Aula 15

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 15: Métodos de Demonstração 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
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 Em geral toda demonstração deve: 
 
1º: Hipóteses 
 
2º: Tautologias 
 
3º: Regras de Inferência necessárias 
 
4º: Regras de Inferência necessárias 
 
5º: Conclusão. 
 
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Uma prova é um argumento válido que estabelece a verdade de uma declaração matemática. 
 
Teorema: é uma sentença que pode ser provada verdadeira. 
 
Lema: é normalmente um teorema auxiliar utilizado para provar outros teoremas. 
 
Corolário: é um teorema que pode ser estabelecido diretamente do teorema que foi provado. 
 
Conjectura: é uma sentença proposta como verdade, mas que precisa ser provada para virar 
teorema, ou seja, algo que se admite verdadeiro em geral, em função da sua natureza simples. 
 
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 Os principais métodos da teoria da demonstração são: 
 
 
a) Demonstrações diretas. 
 
b) Demonstrações indiretas. 
 
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 Prova por Vacuidade 
 
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando p é falso. 
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 Prova por Vacuidade 
 
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando p é falso. 
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Teorema: Seja p(n): se n > 1 então n2 > n para n ∊ Z. Mostre que P(0) é verdadeiro. 
 
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Teorema: Seja p(n): se n > 1 então n2 > n para n ∊ Z. Mostre que P(0) é verdadeiro. 
 
Prova: 
 
-P(0): Se 0 > 1 então 02 > 0 
 
- A hipótese p (0 > 1) é falsa 
 
Logo, a implicação p  q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro. 
 
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Teorema: Se o país x é africano e venceu uma copa do mundo no século XX, 
então x fica na Europa. 
 
 
Prova por vacuidade: 
 
 
 
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Métodos de Demonstração 
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Teorema: Se o país x é africano e venceu uma copa do mundo no século XX, 
então x fica na Europa. 
 
 
Prova por vacuidade: 
 
Não existe país africano que venceu uma copa do mundo no século XX. 
 
Logo, p → q é verdadeiro 
 
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Prova por Trivialidade 
 
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando q é verdadeiro. 
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Prova por Trivialidade 
 
Teorema na forma p  q é provado verdadeiro quando q é verdadeiro. 
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Teorema: Seja P(n): se a e b são inteiros positivos com a  b então a n  bn para n 
pertencente Z+ . Mostre que P(0) é verdadeiro. 
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Teorema: Seja P(n): se a e b são inteiros positivos com a  b então a n  bn para n 
pertencente Z+ . Mostre que P(0) é verdadeiro. 
 
Prova por Trivialidade: 
 
-P(0) : se a  b então a0  b0 
 
-A hipótese q é verdadeira pois a0 = b0 = 1 independente de a e b. 
 
Logo a implicação p  q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro. 
 
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Exemplo: Seja x pertence R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R 
 
 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R 
 
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R 
 
 
 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R 
 
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R 
 
d) x2 + 5 > 0 , x > 0 
 
 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R 
 
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R 
 
d) x2 + 5 > 0 , x > 0 
 
e) A conclusão q é sempre verdadeira 
 
 
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Exemplo: Seja x ∊ R. Se x > 0 então x2 + 5 > 0. Prova pelo método Trivial 
 
a) x2  0 , ∀ x ∊ R 
 
b) x2 + 5 > x2 , ∀ x ∊R 
 
c) x2 + 5  0 , ∀ x ∊R 
 
d) x2 + 5 > 0 , x > 0 
 
e) A conclusão q é sempre verdadeira 
 
f) Logo a implicação p  q é verdadeira. 
 
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Demonstrações diretas. 
 
Toda demonstração direta deve começar com as premissas, seguidas das tautologias 
e regras de inferência necessárias, até chegar à conclusão; cada passo deve estar 
acompanhado de sua respectiva justificativa. 
 
A prova direta consiste em mostrar que p  q é verdadeiro quando: 
 
a) assume-se p verdadeiro 
 
b) mostra-se que quando p é verdadeiro, q também é verdadeiro 
 
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A dedução de que a verdade de p leva à verdade de q é feita usando: 
 
a) axiomas e fatos matemáticos 
 
b) Definições 
 
c) Regras de inferência 
 
d) Resultados já provados 
 
 
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 Definição (Paridade) 
 
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k , e n é ímpar se existir 
algum inteiro k tal que n = 2k + 1. 
 
Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
 
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 Definição (Paridade) 
 
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar se existir algum 
inteiro k tal que n = 2k + 1. 
 
Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
Prova usando o método direto: 
 
- Assumimos que n é impar 
 
Devido à tabela verdade da implicação, se a proposição p é falsa ( f ), a proposição p  q é 
verdadeira ( v ), logo não temos nada a demonstrar. Nos estamos interessados no 
caso que o antecedente p seja verdadeiro ( v ). 
 
A partir da verdade de p, deduzir a verdade de q, é fazer uma demonstração direta da 
condicional p  q; 
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Demonstrações indiretas 
 
A demonstração indireta estabelece a verdade de uma afirmativa por revelar a falsidade 
da suposição oposta. 
 
 
Teoremas na forma p  q também podem ser demonstradospor meio de provas que não 
começam com a premissa e terminam com a conclusão (prova indireta). 
 
Usada quando: 
 
A demonstração falha por prova direta mas existe um sentimento de que a afirmação é 
verdadeira. 
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Entre os métodos de demonstrações indiretas, temos os seguintes: 
 
1) Por contraposição. 
 
2) Por casos. 
 
3) Por redução ao absurdo. 
 
4) Por árvore de refutação. 
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Demonstração indireta: Por contraposição. 
 
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 
 
Tentativa de Prova Direta. 
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Demonstração indireta: Por contraposição. 
 
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 
 
Tentativa de Prova Direta. 
 
-Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar. 
 
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Demonstração indireta: Por contraposição. 
 
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 
 
Tentativa de Prova Direta. 
 
-Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar. 
 
-Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∊ Z 
 
-3n + 1 = 2k 
 
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Demonstração indireta: Por contraposição. 
 
Teorema: Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 
 
Tentativa de Prova Direta. 
 
-Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar. 
 
-Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∊ Z 
 
-3n + 1 = 2k 
 
E agora? 
 
A tentativa de prova falha, pois não há forma direta de concluir que n é ímpar. 
Devemos recorrer a um dos métodos de prova indireta. 
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Método indireto: 
 
A prova por contraposição consiste em mostrar que p  q é verdadeiro, usando 
o fato de que (~q  ~p)  (p  q) 
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Método indireto: 
 
A prova por contraposição consiste em mostrar que p  q é verdadeiro, usando 
o fato de que (~q  ~p)  (p  q) 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
 
Logo, pela definição de paridade, 3n + 2 é par (~p). 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
Prova por Contraposição. 
 
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade) 
 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
Prova por Contraposição. 
 
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade) 
 3n + 2 = 3(2k ) + 2 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
Prova por Contraposição. 
 
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade) 
 3n + 2 = 3(2k ) + 2 
 3n + 2 = 6k + 2 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
Prova por Contraposição. 
 
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade) 
 3n + 2 = 3(2k ) + 2 
 3n + 2 = 6k + 2 
 3n + 2 = 2 (3k + 1), com t = 3k + 1 ∊ Z 
 
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 Vamos aplicar o teorema. 
 
 
 
 
Prova por Contraposição. 
 
 ~q: n é par, logo n = 2k , k ∊ Z (paridade) 
 3n + 2 = 3(2k ) + 2 
 3n + 2 = 6k + 2 
 3n + 2 = 2 (3k + 1), com t = 3k + 1 ∊ Z 
 3n + 2 = 2t 
 
Logo, pela definição de paridade, 3n + 2 é par (~p). 
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Prova por Contradição ou Redução ao Absurdo 
 
Uma prova por contradição mostra (p  q) indiretamente em dois casos: 
 
Teoremas na forma p  q: assumir que ∀x ∊ D (P(x )  Q(x )) é falso. 
 
- Em lógica, (p ^ ~q) 
 
- Partindo de (p ^ ~q), deduzir uma contradição 0 
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Prova por Contradição ou Redução ao Absurdo 
 
Teoremas na forma p: assumir que ∀x ∊ D(P(x )) é falso: 
 
- Em lógica, ~p 
 
- Partindo de ~p, deduzir a contradição (r ^ ~ r ). 
 
 
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Passo 1: Suponha que a declaração a ser provada é falsa. 
 
Passo 2: Mostre que esta declaração leva logicamente a uma contradição. 
 
Passo 3: Conclua que a afirmação a ser provada é verdadeira. 
 
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Teorema (Forma p) 
 
Não existe um inteiro que seja o maior de todos. Prova por Contradição. 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 N  n, n ∊ Z 
 
 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 N  n, n ∊ Z 
 
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z 
 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 N  n, n ∊ Z 
 
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z 
 
 M > N. 
 
 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 N  n, n ∊ Z 
 
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z 
 
 M > N. 
 
 Contradição: N é o maior de todos os inteiros, e M é maior do que N. 
 
 
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Prova por Contradição. 
 
 (~ p): N ∊ Z tal que N é o maior de todos. 
 
 N  n, n ∊ Z 
 
 M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∊ Z 
 
 M > N. 
 
 Contradição: N é o maior de todos os inteiros, e M é maior do que N. 
 
 Portanto, (p q) pois [(p ^ ~q) 0]  (p q). 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- Provar por vacuidade o Teorema Se x2 + 1 < 0 então x5  4 com D = R 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- Provar por vacuidade o Teorema Se x2 + 1 < 0 então x5  4 com D = R 
 
Prova: 
 
 x2 + 1 é sempre positivo, logo p é falso para todo x ∊D . 
 
 Logo, a implicação p  q é verdadeira. 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre usando o método direto. Teorema:Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
Prova: 
 
-Assumimos que n é ímpar. 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
Prova: 
 
-Assumimos que n é ímpar. 
 
-Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k . 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
Prova: 
 
-Assumimos que n é ímpar. 
 
-Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k . 
 
-Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n 2 = (2k + 1) 2 
 
 n 2 = 4k 2 + 4k + 1 
n 2 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre usando o método direto. Teorema: Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar. 
 
Prova: 
 
-Assumimos que n é ímpar. 
 
-Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k . 
 
-Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n 2 = (2k + 1) 2 
 
 n 2 = 4k 2 + 4k + 1 
n 2 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1 
 
Logo, n 2 = 2t+1. Pela definição se n é impar n2 também é impar. 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5) 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5) 
 0 · 0 < x · y < 5 · 5 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5) 
 0 · 0 < x · y < 5 · 5 
 0 < x · y  25 
 
 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre usando o método de contraposição. Teorema: Para todo número real positivo x e y, 
se o produto x · y excede 25, então x > 5 ou y > 5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 ~q: (0 < x  5) e (0 < y  5) 
 0 · 0 < x · y < 5 · 5 
 0 < x · y  25 
 Logo, o produto x · y não excede 25 (~p) 
 
 
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Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de 
Conjuntos disponíveis. 
 
 
Sugestão de material: 
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E
1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf 
 
https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=TdqhVaOOEeGB8QeEu4DIDA&gws_rd=ssl#q=Proposi
%C3%A7%C3%B5es+Simples 
 
http://www.feata.edu.br/downloads/revistas/avessodoavesso/v3_artigo04_logica.pdf 
 
http://uol.iesde.com.br/aprovaconcursos/demo_aprova_concursos/raciocinio_logico_01.pdf 
 
 
 
Indicação de Leitura 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 15: Métodos de Demonstração 
 
 
 
Sugestão de leitura: 
https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundamentos-de-programacao-
2.8401.1m/fundamentos-de-logica-e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-equivalencias-logicas 
 
 
Indicação de Leitura 
Indicação de Leitura Específica 
 
 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 7 - Métodos de Demonstração 
 
7.3. Técnicas Adicionais, envolvendo 
quantificadores. 
 
7.4. Construção dos Números Naturais como 
Função: Princípio da Indução.