Relatório escoamento

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ILHÉUS – BA 
 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOAMETO DE LÍQUIDOS 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte dos critérios de 
avaliação da disciplina CET833 – Física 
Experimental II P (15), 09 de fevereiro de 2017. 
 
Professora – Maria Jaqueline Vasconcelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ILHÉUS – BA 
 2017 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. RESUMO ........................................................................................................................ 4 
2. INTRODUÇÃO...................................................................................................................4 
2. OBJETIVOS ................................................................................................................... 6 
3. MATERIAIS E MÉTODOS .............................................................................................. 6 
3.1. Materiais ..................................................................................................................... 6 
3.2. Métodos ...................................................................................................................... 7 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................................... 7 
5. CONCLUSÃO ............................................................................................................... 13 
6. REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 13 
7. APÊNDICE .......................................................................................................................14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Resumo 
 
Neste relatório será apresentado dados relativos ao experimento realizado no laboratório de 
física, no qual foi utilizado uma proveta com capacidade de 1000mL, uma fita métrica e um 
paquímetro para tirar as devidas medidas da proveta – como alturas e diâmetro, um cronômetro 
digital para contabilizar os tempos de escoamento e água (líquido utilizado). Além disso, 
mostraremos resultados obtidos, cálculos realizados, e conclusão. A metodologia adotada 
durante o experimento possui fundamentos baseados no estudo do escoamento de fluidos. Com 
uma proveta de 1000mL com água, deixa-se escoar o líquido e afere-se o tempo de cada 50mL 
de líquido transcorrido. Este procedimento é repetido cinco vezes de modo a calcular o valor da 
aceleração gravítica. Este experimento tem como objetivo obter a relação empírica ente o 
tempo ∆t de escoamento de um liquido sob a ação da aceleração da gravidade e a altura h de 
elevação do nível deste liquido, utilizando a técnica de gráficos log-log. Calcular o coeficiente 
linear e a aceleração da gravidade da curva linearizada. 
 
2. Introdução 
 
Um fluido é uma substância que pode escoar e que assume o formato do recipiente em que é 
colocado. Comportam-se dessa forma porque não resistem a forças paralelas à sua superfície. A 
física dos fluidos possue várias aplicações práticas, permitindo estudar desde o escoamento de 
água nas tubulações de um reator nuclear, até o fluxo de sangue nas artérias de uma pessoa. 
Um fluido ideal satisfaz quatro requisitos no que diz respeito à escoamento: 
1. O escoamento é laminar: a velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não 
varia com o tempo, nem em módulo, nem em orientação; 
2. O escoamento é incompressível: a massa do fluido tem um valor uniforme e 
constante; 
3. O escoamento não viscoso: a viscosidade é a medida da resistência do fluido ao 
escoamento; 
4. O escoamento é irrotacional: o fluido não gira em torno de um eixo. 
A velocidade v de escoamento de um fluido depende da área de seção reta A pela qual a água 
escoa. A relação entre A e v é dada pela equação: 
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 
Essa é a equação de continuidade para um fluido ideal. De acordo com essa equação, a 
velocidade de escoamento aumenta quando a área da seção reta pela qual o fluido escoa é 
reduzida. 
De acordo com a figura 01, em um tubo, onde um fluido ideal escoa com vazão constante, fica 
claro que, o mesmo volume de líquido que entra em (1), sai em (2). 
 
Figura 01 – Escoamento de fluidos 
 
 
Sejam 𝑦1, 𝑣1 𝑒 𝑝1 a altura, a velocidade e a pressão do fluido que entra do lado esquerdo e 𝑦2, 
𝑣2 e 𝑝2 os valores correspondentes do fluido que sai do lado direito; aplicando ao fluido a lei de 
conservação da energia, pode-se relacionar estes valores através da equação: 
𝑝1 + 
1
2
𝑝𝑣1
2 + 𝑝𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 
1
2
𝑝𝑣2
2 + 𝑝𝑔𝑦2 
Que também pode ser escrita na forma: 
𝑝 + 
1
2
𝑝𝑣2 + 𝑝𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Essas são representações da equação de Bernoulli e o termo 
1
2
𝑝𝑣2 é chamado de energia 
cinética específica. A equação tem esse nome por causa de Daniel Bernoulli, que estudou o 
escoamento de fluidos no século XVIII. 
Aplicando a equação de Bernoulli em um fluido em repouso, ou seja v1 = v2 = 0, a equação 
torna-se: 
𝑝2 = 𝑝1 + 𝑝𝑔(𝑦1 − 𝑦2) 
Obtendo-se também, uma relação com a altura. 
E, se a altura for constante, a equação torna-se: 
𝑝1 + 
1
2
𝑝𝑣1
2 = 𝑝2 + 
1
2
𝑝𝑣2
2 
Que significa dizer que, se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido se move 
horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo, a pressão do fluido diminui e vice-versa. 
Importante ressaltar que a equação de Bernoulli é válida apenas para fluidos ideais. 
 
 
3. Objetivos 
 
 Obter a relação a partir do gráfico da altura h pelo tempo ∆𝑡; 
 Calcular a aceleração da gravidade e o coeficiente angular. 
 
4. Materiais e métodos 
 
4.1 Materiais 
 Paquímetro; 
 Béquer; 
 Fita métrica; 
 Cronômetro; 
 Azul metileno; 
 Proveta de 1000 Ml com orifício na base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Métodos 
 
 Mediu-se com o paquímetro o diâmetro da proveta e do orifício da base 5 vezes; 
 Mediu-se com a fita métrica do orifício da proveta até a marcação de 1000 ml, e 
repetiu-se de 50 em 50 ml correspondente a cada altura. 
 Encheu-se a proveta até a marcação de 1000 mL com o orifício da base fechado; 
 Adicionaram-se três gotas de azul metileno; 
 Deixou-se a água escoar até 50 ml, medindo-se o tempo levado do escoamento da água 
com o cronômetro. 
 Repetiu-se o item acima até a marcação de 150 ml; 
 Repetiu-se o procedimento 5 vezes; 
 
5. Resultados e discussões 
 
Para a realização do experimento foi necessário medir o diâmetro da proveta e o diâmetro do 
orifício com o paquímetro. Segundo a equação de continuidade “o volume de água por unidade 
de tempo que sai em A é igual àquele que desce em A0” para o escoamento de um fluido ideal. 
 
 A0V0 = AV (1) 
A figura abaixo representa a velocidade e as áreas correspondente à equação 1: 
 
Figura 2: Representação do escoamento de líquido, com suas respectivas áreas e velocidades. 
 
A tabela abaixo mostra os diâmetros obtidos experimentalmente. 
 
Tabela1: Diâmetros obtidos experimentalmente 
Medições Diâmetro menor (𝐷 ± 0,00005)mDiâmetro maior (𝐷 ± 0,00005)m 
1 0,0022 0,0635 
2 0,0022 0,0635 
3 0,0021 0,634 
4 0,0021 0,634 
5 0,0022 0,634 
 
Tabela2: Média e incerteza dos diâmetros obtidos 
Diâmetros Média (m) 
Diâmetro menor (216,0 ± 5,5)𝑥10−5 
Diâmetro maior (6344,0 ± 5,5)𝑥10−5 
 
Pelos dados obtidos e pela equação de continuidade, é possível observar que a velocidade do 
fluido que escoa pela área menor (diâmetro menor), será bem maior que a velocidade do fluido 
que escoa da área maior (diâmetro maior), ou seja, a velocidade diminui com o aumento da 
área, e o contrário também é válido. 
Na prática realizada, um dos principais objetivos não foi calcular a velocidade com que o fluido 
escoa, mas sim relacionar a altura que vai diminuindo devido ao escoamento, pelo tempo 
levado para escoar e assim obter a aceleração da gravidade. 
Para relacionar a altura e o tempo, utilizou-se a equação de Bernoulli, com a equação de 
continuidade. Desta forma obteve-se a seguinte equação: 
 
 
ℎ = 𝑣𝑜2
1
2𝑔
(
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1) 
(2) 
 
 E para pequenas variações de h: 
 
 
ℎ =
ℎ𝑜2
2𝑔
(
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1) (∆𝑡)−2 
(3) 
 
Sendo assim, obtiveram-se os seguintes resultados do tempo para cada altura: 
 
 
Tabela4: Dados obtidos do tempo correspondente a cada marcação 
 
 
A altura foi calculada com a fita métrica, do orifício até cada marcação, e os tempos obtidos na 
tabela é a média dos 5 tempos obtidos experimentalmente. O gráfico abaixo representa a 
relação da altura com o tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARCAÇÃO (ml) h (m) tempo (s) 
1000 – 950 0,295 9,672 
950 – 900 0,277 9,434 
900 – 850 0,264 10,344 
850 – 800 0,246 10,384 
800 – 750 0,231 10,676 
750 – 700 0,214 11,258 
700 – 650 0,198 11,748 
650 – 600 0,183 12,308 
600 – 550 0,164 13,202 
550 – 500 0,148 13,932 
500 – 450 0,133 14,77 
450 – 400 0,117 15,7 
400 – 350 0,102 17,804 
350 – 300 0,084 19,7 
300 – 250 0,069 23,862 
250 – 200 0,051 27,532 
200 – 150 0,032 38,108 
 
 
Gráfico1: Altura pelo tempo 
 
 
De acordo com o gráfico obtido, é difícil obter a relação dos elementos em estudo, pois o 
mesmo apresenta curvas desconhecidas. Sendo assim, a linearização da equação é a melhor 
forma para determinar essa relação, pois a análise de uma reta é mais simples que a análise de 
uma curva. 
Aplicando log na equação 3, obteve-se a seguinte equação: 
 
 𝑙𝑜𝑔ℎ = −2𝑙𝑜𝑔∆𝑡 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 (4) 
 
Onde 
𝑐 =
ℎ502
2𝑔
(
𝑑𝑜4
𝑑4
− 1) 
 
Logo se tem a equação de uma reta como y = ax + b, com y = log h, a = -2 que corresponde ao 
coeficiente angular da reta, x = log∆t e b = logc que corresponde ao coeficiente linear da reta. 
Pelo coeficiente angular é notável que a relação da altura pelo tempo seja decrescente. Sendo 
assim, foi possível plotar o gráfico de y = logh e x = logt. A tabela abaixo mostra os pontos 
para a construção do gráfico. 
 
y = 10,088x-1,592 
R² = 0,9955 
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
h x t 
 
Tabela 5: Pontos para a construção do gráfico 
MARCAÇÃO (ml) log (h) log (t) 
1000 – 950 -0,530178 0,985516288 
950 – 900 -0,5575202 0,974695872 
900 – 850 -0,5783961 1,014688512 
850 – 800 -0,6090649 1,016364679 
800 – 750 -0,636388 1,028408565 
750 – 700 -0,6695862 1,051461244 
700 – 650 -0,7033348 1,069963938 
650 – 600 -0,7375489 1,090187488 
600 – 550 -0,7851562 1,120639728 
550 – 500 -0,8297383 1,144013466 
500 – 450 -0,8761484 1,169380495 
450 – 400 -0,9318141 1,195899652 
400 – 350 -0,9913998 1,250517586 
350 – 300 -1,0757207 1,294466226 
300 – 250 -1,1611509 1,377706841 
250 – 200 -1,2924298 1,439837761 
200 – 150 -1,49485 1,581016157 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico2: Log h x Log t 
 
 
O gráfico acima apresenta uma reta, e os pontos que fogem certamente é por um erro 
experimental na obtenção do tempo e das medidas. 
Portanto, para calcular a aceleração da gravidade utilizou-se a relação do logc na equação 4, e 
encontrou-se a seguinte equação: 
 
 
𝑔 = 
ℎ502
2 ∗ 10𝑏
(
𝑑𝑜4
𝑑4
− 1) 
(5) 
 
Substituindo os valores e calculando as respectivas incertezas, encontrou-se o valor da 
aceleração da gravidade: 
(9,1 ± 1,1)𝑚/𝑠2 
 
 
De acordo com o valor obtido, o erro relativo entre o erro encontrado e o valor teórico de g 
correspondente a (9,81±0,05) m/s² foi de 7,08%, que é consideravelmente pequena, ou seja, o 
valor encontrado foi bem próximo ao valor esperado. 
 
 
 
 
 
6. Conclusão 
y = -1,5918x + 1,0038 
R² = 0,9955 
-1,7
-1,5
-1,3
-1,1
-0,9
-0,7
-0,5
-0,3
0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
Log h X Log t 
 
De acordo com o experimento, nota-se que a velocidade de escoamento diminui a proporção 
que a coluna de água também diminui. Isso se deve ao fato da pressão da coluna de água 
diminuir conforme decresce a altura, ou seja, quanto menor a altura da coluna do líquido, 
menor a pressão exercida sobre o mesmo. 
Levando-se em consideração o que foi observado ao decorrer do experimento, notou-se que 
todos os objetivos iniciais foram devidamente alcançados. Obteve-se a relação entre o tempo de 
escoamento do líquido, o qual sofreu uma influência da força gravitacional e a altura de 
elevação deste líquido encontrado na proveta. 
Apesar dos erros acarretados por contar de incertezas instrumentais e operacionais, obteve-se 
um valor satisfatório para o valor da aceleração da gravidade, com um erro relativo de 7,08%, o 
que está aceitável para valores experimentais. 
 
 
 
 
7. Referências 
 
FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ª Edição. São 
Paulo: Prentice Hall, 2008. 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER; Fundamentos da Física, Vol. 2, 9ª Edição, LTC, 2009. 
 
Sites 
RIBEIRO,T. Tipos de Fluxos e Escoamentos. 2015. Disponível em 
http://www.infoescola.com//. Acessado em 15 de Janeiro de 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
8. Apêndice A 
 
 Relação da altura com o tempo 
 
Pela equação de Bernoulli temos: 
 
1 
2
𝜌𝑜𝑣𝑜2 + 𝑝𝑜 + 𝜌𝑜𝑔𝑧𝑜 =
1 
2
𝜌𝑣2 + 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 
 
Onde, 𝜌𝑜, 𝑝𝑜, 𝑣𝑜, correspondem a densidade, pressão e velocidade na parte superior do tubo e 
zo é a altura do oficio até a parte superior. A densidade, pressão e velocidade na parte inferior 
correspondem a 𝜌, 𝑝 e v respectivamente. Porém, a densidade e a pressão na parte superior e 
inferior são as mesmas, pode-se comprovar pela figura 1, onde as duas pressões são 
atmosféricas. Sendo assim: 
1 
2
𝑣𝑜2 + 𝑔𝑧𝑜 =
1 
2
𝑣2 + 𝑔𝑧 
logo 
1 
2
𝑣2 =
1 
2
𝑣𝑜2 + 𝑔(𝑧𝑜 − 𝑧) 
Onde 
ℎ = 𝑧𝑜 − 𝑧 
e assim encontramos a seguinte equação: 
 
 𝑣2 = 𝑣𝑜2 + 2𝑔ℎ 
 
(6) 
Pela equação 1, que é da continuidade temos: 
 
 
𝑣 =
𝐴𝑜𝑣𝑜
𝐴
 
 
(7) 
 
Onde Ao é a área superior e A é a área do orifício. Substituindo 6 em 7: 
𝐴𝑜2𝑣𝑜2
𝐴2
= 𝑣𝑜2 + 2𝑔ℎ 
2𝑔ℎ =
𝐴𝑜2𝑣𝑜2
𝐴2
− 𝑣𝑜2 
2𝑔ℎ = 𝑣𝑜2 (
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1) 
Portanto 
ℎ =
𝑣𝑜2
2𝑔
(
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1) 
Adotando a aproximação para pequenas variações de h, pode-se dizer que 𝑣𝑜 =
ℎ50
∆𝑡
·, onde h50 
corresponde a altura de 50 mL, seque que: 
 
 
ℎ =
ℎ502
2𝑔
(
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1)∆𝑡−2 
 
(8) 
Pode-se encontrar também as relações entre as áreas, como se trata de um cilindro pode-se 
calcular as áreas pela seguinte equação: 
𝐴 = 𝜋
𝐷2
4
 
Dividindo 
𝐴𝑜2
𝐴2
 obteve-se : 
 
 
𝐴0
2
𝐴2
=
(𝜋
𝑑0
24 )
2
(𝜋
𝑑2
4 )
2 =
𝑑0
4
𝑑4
 
 
(9) 
Substituindo a equação 9 na 8: 
 
 
ℎ =
ℎ502
2𝑔
(
𝐴𝑜2
𝐴2
− 1)∆𝑡−2 
 
(10) 
Desta forma, encontramos a relação da altura pelo tempo. 
 
 Linearização da equação 
 
Linearizou a equação aplicando logaritmo dos dois lados da equação 10 
 
𝑙𝑜𝑔ℎ = log (𝑐 ∗ ∆𝑡−2) 
Onde 
𝑐 =
ℎ502
2𝑔
(
𝑑𝑜4
𝑑4
− 1) 
Logo, obteve-se: 
 
 𝑙𝑜𝑔ℎ = −2𝑙𝑜𝑔∆𝑡 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 (11) 
 
 Equação para a aceleração da gravidade 
 
Pela equação de uma reta, temos que y = ax + b, onde b corresponde ao logc na equação 11, ou 
seja, logc = b. Sendo assim: 
10𝑏 = 𝑐 
10𝑏 =
ℎ502
2𝑔
(
𝑑𝑜4
𝑑4
− 1) 
 
Logo: 
 
𝑔 =
ℎ502
2 ∗ 10𝑏
(
𝑑𝑜4
𝑑4
− 1) 
(12) 
 Incerteza para a gravidade 
 
Pela equação 12, temos que a incerteza de g será em relação a h50,b,do e d, que é obtido por: 
 
𝜎𝑔² = (
𝜕𝑔
𝜕ℎ50
𝜎ℎ50)
2
+ (
𝜕𝑔
𝜕𝑏
𝜎𝑏)
2
+ (
𝜕𝑔
𝜕𝑑0
𝜎𝑑𝑜)
2
+ (
𝜕𝑔
𝜕𝑑
𝜎𝑑)
2
 
 
𝜕𝑔
𝜕ℎ50
=
∆ℎ
10𝑏
(
𝑑0
4
𝑑4
− 1) 
 
𝜕𝑔 
𝜕𝑏
= −
𝑙𝑛 10 ℎ502
2 × 10𝑏
(
𝑑0
4
𝑑4
− 1) 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑑𝑜
=
2ℎ502𝑑0
3
10𝑏𝑑4
 
 
𝜕𝑔 
𝜕𝑑
= −
2ℎ502𝑑0
4
10𝑏𝑑5
 
Logo 
 
𝜎𝑔 =
√
 
 
 
 
 
 
 [(
∆ℎ
10𝑏
(
𝑑0
4
𝑑4
− 1))𝜎ℎ50]
2
+ [(
ln 10 ℎ502
2 × 10𝑏
(
𝑑0
4
𝑑4
− 1))𝜎𝑏]
2
+ [((
2ℎ502𝑑0
3
10𝑏𝑑4
)𝜎𝑑𝑜)
2
]
+ [(
2ℎ502𝑑0
4
10𝑏𝑑5
)𝜎𝑑]
2
 
 
 
 Que pode ser escrito como: 
𝜎𝑔 = √(
2𝑔
ℎ50
𝜎ℎ50)
2
+ (
2ℎ502𝑑0
3
10𝑏𝑑4
𝜎𝑑𝑜)
2
+ (
2ℎ502𝑑0
4
10𝑏𝑑5
𝜎𝑑)
2
+ (𝑔𝑙𝑛10𝜎𝑏)2