-_Calculo_2

Prévia do material em texto

CÁLCULO 2 – 2013.2 
ENGENHARIA AMBIENTAL 
PROF. ISAAC RICARTE EVANGELISTA 
 
 
LISTA 4 – APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
01. Determine a área da região compreendida entre a parábola 
22 xy 
 e a reta 
xy 
. 
 
02. Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada acima por 
xy 
 e abaixo 
pelo eixo x e pela reta 
2 xy
. 
 
03. Determine a área total da região limitada entre as curvas 
xxy 32 
 e 
xxxy 52 23 
. 
 
04. Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada pelas retas 
xy 
, 
1y
 e pela 
parábola 
4
2x
y 
. 
 
05. Determine a área total da região limitada pelas curvas 
)(xseny 
 e 
)2( xseny 
, 
 x0
. 
 
06. Calcule o volume do sólido de rotação obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada 
pelos gráficos de 
2134 xy 
 e 
52  xy
. 
 
07. Calcule o volume do sólido de rotação obtido girando em torno da reta y = 2 a região limitada 
pelos gráficos de 
24 xy 
 e 
2y
. 
 
08. Calcule o volume do sólido de rotação obtido girando em torno da reta y = 2 a região limitada 
pelos gráficos de 
2xy 
 e 
1y 
. 
 
09. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região 
limitada pelo gráfico de 
 xxseny 0,
 e o eixo dos x. 
 
10. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região 
limitada pela curva 
20,)1( 2  xxy
 e o eixo dos x. 
 
11. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta 
1x 
 a região 
limitada pelas curvas 
2)1(2 xy 
 e 
2)1( xy 
. 
 
12. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região 
limitada pela curva 
2
xx ee
y


, pelo eixo x, entre
11  x
. 
 
13. A Corneta de Gabriel é uma superfície de rotação obtida ao girar a curva 
x
1
)x(f 
, para todo 
Rx
 tal que 
1x 
, em torno do eixo x. 
 
a) O volume do sólido de rotação correspondente é dado por 
  dx)x(fV
1
2



. Mostre que o 
volume do sólido é finito. 
 
b) Sabendo que a área dessa superfície é dada por 
  dx)x('f1)x(f2A
1
2



. Mostre que a 
área da superfície é infinita. 
 
14. Determine o comprimento de arco da curva 
2
xx ee
y


, entre 
20  x
. 
 
15. Determine o comprimento de arco da curva 3/2
2







x
y
, entre 
328  x
. 
 
16. Determine o comprimento de arco da curva 
2
4
8
1
4 x
x
y 
, entre 
21  x
. 
 
PROBABILIDADES. Uma função 
RRf :
 positiva e integrável é chamada densidade de 
probabilidade se 
1)( 


dxxf
. 
Assim, denotamos e definimos a probabilidade de um número x estar compreendido entre a e b 
(a < b), por 
dxxfbxaP
b
a )()(
. 
Analogamente definimos as outras possibilidades: 
dxxfxaP
a

 )()(
 e 
dxxfbxP
b
  )()(
. 
Também podemos definir o valor esperado do número x, como 
dxxfxxE 


 )()(
. 
E a variância do número x é definida por 
  dxxfxExxV 


 )()()(
2
. 
A variável independente x é chamada variável aleatória contínua. 
 
17. Mostre que 
 22 )()()( xExExV 
. 
 
 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME. Definimos a função densidade de probabilidade da 
distribuição uniforme sobre o intervalo [a, b], por 






casooutro
bxase
abxf
0
1
)(
 
18. Mostre que: 
 a) 
1)( 


dxxf
. 
 b) 
2
)(
ba
xE


. 
 c) 
12
)(
)(
2ab
xV


. 
 
19. Suponha que a v.a.c. tem distribuição uniforme com esperança igual a 4 e variância igual a 
3
4
. 
Determine 
)4( xP
 e 
)43(  xP
 
 
20. Um atacadista vende entre 100 e 200 toneladas de grãos, com distribuição uniforme de 
probabilidade. Sabe-se que o ponto de equilíbrio para esta operação corresponde a uma venda 
de 130 toneladas. Determine a esperança, a variância e a probabilidade de que o comerciante 
tenha um prejuízo em um determinado dia. 
 
 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL. Definimos a função densidade de probabilidade da 
distribuição exponencial de parâmetro ,  > 0, por: 







00
0
)(
xse
xsee
xf
x 
 
21. Mostre que: 
 a) 
1)( 


dxxf
. 
 b) 

1
)( xE
. 
 c) 
2
1
)(

xV
. 
 
22. Para determinado tipo de baterias de telefone celular, a função de densidade de probabilidade 
para que x horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida aleatoriamente é 









00
0
20)(
20/
xse
xse
e
xf
x
 
Determine a probabilidade de que uma bateria escolhida aleatoriamente tenha um tempo de vida útil 
entre 10 a 15 horas e de uma que funcione pelo menos 50 horas. Determine a esperança e a 
variância. 
 
23. O tempo de espera entre o pedido de atendimento num banco é uma v.a.c. com distribuição 
exponencial com média igual a 10 minutos. Determine a probabilidade do tempo de espera 
superior a 10 minutos. Ache a esperança e a variância.