Revisao eletromag. I

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08/03/2015 MAGMartinez/CEFET-RJ 1
Revisão - continuação 
► Leis Básicas da Álgebra Vetorial 
► Sistema de Coordenadas Ortogonais
► Transformações entre Sistemas de Coordenadas 
► Gradiente de um Campo Escalar
► Divergente de um Campo Vetorial
► Rotacional de um Campo Vetorial
► Operador Laplaciano
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Gradiente de um campo escalar
dzzdyydxxld ˆˆˆ ++=
r
dz
z
T
dy
y
T
dx
x
T
dT
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ld
z
T
z
y
T
y
x
T
xdT
r
⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ˆˆˆ
Temperatura diferencial
TgradT =∇
r
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Operador Gradiente
z
z
y
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡∇ ˆˆˆ
r
Vetor cujo modulo e igual a máxima
taxa de variação da grandeza física
por unidade de distancia e cuja
direção esta ao longo do aumento
máximo.
Operador gradiente em 
coordenadas cartesianas.






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
T
z
y
T
y
x
T
xT ˆˆˆ
r
z
z
rr
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡∇ ˆ
1ˆˆ
φ
φ
r Operador gradiente em 
coordenadas cilindricas.
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Vetor cujo modulo e igual a máxima
taxa de variação da grandeza física
por unidade de distancia e cuja
direção esta ao longo do aumento
máximo.






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
T
z
y
T
y
x
T
xT ˆˆˆ
r
laT
dl
dT
ˆ⋅∇=
r
Derivada direcional de T ao longo
da direção .
dlald lˆ=
r
laˆ
dlald lˆ=
r
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Divergente de um campo vetorial
∫ ⋅= S sdEtotalFluxo
rr
v
sdE
Ediv S
v ∆
⋅
=
∫
→∆
rr
r
0
lim
z
E
y
E
x
E
EdivE z
yx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=≡⋅∇
rrr A divergência de A em um dado ponto 
P é o fluxo que sai, por unidade de 
volume, à medida que o volume se 
reduz à zero em torno de P
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Não é possível apresentar esta imagem de momento.
z
E
y
E
x
E
EdivE z
yx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=≡⋅∇
rrr
P
P
P
dvEsdE
V
S ∫∫ ⋅∇=⋅
rrrr
Teorema da Divergência
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Rotacional de um campo vetorial
Não é possível apresentar esta imagem de momento.
∫ ⋅=
c
ldBCirculacao
rr
s
ldBn
Brotacional
c
s ∆






⋅
=
∫
→∆
max
0
ˆ
lim
rr
r
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O rotacional de B é um vetor axial (girante), 
cuja magnitude é a máxima circulação de B por 
unidade de área, à medida que a área tende a 
zero, e cuja orientação é perpendicular a essa 
área, quando a mesma esta orientada de modo 
a se obter máxima circulação. zyx BBB
zyx
zyx
BrotB
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=≡×∇
ˆˆˆ
rrr
( )
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇⋅∇
rr
( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇ CS ldBsdB
rrrrr
Teorema da Stokes
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Operador Laplaciano
( )
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇⋅∇
rr
V2∇
( )
zyx
zyx
EzEyEx
EzEyExE
222
22
ˆˆˆ
ˆˆˆ
∇+∇+∇=
++∇=∇
r
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡∇
Operador laplaciano em 
coordenadas 
cartesianas
Operador laplaciano de 
um vetor