C2 Vetores 2008

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Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 19 
 
 
 
2.1 - Definição e Projeção 
de Vetores 
 
Definição: Vetores são grandezas 
matemáticas utilizados para representações 
físicas de uma grandeza, que possuem, além da 
intensidade, também direção e sentido no 
espaço físico. Um vetor tem uma origem (A) e 
uma extremidade (B). Se a grandeza física que 
atua no corpo tiver de representar outras 
características, além das três coordenadas, 
atuando em outros setores do corpo físico, como 
tensão, tração, pressão, densidade e formato do 
corpo caracterizará outros espaços adicionais e 
então só poderá ser representado através de um 
tensor. O vetor é um caso particular de tensor. 
Representação de um vetor no espaço 
tridimensional. 
 
 
Em um Sistema de Coordenadas Cartesiano ou 
Retangular o vetor F
r
 pode ser escrito como 
combinação linear de seus eixos coordenados 
que são ortogonais e linearmente independentes 
( L.I. ): 
 
)kcosjcosi(cosFˆFF zyx
rrrr θ+θ+θ=λ= 
 
onde λˆ é o versor ou vetor unitário que fornece 
a direção e sentido do vetor F
r
. O versor é 
composto pelos cossenos diretores, ou seja, que 
dão a direção do vetor F. 
 
 
 
 
 
 
onde θx , θy e θz são os ângulos diretores do 
vetor, ou seja, o ângulo que o vetor faz com 
cada eixo coordenado com na figura: 
 
kcosFjcosFicosFF zyx
rrrr θ+θ+θ= 
Os cossenos diretores compõem o versor do 
vetor F: 
kji zyx
rrr θ+θ+θ=λ coscoscosˆ 
 
Como :1=λr 
 
1coscoscos 222 =θ+θ+θ zyx 
 
 
 
Conhecendo-se os ângulos diretores θx , θy e θz, 
o vetor F
r
 pode ser escrito através de suas 
projeções nos eixos. 
 
O vetor posição da força em relação à origem O 
do sistema de coordenadas é representada pela 
posição de qualquer ponto da linha de ação das 
forças em relação a O. Podemos representá-lo 
em qualquer sistema de referência, como uma 
diferença de pontos: 
 
OAr −=r 
 
ou OPr −=r , ou ODr −=r 
 
No sistema de coordenadas cartesianas: 
 
k)zz(j)yy(i)xx(r OAOAOA
rrrr −+−+−= 
 
θy 
O ≡A
 F
r
 
z
x
y
B 
θx
θ=θz
 Fy
 Fx
 Fz
ϕ 
extremidade B
origem A 
vetor F
r
 FF =r = intensidade do vetor
z 
x 
y
O 
A 
B λˆ
λˆ 
C r
r
 
___________________________________________________________ 
Capítulo 2 
Vetores 
___________________________________________________________ 
D
20 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
O versor λˆ que indica a direção do vetor F pode 
ser obtido pela razão entre a diferença entre 
pontos que estão na mesma linha de ação da 
força fazendo o sentido como o ponto da 
extremidade do vetor menos a origem do vetor, 
sobre o módulo desta diferença. 
AD
AD
F
Fˆ
−
−==λ r
r
 
D – A = coordenadas do ponto D menos do 
ponto A (extremidade menos origem). 
k)zz(j)yy(i)xx(AD ADADAD
rrr −+−+−=− 
2
AD
2
AD
2
AD )zz()yy()xx(AD −+−+−==− l 
 
Em coordenadas cartesianas ou retangulares os 
pontos possuem suas três coordenadas: 
 
D ≡ ( xD ; yD ; zD ) 
A ≡ ( xA ; yA ; zA ) ; 
D – A = ( xD – xA ; yD – yA ; zD – zA ) 
 
kFjFiFF zyx
rrrr ++= 
 
222
zyx FFFF ++= 
 
kcosjcosicosk
F
Fj
F
F
i
F
F
F
Fˆ
zyx
zyx
rrrrrrr θ+θ+θ=++==λ
 
Cossenos diretores e ângulos diretores com os 
eixos coordenados, dados por: 
 
F
Fcos xx =θ ⇒ F
Fcosarc xx =θ 
 
F
F
cos yy =θ ⇒ F
F
cosarc yy =θ 
 
F
Fcos zz =θ ⇒ F
Fcosarc zz =θ 
 
kcosFjcosFicosFF zyx
rrrr θ+θ+θ= 
 
Outra forma de escrever o vetor F seria 
utilizando o módulo de F e os ângulos das 
coordenadas esféricas θ=θz e ϕ da figura acima: 
 
kFjsenFiFF
rrrr θ+ϕθ+ϕθ= coscoscoscos 
 
No plano: 
No caso de um vetor bidimensional sua 
combinação linear será em função apenas de 2 
versores jei
rr
: 
 
 
 
jFiFF yx
rrr += 
jFiFF yx
rrr θ+θ== coscos 
ji yx
rr θ+θ=λ coscosˆ 
1coscos 22 =θ+θ yx 
onde : 
 
 Fx = F cos θx = F sen θy e 
 
 Fy = F sen θy = F cos θx 
 
Observe que para se projetar o vetor sobre um 
eixo multiplica-se o módulo do vetor pelo: 
(a) cosseno do ângulo que está “em baixo” do 
vetor quando ele se projeta, ou seja, o 
ãngulo entre o vetor e sua projeção; 
(b) ou então pelo seno do ângulo que esta nas 
“costas” do vetor de onde ele vai se projetar, 
ou seja, o seno do ângulo que está entre o 
vetor e o eixo que está a 90° do eixo onde 
ele se projeta. 
 
 
 
 
 
O módulo do vetor é dado por: 
 
22
yx FFFF +==
r
 
 
e seus ângulos diretores são: 
x
y
x F
F
arctg=θ 
 
Fx = F cos θx 
 Fy =F cos θy
θx
θy F 
 x 
 y (a) 
(a) para projetar multiplica-se o módulo do vetor 
F pelo cosseno do ângulo que está entre o vetor 
e o local onde ele vai se projetar . 
y
x O
F
r
Fx 
Fy  
θx
θy
 Fx = F sen θy 
 Fy = F sen θx 
 F 
 x 
 y (b) 
(b) para projetar multiplica-se o módulo do vetor 
F pelo seno do ângulo que está entre o vetor e o 
eixo a 90° de onde ele vai se projetar. 
θy
θx 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 21 
 
 
y
x
y F
Farctg=θ 
 
Desta forma um vetor F
r
 têm as 3 características 
gerais importantes: 
 
a) Módulo ou Intensidade ou Tamanho do 
vetor: F
r
onde no exemplo abaixo é igual a 
4,5 unidades de medida 
 
 
b) Direção : a direção é designada indicando o 
ângulo que o vetor faz com a horizontal. 
Uma direção tem dois sentidos 
 
c) Sentido: dada uma direção, dela resultam 
dois sentidos: diagonal para cima ou 
diagonal para baixo. 
 
 
 De forma geral, a direção e sentido se 
designam com o ângulo α (0 ≤ α ≤ 360º) que o 
vetor faz com a horizontal ou eixo x. 
 
 
2.2 - Sistemas de 
 Coordenadas 
 
Um vetor pode ser colocado em Sistemas de 
Coordenadas distintos, mas antes disso vamos 
definir de forma rápida o que chamamos de 
Propriedades das Transformações Ortogonais. 
Um Sistema de Coordenadas serve para 
descrever um Sistema Referencial. 
 
2.1.1 – Transformações 
 Ortogonais: 
 
Sendo 21 eˆ,eˆ dois versores (vetores unitários) 
perpendiculares entre si e 21 'eˆ,'eˆ dois outros 
do mesmo plano. Como cada conjunto forma 
uma base, cada um pode ser posto como 
combinação linear do outro: 
 
2121111 eˆaeˆa'eˆ += 
2221212 eˆaeˆa'eˆ += 
 
o que podemos escrever de forma reduzida 
como: 
∑
=
=
2
1j
jiji eˆa'eˆ 
ou considerando que sempre há soma para 
índices repetidos, podemos escrever 
considerando que i, j = 1, 2: 
jiji eˆa'eˆ = 
 
como são perpendiculares, o produto escalar de 
um pelo outro (distinto) é nulo e o produto 
escalar por si mesmo é unitário: 
 
0)ˆˆ()ˆˆ('ˆ'ˆ 22212121211121 =++= eaeaeaeaee 
 
0aaaa'eˆ.'eˆ 2212211121 =+= (I) 
 
1)eˆaeˆa(.)eˆaeˆa('eˆ.'eˆ 21211121211111 =++= 
1aa'eˆ.'eˆ 12211211 =+= (II) 
 
1)eˆaeˆa(.)eˆaeˆa('eˆ.'eˆ 22212122212122 =++= 
1aa'eˆ.'eˆ 22221222 =+= (III) 
 
Portanto temos das transformações ortogonais 
como resultado a relação de seus coeficientes::0aaaa 22122111 =+ (I) 
 
1aa 122112 =+ (II) 
 
1aa 222212 =+ (III) 
 
As expressões (I) , (II) e (III) são chamadas de 
condições de ortogonalidade pois elas garantem 
que os versores dados são unitários e 
ortogonais. 
 
Usando matrizes podemos perceber que estas 
propriedade de ortogonalidade, garantem que a 
 
1eˆ
2eˆ
1'eˆ
2'eˆ
Diagonal para 
cima 
α Diagonal para baixo 
α
0 
1 
2 
3 
4 
5
λˆ 
λˆ = versor = vetor unitário = indica a direção do vetor 
 e tem módulo de uma unidade (1 m, 1 km, ...) ou (1 N, 1 kN) etc. 
F
r 
λ= ˆFFr = 4,5 λˆ 
α
ou α 
α-180°
α ≤ 180º 
β ≥ 180º = α + 180 
α-180° < 0° 
22 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
matriz inversa seja a própria transposta, 
facilitando a relação: 
 
ii eA'e = 
 
que representa 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
eˆ
eˆ
aa
aa
'eˆ
'eˆ
 
onde 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2212
2111
2221
1211
aa
aa
aa
aaAA t 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++=
10
01
22
2
21
2
12221121
2212211112
2
11
2
IAA
aaaaaa
aaaaaaAA
t
t
 
 
onde os termos da matriz fornecem resultados 
idênticos aos das condições de ortogonalidade 
(I) , (II) e (III) acima, e portanto 1t AA −= , 
assim: 
ii eA'e = 
 
i
t
i
t eAA'eA = 
 
i
t
i 'eAe = 
 
“Para transformações ortogonais, as 
matrizes de transformação inversa A-1 
são realizadas pelas matrizes de 
transformação transposta A t , uma vez 
que em transformações ortogonais: 
A -1 = A t ” . 
 
a) Sistema de Coordenadas 
Cartesianas ou Retangulares 
 
 Com Coordenadas ( x ; y ; z ) ou ( x1 ; x2 ; x3) 
a Base de Versores Unitários será ( )zyx eee ˆ;ˆ;ˆ ou ( )321 xxx eee ˆ;ˆ;ˆ ou ( )kˆ;jˆ;iˆ ou ( )k;j;i rrr , assim: 
kˆzjˆyiˆxr ++=r 
 
Vetor Posição em coordenadas 
retangulares: 
 
kzjyixr
rrrr ++= 
 
Vetor Deslocamento infinitesimal : 
 
kdzjdyidxrd
rrrr ++= 
 
Espaço elementar: 
222 dzdydxds ++= 
 
Volume elementar: 
 
dV = dx dy dz 
 
Áreas elementares: 
dσz = dx dy 
dσy = dx dz 
dσx = dy dz 
 
Vetor Velocidade : 
 
kvjvivk
td
zdj
td
ydi
td
xd
td
rdrv zyx
rrrrrrr&rr ++=++=== 
 
Vetor Aceleração: 
 
k
td
zdj
td
ydi
td
xd
dt
rdr
td
vdva 2
2
2
2
2
2
2
2 rrrr&&r
r
&rr ++=====
 
kajaiak
td
vdj
td
vd
i
td
vda zyxz
yx
rrrrrrr ++=++= 
 
O operador matemático del ou nabla é 
 
k
z
j
y
i
x
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
É um operador que denota uma característica de 
medida de uma variação vetorial. Se aplicado a 
um escalar se transforma em um vetor 
denominado gradiente que indica a direção de 
maior crescimento do mapeamento escalar. Se 
x
y 
r
r
kzjyixr
rrrr ++=
x
z
y 
Coordenadas cartesianas ou retangulares: P ≡ ( x , y , z ) 
P
O
z 
k
r
j
r
i
r
z
ρ
x
z
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 23 
 
 
aplicado a um vetor através de um produto 
escalar, se transforma em um escalar que 
fornece uma proporcionalidade com as fontes de 
origem da divergência do vetor. Se aplicado a 
um vetor através de um produto vetorial, se 
transforma em um vetor que fornece as fontes de 
rotação desse vetor. 
 
O Gradiente de uma função escalar f = f ( 
x, y, z ), a transforma em um vetor que aponta 
sempre no sentido de maior crescimento dessa 
função: 
k
z
fj
y
fi
x
fffgrad
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇= 
 
O Gradiente mede a taxa vetorial de máxima 
variação da função f , apontando sempre nesta 
direção de sua máxima variação de crescimento, 
em cada ponto. 
 
O Divergente de uma função vetorial 
kAjAiAA zyx
rrrr ++= , fornece um escalar 
da qual é proporcional à fonte que origina a 
divergência do vetor: 
 
z
A
y
A
x
AAAdiv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇= rr 
Se o divergente for negativo, significa que o 
vetor A
r
 esta convergindo para a fonte, se 
positivo ele diverge da fonte. O divergente do 
vetor A
r
, é proporcional à intensidade da fonte 
que o produz. 
 
O Rotacional de uma função vetorial 
kAjAiAA zyx
rrrr ++= , quando diferente de 
zero, mostra quais fontes dão origem à 
rotacionalidade desse vetor. Isto significa 
também que tal campo gerado de rotacional 
diferente de zero, gera ao atuar a dissipação de 
energias no espaço. 
Sendo igual zero, o rotacional de um campo A
r
, 
isto trás a indicação de que este campo se 
caracteriza por ser conservativo, ou seja, ele 
deriva de uma função escalar dependente e 
variável com os pontos ou posições no espaço, 
uma função que só depende de cada ponto e 
assim denominada de função potencial V. Desta 
forma este campo não dissipa energia pelo 
espaço e se caracteriza como: 
rot A
r
 = 0 então A
r
 = grad V 
 
Calcula-se o rotacional de um campo A
r
 como: 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∧∇=
zyx AAA
zyx
kji
AArot
rrr
rr
 
 
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
AA
xy
zx
yz
r
r
rr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=∧∇
 
 
O Laplaciano de uma função escalar ou o 
divergente do gradiente é definido como: 
 
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
ffffgraddivflap ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇=∇⋅∇==
 
O Dalambertiano de uma função escalar: 
 
2
2
22
2
2
2
2
2
t
f
v
1
z
f
y
f
x
fffdal ∂
∂−∂
∂+∂
∂+∂
∂=Π= 
 
O Laplaciano de um vetor: 
 ( ) ( ) ( )kAjAiAA z2y2x22 rrrr ∇+∇+∇=∇ 
 
Teorema de Gauss ou 
Teorema da Divergência: 
 
“Pode-se transformar uma integral do fluxo de 
um vetor A através de uma superfície (área) 
fechada S ( integral ao longo de toda a superfície 
fechada S, do vetor A
r
, feito seu produto 
escalar com os versores normais nˆ à superfície 
e que saem da superfície), em uma integral de 
volume desta superfície fechada do divergente 
do vetor.” ou 
 
“O fluxo do vetor A
r
 através de uma 
superfície fechada S é igual à integral 
do divergente de A
r
 ao longo do volume 
V interno à superfície S.“ 
 
 
∫∫ =⋅
VS
dVAdivdSnA
rr
ˆ 
 
 
 
Teorema de Stokes ou 
Teorema do Rotacional: 
 
“Pode-se transformar uma integral de linha 
fechada (ou circuitação de um vetor ao longo de 
nˆnˆ
V S 
nˆ
nˆ
24 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
uma linha fechada Γ), (ao longo de um caminho 
fechado e orientado ℓ de um vetor A
r
) em uma 
integral de superfície aberta (área) S “. 
 
Ou 
 
“A circuitação do vetor A
r
 ao longo de 
uma linha fechada ℓ é igual a integral do 
rotacional de A
r
 ao longo da área limitada 
pela linha fechada Γ.“ 
 
 
∫∫ =⋅
Γ S
dSArotdA
r
l
r
 
 
 
b) Sistema de 
 Coordenadas Cilíndricas 
 
Com Coordenadas ( ρ ; φ ; z ) e Base de 
Versores Unitários ( )zeˆ;eˆ;eˆ φρ ou ( )kˆ;ˆ;ˆ φρ , assim: kˆzeˆ0eˆr ++ρ= φρr ; 
As coordenadas cilíndricas apenas no plano xOy 
são chamadas de coordenadas polares:(ρ, ϕ ) 
 
Coordenadas cilíndricas: 
 
onde: 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que: 
 
 
 
 
 
Em matrizes, as bases ficam: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ−
ϕϕ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ρ
k
j
i
100
0cossen
0sencos
k
eˆ
eˆ
r
r
r
r 
 
ou CARTCIL eˆAeˆ = 
 
Γ
dℓ S
x 
y 
r
r
z 
Coordenadas cilíndricas: P ≡ (ρ, ϕ , z)
ρ
ϕ 
ρ
P
O
z 
ϕ 
z 
ϕe
r
ρe
r 
ze
r 
A 
 22 yx +=ρ 
 ρ=ρ==ϕ
xcosarcysenarc
x
ytgarc 
 z = z 
 
 x = ρ cos ϕ 
 
 y = ρ sen ϕ 
 
 z = z 
 Coordenadas: cilindricas ↔ cartesianas 
x 
y
ρ
ϕ
 x = ρ cos ϕ 
 y = ρ sen ϕ 
 
P 
i
r
 
ρeˆ
ϕ j
r
ϕeˆ
ϕ
 jcosiseneˆ
jsenicoseˆ
rr
rr
ϕ+ϕ−=
ϕ+ϕ=
ϕ
ρ
 
 
 jsenicoseˆ
rr ϕ+ϕ=ρ 
 jcosiseneˆ
rr ϕ+ϕ−=ϕ 
 kk
rr = 
 
 
 
 ϕρ ϕ−ϕ= eˆseneˆcosi
r
 
 ϕρ ϕ+ϕ= eˆcoseˆsenj
r
 
 kk
rr = 
 Bases: cilíndricas ↔ cartesianas 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 25 
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ
ϕ−ϕ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ρ
k
eˆ
eˆ
100
0cossen
0sencos
k
j
i
rr
r
r
 
 
ou CIL
t
CART eˆAeˆ = 
 
Os vetores se transformam segundo as mesmas 
matrizes A e At = A-1 : 
 
kVjViVV zyx
rrrr ++= 
 
zz eˆVeˆVeˆVV ++= ϕϕρρ
r
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ−
ϕϕ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ρ
z
y
x
z V
V
V
100
0cossen
0sencos
V
V
V
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ
ϕ−ϕ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ρ
z
y
x
V
V
V
100
0cossen
0sencos
Vz
V
V
 
 
 
Vetor Posição em coordenadas cilíndricas : 
 
 
 
Vetor Deslocamento infinitesimal : 
 
 kdzeˆdeˆdrd
rr +ρ+ρ= ρρ ⇒ 
 
kdzeˆdeˆdrd
rr +ϕρ+ρ= ϕρ 
 
Espaço elementar 
 
2222 dzddds +ϕρ+ρ= 
 
Volume elementar: 
dV = ρ dϕ dρ dz 
Áreas elementares: 
dσρ = ρ dϕ dz 
 dσϕ = dρ dz 
dσz = ρ dϕ dρ 
 
pois, 
jsenicoseˆ
rr ϕ+ϕ=ρ ⇒ 
 
jdcosidseneˆd
rr ϕϕ+ϕϕ−=ρ 
ϕ=ϕϕ+ϕ−= ϕρ dedjisened ˆ)cos(ˆ
rr
 
 
Vetor Velocidade : 
 
kzeerv
r
&&rr&&rr +ρ+ρ== ρρ 
 
kzeev
r
&r&r&r +ϕϕρ+ρ= ρ 
 
 Vetor Aceleração: 
 
 
kze
td
dea
r
&&&&&&r +ϕρρ+ϕρ−ρ= ϕρ ˆ)(
1ˆ)( 22 
 
O Gradiente de uma função escalar 
 f = f ( ρ , ϕ, z ): 
 
grad f = k
z
feˆfeˆff
r
∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+ρ∂
∂=∇ ϕρ 1 
 
onde o operador del (ou nabla) é 
 
k
z
eˆ1eˆ
r
∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+ρ∂
∂=∇ ϕρ 
 
O Divergente de uma função vetorial 
kˆAeˆAeˆAA z++= ϕϕρρ
r
 
 
( )
z
AAAAAdiv z∂
∂+ϕ∂
ϕ∂
ρ+ρρ∂
∂
ρ=∇= ρ
11.
rr
 
 
O Rotacional de uma função vetorial A
r
: 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ρ
∂
∂
ϕ∂
∂
ρ∂
∂
ρ
ρ=∧∇=
ϕρ
ϕρ
zAAA
z
kee
AArot
ˆˆˆ
1rr 
 
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−ϕ∂
∂
ρ=∧∇ ρ
ϕ e
z
AAA z ˆ1
r
 
 
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ρ∂
∂−∂
∂+ ϕρ eAz
A z ˆ 
 
k
AA ˆ)(1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ϕ∂
∂−ρ∂
ϕρ∂
ρ+
ρ 
 
O Laplaciano de uma função escalar ou o 
divergente do gradiente: 
 
 
lap f = div grad f = 
2
2
2
2
2
2 11
z
ffff ∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ρ∂
∂ρρ∂
∂
ρ=∇ 
O Laplaciano de um Vetor: 
P
y
z
z
ρ 
r kˆzeˆr +ρ= ρ
r
26 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
 
+⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
ρ−ϕ∂
∂
ρ−∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+ρ∂
∂
ρ+ρ∂
∂=∇ ρρϕρρρρ eˆ
AA2
z
AA1A1AA 222
2
2
2
22
2
2 r
 
+⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
ρ−ϕ∂
∂
ρ+∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+ρ∂
∂
ρ+ρ∂
∂+ ϕϕρϕϕϕϕ eˆ
AA2
z
AA1A1A
222
2
2
2
22
2
 
z2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
2
eˆ
z
AA1A1A
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+ϕ∂
∂
ρ+ρ∂
∂
ρ+ρ∂
∂+ 
 
Coordenadas Polares: 
 
Um caso particular das coordenadas cilíndricas 
são as coordenadas polares, que valem para um 
plano e que a localização dos pontos se faz por 
duas coordenadas cilíndricas com z = 0, ρ = r e 
ϕ = θ: 
 
d) Sistema de 
 Coordenadas Esféricas : 
 
Com Coordenadas ( r ; θ ; ϕ) e Base de 
Versores Unitários ( )ϕθ eˆ;eˆ;eˆr ou ( )ϕθ ˆ;ˆ;rˆ , assim: rˆreˆrr r ==r . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em matrizes as bases ficam: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
θθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ϕ
ρ
θ
k
eˆ
eˆ
010
sen0cos
cos0sen
eˆ
eˆ
eˆ r
r 
 
x
y
r 
θ 
 x = r cos θ 
 y = r sen θ 
 
P
Coordenadas Polares 
θ=θ+θ=+= ierjsenrirjyixr rrrrr cos
y
x 
 22222 zyxzr ++=ρ+= 
 
z
tgarc
r
senarc
r
zarc ρ=ρ==θ cos 
 ϕ = ϕ 
 
 ϕθ= cossenrx 
 
 ϕθ= sensenry 
 
 θ= cosrz 
 Coordenadas: cilíndricas ↔ esféricas 
x
y
x
z
Coordenadas esféricas: P ≡ ( r , θ , ϕ )
ϕ
θ
r
P
O
ϕe
r
re
r
θe
r
ρ z y 
x
θ
 
 kcoseˆseneˆ r
rθ+θ= ρ 
 kseneˆcoseˆ
rθ−θ= ρθ 
 ϕϕ = eˆeˆ 
 
 
 
 
 ϕρ θ+θ= eˆcoseˆseneˆ r 
 ϕϕ = eˆeˆ 
 θθ−θ= eˆseneˆcosk r
r
 
ρeˆ 
k
r
reˆ
θ
θ 
θeˆ
ksenee
rθ−θ= ρθ ˆcosˆ 
kesener
rθ+θ= ρ cosˆˆ 
y 
ρ
 x = r sen θ cos ϕ 
 y = r sen θ sen ϕ 
P
y 
 Bases: cilíndricas ↔ esféricas 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 27 
 
 
ou CILESF eˆBeˆ = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
θθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θϕ
ρ
eˆ
eˆ
eˆ
0sencos
100
0cossen
k
eˆ
eˆ r
r 
 
ou ESF
t
CIL eˆBeˆ = 
 
Vale o mesmo para a transformação de vetores: 
 [ ] scilíndricaesféricas VBV rr = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
θθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
ϕ
ρ
θ
z
r
V
V
V
010
sen0cos
cos0sen
V
V
V
 
 [ ] esféricastsciíindrica VBV rr = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
θθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θϕ
ρ
V
V
V
0sencos
100
0cossen
V
V
V r
z
 
 
Fazendo a substituição para a base cartesiana, 
substituindo CARTCIL eˆAeˆ = : 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ−θ θθ=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ϕθ 010
0cos
cos0
ˆ
ˆ
ˆ
se
sen
e
e
er
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ϕϕ−
ϕϕ
k
j
i
sen
sen
r
r
r
.
100
0cos
0cos
. 
 
ou CARTESF eˆA.Beˆ = 
 
e multiplicando as matrizes B . A = C , ficamos 
com : 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ−
θ−ϕθϕθ
θϕθϕθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θ
k
j
i
0cossen
sensencoscoscos
cossensencossen
eˆ
eˆ
eˆr
r
r
r
 
ou CARTESF eˆCeˆ = 
 
E a transformação inversa , temos: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
ϕϕθϕθ
ϕ−ϕθϕθ
=
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θ
e
e
e
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
eˆ
eˆ
eˆ r
z
y
x
r
r
r
 
 
ou ESF
t
CART eˆCeˆ = 
Os vetores se transformam segundo as mesmas 
matrizes A e At = A-1 : 
 
kVjViVV zyx
rrrr ++= 
 
ϕϕθθ ++= eˆVeˆVeˆVV rr
r
 
 
CARTESF VCV = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕθ−
θ−ϕθϕθ
θϕθϕθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θ
z
y
xr
V
V
V
0cossen
sensencoscoscos
cossensencossen
V
V
V
 
 
ESF
t
CART VCV = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θ−θ
ϕϕθϕθ
ϕ−ϕθϕθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θ
V
V
V
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
V
V
V r
z
y
x
 
 
 
Vetor Posição em coordenadas esféricas: 
 
reˆrr =r 
 
rr eˆdreˆdrrd +=r 
 
kcoseˆseneˆr
rθ+θ= ρ ⇒ 
 
kdsenedseneded r
rθθ−θ+θθ= ρρ ˆˆcosˆ 
 
Como: 
kseneˆcoseˆ
rθ−θ= ρθ 
e 
ρeˆd = ϕϕ deˆ 
Portanto: 
ϕθ ϕθ+θ= eˆdsendeˆeˆd r 
 
o Vetor Deslocamento infinitesimal : 
 
ϕθ ϕθ+θ+= edsenredredrrd r ˆˆˆr 
 
Espaço elementar 
 
222222 ϕθ+θ+= dsenrdrdrds 
 
Volume elementar 
 
dV = r2 sen θ dr dϕ dθ 
 
Áreas elementares: 
 
dσr = r2 sen θ dϕ dθ 
 dσϕ = r dr dθ 
 dσθ = r sen θ dr dϕ 
 
Vetor Velocidade : 
 
ϕθ ϕθ+θ+== eˆsenreˆreˆrdt
rdv r &&&
rr
 
 
 
Vetor Aceleração: 
 
Sendo, 
keesene ˆcosˆcosˆˆ θθ−θ+θθ−= ρρθ &&&& 
28 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
 
ϕρθ ϕθ+θ−θθ−= ekesene ˆcos)ˆcosˆ(ˆ &&& 
 
ϕθ ϕθ+θ−= eee r ˆcosˆˆ &&& 
 
ρϕ ϕ−= eeˆ && 
 
)ˆˆcos(ˆ resenee θ+θϕ−= θϕ && 
 
Portanto as três relações ficam: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
θϕ−θϕ−
θϕθ−
θϕθ
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
θ
ϕ
θ
eˆ
eˆ
eˆ
cossen
cos
sen
eˆ
eˆ
eˆ
dt
d rr
0
0
0
&&
&&
&&
 
 
Assim, 
ϕθ θϕ+θ+= eˆsenreˆreˆrv r &&&r 
 
ϕϕϕ
ϕθθθθ
θϕ+θθϕ+θϕ+
+θϕ+θ+θ+θ++=
esenreresenr
esenrererererervd r &&&&&&
&&&&&&&&&&&r
ˆˆcosˆ
ˆˆˆˆˆˆ
 
 
Portanto, a Aceleração é: 
 
ϕ
θθϕ+θϕ+ϕθ+
+θθϕ+θ+θ+
+ϕϕ+θ−=
esenrsenrr
esenrrr
esenrrra r
ˆ)22(
ˆ)cos2(
ˆ)(
2
222
&&&&&&
&&&&&
&&&&r
 
O operador matemático del (ou nabla) é 
 
ϕθ ϕ∂
∂
θ+θ∂
∂++∂
∂=∇ e
senr
e
r
e
r r
ˆ1ˆ1ˆ 
 
 
O Gradiente em coordenadas cilíndricas de 
uma função escalar f = f ( r, θ , ϕ ): 
 
 ϕϕ∂
∂
θ+θ∂
∂+∂
∂=∇= θ efsenre
f
r
e
r
fffgrad r ˆ
1ˆ1ˆ 
 
O Divergente de uma função vetorial 
ϕϕθθ ++= eˆAeˆAeˆAA rr
r
 
 ( ) ( )
ϕ∂
∂
θ+
+θθ∂
∂
θ+∂
∂=∇=
ϕ
θ
A
senr
Asen
senr
Ar
rr
AAdiv r
1
11. 22
rr
 
O Rotacional de uma função vetorial 
ϕϕθθ ++= eˆAeˆAeˆAA rr
r
 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
θ
ϕ∂
∂
θ∂
∂
∂
∂
θ
θ=∧∇=
ϕθ
ϕθ
AsenrArA
r
esenrere
senr
AArot
r
r ˆˆˆ
1
2
rr
 
 
( )
( )
( ) ϕθ
θϕ
θϕ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
θ∂
∂−∂
∂
θ+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−ϕ∂
∂
θ+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ϕ∂
∂−θθ∂
∂
θ=∧∇
eAAr
rsenr
eAr
r
A
senr
eAAsen
senr
A
r
r
r
ˆ1
ˆ1
ˆ1
2
22
r
 
 
O Laplaciano de uma função escalar ou o 
divergente do gradiente: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ϕ∂
∂
θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂θθ=
=∇=
2
2
2
2
2
11 f
sen
fsen
r
fr
r
sen
senr
fflap
 
O Laplaciano de vetor: 
 
+⎥⎦
⎤
θ∂
∂−−ϕ∂
∂
θ+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂
θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂⎢⎣
⎡=∇
θ
r
rr
rr
eA
rr
AA
senr
Asen
senrr
Ar
rr
A
ˆ221
11
222
2
22
2
2
2
2 r
 
+⎥⎦
⎤
ϕ∂
∂
θ
θ−θ−θ∂
∂+ϕ∂
∂
θ+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂
θ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂⎢⎣
⎡+
θϕθθ
θθ
e
A
senrsenr
AA
r
A
senr
Asen
senrr
Ar
rr
r ˆcos221
11
222222
2
22
2
2
2
 
ϕθϕϕ
ϕϕ
⎥⎦
⎤
ϕ∂
∂
θ
θ+ϕ∂
∂
θ+θ−ϕ∂
∂
θ+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂
θ+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂⎢⎣
⎡+
eA
senr
A
senrsenr
AA
senr
A
sen
senrr
A
r
rr
r ˆcos221
11
222222
2
22
2
2
2
 
d) Base de Frenet ou 
Triedro de Frenet 
 
Está ligado ao corpo em movimento com apenas 
a seguinte Base de Versores Unitários ( )bnt eee ˆ;ˆ;ˆ ou ( )bˆ;nˆ;tˆ , ou ( )b;n;t rrr que acompanha o corpo no seu 
movimento e designa as direções t
r
, versor 
tangente ao movimento ou à trajetória do 
movimento, n
r
, versor normal ou perpendicular 
ao movimento mas no plano do movimento e 
sentido para o centro da trajetória e b
r
 versor 
binormal na direção perpendicular ao 
movimento, com sentido de nt
rr ∧ . 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 29 
 
 
 
 
A velocidade do corpo é sempre tvv
rr = ; a 
aceleração normal ou centrípeta é 
naaa ncpn
rrr == ; e a velocidade angular é 
b
rr ω=ω . A aceleração tangencial pode ser dada 
por taa tt
rr ±= dependendo se o corpo esta 
acelerando (+) ou brecando (-) ; a aceleração 
angular pode ser dada por: b
rr α±=α , 
dependendo se o corpo gira aumentando a 
velocidade angular (+) ou diminuindo a 
velocidade angular (-). 
 
Algumas expressões geométricas 
úteis 
 
Da GEOMETRIA : Vale para um triângulo 
qualquer ( ∆ ∀ ), de lados a, b, c e ângulos 
opostos CeBA ˆˆ,ˆ as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
Para Ângulos semelhantes: 
 
Um ângulo é formado por dois lados, se 
traçarmos uma perpendicular a um deles e uma 
perpendicular ao outro, o ângulo formado entre 
esses dois novos lados é semelhante ao 
primeiro: 
 
 
Circunferência, Círculo, Superfície Esférica e 
Volume da esfera 
 
 
2.3 - Operações entre 
vetores 
 
Vetor Livre 
 
Chama-se de vetor livre, à aquele vetor, cuja 
representação não depende da localização do 
sistema de coordenadas, pois, não importa onde 
ele esteja no sistema referencial, desde que 
b a 
c
 
Cˆ 
Aˆ
Bˆ
θ
θ 
x 
y
r
r
x 
z
v
r
Versores de Frenet ( tˆ , nˆ , b ) 
ρφ
θθ 
t
r
 
n
r
b
r
y 
s
Trajetória no espaço
velocidade
Comprimentoo da 
Circunferência: 
 
C = 2 π r 
r 
Área do Círculo: 
 
 
A = π r 2 
 Lei dos cossenos para um triângulo qualquer: 
 
 a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos Aˆ 
 
 b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos Bˆ 
 
 c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos Cˆ 
 
 
 Lei dos senos para um triângulo qualquer: 
 
Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a == 
 
Área da Superfície 
Esférica: 
 
S = 4 π r 2 
Volume da Esfera: 
 
 
V = 3
3
4 rπ 
30 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
mantenha a mesma representação de seu 
módulo, direção e sentido: 
 
 
 
 
Sua representação será, então, neste referencial 
e nesta base de versores retangulares: 
 
kvjvivv zyx ˆˆˆ ++=r 
 
ou no caso específico do exemplo: 
 
kjsenvivvrrrr
0cos +θ+θ= 
 
jsenvicosvv
rrr θ+θ= 
 
 
1) Soma ou Adição de 
vetores 
 
 a) Regra do paralelogramo: Usado para soma 
de dois vetores. Dado dois vetores a
r
 e b
r
 
coloca-se ambos os vetores na mesma origem, 
traça-se à extremidade de cada vetor uma 
paralela ao outro vetor. O ponto de encontro das 
paralelas é a extremidade do vetor soma S
r
, 
com origem em comum aos outros dois: 
 
θ = o ângulo entre os vetores ar e b
r
, é definido 
quando os dois vetores estão na mesma origem 
e cujo valor seja ≤ 180º . 
 
 
 
Cálculo do módulo (tamanho) do vetor Soma: 
 
θ++= cos...222 babaS rrrrr 
 
Obs.: Esta expressão é deduzida da Lei dos 
cossenos da geometria de um triângulo qualquer 
como faremos a seguir. 
 
Do triangulo OBS: 
 
 
Da lei dos cossenos: 
 
)º180(cos.b.a.2baS 222 θ−−+= 
 
e como cos (180º - θ) = - cos θ (o cosseno de 
um ângulo é igual e de sinal contrário ao 
cosseno de seu ângulo suplementar), então: 
 
θ++= cos.b.a.2baS 222 
 
θ++= cos.b.a.2baS 22 
 
 b) Regra do Polígono: de interesse 
principalmente para soma de vários vetores onde 
 
 
xv
v
r
v
rvr
θ= cos.vvx
yv
θ= senvvy .
x
y 
v
r
v
rθ 
θ
a
r
baS
rrr +=
O
B
A 
S 
b
r
b
r
180º- θ
a
r
baS
rrr +=O
B
S
θ 
θ
a
r
A 
b
r
a
r
b
r
c
r
e
r
d
r
h
r
a
r 
b
r
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 31 
 
 
 
 
Em qualquer ordem, coloca-se os vetores de tal 
forma que a extremidade de um vetor esteja na 
origem do outro e o vetor resultante R é o vetor 
que vai da origem do primeiro vetor à 
extremidade do último: 
hedcbaR
rrrrrrr +++++= . 
A resultante será zero no caso em que o 
polígono se fechar, ou seja, quando a 
extremidade do último vetor coincidir com a 
origem do primeiro. 
 
 
2) Diferença ou Subtração de 
vetores 
 
A diferença de vetores se faz colocando-se os 
dois vetores na mesma origem e interligando-se 
as suas extremidades. A extremidade do vetor 
diferença ficará no sentido do primeiro vetor que 
aparece, por exemplo, baD
rrr −= , o primeiro 
vetor que aparece é o a
r
, e é para onde 
apontará o vetor diferença, sua origem ficará no 
vetor b
r
. Na figura abaixo fazemos ao contrário. 
 
 
Módulo ou intensidade do vetor Diferença: 
 
θ−+= cos...2222 babaD rrrrr 
 
θ−+= cos.b.a.2baD 22 rrrrr 
 
Esta expressão do Módulo da Diferença sai 
diretamente da Lei dos cossenos. 
 
3) Produto de Vetores: 
 
a) Produto Escalar 
O produto escalar dá como resultado, um 
número, ou seja um escalar (módulo e sinal), 
que é igual ao valor do módulo de um vetor (a) , 
vezes o outro projetado na direção do primeiro 
(b cos θ). 
 
θ=⋅= cos.b.abaPE
rrrr
 
 
 
 
 
De forma geral: 
 ( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx rrrrrrrr ++++= ..
 
zzyyxx babababa ++==
rr
. 
 
b) Produto vetorial 
a
r 
h
r
R
r
b
r
c
r
d
r 
e
r
a
r 
b
r
θ 
b cos θ
θ= cos.b.aPE 
b
r
a
r 
a
r 
abD
rrr −= 
b
r
θ O 
B
A 
AB)OA()OB(abD −=−−−=−= rrr
Casos particulares: 
 
 1º0cos.i.iii ==⋅ rrrr 
 1jj =⋅ rr 
 1kk =⋅ rr 
 
 0º90cos.k.iki ==⋅ rrrr 
 0ji =rr . 
 0kj =⋅ rr 
b
r
a
r
32 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
É o produto de dois vetores como ba
rr ∧ , que dá 
como resultado um vetor, com as seguintes 
características: abbaPV
rrrrr ∧−=∧= 
 
Módulo: θ=∧= sen.b.abaPV
rrrrr
 
Direção: perpendicular ao vetor a
r
 e ao vetor 
b
r
ao mesmo tempo, ou seja, perpendicular (⊥ ) 
ao plano formado pelos vetores bea
rr
, )b,a(
rr
 
Sentido: regra da mão direita: 1º) dedo indicador 
= a
r
 , dedo médio = b
r
; dedo polegar = VP
r
 ou 2º) 
os 4 dedos da mão direita no 1º vetor ( a
r
), indo 
pelo ângulo θ até o 2º vetor ( br ): o polegar 
aponta para o produto vetorial 
VP
r
 = ba
rr ∧ ; ou 
3º) o polegar aponta para o primeiro vetor a
r
, os 
quatros dedos da mão para b
r
e a palma da mão 
aponta no sentido de VP
r
. 
 
Vale a chamada regra cíclica: sentido positivo é 
ijkij e sentido negativo é ikjik: 
 
Para os versores cartesianos temos: 
 
 
Vetorialmente pode-se fazer o produto vetorial 
através da solução da matriz: 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=∧=
zyx
zyxv
bbb
aaa
kji
baP
rrr
rrr
 
 
baPv
rrr ∧= 
 ( ) ( ) ( )kbabajbabaibabaP xyyxzxxzyzzyv rrrr −+−+−=
 
Ou através da multiplicação termo a termo, 
usando a regra cíclica: 
 ( ) ( )kbjbibkajaiabaP zyxzyxv rrrrrrrrr ++∧++=∧= 
 ( ) ( ) ( )kbabajbabaibabaP xyyxzxxzyzzyv rrrr −+−+−=
 
Veja alguns produtos vetoriais notáveis na 
representação de importantes fenômenos na 
Física: 
 
Torque: 
 
Torque de uma força F
r
 que atua sobre um 
corpo, em relação a um pólo O: 
FrFO
rrr ∧=τ 
onde: 
r
r
 = vetor posição da força que vai do pólo 
escolhido ate um ponto qualquer da linha de 
ação da força 
F
r
= força aplicada sobre o corpo 
F
Oτr = força rotacional ou torque produzido pela 
força em torno do eixo ou pólo O escolhido, que 
é aplicado no corpo. 
 
Força Magnética: 
 
Força magnética sobre uma carga elétrica q com 
velocidade v
r
, imersa em uma região do espaço 
que tem um campo magnético B
r
: 
 
BvqFm
rrr ∧= 
 
 
2.4 – Resumo de Vetores 
 
Vetores no espaço: 
i
r
j
r
 k
r
i
r
 
j
r
 
k
r
 
+
j
r
 
i
r
 
k
r
 
Regra cíclica de versores: 
i j k i j 
+
a
r
θ 
baPv
rrr ∧=
b
r
 
kji
rrr =∧ 
ikj
rrr =∧ 
jik
rrr =∧ 
kij
rrr −=∧ 
jki
rrr −=∧ 
ijk
rrr −=∧ 
00 =°=∧ seniiii rrrr 
0=∧ ii rr 
0jj =∧ rr 
0kk =∧ rr 
190 =°=∧ senjiji rrrr 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 33 
 
 
AB
ABFˆFF −
−=λ=r kFjFiFF zyx
rrrr ++= 
222
zyx FFFF ++= 
k
F
Fj
F
F
i
F
F
F
Fˆ zyx rrr
r
++==λ 
kji zyx
rrr θ+θ+θ=λ coscoscosˆ 
1coscoscos 222 =θ+θ+θ zyx 
kcosFjcosFicosFF zyx
rrrr θ+θ+θ= 
Coordenadas Retangulares: 
Vetor posição: 
kzjyixr
rrrr ++= 
Deslocamento elementar: 
kdzjdyidxrd
rrrr ++= 
Deslocamento escalar: 
222 dzdydxds ++= 
Velocidade: 
kvjvivk
td
zdj
td
ydi
td
xd
td
rdrv zyx
rrrrrrr&rr ++=++=== 
Aceleração: 
kajaiak
td
vdj
td
vd
i
td
vda zyxz
yx
rrrrrrr ++=++== 
Gradiente: 
k
z
fj
y
fi
x
fffgrad
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇= 
Divergente: 
z
A
y
A
x
AAAdiv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇= rr 
Rotacional: 
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
AA
xy
zx
yz
r
r
rr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=∧∇
 
Laplaciano: 
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
fff ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇=∇⋅∇ 
Soma ou Adição de Vetores: 
θ++= cosba2baS 22 
Diferença ou Subtração de Vetores: 
θ−+= cosba2baD 22 
Produto de Vetores: 
(a) Produto escalar: 
θ=⋅= cos.b.abaPE
rrrr
 
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx rrrrrrrr ++++= ..
zzyyxx babababa ++==
rr
. 
(b) Produto Vetorial 
Módulo: θ=∧= sen.b.abaPV
rrrrr
 
 
 ( ) ( )kbjbibkajaiabaP zyxzyxv rrrrrrrrr++∧++=∧= 
( ) ( ) ( )kbabajbabaibabaP xyyxzxxzyzzyv rrrr −+−+−=
 
2.5 – Exercícios Resolvidos 
 
2.1*) Dado o vetor posição, )m(jir
rrr
42 += , de 
uma força, )N(kiF
rrr
53 += , determine o vetor 
Torque da força F em relação à origem O do 
sistema de referência, o seu módulo e os 
ângulos que o Torque faz com os eixos 
coordenados. 
 
 
2.2*) Determinar o Torque da força F em relação 
ao pólo O, sabendo-se que o vetor F tem módulo 
560 N, e que o torque é dado pela expressão 
FrFO
rrr ∧=τ , onde rr é o vetor posição da força 
em relação ao pólo. 
 
 
Solução.:(a) Como procuramos por FrFO
rrr ∧=τ 
Em primeiro lugar achamos as Coordenadas dos pontos principais 
para determinação de :Fer
rr
 
O ≡ ( 0 ; 0 ; 0 ) ; P ≡ ( 5 ; 11 ; 8 ) ; A ≡ ( 3 ; 15 ; 0 ) ; 
B ≡ ( 5 ; 11 ; 0 ) 
Em busca do vetor força: 
a
r
θ 
baPv
rrr ∧=
b
r
 
i
r
j
r
k
r
+
F
rrr
z
y
x
8 m
5 m 
P
O
3 m
11 m
A
B 
15 m
 Solução: 
ikj
kijiFr rrr
rrrrrrr
201210
)53()42(
+−−=
+∧+=∧=τ 
 ).(4,25121020 222 mN=++=τr 
 θx = arc cos τx / τ = arc cos ( 20 / 25,4) = 38,1° 
 θy = arc cos τ y / τ = arc cos ( -10 / 25,4) = 113° 
 θz = arc cos τz / τ = arc cos ( -12 / 25,4) = 118° 
34 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
)(842)8,4,2(/ mkjiPAr PA
rrrr −+−=−−=−= 
mPA 165,9842 222 =++=− 
kji
kj
PA
PA
r
r
F
PA
PA
F
rrr
rrr
r
872,0436,0218,0ˆ
165,9
842ˆ
/
/
−+−=λ
−+−=−
−==λ 
)(488244122
)872,0436,0218,0(.560ˆ
NkjiF
kjiFF F rrrr
rrrrr
−+−=
−+−=λ= 
O vetor posição da força F: 
)(8115/ mkjiOPrr OP
rrrrr ++=−== 
= vetor posição da Força F 
Fazendo de outra maneira para achar a mesma força 
F, também podemos escrever de forma direta: 
PA
PAFFF −
−=λ= ˆr ⇒ 
222 )()()(
)()()(560
PAPAPA
PAPAPA
zzyyxx
zzyyxxF
−+−+−
−+−+−=r
165,9
842560
842
842560
222
kjikjiF
rrrrrrr −+−=
++
−+−=
)(488244122 NkjiF
rrrr −+−= 
E como buscamos o torque: FrFO
rrr ∧=τ ⇒ 
)488244122()8115( kjikjiFO
rrrrrrr −+−∧++=τ 
).(256214647320 mNkjiFO
rrrr ++−=τ 
 
2.6 – Exercícios 
 Propostos 
 
2.3) Dado o vetores das figuras, determine os 
parâmetros pedidos dos vetores da figura.. 
Resp.: (a) )(235555,65 NkjiF
rrrr ++= 
(b) )N(k161j187i4,43F
rrrr ++= 
(c) N207F;º3,27;N901F y ==ϕ= 
(d) F = 800 N ; θx = 35° ; θy = 55° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4) Determine os versores 1λˆ e 2λˆ dos vetores 
força assim como e os vetores força 1F
r
 e 2F
r
 da 
figura a seguir. 
Resp: ;j530,0i848,0ˆ1
rr +=λ 
;k873,0j218,0i436,0ˆ 2
rr ++−=λ 
)N(k133j212F1
rrr += ; )N(k349j2,87i174F2
rrrr ++−= 
y 
x 
Fx 
Fy F
r
θx 
F x= 655 N 
F y= 459 N 
θx = ? 
θy = ? 
F = ? 
 
(d) 
θy 
z 
y 
x 
Fy 
Fz 
Fx 
F
r
θρ 
F x= 400 N 
F z= 780 N 
θρ = 60° 
ϕ = ? 
F = ? 
Fy = ? 
 
(c) 
ϕ
z 
y 
x 
Fy 
Fz 
Fx 
F
r
θz 
θx 
F= 250 N 
θz = 50° 
θx = 80º 
θy = 41,75º 
?=Fr 
 
(b) 
θy 
z 
y 
x 
Fy 
Fz 
Fx 
F
r
θ 
ϕ 
F= 250 N 
θ= 20° 
ϕ =40º 
?=Fr 
(a) 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 35 
 
 
 
 
 
2.5) Dado o corpo da figura, determine o valor do 
Torque da Força F
r
 para girar o corpo em torno 
do ponto O, sabendo-se que a distância PO = 
10 m e a intensidade da força é F = 20 N. Obs.: 
O Torque de uma força F em relação a um pólo 
O é dado pela expressão FrFO
rrr ∧=τ ; onde rr 
é o vetor posição que vai do pólo de giro do 
corpo O até o ponto de aplicação da força F
r
 . 
Resp.: k
rr
3100−=τ (N.m) 
 
 
 
2.6) Determinar o Torque da força F em relação 
ao pólo O, sabendo-se que o vetor F da figura 
tem módulo 
50 N e é paralelo ao plano yOz.. Obs.:O torque 
de uma força em relação a um pólo O é 
FrFO
rrr ∧=τ . 
Resp.: (a) ).(260150721 mNkjiFO
rrrr ++−=τ 
 
 
 
2.7) (a) Escreva o vetores Força 1F
r
 e 2F
r
 , de 
módulos 30 N e 20 N respectivamente, e o 
vetor Torque τr da Figura de módulo 60 N.m, em 
função da base do Sistema Cartesiano ou 
Retangular. 
(b) Determine a força resultante sobre o corpo 
RF
r
= 21 FF
rr + 
(c) Escreva a expressão da projeção do vetor 
torque τr na direção do vetor força resultante FR. 
Obs.: considerando que a direção do vetor força resultante é na 
direção do versor λˆ , a projeção do torque é λτ = τ⋅λ rˆ 
Resp.: (a) )(232,1762,81 NkjiF
rrrr −−= ; 
 )(117,136,92 NkjiF
rrrr −−−= ; 
)(3,114,56,16 NmkjiR
rrrr −−=τ ; 
 (b) )(349,3099,0 NkjiFR
rrrr −+−= ; 
(c) k739,0j673,0i0213,0ˆ
rrr +−−=λ ; 
)m.N(8,45.ˆ =τλ=τλ r 
 
 
2.8) Dado o vetor posição, )m(jir
rrr
24 += , de 
uma força, )N(kiF
rrr
53 += , determine o vetor 
Torque da força F em relação à origem O do 
sistema de referência, o seu módulo e os 
ângulos que o Torque faz com os eixos 
coordenados. 
Resp.: ).(62010 mNkji
rrrr −−=τ ; =τr 23,2 
(N.m); θx = 64,4°; θy = 150°; θz = 105° 
 
 
 
z 
y 
x 
Fz 
1F
r
F1 = 250 N 
F2 = 400 N 
?ˆ1 =λ 
?ˆ 2 =λ 
?1 =F
r
 
?2 =F
r
 
(a) 
A 
B 
4 m 
3 m 
3 m 1 m 
3 m 
1,5 m
C 
2 m 
D 
2F
r
30° 
F
r
 
r
r
z
y
x
8 m 
6 m 
15 m
P 
O
y
x
r
r 
F
r
60º 30º
P 
O 
x 
y 
Fx 
Fy 
2 5 
3 
4 
2 1,5 
-2
z 
y 
x 
3 
1F
r
2F
rτ
r
A 
B 
C
O
D
36 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
2.9) Passar o Ponto P ≡ ( 6 ; 15 ; 8 ) no Sistema 
de Coordenadas Cartesianas ou Retangulares 
para o Sistema de Coordenadas: 
(a) cilíndricas ( ρ ; ϕ ; z ) e esféricas ( r ; θ ; ϕ ); 
(d) determine o vetor posição r
r
 desse ponto P 
em relação à origem O, OPr −=r , nos sistemas 
de coordenadas retângulares, cilíndricas e 
esféricas. 
Resp.:(a) cilíndricas: P ≡ ( 16,2 m ; 68,2° ; 8 m); 
esféricas: P ≡ ( 18,0 m; 63,7°; 68,2°); (b) cartesianas: 
k8j15i6r
rrrr ++= ; cilíndricas: zeˆ8eˆ2,16r += ρr ; 
esféricas: reˆ18r =r 
 
2.10) Determinar o Torque da força F em relação 
ao pólo O, sabendo-se que o vetor F tem módulo 
240 N. O torque é dado pela expressão 
FrFO
rrr ∧=τ . 
Resp.:(a) )m.N(k555j686i2515
rrrr ++−=τ 
 
2.11) (a) Determinar o Torque da força F em 
relação ao pólo A, sabendo-se que o vetor F tem 
módulo 800 N. O torque é dado pela expressão 
FrFA
rrr ∧=τ . 
Resp.: (a) )Nm(k403j691i5527FA
rrrr +−−=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F
r
r
r
z
y
x 
12 m 
 3m 
P 
O
1 m
7 m 
A
B C 
2 m
F
rrr 
z 
y
x 
7 m 
 4m
11 m 
P 
O
3 m
9 m 
A
B