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Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 01 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Oi. Seja bem-vindo(a)! Esta é a Aula 1 da disciplina Cálculo 
Aplicado à Administração do curso de Administração de 
Empresas. Neste encontro, estudaremos os conceitos e as 
aplicações da lógica matemática no contexto da Administração. 
Confira os tópicos: 
Conceitos de lógica matemática 
Tabela Verdade 
Tautologia, contradição e contingência 
Aplicações da lógica matemática 
 
Introdução 
A Lógica é uma das áreas mais jovens da matemática, tendo 
surgido em meados do século XIX como um sub-ramo 
independente do estudo tradicional. Anteriormente, a Lógica foi 
estudada com a retórica, através do silogismo e da filosofia. 
Os estudos sobre o raciocínio foram inicialmente desenvolvidos 
por filósofos como Parménides e Platão, mas foi Aristóteles 
quem o elaborou mais detalhadamente e definiu as bases do 
estudo clássico da lógica. Por isso, sua aplicação se expande 
tanto nas áreas de ciências humanas e exatas. 
Na matemática, nosso principal foco nesta disciplina, seu estudo 
baseia-se em proposições, ou seja, em sentenças declarativas, 
de tal forma que nos permita raciocinar corretamente na 
investigação da verdade. 
 
Para iniciar os estudos, assista ao vídeo do professor 
Castanheira e entenda as principais definições de Lógica 
Matemática: 
CONTEXTUALIZANDO 
Problematização 
Na lógica matemática, podemos distinguir três formas de 
raciocínio lógico: a dedução, a indução e a abdução. Para tal, 
precisamos de uma regra, uma premissa e uma conclusão, 
sendo que cada uma delas deve ser implicada pelas outras duas. 
Navegue por cada um dos termos para entender os conceitos. 
Dedução 
“Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a 
grama está molhada”. 
Através de uma regra e uma premissa, utilizamos a dedução 
para determinar uma conclusão. 
Indução 
“A grama fica molhada todas as vezes em que chove. Então, se 
chover amanhã, a grama ficará molhada”. 
Na indução, utilizamos a premissa e a conclusão para 
chegarmos a uma regra. 
Abdução 
“Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, 
então pode ter chovido”. 
 
 
Na abdução, utilizamos a regra e a conclusão para chegarmos a 
uma premissa. 
Resumidamente, podemos dizer que: 
Para 
toda... 
... há uma: 
Dedução Conclusão 
Indução Regra 
Abdução Premissa 
 
Entendendo estes conceitos, você pode ver como o 
raciocínio lógico é fundamental 
para a tomada de decisões em situações do nosso dia a dia? 
Agora, faça o exercício de fixação a seguir, com atenção aos 
seguintes pontos: 
 Verifique se as sentenças são preposições ou não; 
 Em caso afirmativo, verifique se as preposições são 
verdadeiras ou falsas. 
1. Como aquela mulher é linda! 
2. Brasília é a capital da Argentina. 
3. Aquele casal é feliz? 
4. 49 > 5 + 20. 
5. Fique quieto. 
Não é proposição 
Proposição falsa 
Proposição verdadeira 
Não é proposição 
Não é proposição 
 
6. x é menor que 15. 
7. Existe um número primo menor que 3. 
8. Deus te crie. 
9. 102 > 1000. 
10. A boneca da Cristina. 
 
PESQUISE 
Conceitos de lógica matemática 
Como foi seu desempenho no exercício anterior? Caso não 
tenha atingido 100% de acerto, não se preocupe! Ao final deste 
encontro você certamente entenderá porque algumas sentenças 
não são proposições e o que diferencia uma proposição 
verdadeira de uma falsa. 
Vale lembrar que a lógica engloba todo aspecto da existência 
humana, não apenas na área do conhecimento matemático. 
Como vimos nos exemplos da problematização, desde questões 
simples como a possibilidade de chuva até questionamentos 
existenciais sobre o sentido da vida têm em comum a 
necessidade da lógica baseada em proposições! 
Neste tópico, abordaremos: 
 Conceito de proposições 
 Valores lógicos 
 Classificação das proposições 
 Conectivos 
Proposição verdadeira 
Não é proposição 
Proposição falsa 
Não é proposição 
 
 
 Notação 
 Operações lógicas 
 Negação 
 Conjunção 
 Disjunção 
 Disjunção exclusiva 
 Condicional 
 Bicondicional 
Para fixar o conteúdo apreendido, vamos fazer mais um 
exercício de fixação? 
Com base nas explicações do professor, arraste os símbolos 
para suas respectivas operações lógicas. 
1. Negação 
2. Conjunção 
3. Disjunção 
4. Disjunção Exclusiva 
5. Condicional 
6. Bicondicional 
Complementando o estudo dos conceitos lógicos, leia o trecho 
das páginas 3 a 5 do artigo a seguir! 
http://www.cursoagoraeupasso.com.br/material/Parte_01_RacLo
g_AEP_PF_Weber.PDF 
 
~p 
 p  q 
 p  q 
 p  q 
 p → q 
 p ↔ q 
 
 
 
Para exemplos de utilização das estruturas em proposições, 
assista aos exercícios resolvidos do vídeo a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=xi_2hfhrk9k 
Tabela Verdade 
Em poucas palavras, uma tabela verdade é um dispositivo 
prático que mostra todos os valores lógicos de uma 
proposição. Através dela, podemos criar várias combinações de 
proposições para atestar sua veracidade, com o auxílio dos 
conectivos e operações lógicas estudadas anteriormente. 
Primeiramente, leia este artigo e entenda os conceitos 
fundamentais da tabela verdade: 
http://www.mtm.ufsc.br/~gilles/ensino/2013-
01/mtm5801/TabelasVerdade.pdf 
Compreendeu os fundamentos? Hora de praticar! 
Construa a tabela verdade da proposição a seguir, sempre tendo 
em mente os conceitos explicados neste tema. Caso tenha 
dificuldades de entendimento, não hesite em rever o material de 
estudo! 
Irei para a escola e para o trabalho. 
Primeiramente, que operação lógica se aplica a esta proposição? 
a) Negação: conectivo ~ 
b) Conjunção: conectivo ^ 
c) Condicional: conectivo → 
d) Bicondicional: conectivo ↔ 
 
Tautologia, Contradição e Contingência 
Neste tema, estudaremos três operações lógicas particularmente 
importantes: tautologia, contradição e contingência. Elas são 
importantes porque são utilizadas para testar a validade ou 
falsidade lógica das proposições. 
Confira os conceitos clicando nos exemplos a seguir: 
“Nenhum solteiro é casado” 
Proposições necessariamente verdadeiras, independente das 
variáveis e circunstâncias; vulgarmente, proposições ‘óbvias’ e 
redundantes. 
“Maria é alérgica a carne, por isso comeu três 
hambúrgueres” 
Proposições necessariamente falsas, independente das variáveis 
e circunstâncias; também podem ser consideradas “sem sentido” 
ou “falhas”. 
“Existem mais de três planetas no universo” 
Proposições que não são verdadeiras nem falsas, podendo ser 
fatos ou precisam de contexto para terem sua lógica atestada 
corretamente. 
Os princípios destas operações são utilizados em várias áreas do 
conhecimento humano para validação de argumentos, teses e 
fórmulas, tais como filosofia, matemática e lógica modal. 
Assista ao divertido vídeo a seguir para um exemplo prático do 
uso da lógica aplicada a estas operações: 
https://www.youtube.com/watch?v=TPZjFP2xMt8 
 
 
 
Não deixe também de ler o artigo a seguir para mais detalhes 
sobre estas operações! 
http://www.rafaeldiasribeiro.com.br/downloads/TAUTOLOGIASC
ONTRADICOESECONTINGENCIAS.pdf 
Para fixar os conhecimentos, vamos fazer um rápido exercício! 
Analise as tabelas verdade a seguir e arraste cada operação 
para sua respectiva opção correta. 
A ~A A  ~A 
V F V 
F V V 
 
A ~A A  ~A 
V F F 
F V F 
 
A B A  B A  B (A  B) → (A  
B) 
V V V VV 
V F V F F 
F V V F F 
Tautologia 
 
Contradição 
 
Contingência 
 
 
 
F F F F V 
 
Aplicações da lógica matemática 
As aplicações da lógica matemática são muitas, principalmente 
na área da ciência da computação. E para desempenhar com 
segurança atividades que exijam o conhecimento desse assunto, 
é importante conhecer bem o que vem a ser uma proposição. 
A utilização dos conectivos para a composição das proposições 
compostas é de suma importância, e a construção e a 
interpretação das tabelas verdade é uma ferramenta fundamental 
para o entendimento da lógica matemática. 
Leia o artigo a seguir para uma síntese das noções de lógica: 
http://criticanarede.com/log_nocoes.html 
Para finalizar, assista ao vídeo a seguir sobre Lógica no 
Cotidiano! 
https://youtu.be/qFe9_YM8QFU?t=5m39s 
SÍNTESE 
Encerramos aqui nossa primeira aula de Cálculo Aplicado à 
Administração! 
Até o próximo encontro! 
 
 
 
 
 
Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 02 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, aluno!! Já estamos na segunda aula da disciplina Cálculo 
aplicado à Administração! 
INTRODUÇÃO 
A Estatística é a parte da Matemática que coleta, analisa e 
interpreta dados numéricos para o estudo de fenômenos 
naturais, econômicos e sociais. 
Para o entendimento da estatística, vamos trabalhar com um 
exemplo aplicado, vamos conhecer o conceito de população e 
amostra. 
Acompanhe a seguir. 
População e Amostra 
É importante saber que existem diferentes tipos de 
representações estatísticas. São elas: 
Gráficos 
Tabelas 
Infográficos 
 
É preciso entender que, para se utilizar destas ferramentas 
são necessários alguns elementos. Aí é que entra a 
"População e Amostra". 
Entendendo melhor 
 
A População envolve o “todo”. Todo? Isso, tudo aquilo que nós 
estamos pesquisando ou analisando. 
Exemplo: 
Em uma determinada escola, pretende-se estudar um fenômeno 
que está ocorrendo. E, neste “todo” temos os grupos em anos 
diferentes, sendo eles, 6º, 7º, 8º e 9º anos. Que esses grupos 
(6º, 7º, 8º e 9º) anos, juntos, formam um grupo – a escola – 
portanto, a população em estudo seria todos os integrantes 
dentro do colégio. 
Para identificar a amostra, basta extrair uma parcela da sua 
população, no caso do nosso exemplo, a escola, a amostra seria: 
a) só uma turma, 
b) só as meninas, 
c) só os meninos, 
d) somente uma idade... e assim por diante. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Problematização 
A Estatística nos fornece ferramentas para a tomada de decisão. 
Ao obtermos os dados em uma pesquisa, podemos determinar a 
média, a mediana e a moda dos mesmos (as chamadas medidas 
de posição). Você está preparado para distinguir uma medida da 
outra? Você saberia quando se deve utilizar a média ou quando 
se deve utilizar a mediana dos resultados? 
Após calculado as medidas de posição, pode-se calcular as 
medidas de dispersão, com especial atenção ao desvio padrão. 
 
 
Você conhece as aplicações do desvio padrão? Como tomar 
uma decisão a partir dos valores encontrados para a média, a 
mediana e o desvio padrão? 
PESQUISE 
Medidas de Tendência Central ou de Posição 
Vamos começar a calcular? Então, comecemos pelas Medidas 
de Tendência Central... 
Para nos aprofundarmos um pouco mais na análise dos dados 
obtidos em uma pesquisa, precisamos efetuar cálculos de 
algumas medidas. Incialmente, estudaremos as chamadas 
medidas de posição, também conhecidas como medidas de 
tendência central. 
A primeira dessas medidas é a média aritmética ou 
simplesmente média, que representaremos por: 
 X 
Média Aritmética 
Mencionamos na aula 1 que a média aritmética de dois valores é 
obtida somando-se esses dois valores e dividindo o resultado por 
2. É realmente simples. Genericamente, se queremos calcular a 
média aritmética de “n” valores, somamos esses “n” valores e 
dividimos o resultado da soma por “n”. 
X = ∑Xi / n 
O símbolo ∑ representa o somatório 
Suponhamos, como exemplo, que desejamos conhecer a médias 
das idades de cinco pessoas, sendo que as mesmas têm 22, 25, 
 
21, 28 e 24 anos de idade. Para o cálculo da média somamos 
esses 5 valores e dividimos o resultado por 5. 
Assim, temos: 
X = 22 + 25 + 21 + 28 + 24 / 5 
X = 120 / 5 
X = 24 anos de média 
Média Aritmética Ponderada 
E quando os dados estão agrupados? Como calcular a média 
aritmética? Nesse caso, estamos diante de uma média aritmética 
ponderada, onde cada valor da variável X deverá ser multiplicado 
pela respectiva frequência de ocorrência. Suponhamos, como 
exemplo, que em um teste de português, realizado por 30 
pessoas, tenhamos obtido os resultados da tabela 1. 
Tabela 1 – Resultados obtidos em um teste de português 
 Resultado (Xi) Quantidade de pessoas (fi) 
 5 5 
 6 5 
 7 8 
 8 6 
 9 6 
 
 Fonte: elaborado pelo autor. 
Qual foi a médias desses resultados? 
Para a solução desse exercício, deveremos utilizar a fórmula: 
X = ∑(Xi . fi) / n 
 
 
 
Onde i varia de 1 a n. Assim, temos: 
 
X = 5 . 5 + 6 . 5 + 7 . 8 + 8 . 6 + 9 . 6 / 30 
 
X = 213 / 30 
 
X = 7,1 
E quando os dados estão agrupados em intervalos? Como 
calcular a média aritmética? Nesse caso, o cálculo é semelhante 
ao anterior. Entretanto, lembrar que utilizamos o valor médio de 
cada intervalo (ou classe). Por exemplo, suponhamos que no 
exemplo anterior os resultados tivessem sido fornecidos em 
intervalos, como mostrado na tabela 2. 
Tabela 2 – Resultados obtidos em um teste de português, por 
faixa de nota 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
Leitura do livro “Estatística aplicada a todos os níveis”. Autor: 
Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. 
Capítulos 2, 3 e 4 - Páginas 24 a 63. 
E, para entender um pouco mais sobre Média Aritmética e 
Ponderada, veja o vídeo a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=O9n8US_4d8w 
Mediana 
Mediana é o que está no meio? Isso mesmo! Veja o exemplo 
a seguir... 
 
 
 
Mediana, então, por definição, é o valor que ocupa a posição 
central dos dados obtidos em uma pesquisa. Lembrar que, para 
se identificar esse ponto central, é necessário colocar os dados 
em ordem crescente ou decrescente, ou seja, no formato de um 
Rol. 
 Vamos representar a Mediana por Md. 
Por exemplo, se tivermos como resultado de uma pesquisa 
qualquer os valores: 
1 – 8 – 6 – 6 – 4 – 3 – 4 – 5 – 3 – 9 – 6 
Vamos colocar esses dados em ordem crescente: 
1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 9 
 
 
Temos 11 resultados. Então, a Mediana desses valores é o 5, 
valor que ocupa a posição central do Rol. 
Mas vem imediatamente uma pergunta: e se tivermos um 
número par de valores, qual valor estará no meio? Nesse caso, a 
Mediana será igual à média aritmética dos dois valores centrais 
do Rol. 
Por exemplo, se tivermos como resultado de uma pesquisa 
qualquer os valores: 
1 – 8 – 6 – 6 – 4 – 3 – 4 – 5 – 3 – 9 – 6 – 9 
Vamos colocar esses dados em ordem crescente: 
1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 9 – 9 
Temos 12 resultados. Então, a Mediana desses valores é a 
média aritmética entre os dois valores centrais, ou seja, a média 
entre o 5 e o 6. Temos que: Md = 5,5. 
E quando os dados estão agrupados em intervalos? Como 
calcular a mediana? Para esse 
cálculo, precisaremos utilizar a fórmula: 
Md = Li + ( n/2 - ∑fant) . A 
fMd 
 Li = limite inferior da classe que contém a Mediana 
 n = tamanho da amostra ou da população pesquisada 
 ∑fant = somatório das frequências das classes anteriores 
àquela que contém a Mediana 
 fMd = frequência da classe que contém a Mediana 
 
 A = amplitude do intervalo que contém a Mediana 
Para você não ter dúvidas quanto à utilização dessa fórmula, 
vamos analisar um exemplo. Vamos calcular a mediana dos 
resultados que foram utilizados na tabela 2, a seguir copiada. 
 
Observe que os resultados já estão em ordem numérica 
crescente. 
Se temos 30 resultados, o resultado que está no meio dos 
mesmos está no terceiro intervalo, pois temos 5 (do 1º ao 5º) 
resultados no primeiro intervalo, temos mais 5 (do 6º ao 10º) 
resultados no segundo intervalo e temos 8 (do 11º ao 18º) no 
terceiro intervalo. Substituindo os valores na fórmula anterior, 
temos: 
 
Arredondando esse resultado, com uma casa após a vírgula, 
temos que Md = 7,6. 
 
 
 
No livro “Estatística aplicada a todos os níveis” do autor 
Nelson Pereira Castanheira, leia o capítulo 4 - Páginas 63 a 67. 
Além da leitura, você poderá ler um pouco mais clicando no 
botão a seguir: 
http://www.brasilescola.com/matematica/mediana.htm 
MODA 
Moda? Em cálculo? Isso mesmo... 
Curioso? Então confira as explicações a seguir! 
No nosso dia a dia, percebemos que algo está na moda quando 
vemos esse algo com muita frequência, certo? Uma roupa, um 
carro, um tênis, enfim! 
Na estatística funciona da mesma forma. Definimos “Moda” 
como sendo aquele valor que aparece com a maior frequência no 
resultado de uma pesquisa. Fácil, não é mesmo! 
Vamos representar a Moda por Mo 
Assim como procedemos para a determinação da Mediana, para 
sabermos qual é a Moda de um conjunto de valores, precisamos 
primeiramente colocá-los em ordem numérica crescente ou 
decrescente. 
Exemplo: se tivermos como resultado de uma pesquisa qualquer 
os valores: 
1 – 8 – 6 – 6 – 4 – 3 – 4 – 5 – 3 – 9 – 6 – 9 
Vamos colocar esses dados em ordem crescente: 
1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 9 – 9 
 
Observamos, com certa facilidade, que o resultado que ocorreu 
com a maior frequência foi o 6. 
Temos: Mo = 6 
Já havíamos calculado a Mediana desses mesmos valores e 
havíamos encontrado Md = 5,5. Se calcularmos 
a média desses 12 valores, encontraremos X = 5,33. 
Observe que esses valores (X = 5,33, Md = 5,5 e Mo = 6) estão 
próximos e se encontram no meio dos resultados, quando 
colocados na forma de um Rol (em ordem crescente ou 
decrescente). Por essa razão, essas medidas são conhecidas 
como de tendência central. 
E quando os dados estão agrupados em intervalos? Como 
calcular a moda? 
Para esse cálculo, precisaremos utilizar a fórmula: 
Mo = Li + fpost . A 
 fant + fpost 
Li = limite inferior da classe que contém a Moda 
fant = frequência do intervalo anterior ao que contém a Moda 
fpost = frequência do intervalo posterior ao que contém a Moda 
A = amplitude do intervalo que contém a Moda 
Para você não ter dúvidas quanto à utilização dessa fórmula, 
vamos analisar um exemplo. 
Vamos calcular a moda dos resultados que foram utilizados na 
tabela 2, a seguir novamente copiada. 
 
 
 
Primeiramente, observe que os resultados já estão em ordem 
numérica crescente. 
Como a moda é o resultado que acontece com a maior 
frequência, sabemos que a moda está no terceiro intervalo por 
ser aquele que tem a maior frequência (no caso, f = 8). 
Substituindo os valores na fórmula anterior, temos: 
Mo = 7 + 6__ . 1 
 5 + 6 
 
Mo = 7 + 0,545 
 
Mo = 7,545 
 
Arredondando esse resultado, com uma casa após a vírgula, 
temos que Mo = 7,5 
Novamente observe que os resultados da Média (7,5), da 
Mediana (7,6) e da Moda (7,5) desses resultados estão próximos 
e se encontram no meio dos resultados da pesquisa. 
Continuando com a leitura do livro sugerindo anteriormente, 
agora leia o Capítulo 4 - Páginas 68 a 75. 
Vamos aprofundar mais seu conhecimento sobre o assunto? 
 
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/modaestatistic
a.pdf 
Medidas de Dispersão: Amplitude e Desvio Médio 
Agora vamos falar sobre as Medidas de Dispersão. 
Fique atento, é muito importante saber... 
Quando se tem os resultados de uma pesquisa e, a partir 
dos mesmos, determinamos a Média, a Mediana e a Moda, 
nem sempre esses resultados são suficientes para a 
tomada de uma importante decisão. 
 
Então, precisamos dessas outras três medidas aqui: 
Medidas de dispersão: assim, para complementar essas 
medidas de tendência central, temos as medidas de dispersão, 
também conhecidas como medidas de afastamento. 
Medidas de assimetria: por que afastamento? Porque são 
medidas que nos permitem verificar o quanto cada resultado, 
isoladamente, está afastado da média ou da mediana dos 
resultados. 
Medidas de curtose: além disso, há outras medidas que nos 
permitem identificar se dois ou mais grupos, quando comparados 
são homogêneos ou heterogêneos. São as medidas de 
assimetria. 
Finalmente, há medidas que nos permitem afirmar se o gráfico 
resultante de uma pesquisa é simétrico ou assimétrico e se 
normal, achatado ou afilado. São as medidas de curtose. 
Amplitude Total 
 
 
Quando temos os resultados de uma pesquisa e os colocamos 
em ordem numérica crescente ou decrescente, sabemos quais 
são os valores mínimo e máximo dos resultados. Podemos então 
determinar a amplitude total desse conjunto de valores, 
subtraindo o valor menor do valor maior. 
Suponhamos, por exemplo, que tivemos os seguintes valores em 
uma pesquisa, já ordenados: 
3 – 4 – 4 – 6 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 9 
A amplitude total desse conjunto de valores, que 
representaremos por A, é: 
A = 9 – 3 
A = 6 
Outro exemplo, os resultados de uma pesquisa conforme 
mostrado na tabela 1. 
Tabela 1 – Resultados obtidos em um teste de português, por 
faixa de nota: 
 
A amplitude total, nesse caso, é: 
A = 10 – 5 
 
A = 5 
Confira a seguir mais detalhes sobre: 
Amplitude Semi-Interquartílica: verificamos que a Mediana é o 
valor que está no centro dos resultados de uma pesquisa. Logo, 
a Mediana divide os resultados em duas partes iguais. Mas 
podemos desejar dividir esses resultados em uma quantidade 
maior de partes iguais. 
Quartil: os quartis dividem os resultados de uma pesquisa, 
colocados em ordem crescente ou decrescente, em quatro partes 
iguais. Assim, temos três quartis a que chamaremos Q1, Q2 e Q3. 
O quartil 2, no caso, coincide com a Mediana, pois está no centro 
dos resultados. 
A Amplitude Semi-interquartílica, também conhecida como 
Desvio Quartil, pode ser obtida pela fórmula: 
Dq = Q3 – Q1 
 2 
 
Decil e Centil: caso queiramos dividir os resultados de uma 
pesquisa em dez partes iguais, precisaremos conhecer os nove 
Decis, representados por D1, D2, ..., D9. 
Caso queiramos dividir os resultados de uma pesquisa em cem 
partes iguais, precisaremos conhecer os noventa e nove Centis, 
representados por C1, C2, ..., C99. 
Desvio Médio: para conhecermos o Desvio Média (Dm), 
precisamos primeiramente calcular a Média Aritmética. 
Em seguida, verificamos o quanto cada um dos valores está 
afastado dessa média, positiva ou negativamente. Todos os 
 
 
valores deverão ser considerados, sem exceção. Para tal, 
utilizamos a fórmula: 
Para exemplificarmos o cálculo do Desvio Médio, vamos utilizar 
os dados da tabela 2, representativa dos resultadosobtidos em 
uma pesquisa entre 100 pessoas quanto aos respectivos anos de 
estudo. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Vamos primeiramente calcular a média desses resultados, 
considerando o ponto médio de cada intervalo. 
 
 
Para o cálculo do Desvio Médio, vamos completar a terceira e a 
quarta colunas da tabela 3. Observar que na terceira coluna foi 
calculado o desvio em relação à média de cada um dos 
resultados da pesquisa. 
Como cada resultado ocorreu mais de uma vez, na quarta coluna 
multiplicou-se o módulo desses desvios pela frequência de 
ocorrência. Lembrar que utilizamos o módulo dos desvios porque 
o somatório dos mesmos é sempre igual a zero. 
 
Agora, vamos utilizar novamente a fórmula do desvio médio: 
 
No livro: Estatística aplicada a todos os níveis. Autor: Nelson 
Pereira Castanheira. Edição 5. 
Leia o capítulo 5 - Páginas 78 a 86. 
 
 
 
E, para ampliar seus conhecimentos, clique no botão a seguir e 
veja um vídeo sobre Desvio Médio. 
https://www.youtube.com/watch?v=iEMfuoHEMfw 
Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão 
E o nosso último tema é: Variância. 
Confira a seguir os detalhes... 
Variância 
O nosso objetivo é a determinação do desvio padrão desses 
dados. Para tal, precisamos primeiramente calcular a variância, 
que representaremos por S2. 
Para o cálculo da variância de toda a população pesquisada, 
temos a fórmula: 
S2 = ∑ (Xi – X)2 . fi 
 N 
 
Caso estejamos trabalhando com uma amostra, o denominador 
dessa equação passa a (N – 1) 
Desvio Padrão 
O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada na 
prática. Nós o representaremos por S. Logo: 
S = 
Ou seja, o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância 
 
 
 
Ao realizarmos uma amostra com uma amostra suficientemente 
grande, verificamos que o intervalo compreendido entre (X – 3 . 
S) e (X + 3 . S) inclui praticamente todos os resultados obtidos na 
pesquisa. Isso será melhor ilustrado ao estudarmos a distribuição 
normal de probabilidades. 
Vamos então calcular a variância e o desvio padrão dos dados 
ilustrados na tabela 3. Para tal, precisaremos incluir uma coluna 
com os valores de (Xi – X)2 . fi. Ver a tabela 4. 
Então, a variância, considerando que estamos trabalhando com a 
população toda, é: 
 
Como o desvio padrão é igual a raiz quadrada da variância, 
temos: 
S = 
S = 4,205996 (aproximadamente, S = 4,21) 
 
 
No Livro: Estatística aplicada a todos os níveis, do professor 
Nelson Pereira Castanheira, leia o Capítulo 5 - Páginas 86 a 92. 
E, para finalizar, clique no botão a seguir e confira um pouco 
mais sobre a Variância e Desvio Padrão. 
http://educacao.uol.com.br/matematica/estatistica-variancia-
desvio-padrao.jhtm 
Síntese 
Em síntese, estudamos o que vem a ser a lógica matemática e 
exploramos bastante o conceito de proposição. Estudamos 
proposições simples e proposições compostas, a partir da 
utilização dos conectivos. 
Na sequência, detalhamos as operações lógicas, envolvendo 
negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, proposição 
condicional e proposição bicondicional. A partir da elaboração e 
análise das tabelas-verdade, essas operações ficaram de fácil 
compreensão. 
Por último, estudamos a tautologia, a contradição e a 
contingência. 
Referências 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística 
básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos 
os níveis. 5. ed. Curitiba: Intersaberes, 2010. 
 
 
 
1 
 
 
 
Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 03 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Hoje veremos a 3ª aula da disciplina Cálculo 
aplicado à Administração! 
Introdução 
Agora vamos estudar probabilidades! Talvez você não 
perceba, mas todos os dias estamos envolvidos com esse 
assunto. Por exemplo, ao acordarmos, queremos saber a 
probabilidade de chover ou de fazer frio, ou de fazer calor, para 
sabermos que roupa devemos vestir para sair de casa. 
Quando alguém acredita que possa ganhar dinheiro 
apostando em algum jogo de azar, como os diversos tipos de 
loteria, é importante saber calcular qual a probabilidade de 
ganhar para saber se vale a pena arriscar uma aposta. Quando 
alguém vai prestar um concurso para trabalhar em uma 
Instituição, precisa saber qual a probabilidade de ser aprovado. 
E assim por diante. 
CONTEXTUALIZANDO 
Na Teoria das Probabilidades, precisamos saber distinguir 
quando utilizar o Teorema da Soma e quando utilizar o Teorema 
da Multiplicação. Para o Teorema da Soma, é ainda necessário 
saber quando os eventos são mutuamente exclusivos e quando 
não são. Também é importante saber aplicar as diferentes 
Distribuições de Probabilidades, para a resolução de 
problemas do nosso dia a dia. 
 
Você sabe o que é uma Distribuição de Probabilidades? E 
quando deve utilizar a Distribuição Binomial? E a 
Distribuição de Poisson? Ou a Distribuição Normal? 
 
 
 
Vamos esclarecer! 
Uma Distribuição de Probabilidades é um modelo 
matemático para a distribuição real de frequências. 
A Distribuição Binomial é utilizada quando o processo de 
amostragem é do tipo de Bernoulli, ou seja: 
 
 Em cada tentativa existem dois resultados possíveis e 
mutuamente exclusivos, denominados de sucesso e 
insucesso. 
 As séries de tentativas ou observações são constituídas 
de eventos independentes. 
 A probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece 
constante de tentativa para tentativa, isto é, o processo é 
estacionário. 
 
A Distribuição de Poisson é utilizada quando os eventos 
ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. É similar ao 
processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem 
continuamente ao invés de ocorrerem em tentativas ou 
observações fixadas. 
Por fim, a Distribuição Normal, finalmente, é uma 
distribuição contínua e é utilizada quando as medidas produzidas 
em diversos processos aleatórios seguem uma curva que é 
simétrica em relação à média e mesocúrtica e assíntota em 
relação ao eixo das abscissas, em ambas as direções. 
Essa curva pode ser chamada de curva normal ou de 
curva em forma de sino ou curva de Gauss. 
 
 
PESQUISE 
Interaja com os botões para ir direto ao assunto que 
desejar! 
PROBABILIDADE E ESPAÇO AMOSTRAL 
Probabilidade é o estudo de fenômenos aleatórios. 
 
Um fenômeno ou experimento aleatório é aquele que 
pode ser repetido muitas vezes e sempre sob as mesmas 
condições. Não podemos afirmar qual o resultado que será 
obtido no experimento em cada tentativa. Entretanto, sabemos 
qual a probabilidade de ocorrência de cada resultado possível. 
Por exemplo, o lançamento de uma moeda é um 
experimento aleatório. Antes de lançá-la, não sabemos qual o 
resultado que será obtido, mas sabemos que ou será cara ou 
será coroa. 
Os possíveis resultados de determinado constituem o que 
chamamos de Espaço Amostral (S). Assim, o lançamento de 
uma moeda tem o seguinte espaço amostral: 
S = {cara, coroa} 
 
Observe que o espaço amostral é um conjunto. Por isso, 
fizemos a representação de cara e coroa. 
 
Qualquer subconjunto do conjunto S é um Evento. Por 
exemplo, podemos definir o evento 
A = {deu cara} 
ou o evento 
B = {deu coroa} 
 
Se o evento tiver um único elemento, ele se chama 
Evento Simples. Se tiver dois ou mais elementos, se chama 
Evento Composto. 
 
O Cálculo da ProbabilidadeMas, como se calcula a probabilidade de ocorrência de um 
evento? 
 
Definimos que probabilidade de ocorrer um evento é a 
relação entre o número de casos favoráveis desse evento e o 
número de casos possíveis. Ou seja, no lançamento de uma 
moeda, a probabilidade de ocorrer o evento A = {deu cara} é 
igual a: 
 
P(A) = número de elementos do evento A_____ 
 número de elementos do espaço amostral S 
 
Não esqueça que o resultado encontrado para P(A) é 
sempre um valor entre zero e um, onde um corresponde a 100%. 
Estamos supondo que a moeda do exemplo seja uma 
ferramenta honesta. Mas o que isso significa? Significa que 
qualquer resultado tem igual probabilidade de ocorrência. Não é, 
portanto, uma ferramenta viciada. Vamos agora analisar o 
experimento que consiste no lançamento de um dado honesto, 
ou seja, qualquer dos 6 possíveis resultados tem igual 
probabilidade de ocorrência. 
 
O espaço amostral é: 
 
S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} 
 
Vamos definir alguns eventos: 
A = {deu um número par} 
B = {deu um número ímpar} 
C = {deu o número 3} 
 
Qual a probabilidade de ocorrência de cada um desses 
eventos? 
P(A) = 3_ 
 6 
pois temos 3 números pares em um total de 6 
resultados possíveis 
 
 
 
Se desejarmos mostrar o resultado em percentual, basta 
dividir 3 por 6, que é igual a 0,5. Ou seja, 50%. 
P(B) = 3_ 
 6 
pois temos 3 números ímpares em um total de 6 
resultados possíveis. 
Novamente, 50% de probabilidade. 
 
P(C) = 1_ 
 6 
 
pois temos um único número 3 em um total de 6 
resultados possíveis. 
 
Nesse caso, a probabilidade é igual a 16,7%, ou seja, um 
dividido por 6. 
 
O sonho de muitos brasileiros é ficar milionário, acertando 
as 6 dezenas de um concurso da Mega-Sena. Mas quantos são 
 
os resultados possíveis nesse jogo, se são sorteadas 6 dezenas 
de um total de 60 dezenas? Qual o espaço amostral? 
 
Nesse caso, temos uma combinação de 60 números, 
tomados 6 a 6. 
Para o cálculo, precisamos relembrar a fórmula de 
Combinação, como segue: 
CN,X = N!____ 
 X! (N – X)! 
 
C60,6 = 60!___ 
 6! (60 – 6)! 
 
C60,6 = 50.063.860 
Ou seja, há mais de 50 milhões de resultado possíveis. Se 
você apostou um único jogo com 6 dezenas, a sua probabilidade 
de ganhar é: 
 
P(acertar 6 dezenas) = 1_____ = 0,000000019 
 50.063.860 
 
Percentualmente, a probabilidade de acertar as 6 dezenas 
de um concurso da Mega Sena é de 0,0000019% para quem 
apostou em um único jogo com 6 dezenas. 
 
Impossível? Não! Mas de baixíssima probabilidade de 
ocorrência. 
 
Vamos agora fazer o experimento que consiste no 
lançamento de dois dados honestos. 
Qual o espaço amostral desse experimento? 
 
Observe que cada dado tem 6 faces numeradas de 1 a 6. 
Quando no primeiro dado deu como resultado o número 1, esse 
 
resultado pode estar combinado com outros 6 resultados do 
segundo dado. Quando no primeiro dado deu como resultado o 
número 2, esse resultado pode estar combinado com outros 6 
resultados do segundo dado. E assim por diante. Temos então 6 
x 6 = 36 possíveis resultados no espaço amostral. 
 
Queremos, portanto, ao lançarmos dois dados 
simultaneamente, calcular a probabilidade de a soma dos 
resultados nos dois dados ser igual a 12. 
 
Nesse caso, só há uma chance desse acontecimento, que 
é sair o resultado 6 nos dois dados. A probabilidade de isso 
acontecer será: 
P (soma dos dois dados é 12) = 1_ 
 36 
Percentualmente, a probabilidade é de 2,78%. 
 
Uma observação importante é que P (A) representa a 
probabilidade de ocorrência de um evento. 
 
A probabilidade da não ocorrência desse evento é 
representada por Q (A). Nesse caso: 
P (A) + Q(A) = 1, ou seja, igual a 100%. 
 
Por exemplo, se hoje houver a probabilidade de 30% de 
chover, há a probabilidade de 70% de não chover. 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos e Eventos Não 
Mutuamente Exclusivos 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando o 
acontecimento de um deles elimina totalmente a probabilidade de 
ocorrência do outro, naquele momento. 
 
 
Se, por exemplo, você lançou uma moeda, poderá definir 
os eventos A = {deu cara} e B = {deu coroa}. Se o resultado 
obtido foi coroa, isso significa que ocorreu o evento B. Logo, não 
poderá ter ocorrido o evento A. 
Dizemos então que os eventos A e B são mutuamente 
exclusivos. 
 
Há eventos, entretanto, que não se excluem. Suponha o 
experimento que consiste no lançamento de um dado e que você 
tenha definido os seguintes eventos: 
A = {de um número par} 
B = {deu um número maior que 4} 
Ao lançar o dado, poderá ocorrer o resultado 6. Isso 
significa que ocorreu o evento A, pois o número é par. Mas 
ocorreu também o evento B, pois o número 6 é maior que 4. 
Dizemos então que os eventos A e B não são 
mutuamente exclusivos. 
 
Leitura obrigatória 
Livro: Estatística aplicada a todos os níveis. Autor: 
Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. 
Capítulo 7 - Páginas 110 a 118. 
 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO E REGRA DA SOMA 
Regra da Multiplicação 
Se um experimento A admite no seu espaço amostral “a” 
resultados e um experimento B admite no seu espaço amostral 
“b” resultados, então o número total de resultados dos dois 
experimentos, quando simultâneos, é “a . b”. Representa-se essa 
regra da multiplicação da seguinte forma: 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
 
O símbolo  representa a interseção e lê-se “E”. No 
exemplo anterior, qual a probabilidade ocorrer A e, 
simultaneamente, ocorrer B? 
A = {de um número par} 
B = {deu um número maior que 4} 
 
 
Supondo que ao lançar o dado ocorreu como resultado o 
número 6, temos que: 
 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
P(A  B) = 3_ . 2_ 
 6 6 
 
P(A  B) = 1_ 
 6 
 
Ou seja, só há uma chance do número que ocorreu como 
resultado ser simultaneamente par e maior que 4. 
Regra da Soma 
Antes de aplicarmos a regra da adição, é necessário saber 
se os eventos envolvidos são ou não mutuamente exclusivos. 
Utiliza-se a regra da adição quando estamos diante da 
ocorrência de um evento “ou” de outro evento. Nunca os dois 
simultaneamente. 
 
Por exemplo, se o experimento consiste em lançarmos 
uma moeda, suponhamos que você definiu os seguintes eventos: 
A = {deu cara} 
e 
B = {deu coroa} 
Qual a probabilidade de, ao lançarmos a moeda uma 
única vez, ocorrer o evento A ou o evento B? Como se trata de 
“ou”, utilizaremos a regra da adição. A fórmula é: 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
 
O símbolo  significa união e lê-se “OU”. Quando os 
eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, não acontecem 
simultaneamente, P(A  B) = 0. Então, nesse exemplo, P(A  B) 
= P(A) + P(B). 
Logo, P(A  B) = 1_ + 1_ 
 2 2 
P(A  B) = 1. 
 
Isso significa que há 100% de chance de ocorrer ou o 
evento A (deu cara) ou o evento B (deu coroa). 
Vamos analisar outro experimento. Agora, utilizaremos 
com a ferramenta um baralho comum de 52 cartas, sendo: 
- 13 cartas de copas (naipe de cor vermelha); 
- 13 cartas de ouros (naipe de cor vermelha); 
- 13 cartas de paus (naipe de cor preta); 
- 13 cartas de espadas (naipe de cor preta). 
Para quem não conhece um baralho comum, as 13 cartas 
de cada naipe são: Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama, 
Rei. 
 
Suponhamos agora que o experimentoconsiste em se 
retirar uma única carta desse baralho. Vamos definir os eventos: 
A = {a carta é um naipe de cor preta} 
e 
B = {a carta é um Valete} 
 
Observe que há 26 cartas de naipe preto (as 13 de paus e 
as 13 de espadas). Há, no baralho, 4 Valetes, sendo que dois 
deles são de naipe de cor preta. 
 
Logo, os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, 
pois a carta retirada poderá ser de naipe preto e poderá ser 
exatamente um valete de paus ou um valete de espadas. 
 
 
Queremos calcular a probabilidade da carta retirada ser ou 
uma carta de naipe preto ou um valete. Como os eventos não 
são mutuamente exclusivos, temos que: 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
 
P(A  B) = 26_ + 4_ – 26_ . 4_ 
 52 52 52 52 
 
P(A  B) = 28_ 
 52 
Ou seja, temos 28 chances em um total de 52 cartas, pois 
há as 26 cartas de naipe preto, mais dois valetes de naipe de cor 
vermelha. Vamos analisar outro exemplo de cálculo de 
probabilidades. 
 
Por exemplo, temos em uma caixa 8 bolas verdes e 4 
bolas vermelhas. Vamos retirar, sucessivamente, duas bolas 
dessa caixa, sem reposição. Queremos calcular a probabilidade 
de as duas bolas retiradas serem vermelhas. 
A probabilidade da primeira bola ser vermelha é: 
P(primeira bola é vermelha) = 4_ 
 12 
 
A probabilidade da segunda bola também ser vermelha é: 
P(segunda bola é vermelha) = 3_ 
 11 
Por quê? Porque se a primeira bola retirada foi vermelha, 
a caixa passa a ter apenas 3 bolas vermelhas. Como não houve 
reposição da bola retirada, após a retirada da primeira bola só 
restaram 11 bolas dentro da caixa (8 verdes e 3 vermelhas). 
Então a probabilidade de a primeira bola ser vermelha “e” 
a segunda bola ser vermelha, é: 
P(duas bolas vermelhas) = 4_ . 3_ 
 12 11 
 
 
P(duas bolas vermelhas) = 1_ 
 11 
 
Lembre-se: à palavra “E” associamos a multiplicação; 
à palavra “OU” associamos a soma. 
 
Leitura obrigatória 
Livro: Estatística aplicada a todos os níveis. 
Autor: Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. 
Capítulo 7 - Páginas 118 a 126; 128 a 133; 137 a 140. 
 
E para acrescentar um pouco mais seu conhecimento, 
confira este vídeo no Youtube! 
https://www.youtube.com/watch?v=xRrEWFBLa6U 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Agora que já estudamos o cálculo de probabilidades, 
vamos estudar um assunto novo: Distribuição de 
Probabilidades. 
O que é isso? 
A distribuição de probabilidades é um modelo matemático 
para a distribuição real de frequências de uma pesquisa, na qual 
a variável x é uma variável aleatória. 
 
Uma variável aleatória é aquela cujos valores são 
determinados por processos acidentais, ou seja, não está sob o 
nosso controle. Ela pode ser uma variável aleatória discreta ou 
uma variável aleatória contínua. Será discreta quando os 
valores que a variável pode assumir podem ser listados em uma 
tabela, com a respectiva probabilidade de ocorrência. Caso 
contrário, será contínua. 
Dentre as distribuições de probabilidade existentes, vamos 
estudar as que consideramos as três principais: a Distribuição 
Binomial, a Distribuição de Poisson e a Distribuição Normal. 
 
 
Distribuição Binomial 
A Distribuição Binomial é utilizada quando a variável 
aleatória é discreta. Pode ser aplicada quando o processo de 
amostragem é do tipo de Bernoulli. 
Quer um exemplo? Você saberia calcular quantos alunos 
poderão reprovar nesta disciplina em sua classe? 
 
Que tal praticar um pouco? 
Suponha que sua turma tem 200 alunos, usando a 
Distribuição Binomial, tente calcular quantos podem 
reprovar. Se ficar em dúvida, veja a seguir o vídeo do 
professor para conferir atentamente os passos! 
 
 
Leitura obrigatória 
Livro: Estatística aplicada a todos os níveis. 
Autor: Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. 
Capítulo 8 - Páginas 142 a 151. 
 
E para reforçar ainda mais sobre o assunto, confira o 
vídeo no Youtube sobre Distribuição Binomial. 
https://www.youtube.com/watch?v=4-XXKHSLQqQ 
 
Distribuição de Poisson 
Sabe quando queremos calcular algo que não pode ser 
determinado? Por exemplo: você poderia me dizer quantos raios 
podem cair em sua cidade na próxima tempestade que houver? 
E agora? Você é capaz de dizer a probabilidade de os 
raios caírem? Para fazer os cálculos, você pode usar a 
tabela 1 que tem exemplos de e-. 
 
 
 
 
Leitura obrigatória 
Livro: Estatística aplicada a todos os níveis. 
Autor: Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. Capítulo 8 - 
Páginas 142 a 151. 
 
E para reforçar ainda mais sobre a Distribuição Poisson, 
veja o vídeo no Youtube! 
https://www.youtube.com/watch?v=WgQYIDssjLw 
 
 
Distribuição Normal 
A distribuição Normal de probabilidades é utilizada quando 
a variável aleatória é contínua, representada por uma curva que 
é conhecida por vários nomes: curva Normal, curva em forma de 
sino ou curva de Gauss. É uma curva simétrica em relação à 
média e é uma curva mesocúrtica. 
Você sabe quando aplicar este tipo de distribuição 
normal? 
Ela pode ser aplicada em algumas situações em que a 
variável sempre muda, por exemplo: a vida útil da lâmpada da 
sua casa. Quer saber como?! 
Agora, se você apreendeu como fazer essa distribuição 
normal, que tal tentar realizar o cálculo sobre a vida útil da 
lâmpada em sua casa? Para isso, você pode usar a tabela 2, que 
dá a proporção sob a curva inteira entre z = 0 e um valor positivo 
de z. 
Lembre-se: toda análise na tabela 2 inicia no ponto em 
z = 0. 
 
 
 
Teorema Central do Limite 
Há um importante Teorema a ser definido a partir da 
análise da Teoria das Probabilidades. 
É o Teorema Central do Limite que diz: quando o 
tamanho de uma amostra aumenta, a distribuição amostral da 
sua média se aproxima cada vez mais de uma distribuição 
normal. 
Quando a população é normal, X ≈ n (µ , ), a média 
amostral X de amostras de tamanho n tem distribuição também 
normal com a média µ e desvio padrão / . 
Para uma população não amostral com média µ e com 
desvio padrão , a distribuição da média amostral X para 
amostras de tamanho n suficientemente grande é 
aproximadamente normal com média µ e com desvio padrão 
/ , isto é, 
X – µ ≈ N (0 , 1). 
/ 
Isso se aplica a qualquer variável aleatória, com qualquer 
distribuição de probabilidade. 
 
Leitura obrigatória 
Livro: Estatística aplicada a todos os níveis. 
Autor: Nelson Pereira Castanheira. Edição 5. 
Capítulo 8 - Páginas 142 a 151. 
 
E para finalizar este assunto da aula, confira um vídeo no 
Youtube! 
https://www.youtube.com/watch?v=SU25pNw5JEI 
 
 
NA PRÁTICA 
Está na hora de colocar em prática o que foi visto nesta 
aula! 
São lançados dois dados não viciados, liste o espaço 
amostral (todos os resultados possíveis) e calcule a 
probabilidade de: 
a) Obter um par de pontos iguais. 
b) Obter um par de pontos onde o primeiro é maior que 
o segundo. 
c) A soma dos pontos ser 13. 
d) Obter soma 10, sabendo que o par de pontos é igual. 
 
Solução: 
S = {(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 5) , (1 , 6) , (2 , 1) , (2 , 2), 
(2 , 3) , (2 , 4) , (2 , 5) , (2 , 6), (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) , (3 , 
5) , (3 , 6) , (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) , (4 , 5) , (4 , 6), (5 , 1) , 
(5 , 2) , (5 , 3) , (5 , 4) , (5 , 5) , (5 , 6) , (6 , 1) , (6 , 2) , (6 , 3) , (6 ,4) , (6 , 5) , (6 , 6)} 
 
a) 6 resultados possíveis = 1 
 36 no total 6 
 
b) 15 possibilidades = 15 = 5_ 
 36 no total 36 12 
 
c) Não é possível pois a soma máxima é 12 
 
d) um resultado possível (5 , 5) = 1_ 
 36 no total 36 
 
 
Referências 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística 
básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002 
 
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a 
todos os níveis. 5. ed. Curitiba: Intersaberes, 2010. 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 04 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, aluno!! Hoje veremos a 4ª aula da disciplina Cálculo 
aplicado à Administração! 
Introdução 
Nesta rota, o tema central de nossa atenção são os 
métodos quantitativos. 
Eles são caracterizados pelo emprego da quantificação 
tanto nas modalidades de coleta de informações, quanto no 
tratamento delas por meio de técnicas estatísticas, entre as quais 
podemos citar: 
Percentual 
Média 
Desvio-padrão 
Coeficiente de correlação 
Análise de regressão 
 
Nesta aula, estudaremos a aplicação das técnicas 
estatísticas. Vamos lá? 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Problematização 
Um dos maiores problemas para o pesquisador de 
fenômenos sociais ou físicos é o estabelecimento de um 
modelo matemático que descreva e explique os fenômenos 
que ocorrem na vida real, com boa aproximação. Como 
desvendar suas inter-relações, nestes casos? 
Ao grau de relacionamento existente entre duas variáveis 
denominamos CORRELAÇÃO, um importante tópico do 
estudo de hoje. 
 
 
 
 
Na maioria das vezes estudamos duas variáveis 
aleatórias, uma independente e outra dependente, na tentativa 
de saber se elas se relacionam. Entretanto, por vezes, mais de 
duas variáveis aleatórias estão envolvidas. 
Mas, quando surge um problema de correlação? 
Clique no ícone e veja um exemplo na notícia a seguir! 
http://oglobo.globo.com/sociedade/saude/pessoas-felizes-
permanecem-mais-ativas-com-idade-11352427 
Você já deve ter se deparado com várias pesquisas neste 
formato, não é mesmo? No exemplo, a saúde mental e a saúde 
física do grupo selecionado (idosos) foram as variáveis 
aleatórias utilizadas para investigar o grau de relação entre elas. 
Temos, assim uma situação de correlação entre duas 
variáveis inicialmente desconexas. 
Sabendo como a correlação funciona, pesquise mais 
exemplos como o do artigo e crie uma pequena tabela 
analisando os fatores envolvidos, como no exemplo a seguir: 
 Variável 1 Variável 2 Resultado Dados 
Bem-estar 
mental 
Bem-estar 
físico 
Vida mais 
ativa após os 
60 anos 
 3.199 homens 
e mulheres 
 Idade acima 
dos 60 anos 
 4 frases para 
avaliação do estado 
mental 
 Esforço para 
realizar atividades 
do dia a dia 
 
 
 
 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
Vamos começar estudando mais a fundo a correlação e 
também a regressão. Para isso, precisaremos dos seguintes 
dados: 
 Uma variável que desejamos estudar (a variável 
dependente): y 
 Uma série de variáveis independentes que influenciam o 
comportamento de y: xi (x1, x2, x3, ..., xn) 
 
A partir destes elementos, podemos começar a equacionar 
uma correlação. 
E o que é uma regressão? 
A Regressão é o método de análise da relação existente 
entre duas variáveis: uma dependente e uma independente. 
E para que serve determinar a relação entre duas 
variáveis? 
Primeiramente, podemos afirmar que serve para realizar 
previsões do comportamento futuro de algum fenômeno de 
nosso interesse, baseando-nos em dados históricos sobre ele. 
Pesquisadores interessados em simular os efeitos sobre uma 
variável Y em decorrência de alterações em uma variável X 
também usam este modelo em situações práticas de grande 
importância. 
Por exemplo: saber de que modo a produtividade (Y) de 
uma área agrícola é alterada quando se aplica certa quantidade 
(X) de fertilizante na terra. 
 
Leitura obrigatória 
Ler o capítulo 4 do livro Métodos Quantitativos, páginas 
86 a 88. Autor: Nelson Pereira Castanheira. Editora Intersaberes. 
 
 
Complementando os estudos, leia o artigo sobre 
Regressão Linear disponível a seguir: 
http://www.pgsc.ufma.br/arquivos/regressaolinear.pdf 
 
RETA DE REGRESSÃO E DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
Pense na seguinte situação: 
Uma rede de pizzarias estuda expandir seus negócios 
abrindo mais um ponto em um novo bairro da cidade, mas para 
isso precisa analisar diversos fatores. Um deles é a relação da 
renda média dos habitantes do bairro e o volume de vendas 
de pizzas. Entretanto, eles não têm certeza absoluta se existe 
uma relação direta e relevante que torne esse um fator decisório 
para a escolha do próximo local. 
Para começar, eles levantaram dados a respeito do 
consumo de pizzas e da renda média dos consumidores durante 
um mês em 10 diferentes bairros. 
Para não trabalhar com números muito grandes, tanto a 
variável Renda quanto a variável Pizza foram divididas por 100 
nas colunas da tabela 1. Assim, sabemos que no bairro A a 
renda média dos consumidores de pizza é de R$ 900,00 e que a 
quantidade média de pizzas vendidas mensalmente nessa 
pizzaria é de 4.000 pizzas. Então, temos o seguinte resultado: 
Bairro Renda x (R$ 100,00) Pizzas vendidas por mês x 100 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
9 
8 
12 
6 
11 
7 
4 
40 
38 
55 
27 
53 
33 
20 
 
 
H 
I 
J 
13 
5 
10 
60 
25 
46 
 
Você encontrará a solução detalhada para esta situação-
problema e a correta utilização da Regressão e Dispersão no 
vídeo do professor Castanheira a seguir! Acompanhe com 
atenção. 
 
Leitura obrigatória 
Ler o capítulo 4 do livro Métodos Quantitativos, páginas 
88 a 101. Autor: Nelson Pereira Castanheira. Editora 
Intersaberes. 
Leia também o artigo a seguir sobre o Diagrama de 
Dispersão e entenda melhor como aplicá-lo: 
http://www.esalq.usp.br/qualidade/mod3/pag1_3.htm 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON 
O coeficiente de correlação serve para avaliar o grau de 
correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de 
ajustamento dos valores. O valor do coeficiente de correlação (r) 
sempre deverá estar entre –1 e +1. 
A correlação pode ser de 7 tipos: 
Correlação linear perfeita (positiva) r = 1 
Forte correlação positiva r  0 
Fraca correlação positiva r  0 
Correlação linear perfeita (negativa) r = 1 
Forte correlação negativa r  0 
Fraca correlação negativa r  0 
Ausência de correlação linear r = 0 
 
 
Pense na seguinte situação: Em oito cidades brasileiras foi 
feita uma pesquisa para saber se as pessoas que morriam de 
câncer de pulmão eram fumantes ou não e obteve-se os 
seguintes dados: 
Cidade Nº de mortes por 
câncer de pulmão 
Nº de fumantes entre os 
mortos por câncer de 
pulmão 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
12 
27 
14 
18 
31 
24 
35 
10 
9 
20 
10 
15 
24 
19 
30 
8 
 
Você sabe dizer qual é a variável dependente e qual é a 
independente? Pense um pouco e confira a resposta na tela a 
seguir! 
A morte depende de quem fuma ou quem fuma 
depende da morte? 
Pensando dessa forma, é fácil verificar que a morte 
depende de quem fuma, certo? Afinal, não já morte sem fumante. 
Logo: 
 
 
 
 
Leitura obrigatória 
Ler o capítulo 4 dolivro Métodos Quantitativos, páginas 
102 a 117. Autor: Nelson Pereira Castanheira. Editora 
Intersaberes. 
Complementando os estudos, leia o seguinte artigo sobre 
a correlação de Pearson: 
http://www.revista.ufpe.br/politicahoje/index.php/politica/article/vie
wFile/6/6 
 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
No tema 2 desta rota, analisamos o consumo de pizzas 
em função da renda dos consumidores. Entretanto, em uma 
situação real, outras variáveis deveriam ser levadas em 
consideração, como o preço das pizzas, concorda? 
Nesse caso, as variáveis independentes seriam duas: a 
renda e o preço. E uma análise mais profunda do problema 
poderia adicionar outras variáveis necessárias. 
Sendo assim, como realizar a correlação corretamente 
em casos mais complexos? 
 
Para isso existe a regressão linear múltipla, que fornece 
dados mais precisos do que a regressão linear simples. 
No entanto, esta técnica exige o conhecimento de funções 
mais complexas e, portanto, mais trabalhosas. Sua aplicação, na 
prática, exige a utilização de computadores e aplica fórmulas 
complexas. 
Leitura obrigatória 
Ler o capítulo 4 do livro Métodos Quantitativos, páginas 
120 a 136. Autor: Nelson Pereira Castanheira. Editora 
Intersaberes. 
 
 
Leia também o artigo a seguir e amplie seus 
conhecimentos sobre os usos da regressão múltipla e as 
relações entre variáveis: 
http://www.ibci.com.br/Regressao_Multipla.pdf 
 
Referências 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística 
básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a 
todos os níveis. 5. ed. Curitiba: Intersaberes, 2010. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Métodos quantitativos. 
2ª ed. Curitiba: Intersaberes, 2011. 
 
 
 
 
 
Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 05 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, aluno!! Hoje veremos a 5ª aula da disciplina Cálculo 
aplicado à Administração! 
Introdução 
O mercado financeiro trabalha com o regime de capitalização 
que pode ser simples ou composta. 
O que diferencia um regime do outro é o tipo de juros utilizado: 
juros simples ou juros compostos, respectivamente. 
 
No dia a dia sempre nos defrontamos com a palavra juros, 
quando fazemos uma transação financeira qualquer. Mas por 
que se cobra juros? E por que os juros são, em determinados 
momentos, tão altos? Essas e outras perguntas serão 
respondidas ao longo dessa rota. 
 
O cálculo dos juros sempre pressupõe a utilização de uma taxa 
de juros, que nada mais é que um percentual que se aplica sobre 
o valor financeiro (o Capital) sobre o qual incidem juros. Essa 
taxa sempre está referenciada a um prazo, ou seja, com que 
periodicidade se somam juros ao capital que o produziu. 
CONTEXTUALIZANDO 
Problematização 
Por que utilizar juros? Porque há importantes fatores a 
considerar: 
 
a) RISCO, pois há probabilidade de o tomador do 
empréstimo não resgatar o dinheiro; 
b) DESPESAS de ordem operacional, contratual e 
tributária para formalização do empréstimo e para a 
efetivação da cobrança; 
 
c) INFLAÇÃO, ou seja, a desvalorização da moeda 
durante o prazo previsto para o empréstimo; 
d) NECESSIDADE de se remunerar o dono do capital, 
pois o mesmo almeja lucro. 
 
 
Então, quando utilizar os juros simples? 
Os juros simples não podem ser utilizados indiscriminadamente 
em países com economia inflacionada, como é o caso brasileiro. 
Entretanto, sempre que alguém paga uma dívida com atraso, nos 
períodos inteiros os juros são compostos, mas nos períodos 
fracionários os juros são simples. Confira um exemplo: 
 
 
E o que se entende por período fracionário? 
Suponhamos que uma dívida foi paga com dois meses e 19 dias 
de atraso e está previsto um juro de mora de 2% ao mês. 
Portanto, período inteiro são meses. Período fracionário é parte 
de um mês. No exemplo, teríamos um período inteiro de dois 
meses e um período fracionário de 19 dias. 
 
Taxa nominal X Taxa efetiva 
Taxa nominal é aquela que nos dizem que irão cobrar, sempre 
referenciada a um período longo, como por exemplo 36% ao ano. 
Como por exemplo na imagem a seguir! 
 
Ao comprar uma TV na loja Compra Legal em 12 vezes, irá 
pagar uma taxa de 36% ao ano. 
 
 
Se supusermos uma capitalização mensal, o que nos interessa é 
a taxa ao mês e não a taxa ao ano. Então, teremos 3% ao mês 
em uma transformação linear. 
36% a.a. divididos por 12 meses = 3% a.m. 
Como pagaremos, ao longo de um ano, juros sobre juros a uma 
taxa de 3% mensais, ao final dos dozes meses a taxa é 
efetivamente maior que os 36% ao ano. 
 
Como se calculam descontos? 
Ao se resgatar um título de crédito antes da data do seu 
vencimento, merecemos um desconto. Se a negociação foi feita 
com juros simples, ganharemos um desconto simples. Se a 
negociação foi feita com juros compostos, ganharemos desconto 
composto. Nos dois casos, há duas formas de se calcular o valor 
do desconto: 
a) desconto comercial – aplicando-se uma taxa de 
desconto sobre o valor nominal do título (ou seja, sobre o 
valor da dívida no dia do vencimento) 
b) desconto racional – aplicando-se a taxa de desconto 
sobre o valor da dívida no momento da sua quitação. 
 
Para apreender mais sobre os tipos de descontos, leia 
atentamente o artigo sugerido. 
http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematic
a_financeira/uni02/uni02_descontos.htm 
 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
O regime de capitalização determina a forma de se acumularem 
os juros. Caso os juros incidam somente sobre o capital inicial, 
trata-se de juros simples. Caso os juros incidam sobre o capital 
 
mais os juros acumulados anteriormente, trata-se de juros 
compostos. 
 
Capitalização, portanto, nada mais é que a incorporação dos 
juros ao capital. 
 
A seguir, você verá claramente a diferença: considere que uma 
pessoa, em 31/12/xx tomou um empréstimo de R$ 100,00 junto 
ao banco Y, que lhe cobraria juros de 50% ao ano. 
 
 
 
Qual será a sua dívida no final de 4 anos? Veja a seguir! 
 
Conheça todas as definições e os exemplos dos termos usados 
que você irá estudar hoje! 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4
R$1
.00
0,0
0
Anos
Capitalização Simples x Capitalização Composta
Capitalização Simples
Capitalização Composta
 
 
CAPITAL (C ) 
Sob o ponto de vista da matemática financeira, capital é 
qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada 
época. Alguns autores o denominam de principal. 
 
JUROS (J) 
O conceito de juros pode ser introduzido através das 
expressões: 
 
Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo 
do capital de terceiros colocado à nossa disposição 
Remuneração do capital empregado em atividades produtivas 
Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital 
nelas aplicado 
Remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de 
forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do 
dinheiro 
 
O princípio econômico que norteia a economia é que sobre 
qualquer bem escasso e não disponível livremente (sem ônus) 
existe um preço. 
Assim, quando desejamos comprar um bem, vamos ao mercado 
e trocamos o nosso dinheiro pelo bem. 
Na hipótese de não possuirmos o dinheiro e mesmo assim 
desejarmos o bem, apelamos para o crédito, isto é, tomamos 
emprestado. 
 
Esse empréstimo implica em: 
 
Satisfação imediatada necessidade de consumo de uma pessoa, 
pagando juros 
Aplicação do dinheiro disponível de outra pessoa, recebendo 
juros 
 
 
 
UNIDADE DE MEDIDA (i) 
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre 
se refere a uma unidade de tempo como: ano, semestre, 
trimestre, mês, dia, etc. 
Exemplo 1 12% ao ano = 12% a.a. 
Exemplo 2 8% ao semestre = 8% a.s. 
Exemplo 3 5% ao trimestre = 5% a.t. 
Exemplo 4 2% ao mês = 2% a.m. 
Exemplo 5 0,1% ao dia = 0,1% a.d. 
 
A obtenção dos juros do período, em unidades monetárias, será 
feita através da aplicação da taxa de juros sobre o capital 
considerado. 
É importante observar que, para o cálculo, a taxa de juros deverá 
ser transformada em fração decimal. 
Nos cálculos financeiros devemos sempre atentar para que a 
taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de 
tempo. Isto quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o 
tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao 
ano, o tempo deverá ser expresso em anos; e assim por diante. 
Se no problema apresentado isto não ocorrer, podemos tanto 
transformar a taxa quanto o tempo para obter a homogeneidade. 
 
Exemplo 6: 
Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 12% a.a. 
proporcionará, ao final de um ano, um total de juros equivalentes 
a: 
12% de 1.000,00 = 12/100 . 1.000,00 = 120,00 
 
 
 
 
 
ATUALIZAÇÃO DE VALORES 
 
Ao se dispor a emprestar, o possuidor do dinheiro, para avaliar 
seus recursos (capital), deve atentar para os seguintes fatores: 
Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o 
dinheiro. 
Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e 
tributárias para formalização do empréstimo e para efetivação da 
cobrança. 
Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda, 
prevista para o prazo do empréstimo. 
Ganho ou Lucro: fixado em função das demais oportunidades 
de investimentos (custo de oportunidade), justifica-se pela 
privação, por parte do seu dono, da utilização do capital. 
 
A atualização de valores refere-se à reposição do poder de 
compra de um capital. 
A atualização monetária tem por objetivo principal fazer com que 
um capital aplicado não perca seu valor, ou seja, fazer com que 
um capital aplicado permaneça com seu valor no decorrer de 
uma aplicação financeira. 
Nas operações financeiras temos, em alguns casos, a incidência 
de impostos como, por exemplo, o IOF (Imposto sobre 
Operações Financeiras) ou o IOC (Imposto sobre Operações de 
Crédito), valores estes que também devemos considerar numa 
análise financeira, pois, assim como os juros, a atualização 
monetária compõe o total dos encargos. 
 
MONTANTE (M) 
 
É denominado montante o resultado da soma do capital mais os 
juros obtidos numa operação financeira, seja ela um 
investimento, uma aplicação ou um empréstimo. 
 
No exemplo anterior, o montante é igual a: 
M = 1.000,00 + 120,00 = 1.120,00 
 
TEMPO (n) 
 
Indica o número de períodos em que o tempo foi dividido, ou 
seja, o número de vezes que o capital será acrescido de juros. 
Pode ainda se referir à quantidade de parcelas de uma renda, 
assunto veremos na próxima aula. 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Quando o regime é de capitalização simples, os juros são 
calculados sempre sobre o valor do capital inicial (valor 
presente). O regime de capitalização simples representa uma 
equação aritmética; logo, é indiferente se os juros são pagos 
periodicamente ou no final do período total. 
Os juros (J) produzidos por um capital (C) são constantes e 
proporcionais ao capital aplicado, na razão da taxa de juros (i). 
Como para cada intervalo a que corresponde a taxa de juros 
temos um mesmo valor de juros, se quisermos saber o total no 
período (número de períodos = tempo = n), basta multiplicar o 
valor de cada intervalo pelo número de intervalos. 
 
Com isto, chegamos à fórmula: 
J = C . i . n 
Tendo em vista que montante = capital + juros, temos: 
M = C + J 
M = C + C . i . n 
M = C . (1 + i . n) , que é a fórmula geral da capitalização simples 
 
O mercado financeiro utiliza juros compostos na grande maioria 
de suas operações. No entanto, os juros simples são utilizados 
 
 
em função da simplificação de cálculos e para reduzir ou 
aumentar taxas, conforme conveniência. 
Uma utilização dos juros simples, por exemplo, é na aplicação 
denominada Hot money, que é um empréstimo diário e 
renovável, com juros comerciais e com taxas mensais. Outra 
aplicação é em descontos de cheques ou de duplicatas. 
Não podemos nos esquecer, ainda, da utilização dos juros 
simples em contas vinculadas por saldo devedor (juros simples 
postecipados) que funciona tal qual caderneta de poupança. 
Exemplo 7: 
Considerando-se que uma pessoa tomou emprestado R$100,00 
e prometeu o pagamento para quatro anos após, a uma taxa de 
10% a.a., com juros simples, quanto essa pessoa irá pagar ao 
final do quarto ano? 
ANO SALDO INICIAL 
(C) 
JUROS (J) SALDO FINAL 
(M) 
0 
1 
2 
3 
4 
- 
100,00 
110,00 
120,00 
130,00 
 - 
100,00 x 0,1 = 10 
100,00 x 0,1 = 10 
100,00 x 0,1 = 10 
100,00 x 0,1 = 10 
100,00 
110,00 
120,00 
130,00 
140,00 
 
Observe que os juros foram calculados sempre sobre o capital 
inicial de R$ 100,00. Assim, ao final de quatro anos, a pessoa irá 
pagar R$140,00. Observe também que transformamos 10% em 
10/100 = 0,1 a.a. 
Poderíamos ter resolvido esse exemplo aplicando-se diretamente 
a fórmula: 
M = C . (1 + i . n) 
M = 100,00 . (1 + 0,1 . 4) 
M = 100,00 . (1,4) 
M = 140,00 
 
 
Exemplo 8: 
Um valor de R$100,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 1% 
a.m., durante 5 meses. Qual é o valor dos juros? 
 
Resolvendo pela fórmula: 
 J = C . i . n 
 C = 100,00 
 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
 n = 5 m 
 J = 100,00 . 0,01 . 5 
 J = 5,00 
 
Exemplo 9: 
Qual o rendimento de R$10.000,00 em 4 meses a uma taxa de 
juros de 14,4% ao ano? 
Resolvendo pela fórmula: 
C = 10.000,00 
i = 14,4% a.a. = 14,4/12 % a.m. = 1,2% a.m. = 0,012 a.m. 
J = C . i . n 
J = 10.000,00 . 0,012 . 4 
J = 480,00 
Observar que mantivemos a homogeneidade nos tempos das 
grandezas período (n) e taxa de juros (i). 
 
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL 
 
Imaginemos um capital C aplicado a uma taxa i por um período 
de tempo n. 
Valor nominal é o valor obtido ao final do período de tempo n, 
isto é, na data do vencimento do compromisso. 
Valor atual é o valor obtido em qualquer período n, localizado 
antes do final do compromisso. 
 
 
 
Exemplo 10: 
Quero adquirir uma letra de câmbio de valor nominal de 
R$1.800,00, resgatável daqui a um ano. Por quanto devo 
comprar a letra, sabendo que desejo um juro mínimo de 20% ao 
ano? 
C = ? (valor atual) 
M = 1.800,00 (valor nominal) 
i = 20% a.a. = 0,2 a.a. 
n = 1 ano 
M = C . (1 + i . n) 
1.800,00 = C . (1 + 0,2 . 1) 
C = 1.500,00 
 
Devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$1.500,00. 
 
DESCONTOS SIMPLES 
 
Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito 
em virtude de seu resgate antecipado. Representa, portanto, os 
juros cobrados e descontados antecipadamente pelos bancos 
nas operações de desconto simples. 
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, 
é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o 
comprovante dessa dívida. 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, pode 
ser antecipadamente resgatado, obtendo-se com isso um 
abatimento denominado desconto. 
 
TÍTULOS DECRÉDITO 
 
Nota promissória: é um comprovante da aplicação de um 
capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado 
 
entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição 
financeira. 
Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra o 
seu cliente (pessoa física ou jurídica) para o qual ela vendeu 
mercadoria a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no 
futuro, segundo um contrato. 
 
Quando se fala de desconto simples, temos duas modalidades 
de desconto a considerar: 
 
Comercial ou bancário ou por fora 
Racional ou por dentro 
 
DESCONTO COMERCIAL (DC) 
 
É a modalidade utilizada pelos bancos para cálculo de 
remunerações do capital; representa os juros simples calculados 
sobre o valor nominal do título de crédito (por fora). 
Lembrar que valor nominal de um título é o valor de face, o 
valor nele expresso, representando o valor que deve ser pago na 
data do seu vencimento. 
 
Por definição: 
Dc = M . i . n, onde n é o número de períodos antes do 
vencimento. 
 
O valor presente ou valor atual (Vc) é o valor do título numa data 
focal, ou seja, no dia do resgate. Não importa quando o título vai 
vencer. 
O valor atual é igual ao valor nominal (montante) menos o 
desconto. 
 Vc = M – Dc 
 Vc = M – M . i . n 
 
 
 Vc = M . (1 – i . n) 
 
Exemplo 11: 
Uma empresa emitiu uma duplicata de R$8.000,00, com 
vencimento em 3 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o 
título num banco que cobra 2% a.m. de taxa de desconto 
bancário. Determinar o valor desse desconto. Obs.: o desconto 
bancário segue os critérios dos juros pela regra dos banqueiros. 
 M = 8.000,00 
 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 n = 79 dias (15 + 30 + 31 + 3) 
 Dc = ? 
Como a taxa está expressa ao mês e o tempo em dias, devemos 
estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Vamos 
então dividir a taxa por 30 para transformá-la taxa ao dia. 
 Dc = M . i . n 
 Dc = 8.000,00 . 0,02 . 79 
 30 
 Dc = 421,33 
 
DESCONTO RACIONAL (DR) 
 
É a modalidade de desconto simples calculado sobre o valor 
atual do título, numa taxa fixada e durante o tempo 
correspondente, da mesma maneira como são calculados os 
juros simples. É também denominado de desconto simples por 
dentro. 
O desconto racional simples é, portanto, calculado sobre o valor 
atual (Vr), pela fórmula: 
Dr = Vr . i . n 
 
O valor atual é igual ao valor nominal (montante) menos o 
desconto. 
 
Como vimos em juros simples, temos: 
 Vr = M 
 1 + i . n 
 
O desconto racional ou por dentro não é normalmente utilizado 
em operações de mercado, mas é usado como um método para 
determinar o preço em transações com ativos financeiros ou em 
recompra de títulos de crédito. Consiste em calcular, pela 
fórmula anterior, o valor atual relativo a um valor nominal futuro. 
 
Exemplo 12: 
Uma letra de câmbio com renda final, cujo valor de resgate é de 
R$95.600,00, com vencimento em 180 dias, está sendo ofertada. 
Sabendo que o comprador deseja uma remuneração mínima de 
9,5% a.m. sobre o capital aplicado na compra, por quanto deve 
ser adquirido o papel? 
 i = 9,5% a.m. = 0,095 a.m. 
 n = 180 dias = 6 m 
 M = 95.600,00 
 Vr = M 
 1 + i . n 
 Vr = 95.600,00 
 1 + 0,095 . 6 
 Vr = 60.891,72 
O papel deve ser adquirido por, no máximo, R$60.891,72 
 
Exemplo 13: 
Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de 
um título de R$30.000,00, vencível em 3 meses e 15 dias, 
descontado à taxa de 45% ao ano? 
 M = 30.000,00 
 Vr = ? 
 Dr = ? 
 
 
 i = 45% a.a. = 0,45 a.a. 
 n = 3 m. 15d. = 105 d. = 105/360 a. 
 Vr = M 
 1 + i . n 
 Vr = 30.000,00 
 1 + 0,45 . 105/360 
 Vr = 26.519,34 
 
 
Sabendo o valor atual (valor de resgate), podemos calcular o 
valor do desconto racional pela simples subtração do valor 
nominal (montante): 
 Dr = M – Vr 
 Dr = 30.000,00 – 26.519,34 
 Dr = 3.480,66 
 Ou pela fórmula: 
 Dr = Vr . i . n 
 Dr = 26.519,34 . 0,45 . 105/360 
 Dr = 3.480,66 
 
Portanto, o valor do desconto racional simples é de R$3.480,66 e 
o valor do resgate é de R$26.519,34. 
 
Leitura Obrigatória 
Ler os capítulos 1, 2 e 3 do livro Matemática financeira 
aplicada, da página 14 à página 48. 
Autores: Nelson Pereira Castanheira e Luiz Roberto Dias de 
Macedo 
Editora Intersaberes, terceira edição. 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
A capitalização composta caracteriza-se por uma função 
exponencial. É também chamada de juros sobre juros, 
 
considerando-se que a base de cálculo dos juros é o valor 
capitalizado até o período imediatamente anterior. Significa que 
os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor do 
capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a 
render juros no período seguinte. 
 
Ao intervalo, após o qual os juros serão acrescidos ao capital 
aplicado, denominamos de período de capitalização. Em 
economia inflacionária, recomenda-se sempre o uso de 
capitalização composta, pois a aplicação de capitalização 
simples produz distorções até no curtíssimo prazo. 
 
MONTANTE 
 
É o capital (valor aplicado) acrescido dos juros. Representa 
sempre o valor total ou valor futuro. 
M = C + J 
Podemos calcular o montante composto calculando os juros 
simples, período de capitalização a período de capitalização, e 
incorporando-os ao capital inicial para o próximo período. 
 
 
Exemplo 1: 
Determinar o montante composto produzido por um capital de 
R$1.000,00, aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, 
capitalizado semestralmente, durante um ano e seis meses. 
 C = 1.000,00 
 i = 10% a.s. = 0,1 a.s. 
 n = 1 a. 6 m. = 3 s 
 M = C . (1 + i) 
 
 
 
 
 
Após o primeiro período de capitalização (n = 1 semestre): 
 M1 = 1.000,00 . (1 + 0,1) 
 M1 = 1.100,00 
 
Após o segundo período de capitalização (n = 1 semestre): 
 M2 = M1 . (1 + 0,1) 
 M2 = 1.000,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) 
 M2 = 1.210,00 
 
Após o terceiro período de capitalização (n = 1 semestre): 
 M3 = M2 . (1 + 0,1) 
 M3 = 1.000,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 
+ 0,1) 
 M3 = 1.331,00 
 
Observando esse exemplo, verificamos que o fator (1 + i) varia 
de acordo com a quantidade de períodos de capitalização, ou 
seja, a repetição do fator (1 + i) é igual à quantidade de períodos 
de capitalização. Logo, podemos escrever a fórmula: 
M = C . (1 + i)n 
 
Calculando novamente o exemplo 25 pela fórmula anterior, 
temos: 
 M = 1.000,00 . (1 + 0,1)3 
 M = 1.331,00 
 
 
Exemplo 2: 
Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juros compostos de 
15% a.s., capitalizado semestralmente, produz o montante de 
R$3.041,75 após 3 semestres? 
 i = 15% a.s. = 0,15 a.s. 
 C = M 
 
 (1 + i)n 
 C = 3.041,75 
 (1 + 0,15)3 
 C = 2.000,00 
 
JUROS COMPOSTOS 
São os rendimentos produzidos por um capital em determinado 
tempo, calculados sobre o capital mais os juros acumulados 
anteriormente (juros sobre juros). 
Em capitalização composta, os juros aumentam a cada período 
de capitalização. Sabemos que o montante é o valor aplicado 
(capital) acrescido dos juros. Logo: 
M = C . (1 + i)n 
Como M = C + J, 
 C + J = C . (1 + i)n 
 J = C . (1 + i)n – C 
 J = C . (1 + i)n  1 
Exemplo 3: 
Determinar os juros produzidos por um capital de R$2.000,00, 
aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, capitalizado 
semestralmente, durante dois anos. 
 C = 2.000,00 
 i = 10% a.s. = 0,1 a.s. 
 n = 2 a = 4 s 
 J = C