342837 geometria solidos

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CINAT - CIÊNCIAS DA NATUREZA, MATEMÁTICA E
SUAS TECNOLOGIAS
QUI_1_S
MATEMÁTICA
Prof’s: Gilmar e Seldomar
SÓLIDOS:
ÁREAS E VOLUMES
1. Revisão de conhecimentos: áreas de algumas figuras planas
Da geometria plana, a partir do cálculo da área do retângulo se pode calcula a área das figuras
seguintes:
Trapézios:
Triângulos:
Área do triângulo:
Círculo e circunferência:
Área do círculo e comprimento da circunferência
Polígonos convexos regulares:
Chamamos de polígono convexo regular ao polígono que tem todos os lados congruentes
e todos os ângulos internos congruentes.
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo
Sn=(n−2) .180°
 Num polígono convexo regular:
-centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita ao polígono.
-apótema do polígono é a distância do centro do polígono a cada um dos seus lados.
Obs: 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência
a=h
3
 ⇒ l=r √3 ⇒ a= r2
a= r √2
2
l=r √2
l=r
a= r √3
2
30°
a
r
l/2
h
l/2
l
ll
l
45°
l
2r
r
a
l/2
r
Área de um polígono convexo de n lados
A área desse polígono é a soma das áreas dos n triângulos isósceles congruentes
2. Prismas
São poliedros (sólidos limitados por polígonos), onde duas de suas faces são congruentes
e paralelas. Estudaremos apenas os prismas retos, ou seja, aqueles nos quais as arestas laterais
são perpendiculares aos planos das bases. Assim, as faces laterais dos prismas são retangulares.
 
 
 
Prisma regular: é um prisma reto que possui como base um polígono regular.
Os prismas classificam-se de acordo com a sua base. Veja alguns exemplos:
VOLUME: V = Ab . h
ÁREA TOTAL: At = 2Ab + Al
PROBLEMAS:
1. Um vidro de mel tem forma sextavada. Sua altura é 14 cm e o lado do hexágono é 4 cm. 
I) Qual é o volume máximo de mel que este vidro contém?
II) Determine a área total do vidro.
2. Considere um prisma triangular cujas arestas da base medem 3, 4 e 5 cm. Se a altura é 10 cm,
qual a área total?
3. Um prisma quadrangular regular tem volume igual a 720cm³. Sabendo que a aresta da base
mede 12cm, determine a altura dessa prisma.
4. Um prisma hexagonal regular tem área lateral igual a 360cm². Sabendo que sua altura é 12cm,
determine a área da base desse prisma.
5. Petróleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989. O primeiro – e
mais grave – acidente ecológico ocorrido no Alasca foi provocado
pelo vazamento de 42 milhões de litros de petróleo do navio tanque
Exxon Valdez, no dia 24 de março de 1989. O petroleiro começou a
vazar após chocar-se com recifes na baia Principe Willian. Uma
semana depois, 1300 km² da superfície do mar já estavam
cobertos de petróleo.
Supondo que o petróleo derramado se espalhasse uniformemente
nos 1300 km² da superfície do mar, determine a espessura, em mm, da camada de óleo.
Atividades propostas - Prismas
 
1. (UFPel RS) O mundo mineral nos brinda com inúmeros exemplos matemáticos no que se refere
a sólidos geométricos. Um dos mais famosos de todo mundo é a chamada Calçada dos Gigantes,
um vasto aglomerado de colunas de rochas basálticas vulcânicas, em forma de prismas de
diferentes alturas, na sua maioria hexagonais, mas também pentagonais e ainda polígonos
irregulares com 4, 7, 8, 9 e 10 lados, que se erguem junto à costa setentrional do Planalto de
Antrim, na Irlanda do Norte.
http:/www.educ.fc.ul.pt/ism/ism2002/ism/2003geometria.htm
Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que
a) a área total de um prisma reto é dada pelo produto da área lateral pela área da base.
b) o cubo é um prisma particular, denominado hexaedro regular, sendo que sua diagonal
mede , sendo a medida da aresta lateral.
c) o volume de um prisma hexagonal é o produto da área lateral pela altura.
d) o volume de um prisma de base triangular é o duplo produto da área da base pela altura.
e) prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases e
cujas faces laterais são retângulos.
Rta: E
 
2. . Uma peça mecânica feita de ferro tem o formato de um prisma triangular regular tem aresta da
base medindo 1,6cm e 24cm de comprimento. Sabendo que a densidade do ferro é 7,5g/cm³,
determine a massa dessa barra metálica. 
Rta: 199,53g
 
3. Um vidro tem o formato de um prisma hexagonal regular. Sua altura é 16 cm e o lado do
hexágono é 3 cm. 
I) Qual é o volume máximo, em ml, cabe no vidro? 
II) Determine a área total desse vidro. 
Rta: 373,68 e 334,71.
 
4. Num prisma quadrangular regular, a aresta da base mede 6cm. Sabendo que a área lateral do
prisma é 216cm², calcule o volume do prisma.
 Rta: 324
 
5. O volume de prisma hexagonal regular reto, de altura cm cujo apótema da base mede 
cm é: 
a) 18 b) 6 c) 3 d) e)4
 
6. Uma piscina, com o formato de um prisma, possui as dimensões que estão ilustradas na figura
abaixo:
Calcule o volume de água contida na piscina, quando ela está com água até os seus 3 metros de
altura.
Rta: 825m³ de água
 
7. Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a forma e
as dimensões dadas de acordo com a figura.
Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de corda, que será
esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na figura.
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo a de 30º com a lateral da barraca, determine,
aproximadamente, quantos metros de corda serão necessários para fixar a barraca, desprezando-
se os nós. (Use, se necessário, a aproximação ).
Rta: 36 m³; b) @ 9,3 m de corda
 
8. Qual o volume da peça representada na figura abaixo?
R:150
 
9. As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1cm.
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma
DMNCHPQG é
a) 0,625 cm3.
b) 0,725 cm3.
c) 0,745 cm3.
d) 0,825 cm3.
e) 0,845 cm3.
Rta: A
 
10. (UNICAMP SP) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre
uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal,
conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a
base maior tem 2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento. Supondo que um trecho
de 10 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento, 2,5
m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar
toda a brita?
Rta: a) 7 200 m³; b) 800 viagens
 
11. Se a área da base de um prisma diminui de 20% e altura aumenta de 20%, então o seu
volume:
a) aumenta de 4%
b) diminui de 9,6%
c) diminui de 4%
d) não se altera.
e) aumenta de 9,6%
Rta: C
 
12. Considere que o sólido abaixo possui as dimensões representadas em milímetro. Calcule o
volume, em cm³, desse sólido.
Rta: 45
 
13. (UEPG PR) Sobre o prisma hexagonal regular abaixo, cuja aresta da base mede 4 cm e cuja
altura mede 8 cm. Determine a soma das afirmações corretas.
01.A reta suporte é paralela à reta suporte .
02.A medida da diagonal da base do prisma é igual à medida de sua altura .
04.O segmento mede 4 cm.
08.A área da base do prisma vale cm2.
16.A área lateral do prisma vale 162 cm2.
Rta: 06
 
14. Calcule o volume, em cm³, do seguinte prisma hexagonal.
3.Pirâmide
É um poliedro que tem por base um polígono qualquer, e por faces lateraistriângulos que
têm um vértice comum. Este ponto é o vértice da pirâmide.
Pirâmide regular: É uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice é o
centro da base.
Elementos
ÁREA TOTAL: AT=AB+AL
VOLUME: V=
AB . h
3
PIRÂMIDES DO EGITO: Das sete maravilhas do mundo antigo, as
oitenta pirâmides são as únicas sobreviventes. Foram construídas
por volta de 2690 a.C., a 10 km do Cairo, capital do Egito. As três
mais célebres pirâmides de Gizéh (Quéops, Quéfren e Miquerinos)
ocupam uma área de 129.000 m2. A maior delas (Queóps) foi
construída pelo mais rico dos faraós, e empregou cem mil operários
durante 20 anos. Se enfileirássemos os blocos de granito das três pirâmides, eles dariam a volta
ao mundo. Queóps tem 147 m de altura e suas dimensões da base são 230 x 230 m. Determine a
medida:
A) apótema da base; B) apótema da pirâmide; C) aresta lateral; D) área total; E) volume.
PROBLEMAS – PIRÂMIDES
1. (PUC) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base
mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 24√3 b) 36√3 c) 48√3 d) 72√3 e) 144√3 Rta:C
2. (IBMEC SP) A partir de um cubo ABCDEFGH, constrói-se uma
pirâmide oblíqua AFGH, conforme ilustra a figura. Se o volume do cubo
vale 216, então, o volume dessa pirâmide vale:
a)18 b)27 c)36 d)54 e)72 Rta: 36
3. (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base
64m² vale:
a)128 m² b)64√2 m² c)135 m² d)60√5 m² e)32(√2+1) m² Rta:B
4. Uma pirâmide hexagonal regular tem aresta da base medindo 6 cm e altura igual à 30 cm. Uma
secção transversal paralela à base é feita a 10 cm do vértice da pirâmide. Qual a área dessa
secção? Rta: 6√3
5. Rogério comprou um papelão colorido para recobrir todas as faces de uma pirâmide
quadrangular regular de 40 cm de altura e 60 cm de aresta da base. Na balança de sua casa, ele
contatou que cada cm² de papelão “pesa” 0,1 g e que a pirâmide, antes do recobrimento pesava
385 g. Se ele, depois do recobrimento, pesar novamente a pirâmide, qual o “peso” que
encontrará? 
Rta: 1345g
6. (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado
mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de
base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma,a/2. Considerando-se essas
informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas
caixas, enche-se um total de: a) 6 moldes b) 8 moldes c) 24 moldes d) 32
moldes Rta: C
7. Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide de base retangular, 8 por 10 m. A
altura da pirâmide é 3 m e são necessárias 18 telhas francesas para cada m² de telhado. Calcule
o número de telhas necessárias para cobrir todo telhado. R:1740
8. Considere uma pirâmide octogonal regular cuja aresta da base mede 12 cm e tem altura igual a
30 cm. Determine o volume dessa pirâmide. Rta.:6950,4cm³
9. Considere um tetraedro regular de aresta a (pirâmide triangular que tem todas as arestas
medindo a). Mostre que:
A) a área total do tetraedro regular é igual a a²√3.
B) a altura do tetraedro regular é a√6/3.
C) o volume do tetraedro regular é a³√2/12.
10.(UFPel RS) A nanotecnologia de materiais tem como foco
a construção de dispositivos e equipamentos invisíveis, mas
muito eficazes. Um exemplo é o minimicrofone. O dispositivo
tem tamanho inferior à espessura de um fio de cabelo, é
formado por uma pirâmide de silício e capta sons com
extrema acuidade. Já tem aplicações práticas como a
comunicação entre pilotos e equipes em corrida.
Revista Veja Edição Especial, n 71, julho de 2006 [adapt.]
 
Considerando que o microfone da figura é uma pirâmide de base quadrangular com lado da base
e apótema da pirâmide medindo, internamente, , respectivamente, e que , é
correto afirmar que esse microfone, minúsculo como os demais itens do nanomundo, tem altura
igual a
a) . b) . c) . d) . e) . Rta: C
11. “A nova pirâmide do Louvre havia se
tornado quase tão famosa quanto o museu em
si. A controvertida pirâmide de vidro
neomoderna projetada pelo arquiteto americano
nascido na China I. M. Pei ainda evocava a
zombaria dos tradicionalistas, segundo os quais
ela agredia a dignidade do pátio renascentista.
Goethe havia descrito a arquitetura como
música solidificada, e os críticos de Pei
descreveram aquela pirâmide como o atrito
produzido pelas unhas contra um quadro-negro.
Os admiradores progressistas, no entanto,
saudaram a pirâmide de Pei, com 22 metros de altura, como sinergia deslumbrante entre
estrutura antiga e método moderno – um vínculo simbólico entre o antigo e o novo – conduzindo o
Louvre para o novo milênio” (O Código Da Vinci – Dan Brown, p. 26).
A pirâmide do Louvre, encomendada pelo presidente francês François Miterrand, em 1984, tem
base quadrada, de apótema 17,5 m, aproximadamente. Determine a área lateral da pirâmide e o
valor da aresta lateral.
Rta: 1967,7 m² e 33,11 m
12. Um dos metais pesados usados no setor industrial é o cádmio, cuja
substância simples metálica tem estrutura cristalina na forma de um poliedro
convexo, formado por duas pirâmides e um prisma de base hexagonal
regular, conforme a figura a seguir:
As faces triangulares são triângulos isósceles de base e altura relativa à base
medindo respectivamente, 2,24.10-10m e 2,80.10-10m. Nas faces
retangulares, um dos lados do retângulo mede 3,54.10-10m. Com base no
texto calcule:
A) O volume, em m³, de uma das pirâmides de base hexagonal. 
B) O volume do poliedro, em m³. 
C) a área total do poliedro, em m². Rtas: A)8,77.10-30; B)63,63.10-30; C)85,21.10-20.
	5. Petróleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989. O primeiro – e mais grave – acidente ecológico ocorrido no Alasca foi provocado pelo vazamento de 42 milhões de litros de petróleo do navio tanque Exxon Valdez, no dia 24 de março de 1989. O petroleiro começou a vazar após chocar-se com recifes na baia Principe Willian. Uma semana depois, 1300 km² da superfície  do mar já estavam cobertos de petróleo.