C3 CentroMassa 2008

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Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 37 
 
 
 
Parte 1 
 
 
 
 
ESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
900 N/m 
1m 
 10m 15 m 
A 
y
x
z
B 
C
G 
5 m
0,7 m 
1,6 m
15º
E
A B
y
x
z
O 
G 
x 
y
z 
A 
B 
C )kN(j8F C
rr −= 
)kN(k15F B
rr =
)kN(k12F A
rr =
)kN(i7F 1J
rr =
)kN(i7F 2J
rr =
x
y
z
1C 3C
4C
5C 
6C
2C
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
38
 
 
 
 
 
 
3.1 – Centro de Massa 
 
Neste capítulo iremos estudar como realizar a 
redução de certas distribuições de massas a 
Centros, ou posições, ou pontos, que reuniriam 
várias características da distribuição. 
Consideraremos as seguintes principais 
distribuições: 
 (a) Centro de Massas (m) (= CM); 
(b) Centro de Formato ou Centro da 
Geometria do Corpo ou Centróide: Centro 
Geométrico de Volume ou Centróide de Volume 
(V) (= CV), Centróide de Área (A) (= CA) e 
Centróide de Linha (L) (= CL); 
(c) Centro de Pesos (P) ou Centro de 
Gravidade ou Baricentro (= CG ). 
 
Das massas distribuídas iremos localizar o 
Centro de Massa da distribuição em posições 
distindas das massas em torno do corpo. 
 
Da geometria do corpo e seus formatos iremos 
calcular o Centro representante dessas 
distribuições de formas variadas em torno das 
figuras, localizando o Centro de Volume de sua 
geometria (V) (CV), ou o Centro de Área (A) (CA), 
ou o Centro de Linha (L) (CL). 
 
Dos Pesos paralelos imersos em um campo 
gravitacional constante (P=mg), iremos reduzir o 
conjunto de forças peso verticais e paralelos a 
um Centro único chamado Centro de Gravidade 
(CG) ou Baricentro(G). 
 
(d) Podemos definir a variável Distribuição de 
Massa de um corpo rígido como sendo: 
 
CMrmD
rr = (kg.m) 
 
Mostraremos também a capacidade deste 
Centro de Massa dos corpos de reduzir um 
conjunto de vetores sejam, posição, velocidade, 
momentum, aceleração e força, a um ponto 
primordial que estaria no valor médio de todas as 
distribuições de vetores e que estes vetor 
central, representaria todos os outros 
distribuídos a sua volta, e no qual este ponto 
especial é coincidente com o Centro de Massa 
do corpo. 
 
3.1.1 - Distribuições de 
Massa 
 
Definição: As distribuições de massa, de forma 
genérica, no nosso espaço tridimensional 
caracterizam-se por serem (a) uma distribuição 
volumétrica à priori: todo corpo a princípio por 
 
 
menores que sejam suas dimensões tem uma 
estrutura no espaço, tendo portanto à priori uma 
distribuição volumétrica de massa, ou seja, em 
três dimensões. Como sejam, uma esfera, um 
paralelepípido, um cone, um cilindro, uma placa, 
uma fita, etc. No entanto, em sua distribuição 
volumétrica no espaço tridimensional, dependendo 
das dimensões consideradas do espaço e o tipo de 
formato do corpo, podemos fazer, à título de 
cálculo, o reducionismo do corpo ou das suas 
partes a outros tipos de distribuição, casos 
particulares deste. 
(b) Um reducionismo que podemos considerar é o 
da distribuição de massa feita ao longo de uma 
superfície ou uma distribuição superficial de 
massa, que ocorre quando: umas das dimensões 
do corpo, das três consideradas, pode ser 
considerada desprezível em comparação com as 
dimensões do corpo contínuo, ou então, esta 
dimensão se mantém constante ao longo de todo o 
corpo. Podemos citar como exemplo, uma folha de 
papel, uma placa plana, uma superfície variada com 
profundidade constante. 
(c) Um outro tipo de reducionismo da distribuição 
volumétrica de massa seria o de uma distribuição 
linear de massa: o caso em que se pode desprezar 
duas dimensões do corpo por serem desprezíveis 
em comparação com as dimensões do corpo ou por 
ter sua área da secção transversal da fita linear, 
como sejam espessura e profundidade, ao longo de 
todo o corpo, constante. Podemos citar como 
exemplo, um cano longo, um fio elétrico, uma corda 
de violão, etc. 
(d) Um outro tipo de reducionismo seria o de uma 
Distribuição discreta ou descontínua de massa, 
ou seja cada massa pode ser reduzida a um ponto 
material ou partícula: este seria o caso em que as 
dimensões do espaço considerado são muito 
maiores do que as dimensões do corpo ou dos 
___________________________________________________________ 
Capítulo 3 
 
Centro de Massa 
 
___________________________________________________________ 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 39 
 
 
corpos em questão e podemos desprezar as três 
dimensões do(s) corpo(s) mas não desprezando 
suas massas. Teriamos assim um Sistema de 
Partículas ou um Sistema de pontos materiais. 
 
a) Distribuição Volumétrica 
de massa 
Seja uma massa total m distribuída de 
modo arbitrário ao longo de um volume V. 
 
 
Def.: Denomina-se densidade volumétrica (ρ) 
(rô) de massa: 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ρ 3m
kg
Vd
md 
 
Se ρ é constante então 
m = ρ V 
mas se ρ depende das coordenadas do espaço 
ρ = ρ (x,y,z) 
então 
Vddm ρ= 
 ∫ ∫ ρ= Vdmd 
)kg(Vdm ∫ ρ= 
 
Obs.: Ver Exercício 3.3* resolvido. 
 
b) Distribuição Superficial 
de massa 
Seja uma massa total m distribuída sobre uma 
superfície S: 
 
 
 
Def.: Denomina-se densidade superficial de 
massa ( σ ) (sigma): 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ 2m
kg
Sd
md 
 
Se σ é constante então 
m = σ S 
mas se σ depende das coordenadas do espaço 
σ = σ (x,y,z) 
então 
Sddm σ= 
 ∫ ∫ σ= Sdmd 
)kg(Sdm ∫ σ= 
 
Obs.: Ver Exercício 3.2* resolvido. 
 
c) Distribuição Linear de 
massa 
Seja uma massa total m distribuída ao longo de 
uma linha curva Γ . 
 
 
 
Def.: Denomina-se densidade linear de massa (λ) 
(lâmbida): 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=λ
m
kg
d
md
l 
 
Se λ é constante então 
m = λ l 
mas se λ depende das coordenadas do espaço 
λ = λ (x,y,z) 
então 
lddm λ= 
∫ ∫ λ= ldmd 
 
)kg(dm ∫ λ= l 
 
Obs.: Ver Exercício 3.1* resolvido. 
 
d) Distribuição puntual de 
massas ou Distribuição 
discreta ou descontínua de 
partículas 
 
Seja um conjunto de massas puntiformes ou 
partículas em uma região do espaço. 
Seus pontos são adimensionais, portanto, não cabe 
aqui a definição de uma densidade puntual de 
massas, já que o ponto não tem dimensão. Mas 
nesta distribuição puntual de massas, podemos 
localizar cada ponto e associar a ele uma massa. 
 
dm 
S 
dS
Γ d l 
dm 
dm 
V 
dV 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
40
 
 
m = massa total da região 
 
m = m1 + m2 + m3 + ... + mn 
∑
=
= n
1i
imm 
∑= )kg(mm i 
 
 
3.1.2 - Reducionismos do 
Centro de Massa 
 
 
Se observarmos um mergulhador pulando de um 
trampolim, ou uma bailarina dançando, ou um 
ginasta realizando movimentos em um tablado 
ou aparelho, poderemos observar que o 
movimento analisado do ponto de vista do 
Centro de Massa deste corpo, simplifica-lhe 
muito o estudo desses movimentos centralizando 
as massas de todos os movimentos. 
 
O Centro de Massa de um Sistema, é o ponto 
que se pode estudar, como se nele estivessem 
concentrados toda a estática e dinâmica de 
translação do movimento. Grandezas que estão 
uniformemente distribuídas em torno do ponto 
denominado de Centro de Massa: 
 
(a) Massa (m) pode ser toda ela concentrada na posição doCentro de Massa do corpo 
 
(b) Posição (rCM) do Centro de Massa representa a 
posição média do corpo 
 
(c) Distribuição de massa (m rCM) do Centro de 
Massa, representa a centralização da massa do corpo a um único 
ponto, o centro de massa de todo o corpo 
 
(d) Velocidade (vCM) do Centro de Massa, 
representa a velocidade de todo o corpo 
 
(e) Momentum ou Momento linear resultante é 
dado pelo produto entre m total e vCM ; pR =pCM = m vCM 
 
(f) Aceleração, (aCM) do Centro de Massa, 
representa a aceleração de todo o corpo 
 
(g) Força Resultante (FR = maCM) é dada pelo produto 
entre m total e aCM ; FR =FCM = m aCM 
 
(h) Impulso linear resultante : I = FR ∆t 
 
No entanto, as grandezas rotacionais, tem variáveis 
que servem para todos os pontos do corpo, e não 
necessariamente apenas para o Centro de Massa: 
 
velocidade angular (ω) 
aceleração angular (α) 
momento angular (L) para um eixo definido e 
Impulso angular (Iθ ) 
momento de Inércia (I) para um eixo definido 
Torque (τ). 
 
Vejamos o movimento de um disco que lançado e 
estando em estado de rotação, tem cada ponto com 
uma velocidade para uma direção diferente, no 
entanto, o movimento de seu Centro de Massa 
permanece realizando um movimento parabólico 
simples, como se toda sua massa estivesse 
centrada em seu ponto, realizando um movimento 
de projétil ao ser lançado no campo gravitacional 
ambiente. Podemos observar, portanto, que neste 
movimento, cada ponto do corpo tem posições, 
velocidades, acelerações, das mais variadas, e 
portanto, para a translação estaremos nos 
concentrando os valores no centro de massa do 
corpo. No entanto, sob o ponto de vista de suas 
grandezas angulares, elas irão valer, e ter leis mais 
simples, para todos os pontos do corpo. 
 
 
 Figura 3.1 - O movimento de um corpo em forma de disco, 
girando. Observa-se que qualquer que seja seu movimento 
associado às grandezas rotacionais, o movimento de translação 
de seu Centro de Massa realiza uma trajetória parabólica, como se 
toda a massa do disco estivesse neste ponto. 
 
A localização do Centro de Massa ou Centro de 
Gravidade, pois coincidem, se caracteriza pelo 
ponto de apoio que equilibraria o peso do corpo. Na 
prática sob o aspecto de equilíbrio gravitacional, 
podemos achar o Centro de Gravidade, pendurando 
o corpo por dois pontos distintos, estando o seu 
Centro de Massa (CM) ou Centro de Gravidade (G), 
no ponto onde as linhas verticais (direção do campo 
de gravitacional), traçadas dos pontos de apoio, se 
cruzam. 
 
m 1 
m 2 
m 3 
... m n 
y x 
z 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 41 
 
 
 
 
Se pendurarmos uma cadeira ou uma ferradura 
por dois pontos, o encontro das verticais se 
encontrarão no Centro de Massa, CM. O CM não 
necessariamente precisa estar num ponto de 
matéria do corpo, como por exemplo uma 
ferradura. 
 
 
 
3.1.3 – Centro de Massa 
de um Sistema de 
Partículas 
 
Consideremos que as partículas de massas: m1, 
m2, ... mn, estejam nas seguintes posições: r1 , r2 
, ... rn , com as velocidade v1 , v2 , ... vn , 
respectivamente, localizadas segundo um 
sistema de coordenadas fixo a um sistema 
referencial inercial. Podemos imaginar um 
sistema de estrelas com suas massas e 
posições, ou um sistema de partículas do ar, ou 
um grupo de átomos se movimentando. 
 
 
 
m1 está na posição central parcial do Sistema: 
kz~jy~ix~r
~
1111
rrrr ++= 
com velocidade: 
kv~jv~iv~v
~
1z1y1x1
rrrr ++= 
m2 está na posição: 
kz~jy~ix~r
~
2222
rrrr ++= 
com velocidade: 
kv~jv~iv~v
~
2z2y2x2
rrrr ++= 
... 
mn está na posição: 
kz~jy~ix~r
~
nnnn
rrrr ++= 
com velocidade: 
kv~jv~iv~v
~
znynxnn
rrrr ++= 
 
O Centro de Massa CM do Sistema com massa 
total m estará na posição: 
kzjyixr
MC
rrrr ++= 
com velocidade 
kvjvivv zyxCM
rrrr ++= 
 
A Posição do Centro de Massa (CM), MCr
r
 no 
caso do Sistema de Partículas é obtida pela 
seguinte expressão: 
 
nn2211n21C mr
~
...mr
~
mr
~
)m...mm(r M
rrrr +++=+++ 
 
considerando a notação 
 
∑∑ =+++=
=
iinn2211
n
1i
ii mr
~
mr
~
...mr
~
mr
~
mr
~ rrrrr
 
 
Poderia-se também excetuar o indice de somatório 
e usar a notação de que termos com índices 
repetidos se somam até o último valor : 
ii
n
1i
ii mrmr
~ rr =∑
=
 
mas não iremos usar esta notação aqui. 
A massa total seria 
∑∑ =++==
=
in
n
i
i mmmmmm ...21
1
 
podemos escrever 
∑∑ = iiiC mr~mr M rr 
então, 
∑
∑=
i
ii
C m
mr
~
r M
r
r
 
 
No espaço tridimensional 
 
kzjyixr
MC
rrr ++= 
 
kz~jy~ix~r
~
iiii
rrr ++= 
 
A equação vetorial se transforma em 3 equações 
escalares, linearmente independentes e ortogonais: 
 
CM 
CM
CM 
nm
2m
nr
~r
2r
~r
1r
~r
 
MCr
r
nv
~r
2v
~r
MCv
r
1v
~r
 
m 
yx 
z 
1m
Figura 3.2.1 – Sistema de Partículas 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
42
 
e a velocidade do Centro de Massa será dada 
pela derivada desta expressão, ou seja, 
MM CC rdt
dv
rr = 
∑∑ = iiiC mv~mv M rr 
Assim, 
∑
∑=
i
ii
C m
mv
~
v M
rr
 
 
e a aceleração do Centro de Massa será dada 
pela derivada desta expressão, ou seja, 
MM CC vdt
da
rr = 
∑∑ = iiiC ma~ma M rr 
Assim, 
∑
∑=
i
ii
C m
ma
~
a M
rr
 
 
e a Força Resultante: 
 
MCR amF
rr = 
 
Portanto, estarão representados todos os pontos 
de um corpo, por esta posição central, chamado 
centro de massa, como se nele estivessem 
concentrados, seja do sistema de partículas ou 
do corpo rígido, ou de um sistema de corpos 
rígidos, todos os outros pontos das seguintes 
grandezas: distribuição de massas do corpo, 
distribuição de posições das partes do corpo, 
distribuição de velocidades de cada ponto do 
corpo, distribuição de acelerações de cada 
posição, e forças que atuam em cada região. 
Essas grandezas de translação descreveriam a 
situação do corpo extenso pelos dados de seu 
centro de massa de: m, RCCC F,a,v,r MMM
rrrr
. 
Mas não descreveriam as grandezas angulares 
que valem para todos os pontos do corpo e que 
descreveremos na seqüência deste curso. 
 
 
3.1.4 - Centro de Massa 
de um Corpo Rígido 
 
No caso de um Corpo Rígido, os pontos se 
mantém coesos e contínuos e assim o sinais de 
somatório se transformam em integrais ou 
somas contínuas e os índices i’s se transformam 
nas grandezas infinitesimais (d de diferencial) de 
massa dm : 
 
 
 
∫∫ = dmr~dmr MC rr 
Sendo 
∫= dmm 
 
dminitesimalinfmassadeelementonoMassadeCentrodoposiçãor
~=r
 
 
Temos: 
∫
∫=
dm
dmr
~
r MC
rr
 
 
De forma tridimensional 
 
kzjyixr
MC
rrr ++= 
 
kz~jy~ix~r
~ rrrr ++= 
 
o vetor posição se transforma em 3 equações 
escalares, linearmente independente e ortogonais: 
 
 
 
Onde o centro )z~;y~;x~(C ≡ representa a posição 
do centro de massa do elemento infinitesimal de 
massa escolhido para integração. 
 
A velocidade do Centro de Massa será dada pela 
derivada desta expressão, ou seja, 
MM CC rdt
dv
rr = 
∫∫ = dmv~dmv MC rr 
Assim, 
∫
∫=
dm
dmv
~
v MC
rr
 
 
O momentum do Centro de Massa será dado por: 
z 
y 
x 
r
r
 
CM 
dm M
Cr
r
 
Fig. 3.2.2 – Centro de Massa de um 
Corpo Rígido 
 
 
 ∑
∑=
i
ii
m
mx~
x∑
∑=
i
ii
C m
mr
~
r M
r
r ∑
∑=
i
ii
m
my~
y 
 
 ∑
∑=
i
ii
m
mz~
z
 
 ∫
∫=
dm
dmx~
x 
 
 ∫
∫=
dm
dmr
~
r
MC
r
r ∫
∫=
dm
dmy~
y 
 
 ∫
∫=
dm
dmz~
z 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 43 
 
 
MCCMiiR vmpv
~
mp
rrrr ∑ === 
 
Assim, 
MCR vmp =
r
 
 
e a aceleração do Centro de Massa será dada 
pela derivada desta expressão, ou seja, 
MM CC vdt
da
rr = 
∫∫ = dma~dma MC rr 
Assim, 
∫
∫=
dm
dma
~
a MC
rr
 
 
e a Força Resultante: 
 
MCR amF
rr = 
 
Derivam do conceito de Centro de Massa CM os 
conceitos de: (a) Centro Geométrico C ou 
Centróide; (b) Centro de Gravidade CG ou 
Baricentro;e (c) Centro de Forças Paralelas CF. 
 
3.1.5 – Centróide ou 
Centro Geométrico 
(CV, CA, CL) 
 
Se subdivide em 
 
Centróide de Volume (CV), 
Centróide de Área (CA) e 
Centróide de Linha (CL) 
 
Centro Geométrico ou Centróide de um corpo, 
corresponde à localização Central da distribuição 
de volumes, ou de áreas, ou de linhas, através 
das partes desse corpo. Expressões análogas às 
anteriores se aplicam trocando m por V , A ou 
L. 
 
a) Centróide de Volume (CV) 
 
Se o corpo for homogêneo, ou seja, possui 
mesma densidade volumétrica de massa: 
 
ρ = m / V = constante 
 
Então o Centro de Massa CM , coincide com o 
Centróide de Volume CV , pois, 
 
m = ρ . V = cte . V 
então 
 
VM Ci
ii
i
ii
i
ii
C rV
Vr
~
V.cte
V.cte.r
~
m
mr
~
r
r
rrr
r ==== ∑
∑
∑
∑
∑
∑
 
 
 
⇒ CM ≡ CV 
ou 
GM CC rr
rr = 
 
E valem as expressões análogas abaixo 
relacionadas: 
Corpos discretos: 
 
Corpos contínuos: 
 
 
 
Valem as expressões para corpos discretos quando 
consideramos o caso de um sistema de corpos 
rígidos ou então um corpo rígido, na qual se pode 
separá-lo em partes de corpos rígidos de 
geometrias mais simples, em que se conhece o 
Centróide de cada parte. Sendo homogêneo, ou 
seja, tem densidade volumétrica de massa 
constante, pode-se aplicar de cada uma delas a 
expressão volumétrica discreta para determinar-lhe 
a posição central do conjunto. 
 
Ainda podemos reduzir uma dimensão da estrutura 
tridimensional do Centróide de Volume CV caindo 
na estrutura de área. Sendo constante ou 
desprezível uma das dimensões da peça pode-se 
calcular o Centróide de Área CA , e dele determinar 
o centróide de volume CV e de massa CM que em 
duas de suas dimensões coincidem e a outra 
dimensão de define pelo meio da quantidade de 
espessura constante (e/2). 
 
b) Centróide de Área (CA) 
 
O Centro de Massa CM coincide com o Centróide de 
Área CA em duas dimensões quando o corpo for 
homogêneo (mesma densidade: ρ = const1) e 
ainda tenha uma das dimensões, e, por exemplo, 
espessura, seja ela desprezível ou então constante. 
Assim sendo, como 
 
ρ =m/V ⇒ m = ρ.V = ρ.(e.A) = (ρ.e) A = cte.A 
 
Portanto, 
 
AM Ci
ii
i
ii
i
ii
C rA
Ar
~
A.cte
A.cte.r
~
m
mr
~
r
r
rrr
r ==== ∑
∑
∑
∑
∑
∑
 
 
 
⇒ CM ≡ CA 
 
 ∫
∫=
dV
dVx~
x
 
 ∫
∫=
dV
dVr
~
r
VC
r
r ∫
∫=
dV
dVy~
y 
 
 ∫
∫=
dV
dVz~
z 
 
 
 ∑
∑=
i
ii
V
Vx~
x 
 
 ∑
∑=
i
ii
C V
Vr
~
r
V
r
r ∑
∑=
i
ii
V
Vy~
y 
 
 ∑
∑=
i
ii
V
Vz~
z 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
44
ou 
AM CC rr
rr = 
 
 
Então CM ≡ CA em duas dimensões, a terceira 
dimensão será no centro da peça (em ± e/2) de 
espessura e constante. Sendo a área encurvada 
pelo espaço, acabamos por ter para o ponto 
central da área três coordenadas. 
Assim as expressões válidas para o Centro de 
Áreas será: 
 
Corpos discretos: 
 
 
Corpos contínuos: 
 
 
 
 
Portanto, 
);;( zyxr
MC =
r
= );;( zyxr
AC =
r
 
se 
.constespessuraee.const ===ρ 
 
 c) Centróide de Linha (CL) 
 
Sendo a distribuição de massa do corpo feito ao 
longo de uma linha, podendo por isso desprezar 
duas dimensões da peça ou considerar sua 
secção transversal constante, podemos definir o 
Centróide de Linha CL. Para o caso de uma linha 
contínua podemos obter as coordenadas de seu 
centro de massa pelas expressões: 
 
Corpos discretos: 
 
Corpos contínuos: 
 
 
O Centro de Massa CM coincide com o Centróide 
de Linha CL quando a área da seção transversal da 
linha for desprezível ou constante. 
 
ρ =m/V ⇒ m = ρ.V = ρ.(A.L) = (ρ.A) L = cte.L 
 
Portanto, 
 
LM Ci
ii
i
ii
i
ii
C rL
Lr
~
L.cte
L.cte.r
~
m
mr
~
r
r
rrr
r ==== ∑
∑
∑
∑
∑
∑
 
 
⇒ CM ≡ CL 
ou 
LM CC rr
rr = 
 
 
No caso de espessura e largura desprezíveis a 
coincidência é perfeita, mas no caso de valores 
constantes não desprezíveis, a coincidência se faz 
em uma dimensão e nas outras duas dimensões 
serão no centro de massa da secção tranversal da 
área. 
 
 
Portanto, 
);;( zyxr
MC =
r
= )z;y;x(r
LC =
r
 
se 
.consttransveralçãosecdaáreaAe.const ===ρ
 
l 
e 
L
Redução de Volume V com secção 
transversal constante para a linha L 
CL
L
A
C C 
V
Redução de Volume com espessura constante para área 
 
 ∫
∫=
dL
dLx~
x 
 
 ∫
∫=
dL
dLr
~
r VC
r
r ∫
∫=
dL
dLy~
y 
 
 ∫
∫=
dL
dLz~
z 
 
 
 ∑
∑=
i
ii
L
Lx~
x 
 
 ∑
∑=
i
ii
VC L
Lr
~
r
r
r ∑
∑=
i
ii
L
Ly~
y 
 
 ∑
∑=
i
ii
L
Lz~
z 
 
 ∫
∫=
dA
dAx~
x
 
 ∫
∫=
dA
dAr
~
r VC
r
r ∫
∫=
dA
dAy~
y 
 
 ∫
∫=
dA
dAz~
z 
 
 
 ∑
∑=
i
ii
A
Ax~
x 
 
 ∑
∑=
i
ii
VC A
Ar
~
r
r
r ∑
∑=
i
ii
A
Ay~
y 
 
 ∑
∑=
i
ii
A
Az~
z 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 45 
 
 
3.1.6 - Baricentro ou 
Centro de Gravidade (CG) 
 
Centro de Gravidade ou Baricentro de um 
corpo: corresponde ao ponto de equilíbrio de um 
corpo em relação à distribuição dos pesos 
(forças paralelas) através das partes desse 
corpo. As equações são semelhantes às do 
Centro de Massa, trocando-se a variável massa, 
m, pela variável peso, P, do corpo que inclui o 
produto pela aceleração gravitacional local. 
O Centro de Gravidade ou Baricentro se 
caracteriza por ser um caso particular de Centro 
de Massa, apesar de serem coincidentes, uma 
vez que é uma grandeza mais usada nos países 
de línguainglesa, dado que o conceito de massa 
no Sistema de Unidades Inglês é um conceito 
derivado do conceito de força peso, em libras, 
sendo o slug, unidade de massa, não muito 
utilizado na prática por ser muito grande uma vez 
que sendo g = 32 ft/s2 , então, 1 slug = 32,2 
libras/32,2 ft/s2 = 14,5938 kg, ficando uma 
unidade extremamente incomoda pela sua 
origem. Nesse caso o conceito de massa é 
utilizado apenas em caso de passagem de 
cálculos intermediários. O conceito de massa é 
mais fundamental na física e no Sistema 
Internacional de Unidades, sendo o Conceito de 
massa e Centro de Massa, mais importante do 
que o conceito de peso e Centro de Gravidade, 
pois vale para qualquer corpo em qualquer lugar 
do Universo. Centro de Gravidade vale e se 
iguala ao Centro de Massa em locais em que 
apareça o campo gravitacional. 
Definimos Centro de Gravidade ou Baricentro: 
 
 
As expressões: 
 
Corpos discretos: 
 
Corpos contínuos: 
 
 
 
 
 
 
O Centro de Gravidade ou Baricentro CG coincide 
com o Centro de Massa CM quando a aceleração da 
gravidade g
r
 é constante em todas as regiões que 
fazem parte do corpo, assim 
 
P =mg ⇒ m = P/g = (1/g) P = cte.P 
 
Portanto, 
 
GM Ci
ii
i
ii
i
ii
C rP
Pr
~
P.cte
P.cte.r
~
m
mr
~
r
r
rrr
r ==== ∑
∑
∑
∑
∑
∑
 
 
 
⇒ CM ≡ CG 
ou 
GM CC rr
rr = 
 
 
Quando o Baricentro não coincide 
com o Centro de Massa ? 
 
Quando a aceleração gravitacional não é a mesma 
em todos os pontos do corpo, o que é raro. Assim 
sendo o Centro de Massa e o Baricentro não 
coincidem, como no exemplo abaixo. Suponha um 
poste muito alto de tal forma que a gravidade na 
extremidade de baixo não coincide com a 
extremidade de cima, neste caso os pontos de 
massas mais próximas da Terra terão maior peso, 
sendo que os pontos de massa na extremidade 
mais longe da Terra terão peso menor. Assim 
sendo o Centro de Gravidade ficará abaixo do 
Centro de Massa: CM ≠ CG. No entanto para 
corpos em que a gravidade é a mesma em todos os 
pontos do corpo o Centro de Massa coincide com o 
Centro de Gravidade CM = CG. Sendo: 
G=constante universal de Gravitação = 6,67 x 10-11 
(SI); MT = massa da Terra= 5,98 x 1024 kg; r = 
distância do centro da Terra até um ponto qualquer; 
RT= raio médio da Terra= 6,37 x 106 m; gsuperfície da 
Terra = 
 
P
GCG 
dP 
P 
GCr
r
r
r
 
 
 ∫
∫=
dP
dPx~
x 
 
 ∫
∫=
dP
dPr
~
r
GC
r
r ∫
∫=
dP
dPy~
y 
 
 ∫
∫=
dP
dPz~
z 
 
 
 ∑
∑=
i
ii
P
Px~
x 
 
 ∑
∑=
i
ii
GC P
Pr
~
r
r
r ∑
∑=
i
ii
P
Py~
y 
 
 ∑
∑=
i
ii
P
Pz~
z 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
46
 
 
Em um ponto qualquer à distância r do Centro da 
Terra : )ˆ(' 2 r
T e
r
MGg −=r 
Na Superfície da Terra: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=−=
2rr2
T
T
s
meˆ8,9)eˆ(
R
M
Gg
r
 
 
3.1.7 - Centróides 
de Figuras Simétricas e 
Homogêneas 
 
a) Centróides de Linhas 
 
1) Reta 
 
2) Arco de quarto de circunferência e 
 semicircunferência 
 
 
 
 
3) Segmento de Arco de circunferência 
 
 
 
b) Centróide de Superfícies 
 
4) Retângulo 
 
 
5) Triângulo 
6) Quarto de círculo e semi-círculo: 
 
 
7) Quarto de Elipse e semi-elípse: 
 
8) Semiparábola e parábola interna 
 
 
9) Semi-parábola externa 
 
10) Polinômio de grau n 
 
y 
x 
y 
π= 3
r4
x
CM CM
0x = 
A = π r2 / 4 
A = π r2 / 2 
π= 3
r4
yπ= 3
r4
y
CM 
a
h 
2n4
h)1n(y +
+=
2n
a)1n(x +
+=
 y = k xn
 A = a h / (n+1)
CM 
 a 
h 
10
h3
y =
4
a3x =
 A = a h / 3
 y = k x2
5
h3
y=
8
a3
x = a 
h CM C
A=2a h / 3 A=4a h / 3 
CC
 a 
π= 3
a4x
 CM CM
b
 a
 y 
x
A = π a b / 4 A = π a b / 2y
π= 3
b4
y 
CM
h 
h
CM 
3
h
3/b
3
h
 a 
 b b (a + b ) / 3 
3
h2
3/b2
CM 
2/h
2
b
A = b.h 
θ 
θ 
r
θ
θ= senrx
CM x 
y 
L = 2 θ r
r 
π= /r2x
π=
r2y 
CCM 
L = π r / 2 
L = π
π=
r2y 
l/2 
l 
CM 
P= m g
r
 
CM 
CG 
P’ = m 'g
r < P 
Terra 
rr2
T
T eˆs/m8,9)eˆ(
R
M
Gg
2−≅−=r
)ˆ(' 2 r
T e
r
MGg −=r
 radialversoreˆ r =
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 47 
 
 
11) Arco de círculo 
 
 
c) Centro de Massa de 
Volumes 
 
12) Semi-esfera 
 
13) Cone 
 
 
 
 
3.2 - Centro de Massa 
para um Sistema de 
Corpos Rígidos 
 
3.2.1- Distribuição de 
Corpos em Volumes 
 
Dado um corpo composto, de várias partes mais 
simples, com seus centróides conhecidos 
(formulário), podemos determinar o seu Centro 
de Massa, reduzindo o centro de cada parte no 
Sistema de Referência à característica a ela 
atribuída, seja massa, volume, área, linha ou 
peso e aplicar a expressão do somatório médio 
discreto, calculando-lhe o centro. Vamos dar o 
exemplo de corpos rígidos que podem ser 
homogêneos (Centróide de Volume, Área, Linha, 
Peso) ou não-homogêneos (Centro de Massa). 
Os exemplos abaixo relacionam volumes 
homogêneos no primeiro caso e áreas no 
segundo caso, e mistura de volumes, áreas e 
linhas e em cada um dos casos, com densidades 
específicas, podendo terem densidades iguais 
no primeiro e segundo caso ou diferentes e no 
terceiro caso, mas de qualquer maneira deve-se 
calcular a massa pois mistura-se os tipos de 
densidades dimensionais. Em todos os casos 
determina-se as respectivas posições parciais dos 
centros de massas de cada parte Ci ≡ )z~;y~;x~( iii 
e as massas associadas de cada parte m i , para i 
variando de 1 a n, no caso dos exemplos 
 
Aplica-se a equação do Centróide dos Volumes, no 
caso da Figura abaixo, caso cada parte dos corpos 
rígidos abaixo, tenham a sua característica de 
densidade constante ao longo de suas partes, mas 
diferentes para cada parte: 
 
 
 
 
Posições parciais dos 
Centróides
Volumes Massas-densidades 
diferentes 
)z~;y~;x~(C 1111 = 
)z~;y~;x~(C 2222 =
)z~;y~;x~(C 3333 =
)z~;y~;x~(C 4444 =
)z~;y~;x~(C 5555 =
)z~;y~;x~(C 6666 = 
1V 
2V− 
3V 
4V 
5V 
 6V 
111 Vm ρ= 
212 Vm ρ=−
333 Vm ρ= 
444 Vm ρ= 
555 Vm ρ= 
 666 Vm ρ= 
 
No caso das densidades das partes serem todas 
iguais, basta as informações das duas primeiras 
colunas, ou seja, dos centros das partes e os 
volumes, e para as coordenadas do centro de 
volume que coincide com o centro de massa, 
utiliza-se as expressões: 
 
 
No caso em que os corpos rígidos tenham 
densidades diferentes temos que configurar o 
Centro de Massa calculando a massa para cada 
parte, a terceira coluna, multiplicando as 
densidades pelos volumes respectivos, e daí 
y x 
z 
CM 
h / 4 
h 
V=(1/3)π r2 h 
y 
x 
z 
CM
3 r / 8 
V = 2 π r3 / 3 
CM 
r 
θ 
θ 
θ
θ=
3
senr2x
2rA θ=
x
y
z
1C3C
4C
5C 
6C
2C 
Fig. 3.2.3 – Centro de Massa de um Sistema de Corpos Rígidos 
 em Volumes parciais de densidades diferentes 
 
 ∑
∑=
i
ii
V
Vx
x
~
 
 ∑
∑=
i
ii
C V
Vr
~
r V
rr ∑
∑=
i
ii
V
Vy
y
~∑
∑=
i
ii
V
Vz
z
~
 
 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
48
calcular o Centro de Massa do Sistema de 
Corpos Rígidos, pelas expressões: 
 
 
 
Aqui o til (~) sobre a coordenada, estabelece que 
cada componente denota a coordenada do 
centróide parcial de cada corpo rígido em 
separado. 
 
3.2.2- Distribuição de 
Corpos em Áreas 
 
No caso da Figura de áreas abaixo, figura plana, 
aplica-se a expressão para o Centróide de áreas, 
caso as densidades das placas sejam as 
mesmas a fim de determinar-se o Centróide de 
Área que neste caso coincide com Centro de 
Massa do Sistema de Corpos Rígidos, nas 
coordenadas x e y , e sendo a espessura e 
constante teríamos para a coordenada 
2ez /−= . 
 
 
 
Do contrário, se as densidades das partes não 
são as mesmas, mas feitas de materiais 
diferentes, σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 ≠ ... ≠ σ6 , faz-se como no 
caso acima para cada parte calcula-se a massa 
de cada placa (Área x Densidade Superficial) e 
calcula-se os Centros de Massa parciais a fim de 
determinar-se o Centro de Massa do Sistema de 
Corpos Rígidos nas coordenadas x e y , e 
sendo a espessura e constante teríamos para a 
coordenada 2ez /−= . 
 
Posições parciais dos 
Centróides 
Área Massas 
Densidades Diferentes 
)z~;y~;x~(C 1111 = 
)z~;y~;x~(C 2222 = 
)z~;y~;x~(C 3333 = 
)z~;y~;x~(C 4444 = 
)z~;y~;x~(C 5555 = 
)z~;y~;x~(C 6666 = 
 
 
1A 
2A− 
3A 
4A 
5A 
6A 
 
111 Am σ= 
222 Am σ−=− 
333 Am σ= 
444 Am σ= 
555 Am σ= 
666 Am σ= 
 
 
 
3.2.3- Distribuição de 
Corpos em Volumes, Áreas 
e Linhas misturados: 
 
No caso da Figura abaixo, mistura-se volumes, 
áreas e linhas, com materiais e densidades 
distintas, assim é necessário aplicar-se os produtos 
das geometrias pelas densidades respectivas e 
calculos das massas e suas posições Centrais 
parciais. Aplica-se então as expressões dos centros 
de massa: 
 
 
Neste caso em que há misturas de linhas, áreas e 
volumes, somente resta, a partir das respectivas 
densidades de linha, densidades de áreas e 
densidades de volume, calcular as massas de cada 
parte calculando em seguida a posição do Centro 
de Massa do Conjunto. 
 
Posições parciais dos 
Centróides 
Geometri
as 
Variadas 
Massas 
Densidades diferentes 
 
 
m
mx~
x ii∑
∑=
 
m
mr
~
r iiCM ∑
∑=
rr 
m
my~
y ii∑
∑=
 
m
mz~
z ii∑
∑= 
 
 ∑
∑=
i
ii
A
Ax
x
~
 
 ∑
∑=
i
ii
C A
Ar
~
r A
rr ∑
∑=
i
ii
A
Ay
y
~
 
 ∑
∑=
i
ii
A
Az
z
~
 
C1 C2 
C3 
C4 
C5 
C6 
x 
y 
Fig. 3.2.4 – Centro de Massa de um Sistema de Corpos Rígidos 
 em Área 
x
y
z 1
C
3C
4C
6C
2C
5C 
Fig. 3.2.4 – Centro de Massa de um 
Sistema de Corpos Rígidos 
em Volumes, Áreas e Linhas 
 
 
i
ii
m
mx~
x ∑
∑= 
 
i
ii
C m
mr
~
r M ∑
∑=
rr 
i
ii
m
my~
y ∑
∑= 
 
i
ii
m
mz~
z ∑
∑= 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 49 
 
 
)z~;y~;x~(C 1111 = 
)z~;y~;x~(C 2222 = 
)z~;y~;x~(C 3333 =
)z~;y~;x~(C 4444 =
)z~;y~;x~(C 5555 = 
)z~;y~;x~(C 6666 = 
1L 
2L 
3V 
4A 
5A− 
 6L 
111 Lm λ= 
222 Lm λ= 
333 Vm ρ= 
444 Am σ= 
555 Am σ−=− 
 666 Lm λ= 
Localiza-se as coordenadas dos Centróides de 
cada parte e associa-se as características de 
volume ou de área ou de linha a cada parte. 
Calcula-se a massa pelas densidades 
respectivas e aplicamos a equação de Centro do 
Massa por somatória para determinação do 
Centro de Massa da figura toda. 
 
 
 
3.3 - Teorema de Pappus 
 
Pappus no século III (d.C.) descobre usando 
centróides como gerar por revolução áreas e 
volumes quaisquer. 
 
3.3.1 - Superfície Gerada por 
uma Linha de Revolução 
 
Gera-se uma superfície de área A, quando se 
gira uma linha de comprimento L de um ângulo θ 
( 0<θ≤ 2π) em torno de um eixo fixo. 
 
 
3.3.2 - Volume Gerado por uma 
Superfície ( de área A) de 
Revolução 
Gera-se um volume V, quando se gira uma 
superfície de área A, de um ângulo θ ( 0<θ≤ 2π) 
em torno de um eixo fixo. 
 
 
 
3.8 – Resumo do Capítulo 3 
 
1.Distribuições de Massa 
a) Distribuição Volumétrica de massa 
b) Distribuição Superficial de massa 
c) Distribuição Linear de massa 
d) Distribuição Puntual de massa 
2.Centro de Massa ; Centróide de Volume de Área de Linha; 
Baricentro ; Massa ; Volume ; Área ; Linha ; Peso 
)z~;y~;x~(C iiii ≡ ⇒ iiiii P;L;A;V;m  
 
 
 
 
3. Sistema de Corpos Rígidos: 
(a) Corpo Composto de Volumes 
 
(b) Corpo Composto de Áreas: transforma‐se tudo em área: 
 
(c) Corpo Composto de Volumes, Áreas, Linhas e massas: 
C C
C3
C
C
C
x 
y 
x
y
z
1C3C
4C
5C
6C
2C
 CM ≡ CG ⇒ Se .constg =r 
 CM ≡ CV ⇒ Se .const=ρ 
 CM ≡ CA ⇒ Se .const=σ e = espessura = cte 
 CM ≡ CL ⇒ Se .const=λ , A = área da secção transveral da linha = cte 
Sistema de Partículas ou
de Corpos Rígidos 
Corpo Rígido 
∑
∑
φ
φ=φ
i
ii
C
r
~
r
rr
∫
∫
φ
φ=φ d
dr
~
r C
rr
 
φ pode 
representar : 
 
∑
∑
φ
φ=
i
iix
~
x
∑
∑
φ
φ=
i
iiy
~
y
φ
φ= ∑ iiz
~
z
 
∫
∫
φ
φ=
d
dx~
x 
∫
∫
φ
φ=
d
dy~
y 
∫
∫
φ
φ=
d
dz~
z 
 
 
 
 
 m ( massa ) 
P ( Peso ) 
F (Força) 
 V (Volume) 
A ( Área ) 
 L ( Linha ) 
 
 
 
i
ii
m
mx~
x ∑
∑= 
 
i
ii
C m
mr
~
r M ∑
∑=
rr 
i
ii
m
my~
y ∑
∑= 
 
i
ii
m
mz~
z ∑
∑= 
 
“ O Volume V formado ao gira-se 
uma superfície de revolução A 
em torno de um eixo fixo 
é diretamente proporcional 
(a) ao ângulo θ ( 0<θ≤ 2π) 
de giro da superfície, 
(b) à distância r 
entre o centróide da superfície 
e o eixo de giro e 
(c) à área A da superfície de giro.” 
 
ArV θ= 
 
“ A área A, formada ao girar-se 
um linha de revolução L 
em torno de um eixo fixo, 
é diretamente proporcional 
(a) ao ângulo θ ( 0<θ≤ 2π) 
de giro da linha 
(b) à distância r 
entre o centróide da linha 
e o eixo de giro e 
(c) ao comprimento L da linha.” 
 
LrA θ= 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=σ
2m
kg
Ad
md
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=ρ 3m
kg
Vd
md
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=λ
m
kg
Ld
md
∑
∑=
i
ii
C V
Vr
~
r V
rr
∑
∑=
i
ii
V
Vx~
x
∑
∑=
i
ii
V
Vy~
y
∑
∑=
i
ii
V
Vz~
z
∑
∑=
i
ii
C A
Ar
~
r A
rr
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
50
 
 
 
 
 
3.4 - Exercícios 
Resolvidos 
 
a) Distribuições de Massa 
 
3.1*) Dada a barra AB da figura, de comprimento 
total s, onde é feita uma distribuição de massa, 
com densidade linear de massa variando com a 
distância l ao início dabarra, de acordo com a 
expressão, λ = a l + b (kg / m) , onde l ∈ AB. 
(a) Determine a massa total da barra em função 
de a, b e L; (b) Determine a massa 
considerando que L = 5m ; a = 4 e b = 6 .(c) 
determine o Centro de Massa da barra. 
 Obs.: A densidade da barra não é constante, portanto, 
ela aumenta a medida que aumenta x, ou seja, em x = 
0 a densidade é de 6 kg/m em x = 5 m a densidade 
vale 26 Kg/m. 
 
 
 
Solução: 
ld
md=λ ⇒ lddm λ= ⇒ ∫ ∫ λ= ldmd 
⇒ ∫ λ= ldm ⇒ dxdx == ll ; 
∫ +=
L
0
dx)bxa(m 
L.bL)2/a(mxb
2
xa 2L0
2
+=⇒+ ⇒ 
(b) m = (4/2) 52 + 6 x 5 = 80 kg 
 (c) 
=+=λ== ∫∫∫
6
0
dx)6x4(xdxxdmxmx 
∫ =+=+=
5
0
5
0
3
2 67,196x6
3
x4
dx)x5x4(mx
⇒=+= 67,196
2
5x6
3
5x4
mx
23
⇒=+= 67,196
2
5x6
3
5x4
mx
23 
x = 2,4583kg 
 
3.2*) Dado que a superfície da figura, em forma de 
um disco circular de raio máximo a, recebe 
distribuição de massa, cuja densidade superficial de 
massa varia com o raio r ( 0 ≤ r ≤ a ) do circulo, a 
partir de seu centro de acordo com a expressão: σ 
= γ / ( r2 + 1 ) , onde γ = const. > 0. 
(a) Determinar a massa total, a partir das variáveis 
do problema genérico; (b) Achar a massa total 
considerando os dados das constantes: γ = 5 (SI) ; 
a = 2 m. 
Solução: 
Sd
md=σ ( 
2m
kg
 ) ⇒ Sddm σ= ⇒ 
∫ ∫ σ= Sdmd ⇒ ∫ σ= Sdm ⇒ 
dS = (2 π r ) dr ; d ( r2 + 1 ) = 2 r d r 
∫ +
+γπ=
a
0
2
2
1r
)1r(dm 
=+γπ a02 )1r(ln 1ln)1a(ln 2 −+γπ 
m = π γ ln ( a2 + 1) ⇒ (b) m = 25,3 kg 
 
 
3.3*) Em uma casca esférica de raios interno a e 
externo b é distribuída uma massa que obedece a 
seguinte distribuição de densidades volumétricas 
34
1
rπ=ρ onde r está: a < r < b. Qual é a 
massa total m ? (b) Determine a massa 
considerando que as constantes da figura sejam: 
a= 2m e b= 7m. 
 
 
Solução: 
Vd
md=ρ ( 3m
kg
 ) ⇒ Vddm ρ= ⇒ ∫ ∫ ρ= Vdmd ⇒ 
∫ ρ= Vdm ⇒ 
Vesfera = (4/3) π r3 ⇒ dV = 4 π r2 dr ⇒ 
x 
y
z 1C 
3C
4C 
6C 
2C
5C
Teorema de Pappus: 
Área de Revolução: LrA θ= 
Volume de Revolução: ArV θ= 
S a 
b
 
S r 
a
 
 2 π r 
 d r 
 dS = 2 π r dr 
0 5
y 
z l =x d l = dx 
0 BA
x (m)
)z~;y~;x~(C; 11111 =λ 111 Lm λ=
)z~;y~;x~(C; 22222 =λ 222 Lm λ=
)z~;y~;x~(C; 33333 =ρ 333 Vm ρ=
)z~;y~;x~(C; 44444 =σ 444 Am σ=
)z~;y~;x~(C; 55555 =σ 545 Am σ−=−
)z~;y~;x~(C; 66666 =λ 666 Lm λ=
∑
∑=
i
ii
C m
mr
~
r M
r
r
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 51 
 
 
∫ =ππ=
b
a
2
3
)drr4(
r4
1m 
a
blnalnblnrln
r
dr b
a
b
a
=−==∫ 
⇒ m = ln (b/a) ⇒ 
 
(b) m = 1,25 kg 
 
b) Cálculo direto do Centróide 
 
3.4*) Determine o Centro de Massa do arco de 
arco de circunferência de angulo 30° da figura 
abaixo. Resp. : CM = ( 2R/π ; 2R/π ) 
 
 
Solução: 
Definição de radiano: 
r
L
R
s
raio
arco)rad( ===θ 
dL = R dθ 
)dR()cosR(
)12/R2(
1dLx
L
1x
6/
0
∫∫
π
=θ
θθπ== 
6/
0
6/
0
]sen[R6dcosR6
ππ θπ=θθπ= ∫ 
 π=−
π
π=
R3)0sen
6
sen(R6x 
)dR()senR(
)12/R2(
1dLy
L
1y
6/
0
∫∫
π
=θ
θθπ== 
6/
0
6/
0
]cos[R6dsenR6
ππ θ−π=θθπ= ∫ 
 )32(R3)0cos
6
cos(R6x −π=+
π−π= 
C ≡ ( )32(R3;R3 −ππ ) 
 
3.5*) Determinar as coordenadas C ≡ ( y;x ) 
do Centróide de Área de um triângulo: 
 
 
Solução: Área total: A = b.h / 2 ; 
Centróide de Área )y;x( : 
∫=
b
0
dAx~
A
1x = ∫
b
0
)dxy(x
b.h
2 = ∫ +−
b
0
dx)hx
b
h(x
b.h
2 
= =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +− b
0
23
2
xh
3
x
b
h
b.h
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
2
b
3
b2 
3
b
6
b.3b.2
2x =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 
 
)dxy(
2
y
b.h
2dAy~
A
1y
0
h
h
0
h
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== 
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫ 0
h
3
2
0
h 3
y
h
1dy
h
by
2
y
b.h
2y 
=
3
h
3
h
h
1 3
2 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−− ⇒ 
C ≡ ( b / 3 ; h / 3 ) 
 
3.6*) Determinar o centróide de um quarto de 
círculo: 
 
 
 
Solução: )ddrr(cosr
r
4
dAx
A
1
x
2/
0
r
0r
2 ∫∫∫
π
=θ=
θθ
π
== 
2/
0
r
0
3
2
2/
0
r
0
2
2
]sen[
3
r
r
4
dcosdrr
r
4 ππ θ
π
=θθ
π
= ∫∫ 
 π=−
π
π
=
3
r4
)0sen
2
sen(
3
r
r
4
x
3
3
 
Por simetria do quarto de circulo: π= 3
r4
y , então 
θ s 
r 
Definição de radiano: θ (rad) = rs
r
s
raio
arco θ=⇒= 
h 
b 
x 
dA = y dx 
dx
y
( ) hxb/hy +−= Equação da reta 
x
y 
∫=
b
0
dAx
A
1x 
C
)
2
y
;x()y~;x~(C
~
CdA ≡≡=
C
~
y
y 
x x
C
ds 
θ
dA = dr ds = dr (r dθ) 
r
dr
dθ
θ= cosrx
R 
R 
y 
x 
0 
dL=R.dθ 
dθ 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
52
C ≡ ( ππ 3
r4;
3
r4 ) 
 
c) Centro de Massa de Corpos 
Compostos 
 
3.7*) Determine as coordenadas do CM 
≡ ),,( zyx do Centro de Massa da chapa de 
metal sombreada da figura, feita de 3 metais 
diferentes. Considere que a densidade do Cobre 
é ρCu = 8960 kg / m3 , a densidade da Prata é 
ρAg = 10500 kg / m3 e a densidade do Chumbo é 
ρPb = 11300 kg / m3. 
 
 
 
Solução: 
Por simetria: m25,0z −= 
m1 = m Cu = ρCu x VCu = 8960 x ( 6 x 4,5 x 0,5 ) = 
120.960 kg ; C1 = ( 3 ; 2,25 ) m 
m2 = mAg = ρAg x VAg = 10.500 ( 6 x 4,5 x 0,5 / 2) = 
70.875 kg ; C2 = ( 2 ; 6 ) m 
m3 = mPb = ρPb x VPb = 11.300 x ( 6 x 4,5 x 0,5 / 2) = 
76.275 kg ; C3 = ( 4 ; 7,5 ) m 
=∑ im 268.110 kg 
 
110.268
4x275.762x875.703x960.120
m
x.mx
i
ii ++== ∑
∑ 
= m02,3
110.268
730.809 = 
=++== ∑
∑
110.268
5,7x275.766x875.7025,2x960.120
m
y.my
i
ii =
m73,4
110.268
5,472.269.1 = 
 
CM ≡ ( 3,02 ; 4,73 ; - 0,25 ) m 
 
3.8*) Determine o Centro de Massa CM ≡ 
( )z,y,x do corpo na figura abaixo, sabendo 
que a densidade superficial de massa é 
2m/kg20=σ e a densidade linear de massa é 
m/kg4=λ . 
 
 
 
 
 
 
 
d) Aplicação do Teorema de Pappus 
 
3.9*) Determine a área externa do tambor de uma 
superfície cilíndrica sem as tampas, usando o 
Teorema de Pappus. 
 
 
3.10*) Determine pelo teorema de Pappus o volume 
gerado a partir do giro completo de um retângulo 
em torno de uma das arestas de altura h e base r . 
Solução: por simetria : 0x = 
 
Fig. y~ (m) z~ (m) A (ou L) (m2 )
m = σ . A 
ou λ .L) 
(Kg) 
Circulo 0 0 1,13 22,6 
Arco 0,318 0,5 L= 1,57 m 6,28 
Retângulo 0 1 1,8 36 
 
∑∑= i
ii
m
mz~
z = m603,0
88,64
36x128,6x5,0 =+ 
m0308,0
88,64
28,6x318,0
m
my~
y
i
ii === ∑
∑ 
 
 CM ≡ (0 ; 0,0308 ; 0,603 ) m 
y 
x
0,5 m 
1,2 m
1,5 m 
0,6 m
z
x 
 6 m 
9 m 
4,5 m 
Cu 
Ag Pb 
y 
0,5 m 
2 3 4
2,25 
6 
7,5 
(1) 
(2) 
(3) 
L 
r
C 
A
Solução: 
A = θ r L 
= (2 π)(r)(h) = 2 π r h 
h 
r 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 53 
 
 
 
 
 
3.10 - Exercícios Propostos 
 
a) Centro de Massa de Partículas, 
Linhas, Áreas e Volumes 
 
a1) Centro de Massa de Partículas 
 
3.12) Dê as coordenadas do Centro de Massa 
das partículas que se encontram no plano Ozx 
da Figura.Resp.: rCM ≡( 8,92; 0; 14,8)m 
 
 
3.13) Dê as coordenadas do Centro de Massa 
das partículas que se encontram no plano Ozx 
da Figura. Resp.: rCM ≡ ( 23,4; 0; -9,21) m 
 
 
 
 
 
 
 
3.14) A molécula de amônia tem um Nitrogênio 
e três Hidrogênios, NH3 . Os três hidrogênios 
estão interligados e equidistantes formando a 
base triangular equilátera de um pirâmide de 
lado d = 9,4 x 10-11 m. A distância de cada 
Hidrogênio ao Nitrogênio no topo da pirâmide é 
D = 10,14 x 10 -11 m. Determine a coordenada de 
altura z do Centro de Massa e a distância r de 
um átomo de Hidrogênio até o Centro de Massa 
da molécula, sabendo que a massa do 
Nitrogênio é 13,9 vezes maior que a do Hidrogênio. 
Resp.: ;m10x04,7z 11−= r = 8,89 x 10-11 m 
 
 
a2) Centro de Massa de Linhas 
 
3.15) Determine o Centro de Massa do quarto de 
arco de circunferência da figura abaixo. Resp. : CM = 
( 2R/π ; 2R/π ) 
 
 
 
3.16) Determine o Centro de Massa do arco de arco 
de circunferência da figura. 
Resp. : CM = θ
θ= senrx 
 
 
 
a3) Centro de Massa de Áreas 
 
3.17) Determine pela definição, o Centróide de Área 
da placa a seguir e determine a posição do ponto B 
para pendurar a placa sem que a base deixe de 
ficar na horizontal. 
Resp.: C ≡(6;2) m; B≡(6;4) m 
 
R 
R 
y 
x 
0 
8 12 
100 Kg 
4 
4 
8 
16 
x (m) 
z (m) 
10 Kg 
20 Kg 
12 
16 
A 
V 
C 
2/rr =
θ 
r 
h 
Solução: 
 
V = θ . r . A 
= ( 2 π ) ( r / 2 )( h r)
= π r2 h 
H 
H
H
N
CM
z
x
y 
θ
θ
R
CM x 
y
x
x 
9 
y 
6 
O 
B
16 24 
100 Kg 
8 32 
x (m) 
z (m) 
10 Kg 
20 Kg 
20 
30 
10 
8-8 -16
 -10 
 -20 
 -30 
50 Kg 
200 Kg 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
54
 
3.18) Determine a localização das coordenadas 
do centróide );( yx , da área sombreada da 
figura abaixo, por integração direta da definição. 
Resp.:C≡ (1,60 ; 9,14) cm 
 
 
3.19) Determine a localização das coordenadas 
do centróide );( yx , da área sombreada da 
figura abaixo, por integração direta da definição. 
Resp.:C ≡ ( 0,8; 27,4) cm 
 
 
3.20) Determine o Centro de Massa do arco de 
círculo da figura abaixo, onde a=3 e b =6. 
Resp.: (0; 2,29) m 
 
3.21) Determine o Centro de Massa do arco de 
círculo da figura. Resp. : CM = θ
θ=
3
2 senRx 
 
 
 
a4) Centro de Massa de Volumes 
 
3.22) Determine o Centro de Massa z da semi-
esfera da figura abaixo. Obs.: Verifique o volume 
elementar em coordenadas esféricas no capítulo 1 
de Vetores. Resp. : Rz )8/3(= 
 
 
3.23) Determine o Centro de Massa z do cone da 
figura. Obs.: Verifique o volume elementar em 
coordenadas cilindricas no capítulo 1 de Vetores. 
Resp. : 4/Hz = 
 
 
 
 
 
b) Centro de Massa de Figuras 
Compostas 
 
b1) Figuras Compostas de Linhas 
 
3.24) Determine a posição C = ( z;y;x ) do 
Centróide ou Centro de Massa da Armação 
metálica de 4 hastes da figura. O centróide de um 
quarto de circunferência fica a uma distância de ( 2r 
/ π ), de cada um de seus raios laterais. A 
densidade linear das hastes é λ = 2 kg / m. Resp.: 
C=(1,48;2,56;3,35) m 
 
8 m 
y
z
x
6 m
b 
x 
a -a -b O 
y 
y 
z 
O 
z 
θ 
ϕ 
x 
R 
CM 
R
θ 
θ 
x 
2RA θ= 
y 
x
z
CM
z 
H 
V=(1/3)π R2 h
R 
X (cm) 
y (cm) 
3x6y = 
2 
48
X (cm) 
y (cm) 
3x4y =
2 
32
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 55 
 
 
 
 
3.25) Determine a posição C = ( z;y;x ) do 
Centróide da Armação metálica de 5 hastes da 
figura. O centróide de um quarto de 
circunferência fica a uma distância de 2r / π de 
cada um de seus raios laterais. A densidade 
linear das hastes é λ = 4 kg / m. 
Resp.: C=(0,838; 1,46; 1,12) m 
 
 
b2) Figuras Compostas de Áreas 
 
3.26) Determine o Centro de Massa 
);;( zyx da viga de material homogêneo, cuja 
secção transversal é dada na figura, e cuja 
profundidade ou espessura é igual a 6 m em 
direção à z negativo. 
Resp.: CM ≡ ( 1,06 ; 2,02 ; -3 ) m 
 
 
3.27) Dada o Sistema de Referência com a 
respectiva área hachurada e suas dimensões, 
determinar as coordenadas do Centróide da 
figura. Sabe-se que a posição do centróide da 
semicircunferência fica à (4 r / 3 π ) do diâmetro 
e na linha central. Resp.: C ≡ ( 4,43 ; 1,5 ) m 
 
 
 
 
 
3.28) Dado o Sistema de Referência com a 
respectiva área hachurada e suas dimensões, 
determinar as coordenadas do Centróide da figura. 
Resp.: C ≡ ( 4,86 ; 1,29 ) m 
 
 
 
3.29) Dada o Sistema de Referência com a 
respectiva área hachurada e suas dimensões, 
determinar as coordenadas do Centróide da figura. 
Resp.: C ≡ ( 5,60 ; 1,20 ) m 
 
 
 
 
3.30) Dado o Sistema de Referência com a 
respectiva área hachurada e suas dimensões, 
determinar as coordenadas do Centróide da figura. 
Resp.: C ≡ ( 4,61 ; 1,39 ) m 
 
 
 
3.31) Dada a placa plana da figura e suas 
dimensões na figura, constituída por uma parte 
retangular, outra triangular e uma fenda (buraco na 
placa) circular de raio r, determinar as coordenadas 
do Centro de Massa da placa, CM. Resp.: (a) 
m)46,2;688,0(CM ≡ 
3 m 4 m 
3 m 
y 
x 
C 
 2 m 3 m 
3 m 
y 
x 
3 m 
3 m 
 6 m 
9 m 
x 
 6 m 
y 
 2 m 
4
y
z 
x 3
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
3 m 3 m 1 m 
3 m 
y 
x 
0 
x 
y 
3,0 m 
0,5 m 
0,8 m 
1,0 m 
 2,0 m 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
56
 
 
 
 
3.32) Dado o Sistema de Referência com a 
respectiva área hachurada e suas dimensões, 
determinar as coordenadas do Centróide da 
figura. Resp.: C ≡ ( 4 ; 0,902 ) m 
 
 
 
3.33) Determine as coordenadas do centro de 
massa da placa hachurada da figura de 
espessura e = 0,5 m, para z negativo. 
Resp.: CM ≡ ( - 0,305 ; - 0,609 ; - 0,25 ) m 
 
 
 
 
3.34) Determine as coordenadas do centro de 
massa da placa hachurada da figura de 
espessura e = 0,5 m, para z negativo. 
Resp.: CM ≡ ( 2,72 ; 4,11 ; -0,25 ) m 
 
 
3.35) Dada a placa da figura abaixo, de espessura 
1 cm, em direção à z negativo, com duas vazantes, 
um triângulo e um círculo, determine a posição do 
Centro de Massa CM ≡ (x ; y ; z) da placa. 
Resp.: CM ≡ ( 5,63 ; 4,41 ; - 0,005 ) m 
 
 
 
 
3.36) Dada a placa da figura abaixo, de espessura 
1 cm, em direção à z negativo, com duas vazantes, 
um triângulo e um quarto de círculo, determine a 
posição do Centro de Massa CM ≡ (x ; y ; z) da 
placa. 
Resp.:CM ≡ ( 8,45 ; 5,01 ; -0,005 ) m 
x
y
0
3
-3 3 
x 
6
6 
9
y
2 m
3
3
0
2 m 
 4 m 
6 m 
x 
 4 m 
y 
1,2 m 
y (m)
x (m) 
0
-1
6
3
6
2 5
2
6
3
9
r
Figura A i x i yi A i x i A i y i
 
 
 
 
Σ 
x
r =0,5 m 
-4 -2 
6
y 
9 m 0 
3m 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 57 
 
 
 
 
3.37) Determine a localização das coordenadas 
do centróide )z;y;x( , da medalha, cujo formato 
de sua placa está na área sombreada da figura 
abaixo. Sabe-se que a espessura da placa é 
constante e mede 1 mm em direção ao eixo 
negativode z, e o arco superior da figura é feito 
de ouro que tem densidade volumétrica de 
massa ρou = 0,0193 g/mm3 e o retângulo e o 
triângulo são feitos de prata e tem densidade 
volumétrica ρAg = 0,0105 g/mm3 . Despreze a 
massa da tinta das letras e do desenho impresso 
na placa e considere que o centróide de um 
semicírculo está a uma distância 4r/3π do seu 
centro. Resp.: C ≡ ( 6 ; -3,42 ; -0,5 ) mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b3) Figuras Compostas de Volumes 
 
3.38) A Figura mostra um paralelepípido de 1 m de 
profundidade, 8 x 8 m de face e um recorte de 3 m 
no seu primeiro quadrante. Determine a posição do 
Centro de Massa (xCM, yCM, zCM) do paralelepípido. 
Resp.: rCM ≡ ( - 0,5 ; - 0,41 ; - 0,25) m 
 
 
 
 
3.39) Duas placas de semimetais de dimensões 
iguais, interligadas, e de materiais diferentes, 
possuem as dimensões dadas na Figura. Determine 
a posição do Centro de Massa da placa, sendo que 
a densidade ou massa específica do Germânio é 
5,32 g/cm3 e do Silício é 2,33 g/cm3. Resp.: CM ≡ ( 3 
; 24,1; 7,5 ) cm 
 
 
 
3.40) Com uma placa de metal, construiu-se uma 
caixa em forma de cubo, sem tampa, de aresta de 
60 cm de lado e espessura da placa desprezível. 
Determine a posição do Centro de Massa da caixa. 
Resp.:CM≡( 30 ; 24 ; 30 ) cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
3 m 
3 m 
8 m 
8 m 
3 m 
1 m
y
x
Silício 
x 
z 
y 
Germânio Silício 
y 
x 
15 cm 
6 cm
60 cm
 30 cm 30 cm 
X (mm)
y (mm) 
3 
-10 
-16
6 
12 
0 
 
 
A Serenidade e a firmeza de propósitos éticos, a favor 
 de toda a humanidade, fazem da Ciência e da busca 
 cada vez mais cheia de discernimentos da 
 verdade relativa de ponta, o caminho 
 da compreensão e da linguagem 
 Uuniversal do Ser 
 Humano na 
 Terra. 
y (m) 
x (m)
0 
-1 
6
2 
2 
5 3 
10
r 
Figura A i x i yi A i x i A i y i 
 
 
 
 
Σ 
6 
5 
20 
z 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
58
3.41) Determine as massas dos blocos abaixo, a 
fim de obter o Centro de Massa ( x ; y ; z ) da 
placa de 4 materiais diferentes, Germânio (ρGe = 
5,32 g/cm3), Silício (ρSi = 2,33 g/cm3), Cobre (ρCu 
= 8,96 g/cm3) e Estanho (ρSn = 7,26 g/cm3), 
dispostos como na figura. 
Resp.: CM ≡ ( 4,75 ; 2,57 ; - 0,25 ) cm 
 
 
3.42) Dada a peça de aço produzida por um 
torno, determine a posição );;( zyx de seu 
Centro de Massa ou Centróide. Considere que a 
peça tenha o furo circular de raio 3 cm como 
mostra a figura. 
Resp.: CM ≡ ( -2,5; 7,62; 4,43 ) cm . 
 
 
3.43) A placa homogênea e sombreada da 
figura, tem espessura e = 8 mm, e massa m = 
5 kg. Determine: (a) as coordenadas do centro 
de massa. Resp.: CM≡ ( 34,4 ; 29,7 ; 0,4 ) cm 
 
 
3.44) Dada a peça de aço produzida por um 
torno, determine a posição );;( zyx de seu 
Centro de Massa ou Centróide. Observação: O 
centróide de área de um semicírculo está a uma 
distância vertical de (4 r / 3 π) de seu centro. 
Resp.: C ≡ ( - 2,5 ; 8 ; 3,6 ) cm 
 
 
 
3.45) (a) Determine no caso dos livros empilhados e 
iguais da figura, qual a posição do centro de massa 
);( yx do conjunto e (b) diga se eles cairão ou não 
estando nesta posição e porque. Considere na 
aproximação os livros homogêneos e uniformes. 
Resp.: (a) CM ≡ ( 25,5 ; 16,0 ) cm ; (b) não caem 
pois o centro de massa em x é menor que a base e está 
acima da base de 30 cm 
 
 
 
3.46) Determine a posição do Centro de Massa CM 
≡ ( )z,y,x do corpo da figura, sabendo-se que o 
arco tem densidade linear de massa de cmg5 /=λ , 
e o retângulo e triângulo tem densidade superficial 
de massa 2cmg12 /=σ . A espessura da peça é 
constante e igual a 1 cm. Resp.: CM ≡ ( 30 ; 4,43 ; 
0,5 ) cm 
 
 
 
3.47) Dada a placa homogênea ABCDE e retorcida, 
com uma parte, retangular, no plano xy e a outra 
parte, triangular, no plano xz, sendo que ela está 
Ge Si 5 cm 
0,5 cm
3 cm 3 cm 3 cm 
x
z 
y 
Cu 
Sn 
1 cm
2 cm
2 cm
 12 cm 3 cm 
9 cm 3 cm 
4 cm 
4 cm 
y
x
z 
O 
5 cm 
 15 cm 
4,5 cm y
x
z
O
4 cm 
3 cm 5 cm 
 
6 cm
50 cm
 70 cm 
20 cm
r = 12 cm 
y 
x
10 cm 
50 cm
x 
y 
30 cm 30 cm 
36 cm 
28 cm 
30 cm 
 30 cm
5 cm
8 cm
11 cm
x 
y 8 cm 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 59 
 
 
em equilíbrio nesta posição, garantido pelo 
bastão no lado AC da peça, coincidente com o 
eixo x, e pelo cabo DH na ponta D, como 
mostra a figura, determine: (a) o centróide 
)z;y;x(C ≡ para a posição de equilíbrio da 
figura; (b) Após cortar-se o cabo DH e a peça 
oscilar e parar adquirindo uma nova posição de 
equilíbrio, apoiada pelo bastão AC, em que 
posição irá parar o centro de massa e qual o 
ângulo θ que o lado AE da placa fará com o eixo 
y negativo, para esta nova posição. 
Resp.: (a) C ≡ ( -3,43 ; -2,86 ; -2,14 ); (b) O centro de massa irá 
parar abaixo do eixo x: θ = 53,2° 
 
 
 
3.48) Tendo a densidade dos materiais e seus 
volumes tirados da figura abaixo, pode-se 
determinar a massa de cada bloco da figura, e 
também os centros de massa de cada bloco 
parcial )z~;y~;x~( iii (tabela). As placas de 3 
materiais diferentes, tem suas densidades dadas 
em miligramas por milímetro cúbico como 
seguem: Germânio: ρGe = 5,32 mg/mm3 ; Silício: 
ρSi = 2,33 mg/mm3 ; e Cobre: ρCu = 8,96 mg/mm3 
,dispostas suas dimensões como dadas na 
figura. (a) Determinar o Centro de Massa 
)z;y;x(C ≡ do Sistema. Resp.: CM ≡ ( 9,88 ; -1,45 ; 
0 ) mm 
 
 
 
 
 
3.49) Considere a mesa da figura, composta por 4 
placas homogêneas ABCD, BCQR, CDO e ABN de 
densidade superficial de massa σ = 32 kg/m2, e dois 
pés de metal DE e AH que possuem densidade 
linear de massa λ = 5 kg/m. Determine: (a) a 
posição )z;y;x(C ≡ do Centro de Massa da 
mesa; e (b) o ângulo limite entre a linha pontilhada 
NH da mesa e o piso horizontal para que a mesa 
quando inclinada sobre os pés N e O esteja no 
limite de tombar e cair para o outro lado ao ser 
abandonada. Resp.: (a) C ≡ ( 0,625 ; 1,5 ; 0,963 ) 
m ; (b) θlimite = 33,0° 
 
 
 
3.50) É dado o Sistema da figura, um luminoso a 
ser pendurado por um cabo, composto por um 
paralelepípido e uma placa de espessura 
desprezível. determine o centro de massa do 
Sistema uma vez que o paralelepípedo tem 
densidade volumétrica de massa igual à ρ = 1000 
kg/m3 e a placa tem espessura desprezível e 
densidade superficial de cargas σ = 40 kg/m2 Em 
que posição (x,y,z) do topo do paralelepípido se 
poderia soldar, para se pendurar, a extremidade de 
um cabo no corpo rígido, de modo que a placa 
permaneça com a base na horizontal, a lateral na 
vertical e o sistema em equilíbrio. Resp.: P≡(0; 0,9; -
0,15)m 
 
 
y 
x 
z 
3 m 
A 
B C 
D 
H 
1,8 m 
E 
N O 
Q 
R 
1,0 m
1,2 m
Relações 
Silício 
Germânio 
Cobre 1 
Cobre 2 
ix
~ (mm)
 
Vi (mm3 ) mi (mg)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σmi= 
iy
~ (mm) iz
~ (mm) 
y 
x 
z 
 6 mm 
 8 mm 
 8 mm 
 7 mm 
 2 mm 
 3 mm 
 2 mm 
 2 mm 
 3 mm 
 Silício 
 Gemânio 
 Cobre 1 
 Cobre 2 
 18 mm
y 
-15 m 
- 6 m 
x 
z 
-10 m 
A 
B 
C D 
E 
H 
2 m
0,5 m0,5 m 
0,3 m 
0,4 m
x 
y 
z 
A imaginação é mais
importante do que o
conhecimento. 
Albert Einstein
Universidade
da 
Criatividade 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
60
3.51) Dada a peça da figura feita de um mesmo 
material, determine a posição do seu centro de massa 
CM≡( z;y;x ). Resp.: CM ≡( 26,8 ; 55,9 ; -5,98 ) mm 
 
 
 
 
3.52) Dada a barra de madeira AB na qual é 
introduzido de forma justa um anel de um certo 
material com as dimensões e distâncias dadas 
na figura. Considerando que a densidade da 
madeira é ρ1 = 2,36 g/cm3 determinar a 
densidade ρ2 do outro material uma vez que o 
centro de massa do sistema está à 13,5 cm do 
ponto A. O raio da barra de madeira é de 2 cm e 
o raio externo da peça do outro material é de 5 
cm. Resp.: 32 cm/g08,2=ρ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.53) Dada a peça da figura feita de materiais 
diferentes, determine: (a) a posição do seu 
centro de massa CM≡( z;y;x ). 
Resp.: m)79,5;84,5;41,1(CM = 
 
 
 
 
 
3.54) Na placa da figura sombreada determinar o 
centro de massa, sabendo-se que o centróide de 
área de um semicírculo está a uma distância 4R/3π 
do seu centro. Resp.:(a)CM ≡(0,00;0,00) m 
 
 
 
c) Teorema de Papus: 
 
3.55) Calcule a Volume de um cone de raio da base 
r e altura h, utilizando-se do teorema de Pappus e 
um triângulo retângulo de base r e altura h. Resp.: 
V= (1/3)π r2 h 
 
 
y 
x 
6 m 
3 m 3 m 
6 m 
z
 y 
 x
 r = 15 
 130 mm
 40
 20 
 8 26 
 48 
 16 
 18
 18
Relações 
1- ret.ABCD 
2) ret.BCQR 
3) triân.CDO 
4) triân.ABN 
5) pé DE 
6) pé AH 
x (m) y (m) z (m) 
 
A(m2 )ou 
L(m) 
m (kg)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σmi= 
 r 
h
g 
15 cm 
 B
 A 
6 cm 
9 cm 
 x 
z
 y
 x
 15 m 
 1,5 
m
 2 m 2 m 
 1 m
 12 m 
 4 m
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 10ª Edição - 2008 Cap. 3 61 
 
 
3.56) Calcule o Volume de um cone de raio da 
base r e altura h, fazendo girar um triângulo 
retângulo de base r e altura h, girando em torno 
da aresta da altura. Resp.: V = (1/3) π R2 H 
 
 
 
3.57) Calcule o Volume de uma esfera se 
utilizando da área de um semicírculo girando em 
torno do seu diâmetro. Resp.: V = (4/3) π r3 
 
 
 
 
 
 
 
3.58) Determine o Volume de um toróide 
(formato da câmara de ar de um pneu cheio), a 
partir da rotação de um cículo de raio r, fazendo-
o girar uma volta tendo um raio interno (vazio) R; 
Resp.: V = 2 π2 r2 (R + r) 
 
 
 
3.59) A Área da Superfície de uma esfera, fazendo 
girar a linha de uma semicircunferência de raio r 
dado, de torno de seu diâmetro, sabendo-se que o 
centróide da linha de uma semicircunferência fica a 
uma distância de ( 2 r / π ) de seu centro. Resp.: A = 
4 π r2 
 
 
 
3.60) Determine o volume em cm3 e a massa de 
ouro em gramas que serão necessárias para fazer 
um anel da figura abaixo, uma vez que o material 
do anel tem secção transversal de um semi-círculo 
de raio 1,5 mm e o raio interno da aliança é de 1,25 
cm. A densidade volumétrica do ouro é ρ = 19,3 g / 
cm3 e o centróide de um semi-círculo fica a ( 4 r / 3 
π ) do seu centro. Resp.: V = 0,292 cm3 ; m = 5,63 
g 
 
 
 
 
r 
r 
 r 
h 
 r 
Vista total de cima 
Secção transversal do anel 
Corte lateral de lado 
Diâmetro = 2,5 cm r = 0,15 cm 
R = 1,25 cm 
R r 
 
 Cap. 3 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 3 - Centro de Massa - 1ª Edição - 2008 
 
 
62
3.61) Calcule pelo teorema de Pappus, o 
volume de uma coroa de ouro, para se colocar 
em uma cabeça com 22 cm de diâmetro e cuja 
secção transversal da coroa é dada na figura 
abaixo. Considere que a base do retângulo mede 
1,5 cm, o raio de cada círculo é 0,25 cm e a base 
de cada triângulo equilátero de 0,5 cm cada . 
 
 
 R 
r