Função quadrática

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Prof. Jorge
Função quadrática:
a função geral de 2º grau
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Função quadrática ou função de 2º grau é toda 
função do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c
Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.
O Domínio de toda função quadrática é IR.
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Exemplos
 y = f(x) = x2 + 3x – 1
é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
 y = f(x) = –x2 + 5
é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
 y = f(x) = –2x2 + 4x
é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
 y = f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.
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Funções quadráticas elementares.
y = x2 y = –x2e
 Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda 
a = –1.
 Domínio é o conjuntos dos números reais (R).
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Veja seus gráficos 
 y = x2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–2
–1
4 5–4–5
4
5
42
11
00
1–1
4–2
y = x2x
y = x2
Im = [0, +∞[ Mínimo = 0
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Veja seus gráficos 
 y = – x2.
x
y
0
1 2 3–3 –2 –1
–2
–1
4 5–4–5
– 42
– 11
00
– 1–1
– 4–2
y = – x2x
y = – x2
–3
–4
Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0
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A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso
geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c.
 Os gráficos de funções quadráticas são curvas 
chamadas parábolas.
 O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é 
chamado de vértice.
 A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo
da parábola.
 Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima.
 Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para 
baixo.
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Veja um resumo.
V
V
eixo da 
parábola
eixo da 
parábola
a > 0 a < 0
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Eixo de simetria.
V
eixo de simetria 
da parábola
A A1
B B1
C1
D1
C
D
r1
r2
r3
r4
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Funções quadráticas
em que b = c = 0.
(y = ax2)
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1º. Caso: a > 0 
x
y
 y = 2x2
 y = x2
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
Im = [0, +∞[
Mínimo = 0
⇓
 y = x2
1
2
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2º. Caso: a < 0 
x
y
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
 y = –2x2
 y = –x2
Im = ]–∞, 0]
Máximo = 0
⇓
 y = x2
–1
2
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Funções quadráticas
em que b = 0 c ≠ 0
(y = ax2 + c)
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Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0
e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2.
Desloca-se esse último para cima ou para baixo,
conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo,
respectivamente.
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1º. Caso: a > 0 
x
y
 y = x2 + 2
 y = x2
0
Im = [0, +∞[
 y = x2 – 1
Im = [2, +∞[
Im = [–1, +∞[
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), 
V(0, 2) e V(0, –1).
2
–1
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2º. Caso: a < 0 
x
y
0
 y = –x2 + 1
 y = –x2 Im = ]– ∞, 0]
 y = – x2 – 2
Im = ]– ∞, 1]
Im = ]–∞, –2]
1
–2
 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
 O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), 
V(0, 1) e V(0, –2).
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Funções quadráticas
em que b ≠ 0 (caso geral)
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Vamos analisar, agora, o caso mais geral da
função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o
caso em que o coeficiente b é diferente de 0.
Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo
y das ordenadas.
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Caso geral: b ≠ 0 
x
y
0 xv
V xV = 
–b
2a
yv
yV = 
–
4a
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x
y
x
y
No caso, essa ordenada é
V
V
 O mínimo da função (a > 0)  O máximo da função (a < 0)
yV
yV
⇒ Im = [yV, +∞[ ⇒ Im = ]–∞, yV]
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Exemplos
 Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R, 
obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5
Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um 
valor mínimo.
A abscissa do vértice é: xV = 
–b
2a
= 
–(–8)
2.2
= 2 
O mínimo da função ocorre para x = 2. 
y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5 = –3
Im = [–3, +∞[V (2, –3)
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Exemplos
 Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R, 
obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um 
valor máximo.
A abscissa do vértice é: xV = 
–b
2a
= 
–(3)
2.(–1)
= 3/2 
O máximo da função ocorre para x = 3/2. 
y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1 = 13/4
V (3/2, 13/4) Im = ]–∞, 13/4]
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Exemplo
 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80.
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um 
valor máximo.
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Exemplo
 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: 
= 
2.(–5)
= 3 s t = 
–b
2a
–(30)
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Exemplo
 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. 
h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m
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Exemplo
 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0. 
h(t) = 0 ⇒ –5t2 + 30t + 80 = 0 ⇒ t2 - 6t – 16 = 0
⇒ t = –2 ou t = 8 
⇒ t = 8 s 
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Veja o gráfico da função 
h(t) = –5t2 – 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Raízes da função 
quadrática
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Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x)
são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos
pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.
Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as
raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.
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Número de raízes da equação de 2º grau
 Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmulade
Bhaskara
O número real  é o discriminante da equação. O valor dele
indica se a função tem ou não raízes reais.
  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
  = 0 ⇔ tem uma raíz real.
  < 0 ⇔ não tem raízes reais.
a2
b
x


sendo  = b2 – 4ac
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Exemplos
 Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da
função y = 3x2 – x – 2.
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac ⇒  = (–1)2 – 4.3.(–2) ⇒  = 25
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3
⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) 
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no 
ponto (0, –2) 
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Veja o gráfico da função 
y = 3x2 – x – 2
x
y
0 1/6
1–2/3
–2
–25/12
y > 0 para x < –2/3 ou x > 1.
y < 0 para –2/3 < x < 1.
Raiz
Raiz
= 
2.(3)
= 1/6 xV = 
–b
2a
–(–1)
x y
–2/3 0
1 0
0 –2
1/6 –25/12
y > 0y > 0
y < 0
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Exemplos
 Na função quadrática y = x2 + 2x + 3, mostrar que y > o
para todo x real.
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac ⇒  = (2)2 – 4.1.(3) ⇒  = –8
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no 
ponto (0, 3) 
 < 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta 
o eixo x.
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Veja o gráfico da função 
y = x2 + 2x + 3
x
y
0
3
2
–1
y > 0 para todo x real.
–2
3–2
2–1
30
yx
= 
2.(1)
= –1 xV = 
–b
2a
–2
+ + + + + +
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Veja o gráfico da função 
y = –x2 + 4x – 4
x
y
0
4
–4
x y
2 0 
0 –4
4 –4
2
Raiz
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Construção do gráfico da função do 2.º grau
Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y  IR.
1º passo: determinar as raízes da função
x2 – 6x + 8 = 0
∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32
∆ = 4
2'x'
4x'
2.1
46)(
x



2º passo: estudo da concavidade
a = +1  concavidade para cima
a = 1
b = -6
c = 8
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3º passo: determinar o vértice da parábola
3
2
24
V
2
'x'x'
V
x
x





Vy = 3
2 – 6 . 3 + 8
Vy = 9 – 18 + 8
Vy = -1
V = (3, -1)
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0)
f(x) = x2 - 6x + 8
f(0) = 02 – 6.0 + 8
f(0) = 8
Temos então o ponto (0,8)
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5º passo: esboço do gráfico
f(x) = x2 – 6x + 8
Termo 
independente
Raízes da função
Vértice
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