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Sistemas Lineares 
Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: � ����� � ����� � ����� ���� ������ � ������� � ����� � ����� ���� ������ � �� � � � � � ����� � ������ � ����� ���� ������ � � � 
 
Exemplos: 
a) 	2� � 3� � 65� � � � 2 � b) �3� � � � � � 7� � � � � � 92� � � � � � 3� 
 
Resolução de sistemas lineares 
Metodo da adição 
Exemplo: 
1) Resolver o sistema 	� � 4� � 1002� � 3� � 90� 
O metodo da soma consiste em eliminar uma das incógnitas “x” ou “y” e desta forma trabalhar com a 
solução primeiro de uma incógnita e depois da outra. 
Para eliminarmos a incógnita “x”, por exemplo, devemos multiplicar os valores da primeira equação por (-2) 
e depois somar o resultado com a segunda equação. 	 � � 4� � 100 ���2�2� � 3� � 90 � � ��2� � 8� � �200 2� � 3� � 90 � 0� � 5� � �110 � � � � ������ � 22 
Substituindo � � 22 �� ����çã" � � 4� � 100 obtemos o valor de x. � � 4� � 100 � � 4�22� � 100 � � 88 � 100 � � 100 � 88 � � 12 # $ � %�12; 22�' 
 
Metodo da substituição 
Exemplo: 
Resolver o sistema anterior pelo método da substituição 	� � 4� � 1002� � 3� � 90� 
O objetivo do método é o mesmo do metodo da adição, porem devemos isolar uma das incógnitas da 
primeira equação e substituí-lo na segunda equação 
Isolando x incógnita “x” ( � � 4� � 100 � � � 100 � 4� 
 
Substituindo na segunda equação ( 2� � 3� � 90 2�100 � 4�� � 3� � 90 200 � 8� � 3� � 90 200 � 5� � 90 � � 90 � 200�5 � � 22 
Substituindo o valor de y na primeira equação ( � � 4� � 100 � � 4�22� � 100 � � 88 � 100 � � 100 � 88 � � 12 # $ � %�12; 22�' 
 
 
 
 
 
 
 Representação gráfica 
 
Classificação dos sistemas lineares 
Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico 
ao qual os sistemas devem ser resolvidos. 
• Sistema possivel e determinado: são os sistemas que possuem apenas uma solução 
Exemplo 	� � 4� � 1002� � 3� � 90� $ � %�12; 22�' 
Este exemplo foi resolvido no ítem anterior. Note que no gráfico há um só ponto de intersecção entre as 
duas retas que representam a solução do sistema. 
• Sistema possivel e indeterminado: são os sistemas que permitem infinitas soluções 
Exemplo 	 � � � � 8 2� � 2� � 16� $ � %�10; 2�, �12; 4�, �19; 11�, �*+' 
• Sistema impossível: são os sistemas que não tem soluções. Geralmente formado sor equações que 
se contradizem 
 
0
20
40
-5 0 5 10 15 20 25
S(12;22) � � 4� � 100 
2� � 3� � 90 
Exemplo 	� � � � 12� � � � 20� �ã" *�, -".�çã" 
 
Matrizes e resolução de sistemas 
 
Considere o sistema 	3� � 2� � 66� � 4� � 2� 
 
Temos associada as matrizes: /3 26 �40 incompleta e /3 2 66 �4 20completa 
 
 
Representação matricial de um sistema 
 
Sistema 	3� � 2� � 66� � 4� � 2 � 1"2,� ,�*23+3�.: /3 26 �40 � /xy0 � /620 � /3 26 �40 é a matriz incompleta dos coeficientes /xy0 é a matriz das incógnitas /620 é a matriz dos termos independentes 
 
Sistemas homogêneos 
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos 
Exemplo 7 3� � 2� � � � 0�� � 5� � 2� � 0√2� � � � 3� � 0� 
A n –upla (0, 0, 0, ⋅⋅⋅, 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial. 
Quando existem outras soluções são chamadas de não triviais. 
 
Sistema Normal 
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações e de incógnitas e o determinante da 
matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. 
 
Exercícios 
1) Resolver os sistemas �� 	�2� � � � �54� � 2� � 10 � �� 	3� � � � �162� � 3� � �7� 
+� 	 � � � � 62� � � � �2� 9� 	 � � 4� � 62� � 8� � 16� �� 	5� � � � 125� � � � 24� 
 
2) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de : 
a) :√3� � 4� � 2� �� � � � 1 � b) 73� � 2� � 5� � � � 14� � � � 6 � 
 
3) Verifique se a terna ordenada (1, 1, 1) é solução do sistema: 7�� � � � 02� � � � 1�
2� �2 � 
2 � 
 
Regra de Cramer 
O estudo dos determinantes consiste em uma forma de resolver sistemas n x n com a vantagem de permitir 
que os sistemas sejam analizados a partir do determinante da sua matriz incompleta. O método de resolver 
sistemas a partir de determinantes é conhecido como Regra de Cramer. 
Todo sistema linear normal tem uma única solução dada por: �	 � ;��; 
 
Exemplo: 
Resolva o sistema 7 � � 2� � � � �5�� � 2� � 3� � �34� 
 �
 � � 4 �, usando a regra de cramer 
Resolução : 
 
Calculando o determinante principal “D” 
 
 < 1 2 �1�1 �2 �34 �1 �1< � �36 = 0 Portanto S.P.D. (Se det A fosse nulo não continuaríamos a resolução 
pelo sistema de Cramer. 
Calculando o determinante das incógnitas 
 �� � 
�5 2 �1�3 �2 �34 �1 �1
 � �36 (Substituir os termos independentes na 1ª coluna) 
 �� � 
 1 �5 �1�1 �3 �34 4 �1
 � 72 (Substituir os termos independentes na 2ª coluna) 
 �� � 
 1 2 �5�1 �2 �34 �1 4 
 � �72 (Substituir os termos independentes na 3ª coluna) 
 
Daí vem: � � ��� � 
36
36 � 1 � � ��� � 72
36 � 
2 � � ��� � 
72
36 � 2 
 
Portanto, ��, �, �� � �1, 
2, 2� é ����çã� �� ����� ! 
 
Exercícios 
1 ) Resolva os sistemas lineares, usando “Cramer” : 
a) 	 � � 2� � 32� � 3� � 4� b) 7 � � � � 3� � 4� � 2� � � � 52� � �� � � 6 � c) � � � 2� � 1� � � � 3
�� 2� � 1 � " � #
1,
2$ " � %��	 , 
	 , �	& " � #3, 1, 2$ 
 
Discussão de um sistema linear 
Se um sistema tem o mesmo número de linhas e incógnitas ele pode ser classificado como: 
a) Possível e Determinado (S.P.D.) → quando ; � det A = 0 o sistema apresenta solução única 
Exemplo: � � � � � � � 32� � � � � � 03� 
 � � 2� � 6 � � ; � 3 = 0 � -".�çã" ú�3+� 
 
b) Possível e indeterminado (S.P.I.) → � � ��� � ��� � ��� '''� ��� � 0, para n = 2. Se ) * 3 
essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas 
respectivamente proporcionais e termos independentes não proporcionais. 
Exemplo: � � � 3� � 2� � 1�2� � � � � � �2
� � 4�� 3� � 
1 � � ; � 0,;� � 0,;
 � 0,;
 � 0 � 3�13�3*�- -".�çõ�- 
 
c) Impossível (S.I.) + � � 0 � ,��� - 0 
Exemplo: � � � 2� � � � 12� � � � 3� � 43� � 3� 
 2� � 0 � � ; � 0,;� � 35 = 0 
 
Exemplos : 
1) Discuta o sistema 	 � � � � 32� �,� � 2� em função de “m” 
Solução � � .1 12 m. � ; � , � 2 "� ; = 0 *�2�,"- -".�çã" ú�3+� �$. F. ;. � , � 2 = 0 � , = 2 
O sistema terá solução única se , = 2 
 $� � � �� � �� � 0 *�2�,"- 3�13�3*�- -".�çõ�-� � � .1 12 2. � 0 �� � .3 12 2. � 4 = 0 
O sistema não é S.P.I. 
 
Exercícios 
1) Discuta o sistema 7 � � � � � � 12� � � � 3� � 6 �� �� 5� � 9 � em função de “m” 
2) Classifique os sistemas abaixo: 
a) � � � � � 52� � � � 3� � �1
2� 
 2� � 1 � 
b) � � � � � 2� � 3� � � � �12� � � � 3� � 4 � 
3) Classifique os sistemas abaixo e apresente os resultados dos S.P.D. 
a) 7 � � � � � � 0� � 3� � 5� � 0� � 2� 
 3� � 1 � 
b) 	� � 3� � 2� � 2� � 1�

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