = 22 MPa, As1 = As2 = 0; 
Ngk = -500 kN, Nqk = -800 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 115 kNm. 
R: As = 17,3cm2 (16Ф12,5 mm) 
f) 20x80, d’=5cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = 0; 
Nk = 1000 kN, Mk = 200 kNm. R: As = 51,1cm2. 
Para atender à fissuração: As = 79,3cm2 (2 x 8 Ф25 mm c 10 = 80cm2) 
Tensão aproximada: MPacm/kN,
.,.,
,.
s 1988198041151
15150 2
===σ (OK) 
g) Seção circular, com d = 0,60m; fck = 25 MPa; d’= 0,06cm; Armadura = 8 Ф20 mm 
 Qual o Nd máximo para uma excentricidade e = 0,015 + 0,03.d= 0,033m 
 R: η−=η−=µ===ω .055,0).(
d
e
;169,0
4,125000.6,0
15,150.14,3.8
f.d
f.A
2
cd
2
yds
 
 Pelo Ábaco 13: 036,0;648,0 =µ−=η ; =−=
4,1
25000
.6,0).648,0(N 2d -4165 kN 
 22 
 
3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
3.1. Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118 
A figura abaixo define as notações empregadas para a verificação de uma seção retangular de 
concreto, de dimensões b e h, submetida aos esforços de cálculo Nd, Mxd e Myd. A área total de aço é 
igual a As = As1 + As2 + As3 + As4. 
 
 
A NBR 6118, em seu item 17.2.5.2, pg.111, permite a verificação da flexão composta oblíqua 
através da seguinte expressão de interação aproximada: 
 
1=








+





αα
yy,Rd
y,Rd
xx,Rd
x,Rd
M
M
M
M
 
 
Onde: 
MRd,x e MRd,y – componentes segundo os eixos x e y do momento admitido como resistente, para 
o valor de esforço normal atuante NSd. 
 MRd,xx e MRd,yy – são os momentos resistentes segundo os eixos x e y, em flexão composta reta, 
para o valor de esforço normal NSd . 
α - fator que em geral pode ser tomado como α = 1,0 e no caso de seções retangulares, como 
α = 1,2. 
3.1.1. Exemplo numérico 
 
 
 
 
Seja verificar um pilar retangular, dimensões de b = 40 cm, 
h = 60 cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e aço CA-50. A 
armadura consiste de 16 barras de diâmetro 20 mm, com d’= d’’= d’’’ 
= d’’’’ = 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são Nd = -2400 kN; 
Mxd = 300 kN.m e Myd = 220 kN.m. 
A disposição das armaduras é indicada no esquema ao lado. 
A verificação na flexão composta reta, com Nd = -2400 kN 
fornece MRd,xx = 569 kN.m e MRd,yy = 388 kN.m. 
 
 23 
 
A respectiva curva de interação, de acordo com o processo aproximado da NBR 6118, é 
apresentada na figura a seguir. O par de esforços atuante se encontra na parte segura (interna) do 
ábaco. A seguinte expressão deve ser empregada, em planilha EXCEL, para expressar MRd,y em 
função de MRd,x: 
( )
21121
21 1
,/
,
xx,Rd
x,Rd,
yy,Rdy,Rd M
M
.MM
























−= 
Curva de Interação Aproximada na Flexão Oblíqua
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 100 200 300 400 500 600
M xd
M
yd Valores
admissíveis
Valores
dados
 
 Analiticamente: 
)OK(,,,
,,
970510460
388
220
569
300 2121
=+=



+



 
 
3.2. Cálculo exato. 
A análise das curvas de interação encontradas na literatura indica que o critério proposto pela 
NBR 6118 é adequado. O cálculo exato é possível através de programas de computador ou por um 
processo iterativo bastante trabalhoso, em que vai se ajustando por tentativas a posição da linha neutra 
e o ângulo por ela formado com os eixos X e Y. É possível também a aplicação dos ábacos de interação 
encontrados na literatura (por exemplo, os conhecidos ábacos de Montoya). 
O seguinte “site” da Universidade Federal do Paraná disponibiliza o programa OBLÍQUA, para 
o traçado de curvas de interação na flexão composta oblíqua: 
 
http://www.cesec.ufpr.br/etools/oe3/ 
 (objetos educacionais, sistemas estruturais, concreto armado e protendido, “Oblíqua 1.0”) 
O programa pode ser aplicado a seções de forma qualquer, inclusive circulares. 
 
Como exemplo de comparação, analisa-se um pilar retangular, dimensões de b = 30 cm, h = 35 
cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e aço CA-50. A armadura consiste de 4 barras de 
diâmetro 20 mm nos cantos do pilar, com os d’ iguais a 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são 
Nd = -90,16 kN, MSxd = 48,5 kN.m e MSyd = 36,8 kN.m 
 24 
A verificação na flexão composta reta, com Nd = -90,16 kN fornece MRd,xx = 85,0 kN.m e 
MRd,yy = 70,0 kN.m. 
 
 Analiticamente, pela NBR 6118: 
 
)OK(00,149,051,0
70
6,38
85
5,48 2,12,1
=+=



+


 
 
Com o programa OBLÍQUA se obtém a curva de interação exata, mostrada a seguir. 
O par de esforços correspondente à formulação aproximada (Nd = -90,16 kN; MRd,xx = -48,5 
kN.m e MRd,yy = 38,6 kN.m se encontra internamente à curva da formulação exata. A linha tracejada 
representa a expressão aproximada de interação da NBR 6118. No caso analisado a formulação 
aproximada forneceu valores bastante mais seguros do que a formulação exata. 
 
 
3.3. Exemplos numéricos propostos 
 a) 30x50, d’= 3cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = As3 = As4 ; As = 37,68 cm2(12 Ф 20 mm) 
 Nk = -1000 kN, Mxk = 80 kNm, Myk = 100 kNm. 
 R: )Ábaco(,);Ábaco(,;,;, xx 728206306076406530 ===−= µµωη 
 MRdxx = 328 kNm, MRdyy = 181 kNm; 0,28+0,73=1,01 (~OK, passa no método exato) 
 b) 60x20, d’= 3cm, fck = 22 MPa, As3 = As4 = 0 ; As =21,98 cm2(28 Ф 10 mm) 
 Nk = -1000 kN, Mxk = 30 kNm, Myk = 100 kNm. 
 R: )10(172,0);3(202,0;507,0;742,0 ÁbacoÁbaco yx ===−= µµωη 
 MRdxx = 76,4 kNm, MRdyy = 195 kNm; 0,49+0,67=1,16 (Não OK, passa no método exato) 
 25 
 
4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES 
4.1. Cargas atuantes nos pilares de edifícios. 
4.1.1. Ações a considerar 
A NBR 6118, em seu item 11.2.1 (pg. 51), define que deve ser considerada a influência de 
todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança estrutural, levando-se em 
conta todos os possíveis estados limites últimos e de serviço, de acordo com as normas e das condições 
peculiares a cada edificação. 
Simbolicamente, as ações em uma estrutura de concreto armado podem ser expressas como: 
 
p = g + q + ε (carga total = carga permanente + carga variável + carga devida a deformações 
 próprias e impostas) 
 
Cargas excepcionais são também previstas no item 11.5, pg. 57, da NBR 6118 (impacto, 
tornados, etc.), devendo ser consideradas se exigências específicas de segurança forem definidas no 
projeto de uma determinada estrutura ou quando definidas por Norma Brasileira específica. A Norma 
Brasileira NBR 15421 define as cargas sísmicas a serem consideradas no projeto estrutural de 
edifícios. 
Cargas durante as fases construtivas devem ser verificadas, inclusive os esforços decorrentes da 
montagem de peças pré-moldadas e os que apareçam durante a fase de escoramento. A influência 
desfavorável de recalques de apoio deve ser considerada de acordo com o item 11.3.3.3 da NBR 6118. 
A NBR 6120 define as cargas gravitacionais para o cálculo de estruturas de edificações. Outras 
normas brasileiras de cargas podem ser citadas, como a NBR 6123 para as ações de vento. No caso de 
obras industriais, deve ser considerado o peso dos equipamentos a serem instalados na edificação e as 
cargas variáveis que poderão ocorrer durante as diferentes fases de montagem, operação e manutenção 
da instalação. Na avaliação das cargas variáveis, estas devem ser consideradas as suas posições mais 
desfavoráveis. 
4.1.2. Engastamento das vigas em pilares extremos 
De acordo com o item 14.6.7.1 da NBR 6118, pg.82, caso não for realizado o cálculo analítico 
exato da influência da solidariedade das vigas com os pilares de extremidade, o momento negativo 
mínimo a ser considerado na viga, é avaliado em função do momento de engastamento perfeito e das 
relações entre a rigidez da viga, do pilar abaixo e do acima do apoio: 
• Momento na viga: 
 
supinfvig
supinf
engvig
rrr
rr
.MM
++
+
= ri = Ii / Li (inércia/comprimento) 
 
• Nos pilares acima e abaixo do apoio aplicam-se os momentos correspondentes que 
equilibram o nó: 
 
supinfvig
sup
engsup
rrr
r
.MM
++
= 
 
supinfvig
inf
enginf
rrr
r
.MM
++
= 
 
 
Na avaliação da rigidez dos pilares, toma-se como comprimento efetivo a metade de seu 
comprimento real, conforme Fig. 14.8, pg. 83, da Norma. 
 
 26 
4.1.3 Imperfeições geométricas 
As construções de concreto são intrinsecamente imperfeitas. No caso de estruturas reticuladas 
existem, por exemplo, imperfeições geométricas na posição e na forma dos elementos estruturais, na 
forma e dimensões das seções transversais e no posicionamento das armaduras. Muitas destas 
imperfeições são cobertas pelos coeficientes de ponderação. Não é este o caso das imperfeições nos 
eixos dos pilares, que devem ser explicitamente consideradas no cálculo. 
De acordo com a NBR 6118, item 11.3.3.4, pg.54, as imperfeições geométricas, para efeito de 
cálculo, podem ser divididas em imperfeições globais e locais. 
4.1.3.1 Imperfeições geométricas globais 
O desaprumo dos elementos verticais de um prédio deve ser considerado, conforme a figura: 
 
Onde: 
θ1 min= 1/400 em estruturas de nós fixos; 
θ1 min= 1/300 em estruturas de nós móveis; 
θ1 max= 1/200 
 
Os efeitos do desaprumo correspondem, do ponto de vista numérico, a considerar, em cada 
pavimento, uma carga horizontal igual ao somatório das cargas verticais aplicadas a cada piso, 
vezes θa. Os efeitos do desaprumo não necessitam ser superpostos aos de vento, podendo ser 
considerados os efeitos mais desfavoráveis entre os dois. 
4.1.3.2 Imperfeições geométricas locais 
A figura abaixo ilustra os momentos que são introduzidos em um trecho de pilar por uma 
imperfeição geométrica localizada (ver item 15.4.3, pg. 91, da NBR 6118). 
 
 27 
O elemento de travamento pode ser a laje de piso funcionando como diafragma. 
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas 
pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem igual a: 
 
)h.,,(NM dmin,d 03001501 += 
 
Onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. A este 
momento devem ser acrescentados os momentos de 2ª ordem, quando for o caso. 
4.2 Classificação das estruturas relativamente a sua deformabilidade horizontal 
4.2.1 Estruturas de nós fixos e de nós móveis 
As estruturas podem ser classificadas como de nós fixos quando os deslocamentos horizontais 
dos nós são relativamente pequenos. Neste caso, os efeitos globais de 2ª ordem podem ser desprezados 
(devendo ser inferiores a 10% dos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem, no entanto, ser 
considerados os efeitos locais de 2ª ordem. 
As estruturas que não atenderem à condição definida acima são classificadas como de nós 
móveis, devendo ser projetadas considerando-se esforços globais e locais de 2ª ordem. 
A NBR 6118, em seu item 15.5, pg. 92, apresenta dois critérios para a avaliação se uma 
determinada estrutura pode ser classificada como de nós fixos. 
4.2.1.1 Critério do parâmetro de instabilidade 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como de nós fixos, se α ≤ α1, sendo: 
 
 )I.E/(N.H Ccsktot=α 
 n,, 10201 +=α se n ≤ 3; 
7060501 ,;,;,=α se n ≥ 4 e para estruturas de contraventamento em edifícios compostas, 
respectivamente, somente por pórticos; associações de pórticos e pilares-parede; e somente pilares-
parede. 
 Onde: 
 n – número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; 
 Htot – altura total da estrutura em metros, medida a partir do mesmo nível de referência; 
 Nk – valor característico da soma de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, também 
computadas acima do mesmo nível de referência; 
 Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto, conforme definido no item 1.4; 
Ic – inércia de um pilar equivalente, com seção constante, engastado na base e livre no topo, 
com comprimento igual a Htot, que quando submetido à combinação de cargas preponderante para o 
projeto da estrutura, forneça o mesmo deslocamento horizontal no topo. 
4.2.1.2 Critério do coeficiente γz 
É definido um coeficiente γz de importância dos esforços de segunda ordem globais, a seraplicado para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos. Para uma determinada 
combinação de cargas: 
d,tot
d,tot
z
M
M∆γ
−
=
1
1
 
Onde: 
 28 
Mtot, d – momento de tombamento, definido como a soma dos momentos provocados por todas 
as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da 
estrutura; 
∆Mtot, d – acréscimo de segunda ordem no momento de tombamento, definido como a soma dos 
momentos correspondentes aos produtos de todas as forças verticais da combinação considerada, com 
seus valores de cálculo, vezes os deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, 
obtidos em uma análise de 1ª ordem. 
Nesta avaliação, os seguintes valores de rigidez para os elementos estruturais devem ser 
tomados: 
 
Vigas: (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic (caso usual em que as armaduras das vigas não são simétricas); 
Pilares: (EI)sec = 0,8 . Eci . Ic 
 
Nestas definições, Eci é módulo de elasticidade tangente do concreto, conforme definido no 
item 1.4. e Ic é o momento de inércia da seção bruta do concreto. Quando a estrutura de 
contraventamento for composta exclusivamente por pilares e vigas e γz ≤ 1,3, permite-se calcular a 
rigidez de vigas e pilares com:
 
 
(EI)sec = 0,7 . Eci . Ic 
 
Se γz ≤ 1,1 , a estrutura é considerada como de nós fixos. Apesar de não haver uma restrição 
explícita da NBR 6118, deve ser evitada uma situação em que γz > 1,3 , o que indica uma 
deformabilidade excessiva da estrutura. Neste caso, análises muito complexas, envolvendo análises 
não-lineares física e geométrica devem ser aplicadas, tendo em vista que os métodos simplificados 
aceitos pela Norma não poderão ser aplicados. 
4.2.2 Contraventamento 
Em todo edifício deve ser definido um sistema estrutural que resistirá às solicitações 
horizontais como as de vento. Estes sistemas são chamados de sistema de contraventamento, e são 
compostos pelos elementos da estrutura com maior rigidez relativamente às forças horizontais. Em 
edifícios de concreto armado, estes sistemas são compostos por pórticos (compostos por pilares e 
vigas) e/ou por pilares-parede (presentes, por exemplo, em caixas de elevadores e escadas). A 
distribuição das forças horizontais entre os diversos elementos de um sistema de contraventamento é 
feita proporcionalmente à rigidez de cada um destes elementos relativamente às forças horizontais, 
usualmente através de um modelo analisado com um programa de análise estrutural. 
Os pilares não pertencentes aos sistemas de contraventamento, são chamados de pilares 
contraventados. Estes pilares devem estar adequadamente fixados aos sistemas de contraventamento. 
As estruturas de contraventamento podem ser classificadas como de nós fixos e de nós móveis 
conforme definido no item 15.4.2 da NBR 6118, pg. 91. 
4.2.3 Elementos isolados 
O item 15.4.4 da NBR 6118, pg. 91, define como elementos estruturais isolados, todos os 
elementos isostáticos, os elementos contraventados e os elementos de contraventamento de estruturas 
de nós fixos. Estes elementos têm critérios simplificados para a verificação dos efeitos de 2ª ordem. 
Mesmo os elementos de contraventamento das estruturas de nós móveis podem ser considerados como 
isolados, desde que aos esforços de extremidade, obtidos em uma análise de 1ª ordem sejam 
acrescentados os determinados na análise global de 2ª ordem. 
 29 
 
4.3 Métodos de análise dos efeitos de 2a ordem 
4.3.1 Flambagem elástica 
Considere-se uma barra bi-rotulada de comprimento l, submetida a uma força de compressão P, 
com excentricidade e. A barra tem liberdade para se deslocar horizontalmente. O sistema de eixos XY 
está posicionado na posição final deformada da barra. δ é o deslocamento máximo, na posição final 
deformada, do ponto do centro do eixo. 
 
Em x =l /2 deve-se ter δ=)/l(y 2 , o que leva a: 
2
2
1
kl
cos
)klcos(e −
=δ e 
2
1
kl
cos
)kxcos(ey −= 
Verifica-se então que, mesmo para valores infinitesimais de excentricidade e, a deformada fica 
instável (o que se chama de flambagem elástica) para valores de 0
2
=
kl
cos , ou seja, 
2
12
2
pi)n(kl += . 
Na prática, só há interesse no valor n = 0, o que leva a pi=kl . 
Como 
EI
Pk =2 , 2
2
l
EIPcrit
pi
= , sendo Pcrit o valor da força normal que leva à instabilidade. 
Pode também ser definida uma tensão de instabilidade: 
2
2
2
2
λ
pipi
σ
E
)i/l(
E
A
Pcrit
crit === , sendo i o raio de giração na direção considerada, A
Ii = e λ o 
índice de esbeltez
i
l
=λ . 
Os índices de esbeltez λ, no caso particular de seções retangulares, nas duas direções, são 
definidos como: 
 
 Nas seções circulares: 
d
l
.4
i
l ee
x ==λ 
A relação momento-curvatura da Resistência dos 
Materiais pode ser escrita na forma abaixo, sendo o sinal do 
momento definido de forma a ter compatibilidade com o 
sinal da curvatura: 
)ye.(PM
dx
ydEI −+=−= δ2
2
 ou: 
).(222
2
δ+=+ ekyk
dx
yd
 com 
EI
Pk =2 
A solução é da forma abaixo, que pode ser verificada 
por substituição: 
)kxcos).(e(y −+= 1δ 
 30 
 A flambagem no concreto armado não é somente geométrica, envolve também a não 
linearidade física. 
4.3.2 Índice de esbeltez 
Para efeito da aplicação da NBR 6118, os trechos de pilar são considerados como bi-rotulados: 
 
 
 
 Na definição do comprimento equivalente le é considerada a situação geométrica abaixo: 
 
 
4.3.3 Análise de estruturas de nós fixos e de nós móveis. 
Nas estruturas de nós fixos, todos os elementos podem ser analisados como isolados, ou seja, 
como vinculados aos elementos estruturais que concorrem em suas extremidades. Aos efeitos de 1ª 
ordem determinados em uma análise estrutural convencional, devem ser somados os efeitos locais de 
2ª ordem, conforme explicitado a seguir. Os efeitos localizados de 2ª ordem surgirão em pilares 
parede. 
Nas estruturas de nós móveis, aos efeitos de efeitos de 1ª ordem devem ser somados os efeitos 
globais e locais de 2ª ordem. Nos casos em que γz ≤ 1,3 , os efeitos globais de 2ª ordem podem ser 
avaliados através da multiplicação dos efeitos de 1ª ordem por 0,95.γz. A estes efeitos majorados 
devem ser somados os efeitos locais de 2ª ordem, da mesma forma que é feito para as estruturas de nós 
fixos. 
 
 31 
4.3.4 Análise dos pilares em função de sua esbeltez 
Os métodos de cálculo aplicáveis aos pilares, dependem de seu índice de esbeltez em cada uma 
das duas direções. Os métodos simplificados prescritos pela NBR 6118 pressupõem pilares de seção 
constante e armadura constante ao longo do eixo. 
4.3.4.1 Pilares curtos: λ ≤ λ1 
O parâmetro λ1 depende do valor dos momentos presentes nas extremidades do pilar, variando 
entre os limites de 9035 1 ≤≤ λ . 
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice 
de esbeltez em uma direção for inferior ao valor limite λ1: 
b
h/e.,
α
λ 11
51225 +
= , onde: 9035 1 ≤≤ λ e e1 é a excentricidade de 1ª ordem: N
M
e A=1 
 Os valores de bα são avaliados como: 
a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais: 
400400600001 ,
M
M
.,,,
A
B
b ≥+=≥ α 
Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, na direção considerada. 
Considerar que MA é o momento de maior valor absoluto e que os dois momentos têm o mesmo sinal 
quando tracionarem o mesmo lado do pilar. 
Definição do parâmetro αb
0
0,5
1
-1 -0,5 0 0,5 1
β=MB/MA
α
b NB-1
Teórico
 
 AbCBA M.MMM α=≥ 
b) Para pilares bi-apoiados com cargas transversais significativas ao longo de seu 
comprimento: 
 001,b=α 
c) Para pilares em balanço: 
 850200800001 ,
M
M
.,,,
A
B
b ≥+=≥ α 
d) Para pilares em que os momentos de 1ª ordem são menores que o momento mínimo 
definido no item 5.1.3.2: 
 001,b =α 
 32 
Neste último caso, a verificação à flexão oblíqua pode ser substituída por duas verificações de 
flexão composta reta, considerando-se o momento máximo em uma direção simultaneamente com o 
momento nulo na outra, e vice-versa. Considerar, neste caso, que a excentricidade adicional não 
ocorrerá com seu valor máximo simultaneamente nas duas direções. 
4.3.4.2 Pilares medianamente esbeltos: λ1 ≤ λ ≤ 90 
Para estes pilares, considerando que tenham seção constante e armadura simétrica constante ao 
longo de seu eixo, dois métodos aproximados baseados no pilar-padrão podem ser empregados, ver 
NBR 6118, item 15.8.3.3, pg.96. 
4.3.4.2.1 O Pilar-Padrão 
Seja o pilar representado na figura a seguir. No pilar padrão, a linha deformada real á 
substituída pela senóide definida como: 
 






=
e
max l
x.
sen.y)x(y pi 
 
Da Geometria Diferencial, para pequenas deformações, a curvatura do pilar deformado é dada 
aproximadamente por: 
 






=
∂
∂
=
e
max
e
l
x.
sen.y
lx
y
r
pipi
2
2
2
21
 , ou max
emax
y
lr 2
21 pi
= , ou 
max
e
max
r
.
ly 12
2
pi
= 
 
 
 
 
 
 33 
4.3.4.2.2 Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada 
A NBR 6118 considera, neste método, um momento de segunda ordem igual a Nd.ymax. 
Arredondando-se pi2 para 10, o momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão: 
{ }MIN,dA,dedA,dbtot,d MeM
r
.
l
.NM.M 11
2
1
1
10
≥+= α 
O valor da curvatura 1/r na seção crítica é avaliado pela expressão aproximada: 
 
h
,
),.(h
,
r
0050
50
00501 ≤
+
=
ν
 (estas duas condições prevalecem quando, 50,≥ν e 50,≤ν ) 
Nestas expressões, h é a altura da seção na direção considerada e )f.A/(N cdcSd=ν . 
4.3.4.2.3 Método do Pilar-Padrão com rigidez κ aproximada 
Este método busca uma avaliação mais precisa para a curvatura. 
De acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118, pg. 89, a rigidez secante (EI)sec é definida como a 
relação entre momento e curvatura, para um certo nível de força normal: 
r/
M)EI( Rdsec 1= 
 
A Norma define a rigidez secante adimensionalκ como: 
cd
Rd
cdc
sec
f.h.b).r/(
M
fhA
)EI(
32 1
==κ , já que Ac é a área de concreto (válido para pilares retangulares) 
 
O momento total máximo no pilar, incluindo os efeitos de 2ª ordem pode ser calculado a partir 
da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: 
 
{ }MIN,d1A,d12 A,d1btot,d MeM
/120
1
M.
M ≥
νκ
λ
−
α
= 
 
O valor da rigidez adimensional aproximada κ é dado pela expressão: 
 
νκ .
N.h
M
..
d
tot,d






+= 5132 , sendo )f.A/(N cdcSd=ν . 
 
As grandezas têm o mesmo significado definido acima. Nd entra com sinal positivo na 
compressão. 
A substituição de segunda equação na primeira conduz a uma equação de segundo grau tendo 
como incógnita Md, tot: 
 
A (Md, tot)2 + B (Md, tot) + C = 0 
dbddb
ed
d MhNCMh
lN
NhBhA 1
2
1
2
2
..;..5
320
.
.;.5 αα −=−−== 
 
Com isso, é evitado o cálculo interativo citado pela NBR 6118. 
No caso de pilares submetidos à flexão composta oblíqua, a aplicação do Método do Pilar-
Padrão com curvatura aproximada não é permitida. O Método do Pilar-Padrão com rigidez κ 
aproximada pode ser aplicado simultaneamente nas duas direções, quando λ≤ 90. 
 34 
4.3.4.3 Pilares esbeltos (90 ≤λ≤ 140) 
Para estes pilares é obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item 15.8.4, pg. 98, 
da NBR 6118. Para os pilares esbeltos, é permitido o uso do pilar padrão melhorado, conforme o item 
15.8.3.3.4 da Norma. 
Neste método, a valor da rigidez adimensional aproximada κ é calculada substituindo-se a 
resistência do concreto 0,85 fcd por 1,1 fcd; o equilíbrio é estudado para uma situação com Nd/1,1 e 
MRd / 1,1 (já incluídos os efeitos de segunda ordem). 
Como procedimento possível, pode-se investigar, para uma certa configuração dada de uma 
seção, e para o concreto com resistência igual a 1,1 fcd, qual o momento MRd / 1,1 está em equilíbrio 
com Nd/1,1 no estado limite último. Determina-se: 
dr
1 1sc ε−ε
= e conseqüentemente, κ. 
O momento total resistente da seção é igual ao MRd acima determinado (já multiplicado por 
1,1). O momento total atuante é avaliado considerando a curvatura 
r
1
 determinada como acima 
indicado. O momento total resistente deve ser superior ao momento total atuante. 
4.3.4.4 Pilares muito esbeltos (140 ≤ λ ≤ 200) 
Para estes pilares é também obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item 
15.8.4 da NBR 6118. O método geral, descrito no item 15.8.3.2 da Norma deve ser seguido. O maior 
valor numérico permitido pela NBR 6118 para λ é de 200. 
A análise dos pilares muito esbeltos transcende os objetivos deste curso. 
 35 
 
4.4 Pilares-parede. 
Os pilares-parede são aqueles em que a maior dimensão excede cinco vezes a menor. 
4.4.1 Dispensa de análise dos efeitos de 2ª ordem. 
De acordo com o item 15.9.2 da NBR 6118, pg. 99, em cada trecho do pilar parede pode ser 
verificada a dispensa para a verificação dos efeitos de 2ª ordem se: 
- a base e o topo de cada trecho estiverem convenientemente fixados às lajes do edifício e se 
estas conferirem ao conjunto o efeito de diafragma horizontal; 
- a esbeltez λi de cada trecho, avaliada de acordo com a expressão a seguir, for inferior a 35: 
i
ei
i h
l
.,463=λ , sendo: 
hi a espessura da peça e lei o comprimento equivalente, avaliado conforme definido nas figuras 
abaixo: 
 
 
Se o topo e a base puderem ser considerados como engastados e 1≤bl , os valores de λi podem 
ser multiplicados por 0,85. 
4.4.2 Processo aproximado para avaliação dos efeitos de 2ª ordem. 
Os trechos de pilares-parede em que 90≤iλ pode ser aplicado o procedimento aproximado 
aqui descrito. 
Os efeitos de 2ª ordem podem ser considerados decompondo-se os pilares-parede em faixas 
verticais de comprimento ai, que serão analisadas como pilares isolados, submetidos aos esforços Ni e 
Myid, sendo: 
 ai ≤ 3h ≤ 100 cm 
yidN é a resultante das forças verticais na faixa i, determinada a partir da força linear )x(nd , que 
é avaliada em função de Nd e M1xd. Os valores extremos de )x(nd são avaliados como: 
max,dn , min,dn = 2
16
b
M
b
N xdd ± 
 36 
min,diydyid Ma.mM 11 ≥= é o momento fletor atuante na faixa i; b/Mm ydyd 11 = é o momento por 
metro atuando na direção yy. 
min,dM1 é o momento mínimo, já para a faixa considerada como pilar isolado. 
 
 
4.5 Verificação ao cisalhamento. 
É apresentado o Modelo de Cálculo I, de acordo com a NBR 6118, item 17.4.2.2, pg. 122: 
Os estribos dos pilares são horizontais (α = 900). 
A força cortante de cálculo máxima para efeito de compressão na biela (30°≤ θ ≤ 45°) é: 
VRd2 = 0,27 (1- fck /250) fcd bw d 
 Armadura transversal na flexão simples: 
 CSdywd
sw VVf.d.9,0.
s
A
−= 
VC = 0 em elementos tracionados quando a linha neutra está fora da seção 
VC = VC0 na flexão simples e flexo-tração, quando a linha neutra está na seção. 
VC = VC0 (1 + M0 / Msd max) ≤ 2 VC0 na flexo-compressão. 
VC0 = 0,6 fctd bw d 
M0 é o valor do momento que anula a compressão na borda da seção tracionada por Msd, max, 
calculada com γf = 1,0 : 
60
h.NM k= 
fctd = fctk,inf / γ c ; fctk,inf = 0,7 fct,m ; fct,m = 0,3 fck 2/3 (MPa) 
Um exemplo de verificação a cisalhamento é apresentado no item 6.8. Utilizando este mesmo 
exemplo, de forma que resulte em uma armadura menorque a mínima, considere-se VSd = 95 kN. 
Para um estribo de 8 mm, têm-se Asw = 2.0,503 = 1,006 cm2 (duas pernas). 
CSdywd
sw VVf.d.9,0.
s
A
−= 
m082,0
3,4295
15,150.11,0.9,0.006,1
s =
−
= 
Estribo de 8 mm cada 7,5 cm. 
 
 37 
 
5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE 
5.1. Cobrimentos 
As armaduras devem ser protegidas contra a corrosão durante a vida útil de uma estrutura. A 
proteção das armaduras é função da qualidade do concreto (compacidade e impermeabilidade) e da 
espessura dos cobrimentos. Observar que na definição da espessura do cobrimento devem-se 
considerar as barras efetivamente mais externas da armadura, incluindo a eventual presença de 
estribos, armaduras secundárias ou construtivas. 
A compacidade do concreto depende da trabalhabilidade do concreto por ocasião de seu 
lançamento e dos cuidados tomados no lançamento e na vibração. A impermeabilidade depende da 
definição do fator água-cimento, adequado a cada construção e da dosagem do concreto, incluindo a 
eventual utilização de aditivos. 
As armaduras são protegidas da corrosão causada pela agressão de agentes externos nocivos, 
mecanicamente, pela espessura do cobrimento e quimicamente, pelo fenômeno da passivação do aço. 
Esta decorre da grande alcalinidade do concreto. Neste ambiente, é formada na superfície das barras de 
aço, uma película passivadora, formada por uma camada microscópica de óxido de ferro, que impede a 
corrosão. Existem dois mecanismos principais de corrosão das armaduras: 
 - Despassivação do concreto por carbonatação, que é a despassivação da armadura pela ação do 
gás carbônico da atmosfera sobre a armadura. O hidróxido de cálcio e outros reage com o CO2 
precipitando carbonato de cálcio. 
 - Despassivação por ação de cloretos, que consiste na ruptura local da camada de passivação 
por elevado teor de íon cloro. 
 A expectativa da despassivação do concreto a partir do cobrimento é de 2 cm em 50 anos e de 
2,5 cm em 100 anos. Medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso dos agentes agressivos ao 
interior do concreto. O adequado cobrimento das armaduras e o controle da fissuração minimizam este 
efeito. 
 A definição dos cobrimentos adequados a cada construção deverá, portando considerar 
características específicas da obra e a agressividade do meio ambiente. Segundo a NBR 6118, item 
7.4.7 (pg. 18), os cobrimentos a serem considerados na construção são os cobrimentos nominais 
(cnom), sendo esta grandeza definida como: 
 
cnom = ∆c + cmin 
 
∆c
 
é a tolerância de execução, igual a 10mm nas obras correntes. 
cmin é o cobrimento mínimo a ser aceito na construção, definido pela Norma, em suas Tabelas 
6.1 e 7.2, em função da classe de agressividade ambiental a que a estrutura está exposta. A Norma 
define os seguintes valores para cnom (com cnom ≥ ø barra): 
cnom = 20 mm (lajes) ou cnom = 25 mm (vigas ou pilares) - (Classe I – Peças submersas; peças 
em zona rural; peças em zona urbana com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros, 
cozinhas e áreas de serviço em edificações residenciais e comerciais ou em ambientes com concreto 
revestido com argamassa e pintura; peças em zonas urbanas em regiões de clima particularmente seco, 
conforme definição da Norma). 
cnom = 25 mm (lajes) ou cnom = 30 mm (vigas ou pilares) - (Classe II – Peças em zona urbana 
não enquadradas na Classe I, como em ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e 
secagem: vestiários, banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens; peças em zona marinha 
ou industrial com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço 
em edificações residenciais e comerciais; peças em zonas industriais em regiões de clima 
particularmente seco, conforme definição da Norma). 
 38 
cnom = 35 mm (lajes) ou cnom = 40 mm (vigas ou pilares) - (Classe III - Peças em zona marinha 
ou industrial com ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e secagem: vestiários, 
banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens). 
cnom = 45 mm (lajes) ou cnom = 50 mm (vigas ou pilares) - (Classe IV – Peças em zona 
industrial em ambientes quimicamente agressivos; peças sujeitas a respingos de maré). 
 As definições das diversas Classes encontram-se resumidas na tabela a seguir. 
 
 
 Outras condições climáticas 
 
 
Clima 
particularmente 
seco 
Ambientes internos secos ou 
internos com revestimento 
de argamassa e pintura 
Ambientes 
externos ou 
internos úmidos 
Peças submersas I I I 
Zona rural I I I 
Zona urbana I I II 
Zona industrial II II III 
Zona marinha III II III 
Zona industrial com ambiente 
particularmente agressivo. 
IV III IV 
Zona com respingos de maré IV IV IV 
 
5.2. Fenômeno da aderência. 
A viabilidade do concreto armado é assegurada pela aderência entre o concreto e o aço, que 
impede o escorregamento da armadura com relação ao concreto que a envolve, assim como garante a 
transferência de forças e tensões entre os dois materiais. A aderência tem basicamente três parcelas: 
adesão, por atrito e mecânica. 
 
 
 
A aderência entre o aço e o concreto é medida experimentalmente, em ensaios de arrancamento 
de barras de aço de um bloco de concreto. 
Considera-se, por simplicidade, que ocorra uma distribuição simplificada uniforme, de tensões 
de aderência fbd, entre o concreto e o aço. Supondo que o comprimento de ancoragem é lb, e que haja 
ruptura simultânea por escoamento da barra e por aderência da barra no concreto, pode-se escrever a 
expressão: 
bdbyd
2
f).l..(f.
4
. φpi=φpi ou 
bd
yd
b f.4
f.
l
φ
= 
 Os valores a serem tomados para fbd são definidos no item 9.3.2.1 (pg. 32) da NBR 6118: 
fbd = η1 η2 η3 fctd 
 39 
Os valores a serem tomados para η1 são de 1,0 , 2,25 e 1,4 , respectivamente para os aços CA-
25, CA-50 e CA-60; os valores a serem tomados para η2 são de 1,0 e 0,7 , respectivamente para 
situações de boa e má aderência; os valores a serem tomados para η3 são de 1,0 para bitolas até 32 mm 
e de η3 = (132 - φ)/ 100 para bitolas φ superiores a 32 mm. Pode-se definir fctd pelas expressões do item 
8.2.5, pg. 22, da Norma: 
fctd = fctk,inf / γ c fctk,inf = 0,7 fct,m fct,m = 0,3 fck 2/3 (MPa) 
5.3. Zonas de boa e má aderência 
Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com 
segurança, aos esforços para as quais foram calculadas. Além das características das barras, a 
qualidade do concreto na zona de ancoragem é também importante para se garantir uma boa aderência. 
A NBR 6118 identifica duas situações distintas (zonas de boa e de má aderência), para a consideração 
da aderência entre o aço e o concreto. Estas duas situações estão associadas a condições mais ou 
menos favoráveis para a vibração e o adensamento do concreto, reconhecendo-se que, no caso de 
peças concretadas horizontalmente, a perda de água durante a pega (exudação) é mais intensa nas 
regiões superiores das peças (ver NBR 6118, item 9.3.1, pg. 31). 
São consideradas como pertencentes às zonas de boa aderência as barras com inclinação não 
inferior a 450 com a horizontal e as barras com inclinação inferior a 450 com a horizontal, localizadas a 
não mais de 30 cm da face inferior da peça ou junta de concretagem (peças com menos de 60 cm) ou a 
mais de 30 cm da face superior (peças com mais de 60 cm). As demais são consideradas como 
pertencentes às zonas de má aderência. As barras verticais dos pilares e pilares-parede podem, 
portanto, ser sempre consideradas como pertencentes a zonas de boa aderência. 
 
5.4. Ancoragem 
 Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com 
segurança, às forças que as solicitam. O mecanismo de transmissão de forças do