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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. André Luís Corte Brochi CÁLCULO VETORIAL Cálculo Diferencial e Integral II Vetores: importantes para que possamos definir um tipo de função que nos permitirá, por exemplo, representar o movimento de uma partícula fornecendo, além da magnitude, a direção e o sentido em que ele ocorre: função vetorial (ou função a valores vetoriais). PRODUTO ESCALAR Cálculo Diferencial e Integral II EXERCÍCIO 1 Cálculo Diferencial e Integral II Dados os vetores e , verifique se são ortogonais. FUNÇÃO VETORIAL Cálculo Diferencial e Integral II Considere que, no decorrer do tempo, uma partícula vai ocupando diferentes posições no plano. Essas posições são representadas por pares ordenados (x,y). Num instante t0 , por exemplo, ela ocupa a posição (x0,y0). A cada ponto dessa curva, podemos associar um vetor. FUNÇÃO VETORIAL Cálculo Diferencial e Integral II Se estamos considerando que a cada instante t está associado um par ordenado (x,y) que descreve uma curva no plano, então podemos considerar as variáveis x e y como funções de t : e é uma função vetorial ou função a valores vetoriais EXERCÍCIO 2 Cálculo Diferencial e Integral II Considere a função em que Determine seus valores para t = –1, t = 0, t = 1 e t = 2. Em seguida, esboce seu gráfico. Cálculo Diferencial e Integral II Cálculo Diferencial e Integral II EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Cálculo Diferencial e Integral II Considere uma reta r, no plano, que passa por um ponto específico P0 = (x0 ,y0) e é paralela a um vetor v = (a,b) . Vamos tomar um ponto genérico P = (x,y) da reta r. Podemos considerar que existe t R tal que: ou Equações paramétricas da reta r : EXERCÍCIO 3 Cálculo Diferencial e Integral II Obtenhas as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P0 = (–2,1,3) e é paralela ao vetor .4,6,5 v DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS Cálculo Diferencial e Integral II ktzjtyitxtrktzjtyitxtr '''' EXERCÍCIO 4 .20 com , 2 cos sen tk t jttitttr Um móvel descreve trajetória curvilínea dada pela função vetorial Determine sua velocidade no instante t = . Cálculo Diferencial e Integral II Cálculo Diferencial e Integral II INTEGRAIS DE FUNÇÕES VETORIAIS Cálculo Diferencial e Integral II .kdttzjdttyidttxdttrktzjtyitxtr EXERCÍCIO 5 A função vetorial representa o vetor velocidade de uma partícula para qualquer instante t de 0 a 10 segundos. Sabendo que no instante t = 0 essa partícula ocupava a posição (0,1,1) como podemos determinar a sua função posição na forma vetorial? kejtittv t 212 Cálculo Diferencial e Integral II VETOR TANGENTE UNITÁRIO E VETOR NORMAL UNITÁRIO Cálculo Diferencial e Integral II tT tT tN tr tr tT ktzjtyitxtr ' ' ' ' EXERCÍCIO 6 Dada a curva obtenha os vetores tangente unitário e normal unitário no instante t = 2? kjtittv 5323 Cálculo Diferencial e Integral II COORDENADAS POLARES Cálculo Diferencial e Integral II EXERCÍCIO 7 122 yx A equação define uma circunferência de centro em (0,0) e raio de medida igual a 2. Represente-a na forma polar. Cálculo Diferencial e Integral II FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL Cálculo Diferencial e Integral II EXERCÍCIO 8 Dada a função determine as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. nxxxfw ,...,, 21 yxyxyxf 22),( Cálculo Diferencial e Integral II REGRA DA CADEIA Cálculo Diferencial e Integral II EXERCÍCIO 10 dt dy y f dt dx x f dt dz yxfz ),( Seja uma função de duas variáveis dada por em que e . Obtenha a derivada de z em relação a t. ),( yxfz yxyxyxf 2),( 2 tx cos 5 2 ty Cálculo Diferencial e Integral II
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