Cálculo de Deformação Elástica em Elementos

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CAPÍTULO 3 
ANÁLISE TENSÃO-DEFORMAÇÃO 1-D 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EQUAÇÃO PARA O CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO À 
CARGA AXIAL UTILIZANDO A LEI HOOKE E AS DEFINIÇÕES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO: 
Para um elemento de barra cuja área da seção 
transversal varia gradativamente ao longo do 
comprimento, submetido a cargas concentradas 
axiais nas extremidades e a uma carga externa 
variável distribuída ao longo de seu comprimento, a 
tensão normal e deformação normal no elemento 
são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 
P2 
 
L dx 
x 
x 
 Se a tensão normal e a deformação normal no elemento não ultrapassarem o 
limite de proporcionalidade, é possível relacioná-las usando a lei de Hooke: 
 
 
 
 e o deslocamento da extremidade da barra é dado por: 
 
 
 
 
  = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro; 
 L = comprimento original da barra; 
 P(x) = força axial interna na seção; 
 A(x) = área da seção transversal da barra; 
 E = módulo de elasticidade (que também pode ser função de x se o material não for 
homogêneo). 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Se a área de seção transversal é constante e a barra está submetida a cargas 
concentradas constantes nas extremidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
L 
 
P 
P 
x 
• Se a barra for submetida a várias cargas concentradas axiais diferentes constantes 
e/ou se a área da seção transversal e/ou módulo de elasticidade variar 
repentinamente de uma região da barra para outra, a equação pode ser 
aplicada a cada segmento da barra onde todas essas quantidades são constantes. 
 
 o deslocamento de uma extremidade da barra em relação a outra é dado por: 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 CONSIDERE-SE O CASO DE UMA COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL UNIFORME 
(CONSTANTE) SUBMETIDA A UM CARREGAMENTO AXIAL. 
 
 Sob estas condições, a deformação ocorre somente na direção y  substitui-se a 
coluna por uma linha em que a rigidez axial é concentrada ao longo da mesma. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Sistema global de coordenadas 
p
E
A
p
E
y
 STEP 1 - DISCRETIZAÇÃO E ESCOLHA DA CONFIGURAÇÃO DO ELEMENTO 
 
a) Definição de um sistema de coordenadas conveniente: 
 
 - na aproximação 1-D, é necessário usar somente uma coordenada ao longo 
da direção vertical: coordenada y. 
 
 - este sistema é definido para descrever a coluna toda: sistema global de 
coordenadas. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Sistema global de coordenadas 
P 
y 
 
 
 b) Discretização da coluna em 2 elementos finitos, cada um com comprimento l : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
❶ 
❸ 
❷ elementos finitos 1 e 2 
① 
② 
 
 c) Definição de sistema de coordenadas para os elementos: sistema local de 
coordenadas 
 
 - Principal vantagem: facilita a integração e a derivação especialmente em 
problemas multidimensionais. 
 
 - Há várias maneiras pelas quais pode-se definir sistemas de coordenadas 
locais para problemas de 1-D, vamos considerar o sistema em seguida: 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Sistema local de coordenadas L para o elemento finito - Problema 1-D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A origem do sistema local de coordenadas está em um ponto no interior do 
elemento, por exemplo, no ponto intermediário: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
y2 
y 
l/2 
y1 
❷ 
❶ 
l/2 
3 l 
y3 
- Coordenada local: varia de 0 a l/2 e de 0 a l/2 
 
• É mais conveniente expressar a coordenada local como um valor adimensional 
(facilita a integração e a derivação). 
• Dividindo-se a coordenada local por l/2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
L - coordenada adimensional: varia de 0 a (-1) no nó 1 e 
de 0 a 1 no nó 2 
y2 
y 
l/2 
y1 
❷ 
❶ 
l/2 
L=+1 
L=-1 
3 l 
y3 
L+ 
L- 
L=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Relação entre os sistemas de coordenadas local e global: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
❷ 
❶ 
l 
L+ 
L- 
L=+1 
L=-1 
L=0 
y2 
y 
l/2 
y1 
❷ 
❶ 
l/2 
L=+1 
L=-1 
3 l 
y3 
L+ 
L- 
L=0 
Do local para o global 
Do global para o local 
STEP 2 - SELEÇÃO DO MODELO OU FUNÇÃO DE APROXIMAÇÃO PARA A QUANTIDADE 
DESCONHECIDA 
 
Define-se uma função matemática para se aproximar a distribuição de deslocamentos 
no interior do elemento. 
 
 Funções mais comuns : polinômios 
 São utilizadas funções de interpolação 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 O polinômio mais simples é o que fornece uma variação linear para os 
deslocamentos no interior do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y - coordenada do ponto 
 v(y) - deslocamento em qualquer ponto y do domínio do problema 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variação linear do deslocamento v(y) no interior do elemento 
v1 
v2 
❶ ❷ y 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 DETERMINAÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO PARA UM ELEMENTO DE 
BARRA UTILIZANDO OS POLINÔMIOS DE LAGRANGE: 
 
 O que se quer: 
 
 Definir uma função matemática que aproxime a distribuição dos deslocamentos 
v(y) no interior de um elemento de barra em função dos deslocamentos nodais 
 a função deve satisfazer as condições de contorno do problema. 
 
 Considerando o sistema de coordenadas local L: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
y2 
y 
l/2 
y1 
❷ 
❶ 
l/2 
L=+1 
L=-1 
3 l 
y3 
L+ 
L- 
L=0 
• Tem-se que: 
 
 
• Polinômios de Lagrange: 
 
 
 
 
 
• Mas, 
 
 
 
• Portanto: 
 
 
 
 
 
 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
y2 
y 
l/2 
y1 
❷ 
❶ 
l/2 
L=+1 
L=-1 
3 l 
y3 
L+ 
L- 
L=0 
• Da relação entre os sistemas de coordenadas local, L, e global, y: 
 
• Substituindo em L1(y) e L2(y): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Polinômio aproximante: 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• Polinômio aproximante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [N] – matriz de funções de interpolação; 
 – vetor de deslocamentos nodais 
 – deslocamento na direção y em qualquer ponto do elemento de barra 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
N1 N2 
N1 e N2 - funções de interpolação, 
funções de forma, modelos de 
aproximação ou modelos de interpolação 
para o sistema local de coordenadas L. 
DEFINIÇÃO 
 
 Uma função de interpolação (função de forma, modelo de aproximação ou modelo 
de interpolação) é uma função que assume um valor unitário no ponto nodal a que 
ela se refere e zero nos outrosnós. 
 
• Uma das propriedades da função de interpolação é que sua soma é sempre 
igual a 1. 
 
• Para um mesmo elemento é possível definir diferentes tipos de 
coordenadas locais e funções de interpolação Ni . 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
❶ ❷ 
❶ ❷ 
N1 = 1 
❶ ❷ 
N2 = 1 
STEP 3 - DEFINIR RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO E TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
 Em problemas de análise tensão-deformação, as ações ou causas são as forças e os 
efeitos ou respostas são as deformações e as tensões 
 
 A ligação entre ação e resposta é a lei constitutiva do material 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 a) Relação deformação-deslocamento (1-D) 
 
 - No sistema global de coordenadas (sistema y): 
 
 
 
 - No sistema local de coordenadas utiliza-se a regra da cadeia na 
diferenciação. Para o sistema local de coordenadas L: 
 
 
 
 
 - Como: 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(2) 
(1) 
 Como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo (2) e (3) em (1): 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(3) 
 Matricialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - matriz transformação deformação-deslocamento. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(4) 
b) Relação tensão-deformação ou Relação constitutiva (1-D) 
 
 Assumindo que o material da coluna tenha comportamento linear e elástico: 
 
 
 
 Matricialmente: 
 
 
 
 Substituindo (4) em (5): 
 
 
 
 
 [C] - matriz constitutiva 
 - tensão normal no interior do elemento em função dos deslocamentos na direção y 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(5) 
STEP 4 - DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DOS ELEMENTOS 
 
 As equações de equilíbrio do elemento podem ser determinadas de várias 
maneiras: 
 
 a) Métodos variacionais (princípios baseados na energia potencial ou 
complementar e nos métodos híbridos e mistos) 
 
 b) Métodos dos resíduos ponderados 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Princípio da energia potencial mínima 
 
 “Se um corpo elástico carregado está em equilíbrio sob dadas condições de 
contorno, a energia potencial do corpo deformado assume um valor estacionário 
(que pode ser um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão). No caso dos 
corpos elásticos e lineares em equilíbrio, este valor é um mínimo”. 
 
 
 
OBS: 
 Para a maioria dos problemas resolvidos através do MEF, p é uma função de muitos 
parâmetros (ou deslocamentos nodais ); 
 
 A minimização de p envolve o cálculo variacional, mas resolveremos tomando derivadas de p. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para um elemento finito de uma coluna genérica, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 o potencial total é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 U - energia de deformação por unidade de volume 
 W – trabalho das forças externas 
p1 
p2 
Ty 
1 
2 
l 
3 
𝐘 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 = 
1
2
 𝜎𝑦 𝑦 𝜀𝑦 𝑦 𝑑𝑉 
𝑈
− 𝑌 𝑣 𝑦 𝑑𝑉 − 𝑇 𝑦 𝑣 𝑑𝑆 − 𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑣𝑖
 
𝑊
 
 V - volume; 
 - força de massa (peso) por unidade de volume; 
 - força de superfície por unidade de comprimento ao longo da linha central da 
 coluna idealizada; 
 Si - parte da superfície S onde a carga de superfície atua; 
 Pi - forças concentradas aplicadas aos nós; 
 vi - deslocamento nodal correspondente a Pi 
 m - no de nós aos quais são aplicadas Pi (neste caso, m=2); 
 A - área da seção transversal; 
 E - módulo de elasticidade para o material da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• Se a área da seção transversal, A, do elemento da coluna é constante: 
 
 
 
 
 
• No sistema local L: 
 
 
 
 
 
• Substituindo (7) em (6): 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(6) 
(7) 
𝜋𝑝 =
𝐴 𝑙
4
 𝜎𝑦 𝑦 𝜀𝑦 𝑦 
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴 𝑙
2
 𝑌 𝑣 𝑦 𝑑𝐿 −
𝑙
2
 𝑇 𝑦 𝑣 𝑦 𝑑𝐿 − 𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑣𝑖 
1
−1
 
1
−1
 
𝜋𝑝 =
𝐴
2
 𝜎𝑦 𝑦 𝜀𝑦 𝑦 
𝑦2
𝑦1
𝑑𝑦 − 𝐴 𝑌 𝑣 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑇 𝑦 𝑣 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑣𝑖 
𝑦2
𝑦1
 
𝑦2
𝑦1
 
Matricialmente: 
 
• De: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: foi necessário considerar a transposta da matriz [B] para tornar a multiplicação matricial 
 {y }
T [C] {y} consistente, de modo a produzir valor escalar de energia. 
 
(esta equação representa uma função quadrática expressa em termos dos deslocamentos v1 e v2) 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 =
𝐴 𝑙
4
 𝜀𝑦 𝑦 
𝑇
 𝐶 
1
−1
 𝜀𝑦 𝑦 𝑑𝐿 −
𝐴 𝑙
2
 𝑌 𝑞 𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 −
𝑙
2
 𝑇 𝑦 𝑞 
𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 − 𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑣𝑖 
1
−1
 
1
−1
 
𝜋𝑝 =
𝐴 𝑙
4
 𝑞 𝑇 𝐵 𝑇 𝐶 
1
−1
 𝐵 𝑞 𝑑𝐿 −
𝐴 𝑙
2
 𝑌 𝑞 𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 −
𝑙
2
 𝑇 𝑦 𝑞 
𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 − 𝑃𝑖
2
𝑖=1
𝑣𝑖 
1
−1
 
1
−1
 
• Expandindo os termos da equação: 
 
 
 
 
 
 1O TERMO: Energia interna de deformação elástica, U 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 =
𝐴 𝑙
4
 𝑞 𝑇 𝐵 𝑇 𝐶 
1
−1
 𝐵 𝑞 𝑑𝐿 −
𝐴 𝑙
2
 𝑌 𝑞 𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 −
𝑙
2
 𝑇 𝑦 𝑞 
𝑇 𝑁 𝑇 𝑑𝐿 − 𝑃𝑖
2
𝑖=1
𝑣𝑖 
1
−1
 
1
−1
 
 
2O TERMO: Trabalho das forças externas, W 
 
 
 W1 - Trabalho das forças de massa: 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 W2 - Trabalho das forças de superfície: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 W3 - Trabalho das forças concentradas: 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Somando os termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p - função quadrática de v1 e v2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 =
𝐴𝐸
4𝑙
 (𝑣1
2 − 2𝑣1𝑣2 + 𝑣2
2)
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴𝑙𝑌 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑣1 + (1 + 𝐿)𝑣2 𝑑𝐿 
1
−1
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑣1 + (1 + 𝐿)𝑣2 𝑑𝐿
1
−1
− 𝑃𝑖
2
𝑖=1
𝑣𝑖 
 Impondo a condição de energia potencial estacionária, determina-se o valor 
mínimo de p (condição de equilíbrio), diferenciando a expressão para p em 
relação a v1 e v2 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜕𝜋𝑝
𝜕𝑣2
=
𝐴𝐸
4𝑙
 (−2𝑣1+2𝑣2)
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴𝑙𝑌 
2
 
1
2
 1 + 𝐿 𝑑𝐿 
1
−1
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
 
1
2
 1 + 𝐿 𝑑𝐿
1
−1
− 𝑃2 = 0 
𝜕𝜋𝑝
𝜕𝑣1
=
𝐴𝐸
4𝑙
 (2𝑣1−2𝑣2)
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴𝑙𝑌 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑑𝐿 
1
−1
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑑𝐿
1
−1
− 𝑃1 = 0 
 INTEGRAÇÃO (simples no caso 1-D):MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝐴𝐸
4𝑙
 (2𝑣1−2𝑣2)
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴𝑙𝑌 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑑𝐿 
1
−1
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
 
1
2
 1 − 𝐿 𝑑𝐿
1
−1
− 𝑃1 = 0 
𝐴𝐸
4𝑙
 (−2𝑣1+2𝑣2)
1
−1
𝑑𝐿 −
𝐴𝑙𝑌 
2
 
1
2
 1 + 𝐿 𝑑𝐿 
1
−1
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
 
1
2
 1 + 𝐿 𝑑𝐿
1
−1
− 𝑃2 = 0 
𝐴 𝐸
4 𝑙
(𝑣1−𝑣2) −
𝐴 𝑙 𝑌 
2
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
− 𝑃1 = 0 
𝐴𝐸
4𝑙
(−𝑣1+𝑣2) −
𝐴 𝑙 𝑌 
2
−
𝑇 𝑦 𝑙 
2
− 𝑃2 = 0 
 
 Matricialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta equação fornece uma expressão que pode ser usada repetidamente na 
determinação das relações de equilíbrio para todos os elementos. 
 
 [k] - matriz de rigidez do elemento; 
 [q] - vetor de deslocamentos nodais no elemento. 
 [Q] - vetor de cargas nodais no elemento composto pelas forças de massa (gravidade ), forças de 
superfície e cargas concentradas nos nós; 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Equação de equilíbrio para cada elemento 
finito de barra da discretização. 
 Nos problemas que envolvem um grande número de incógnitas, a diferenciação 
de p em relação às várias incógnitas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, 
matriz de rigidez do elemento. 
vetor de cargas nodais no elemento 
composto pelas forças de massa 
(gravidade), forças de superfície e 
cargas nodais. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 =
𝐴 𝑙
4
 𝑞 𝑇 𝐵 𝑇 𝐶 
1
−1
 𝐵 𝑞 𝑑𝐿 −
𝐴 𝑙
2
 𝑌 𝑁 𝑞 𝑑𝐿 −
𝑙
2
 𝑇 𝑦 𝑁 𝑞 𝑑𝐿 − 𝑃𝑖
2
𝑖=1
𝑣𝑖 
1
−1
 
1
−1
 
𝐴 𝑙
4
 𝐵 𝑇 
2𝑥1
 𝐶 
1𝑥1
1
−1
 𝐵 
1𝑥2
 𝑞 
2𝑥1
 𝑑𝐿 =
𝐴 𝑙
2
 𝑁 𝑇 
2𝑥1
𝑌 
1𝑥1
𝑑𝐿 + 
1
−1
𝑙
2
 𝑁 𝑇 
2𝑥1
𝑇 𝑦 
1𝑥1
 𝑑𝐿 
1
−1
+ 𝑃𝑖𝑒 
2𝑥1
 
 STEP 5 - MONTAGEM DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS GLOBAIS E INTRODUÇÃO DAS 
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
 
 
 Consideramos, na determinação da equação de equilíbrio somente um elemento. 
Entretanto, o que nos interessa, é o equilíbrio da estrutura como um todo, composta 
de vários elementos. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 No caso de uma coluna discretizada em três elementos (4 nós, em que a numeração 
dos nós começa do topo da coluna), submetida a somente uma carga concentrada, P, 
no topo: 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
P 
1 
2 
4 
3 
Elemento 1 A1, E1, l1 
P1
(1) 
P2
(1) 
1 
2 
Elemento 2 A2, E2, l2 
P1
(2) 
P2
(2) 
1 
2 
Elemento 3 A3, E3, l3 
P1
(3) 
P2
(3) 
1 
2 
Elem. 1 
1 
2 
4 
3 
y 
Elem. 3 
Elem. 3 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
3 
4 
v1
1 v1 
GLOBAL 
 Desl. 
 
LOCAL 
 Nó 
 
Nó 
 
Desl. 
 
v2 
v3 
v4 
v1
3 
v2
1 
v2
3 
v1
2 
v2
2 
 A coordenada global y tem origem no topo da coluna e é positiva para baixo: 
 conveniente já que a carga P atua para baixo e será positiva, bem como os 
deslocamentos. 
 
 (y pode ser medido em qualquer sentido ao longo da coluna a partir de qualquer 
ponto que seja conveniente e a numeração dos nós feita de outro modo). 
 
 Pode-se escrever a energia potencial p para cada elemento do conjunto e somá-
las para se obter a energia potencial total da estrutura p,total : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
𝜋𝑝 ,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑝 ,𝑒
𝑚
𝑒=1
=
𝐴1𝐸1
4 𝑙1
 𝑣1
2 − 2𝑣1𝑣2 + 𝑣2
2 
1
−1
𝑑𝐿 +
𝐴2𝐸2
4 𝑙2
 𝑣2
2 − 2𝑣2𝑣3 + 𝑣3
2 
1
−1
𝑑𝐿
+
𝐴3𝐸3
4 𝑙3
 𝑣3
2 − 2𝑣3𝑣4 + 𝑣4
2 
1
−1
𝑑𝐿 − 𝑃1
(1)
𝑣1 − 𝑃1
 1 + 𝑃1
 2 𝑣2
− 𝑃2
 2 + 𝑃1
 3 𝑣3 − 𝑃2
 3 𝑣4 
• Assumiram-se valores diferentes de A, E, l, e para cada elemento e o subscrito e 
refere-se ao número do elemento; 
 
• O superscrito em P refere-se ao elemento em consideração; 
 
• M é o número total de elementos. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para se obter uma relação de equilíbrio global minimiza-se o potencial total com 
relação aos quatro deslocamentos nodais v1, v2, v3 e v4: 
 
 
 
 De maneira análoga são calculadas as expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Efetuando-se as integrações e rearrumando as 4 equações resultantes obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
[K] - matriz de rigidez do conjunto 
 {r} = vetor de deslocamento nodal do conjunto 
{R}  vetor de cargas nodais do conjunto 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 















































































)3(
2
)3(
1
)2(
2
)2(
1
)1(
2
)1(
1
4
3
2
1
3
33
3
33
3
33
3
33
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
1
11
1
11
1
11
P
PP
PP
P
v
v
v
v
EAEA
00
EAEAEAEA
0
0
EAEAEAEA
00
EAEA
ll
llll
llll
ll
     RrK 
 ALTERNATIVAMENTE À MINIMIZAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL EM RELAÇÃO AOS 
QUATRO DESLOCAMENTOS NODAIS v1, v2, v3 e v4: 
 
 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA 
 
 
 Os coeficientes de rigidez correspondentes aos nós comuns para os elementos 1, 2 e 3 são 
somados. Do mesmo modo, as cargas nos nós comuns são somadas. 
 
 Obtem-se a matriz de rigidez do conjunto (estrutura) adicionando-se as matrizes individuais 
dos elementos através do processo de rigidez direta. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para cada elemento finito tem-se uma equação de equilíbrio do tipo: 
 
 
 
 
 Para o elemento 1: 
 
 
 Para o elemento 2: 
 
 
 Para o elemento 3: 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 

























1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
11
P
P
vv
vv
11
11EA
l

























2
2
2
1
3
2
2
2
2
1
2
22
P
P
vv
vv
11
11EA
l

























3
2
3
1
4
3
2
3
3
1
3
33
P
P
vv
vv
11
11EA
l
 ELEMENTO 1: 
 
GLOBAL 1 2 
 LOCAL 1 2 
1 1 
2 2 
 
 
ELEMENTO 2: 
 
GLOBAL 2 3 
 LOCAL 1 2 
2 1 
3 2 
 
 
ELEMENTO 3: 
 
GLOBAL 3 4 
 LOCAL 1 2 
3 1 
4 2 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Elem. 1 
1 
2 
4 
3 
y 
Elem. 3 
Elem. 3 
12 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
3 
4 
v1
1 v1 
GLOBAL 
 Desl. 
 
LOCAL 
 Nó 
 
Nó 
 
Desl. 
 
v2 
v3 
v4 
v1
3 
v2
1 
v2
3 
v1
2 
v2
2 

























1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
11
P
P
vv
vv
11
11EA
l

























2
2
2
1
3
2
2
2
2
1
2
22
P
P
vv
vv
11
11EA
l

























3
2
3
1
4
3
2
3
3
1
3
33
P
P
vv
vv
11
11EA
l
 Para “juntar” estas relações, na determinação das equações de equilíbrio da estrutura 
(formada pelo conjunto dos 3 elementos), observa-se que o número total de graus de 
liberdade globais são 4. 
 
 Equações de equilíbrio do conjunto, referidas ao sistema global de coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por exemplo: o coeficiente da matriz de rigidez para o elemento 2 corresponde à posição (2, 
2) da matriz [k] local é adicionado na matriz de rigidez global na posição (3, 3). 
 O processo é análogo para as cargas nodais. 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
   
   
  










































































3
2
3
1
2
2
2
1
1
2
1
1
4
3
2
3
3
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
3
33
3
33
3
33
3
33
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
1
11
1
11
1
11
P
PP
PP
P
vv
vvv
vvv
vv
EAEA
00
EAEAEAEA
0
0
EAEAEAEA
00
EAEA
4
3
2
1
4321
ll
llll
llll
ll
 CONDIÇÕES DE CONTORNO 
 
 
 Condição de contorno: valor prescrito de deslocamento ou de seu(s) gradiente(s) em uma 
parte do contorno da estrutura  indica como a coluna está apoiada no espaço. 
 
 
 É necessário considerar as condições físicas que suportam a coluna no espaço já que as 
propriedades de rigidez da coluna só são mobilizadas quando a coluna esta apoiada. 
 
 
 Após as condições de contorno terem sido introduzidas, tem-se uma estrutura capaz de 
suportar cargas aplicadas. Sem as condições de contorno, a matriz de rigidez do conjunto, [K], 
é singular, ou seja, o determinante é nulo, e portanto, existe um número infinito de soluções 
do sistema de equações acima. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 STEP 6: RESOLVER O SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA OS DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 O sistema de equações obtido para a coluna é linear 
 
 
 As variáveis são os deslocamentos nodais v1, v2 e v3 sendo v4 conhecido; 
 
 
 As equações podem ser resolvidas utilizando-se métodos diretos, iterativos ou outros 
métodos; 
 
 
 Métodos diretos: envolvem eliminação e retro-substituição  método de eliminação de 
Gauss. 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 STEP 7: OBTENÇÃO DE GRANDEZAS SECUNDÁRIAS: DEFORMAÇÕES E TENSÕES 
 
 
 Para a formulação do MEF em deslocamentos baseada na energia potencial, os 
deslocamentos nodais são as variáveis primárias; 
 
 
 A partir das variáveis primárias, deslocamentos podem ser obtidas variáveis secundárias 
 
 
 Variáveis secundárias nos problemas de análise tensão-deformação: 
 
 - deformações 
 - tensões 
 - momentos 
 - forças de cisalhamento, etc. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 STEP 8: INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
 
 GRÁFICOS: deslocamentos, tensões, deformações. 
 
 
 A PRECISÃO DA APROXIMAÇÃO ESCOLHIDA VAI DEPENDER DO TIPO DE 
CARREGAMENTO, DA GEOMETRIA E DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL E PODE SER 
MELHORADA ATRAVÉS DE DOIS MODOS 
 
 i) utilizando-se uma malha mais fina; 
 ii) utilizando-se modelos de aproximação de ordens superiores; 
 
 
 A decisão de se empregar i) ou ii) vai depender das características do problema. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
TEMAS DA AV1 
DISCRETIZAÇÃO BIDIMENSIONAL 
 
 Seja o carregamento aplicado na superfície de um terreno mostrado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 Se o objetivo do problema é conhecer a distribuição de deslocamentos, tensões e 
deformações nas camadas de solo, pode-se propor a seguinte discretização em elementos 
finitos: 
 
Solo 1 
Solo 2 
Rocha (indeslocável) 
y 
x 
50 kN/m 
50 kN/m 
1 
55 
3 2 
44 
33 
22 
11 9 8 7 6 5 4 
17 16 15 14 13 12 18 
10 
29 27 26 25 24 23 28 
21 20 19 
48 
30 31 32 
40 34 35 36 37 38 39 41 42 43 
45 46 47 49 50 51 52 53 54 
DISCRETIZAÇÃO BIDIMENSIONAL 
 
 Seja o carregamento concentrado aplicado na superfície de um terreno mostrado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 Se o objetivo do problema é conhecer a distribuição de deslocamentos, tensões e 
deformações nas camadas de solo, pode-se propor a seguinte discretização em elementos 
finitos: 
 P 
1 
55 
3 2 
44 
33 
22 
11 9 8 7 6 5 4 
17 16 15 14 13 12 18 
10 
29 27 26 25 24 23 28 
21 20 19 
48 
30 31 32 
40 34 35 36 37 38 39 41 42 43 
45 46 47 49 50 51 52 53 54 
Solo 1 
Solo 2 
Rocha (indeslocável) 
y 
x 
P 
EXERCÍCIO 
 
 Seja a coluna, composta de dois materiais diferentes, e carregada por uma carga concentrada 
P de 10 kN, conforme ilustra a figura. 
 
a) Discretizar a coluna em 4 elementos finitos de 2 nós; 
b) Montar as equações de equilíbrio de cada elemento finito da discretização; 
c) Montar o sistema de equações de equilíbrio da estrutura 
 
Dados: 
 
a) Material 1: 
 A1 = 0,3 m
2 ; E1 = 76 GPa ; l1 = 1,0 m 
 
b) Material 2: 
 A2 = 0,3 m
2 ; E2 = 90 GPa ; l2 = 1,6 m 
 
 
y 
P 
L 
l2 
l1 
 
a) Discretizar a coluna em 4 elementos finitos de 2 nós; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
P 
L 
l2 
l1 
P 
l2/2 
1 
l2/2 
l1/2 
l1/2 
2 
3 
5 
4 
Elem. 1 
Elem. 2 
Elem. 4 
Elem. 3 
elemento 
finito típico 
1 
2 
l 
 
b) Montar as equações de equilíbrio de cada elemento finito da discretização: 
 
Equações de equilíbrio do elemento típico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
elemento 
finito típico 
2 
1 
l 
b) Montar as equações de equilíbrio de cada elemento finito da discretização: 
 
 - Elemento 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Elemento 2: 
 
 
 
 
 
P 
l2/2 
1 
l2/2 
l1/2 
l1/2 
2 
3 
5 
4 
Elem. 1 
Elem. 2 
Elem. 4 
Elem. 3 
 - Elemento 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Elemento 4: 
 
 
 
 
 
P 
l2/2 
1 
l2/2 
l1/2 
l1/2 
2 
3 
5 
4 
Elem. 1 
Elem. 2 
Elem. 4 
Elem. 3 
c) Montar o sistema de equações de equilíbrio da estrutura 
 - Matriz de rigidez da estrutura: método da rigidez direta 
 
 
 
P 
l2/2 
1 
l2/2 
l1/2 
l1/2 
2 
3 
5 
4 
Elem. 1 
Elem. 2 
Elem. 4Elem. 3 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 0 0 0 
−
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
+
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 0 0 
0 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
+
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 0 
0 0 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
+
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
0 0 0 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
 
2 
1 
elemento 
finito típico 
 - Vetor de deslocamentos nodais: 
 
 
 
 
 
 
 - Vetor de forças 
 
 
 
P 
l2/2 
1 
l2/2 
l1/2 
l1/2 
2 
3 
5 
4 
Elem. 1 
Elem. 2 
Elem. 4 
Elem. 3 
Equações de equilíbrio da estrutura 
 
 
 
 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 0 0 0 
−
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
+
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 0 0 
0 −
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
 
𝐴1 𝐸1
4 (𝑙1/2)
+
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 0 
0 0 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
+
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
0 0 0 −
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
𝐴2 𝐸2
4 (𝑙2/2)
 
 
 
Atribuindo os valores de área, módulo de elasticidade e comprimento do elemento: 
 
 
 
 
11,4 (10)6 −11,4 (10)6 0 0 0 
−11,4 (10)6 22,8(10)6 −11,4 (10)6 0 0 
0 −11,4 (10)6 19,84(10)6 −8,44(10)6 0 
0 0 −8,44(10)6 16,88(10)6 −8,44(10)6 
0 0 0 −8,44(10)6 8,44(10)6