EP10 Met_Est_I Tutor CEDERJ UFRRJ

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 10
2o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. Assuma que existem duas caixas de tal forma que na primeira caixa ha´ 3 bolas brancas e 7 pretas
e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola
e verifica-se que ela e´ preta. Qual a probabilidade de que a caixa onde foi extra´ıda a bola seja a:
(a) A primeira?
(b) A segunda?
2. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro e´ de 3
4
, de um indiv´ıduo de
classe B e´ 1
6
e um indiv´ıduo de classe C e´ 1
20
. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe
A comprar um carro da marca D e´ 1
10
, do indiv´ıduo da classe B e´ 3
5
e de um indiv´ıduo da
classe C e´ 3
10
. Em certa loja, um carro da marca D foi vendido. Qual a probabilidade de que
o comprador tenha sido da classe B ?
3. Em certo cole´gio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais de de 1,80 m de altura. Por outro
lado, 60% dos estudantes sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado aleatoriamente e tem mais
de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja uma mulher?
4. Treˆs ma´quinas ( A , B e C ) produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de pec¸as de
uma fa´brica. As porcentagens de pec¸as defeituosas nas respectivas ma´quinas sa˜o 3%, 5% e 2%.
Uma pec¸a e´ sorteada ao acaso e verifica-se que e´ defeituosa. Qual a probabilidade de que a pec¸a
tenha vindo da ma´uina B .
5. Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma populac¸a˜o tem tuberculose. Das pessoas que tem tu-
berculose, 80% reagem positivamente ao teste Y , enquanto que apenas 30% dos que na˜o tem
tuberculose reagem positivamente ao teste Y . Uma pessoa da populac¸a˜o e´ selecionada ao acaso
e o teste Y e´ aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se ela reagiu
positivamente ao teste?
6. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construc¸a˜o. Se seu principal
concorrente apresenta uma proposta, ha´ apenas 25% de chance de a sua firma ganhar a con-
correˆncia. Se seu concorrente na˜o apresenta a proposta, ha´ 2
3
de chance de a sua firma ganhar
a concorreˆncia. A chance de seu principal concorrente apresnetar proposta e´ de 50%.
(a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorreˆncia?
(b) Qual a probabilidade de seu principal concorrente ter apresentado a proposta, dado que a
sua firma ganhou a concorreˆncia?
1
Soluc¸o˜es:
1.
Sejam os eventos:
1 : “selecionar a caixa 1”;
2 : “selecionar a caixa 2”;
B : “selecionar uma bola branca”;
P : “selecionar uma bola preta”;
(P |1) : “bola preta na caixa 1”;
(P |2) : “bola preta na caixa 2”.
Assim, temos as probabilidades:
P (1) = P (2) = 1
2
. Pois temos duas caixas equiprova´veis.
a)
Estamos interessados em P (1|P ) . Pelo Teorema de Bayes:
P (1|P ) = P (1)P (P |1)
P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) .
Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7
10
.
Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5
6
.
Assim:
P (1|P ) =
1
2
× 7
10
1
2
× 7
10
+ 1
2
× 5
6
=
7
10
7
10
+ 5
6
=
7
10
21+25
30
=
21/30
46/30
=
21
46
.
b)
Estamos interessados em P (2|P ) . Pelo Teorema de Bayes:
P (2|P ) = P (2)P (P |2)
P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) .
Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7
10
.
Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5
6
.
Assim:
P (2|P ) =
1
2
× 5
6
1
2
× 7
10
+ 1
2
× 5
6
=
5
6
7
10
+ 5
6
=
5
6
21+25
30
=
25/30
46/30
=
25
46
.
2.
Temos as seguintes probabilidades:
P (A) = 3
4
; P (B) = 1
6
; P (C) = 1
20
; P (D|A) = 1
10
; P (D|B) = 3
5
; P (D|C) = 3
10
.
Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Teorema de Bayes:
P (B|D) = P (B)P (D|B)
P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) .
2
Logo:
P (B|D) =
1
6
× 3
5
3
4
× 1
10
+ 1
6
× 3
5
+ 1
20
× 3
10
=
3/30
3
40
+ 3
30
+ 3
200
.
(multiplicando por 10)
P (B|D) = 3/3