COMPLEMENTO DE LIVRO TEXTO DA DISCIPLINA MET E PRÁT DO ENS DA MAT E CIÊNCIAS

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COMPLEMENTO DE LIVRO-TEXTO DA DISCIPLINA: “METOLOGIA E PRÁTICA 
DO ENSINO DA MATEMÁTICA E CIÊNCIAS” 
 
 
Números naturais e geometria: o que as crianças pensam a respeito dos 
números, do espaço e das formas geométricas? 
A ideia advinda da didática da matemática de que é possível definir hipóteses e 
níveis no processo de aprendizagem nunca se fez tão presente na investigação de 
“como se dá” a construção do conhecimento matemático pelas crianças. Nessa 
perspectiva, podemos citar as contribuições das argentinas Délia Lerner e Patrícia 
Sadovsky (1996) e das experiências de Pires (2013), na Secretaria Municipal de 
Educação de São Paulo, que abordam as hipóteses numéricas; de Castrogiovanni 
(2000), que trata da psicogênese das relações espaciais; e de Clements e Sarama 
(2000), que destacam três níveis de conhecimento na aquisição e compreensão 
das figuras geométricas. 
Por envolver a investigação sobre o processo de aprendizagem, o conhecimento 
didático do conteúdo, ou seja, a compreensão de como o aluno aprende os 
conteúdos matemáticos, é de suma importância, pois se torna essencial para que a 
prática pedagógica do professor atenda plenamente às diferentes necessidades de 
aprendizagem dos alunos. Afinal, a sala de aula é constituída por um grupo 
heterogêneo, permeado de diversidades sociais, intelectuais e psicológicas, que, 
porventura, podem influenciar no processo de construção do conhecimento. 
Sendo assim, nosso principal intuito é apresentar e compreender o que as 
crianças pensam a respeito dos números naturais, do espaço e das formas que 
compõem o bloco de conteúdo da Geometria. 
 
O que as crianças pensam sobre os números? 
Os números estão por toda a parte, eles estão presentes em nossos 
documentos, na numeração das casas, nos códigos de telefone, nos jornais, nas 
revistas, nas páginas dos livros, nas cédulas e moedas e, até mesmo, nos 
diferentes recursos tecnológicos de que dispomos, como calculadoras, 
computadores e celulares. 
De acordo com os estudos de Lerner e Sadovsky (1996), devido ao uso dos 
números naturais no contexto social, as crianças constroem hipóteses numéricas 
muito antes do ingresso na escola. A partir de seu contato com números familiares 
e frequentes em seu cotidiano, as crianças passam a observar algumas das 
regularidades do sistema de numeração decimal, formulando uma maneira peculiar 
de ler e escrever números de diferentes ordens de grandeza (unidade, dezena, 
centena etc.). 
 
Pires (2013) define como números familiares aqueles que são significativos à 
criança, como: o número que representa a sua idade, a data do seu aniversário, a 
numeração da sua casa, do seu calçado, entre outros. Já os números frequentes, 
referem-se àqueles que comumente são utilizados no cotidiano, ou seja, os canais 
de televisão, as datas comemorativas, o dia do mês ou ano podem ser 
considerados números de uso frequente. 
Diariamente, encontramos e utilizamos os números em suas diferentes funções, 
mas, como estamos acostumados com a sua prática diária, muitas vezes não 
paramos para pensar sobre as suas diferentes finalidades. Os números servem 
para quantificar, codificar, medir e ordenar. Diante desse contexto social, em que o 
uso dos números naturais se faz necessário, a criança enquanto sujeito 
biopsicossocial – biológico, psicológico, social – elabora uma lógica infantil quando 
se requer a habilidade de ler e escrever números. 
Os estudos realizados por Délia Lerner e Patrícia Sadovsky (1996) trouxeram 
importantes contribuições a respeito das hipóteses numéricas que as crianças 
constroem e que podem ser caracterizadas por alguns elementos que 
descreveremos adiante. Para tanto, tais hipóteses são analisadas considerando 
duas situações distintas: situação que envolve a escrita de números e situações 
que envolvem a leitura, especificamente, a comparação entre números. 
 
Hipótese que envolve a escrita de números 
Escrita associada à fala 
Em situações que exigem o registro escrito do número, de maneira autônoma, as 
crianças, em sua maioria, afirmam escrever do “jeito” que falam. Nesta hipótese de 
escrita numérica, recorrem à justaposição, ou seja, à decomposição do número 
ajustada à fala, organizando o registro numérico de acordo com as pronuncias dos 
valores de cada algarismo que compõe o número. Nessa lógica, ao representarem 
o número 483, podem escrever: 
400803 – 40083 – 4803 
Para Lerner e Sadovsky (1996), as representações por justaposição são 
justificadas a partir das próprias características do nosso sistema de numeração 
decimal, pois falamos os nomes dos números aditivamente (de forma decomposta), 
no entanto, registramos posicionalmente, ou seja, respeitando o valor que cada 
algarismo ocupa no número. 
De acordo com Pires (2013), quando a criança escreve os números em 
correspondência com a numeração falada, acaba registrando números de forma 
não convencional, pois o valor posicional do algarismo não é “respeitado”. Sendo 
assim, a criança, sem ter consciência, escreve outros números, de outras ordens 
de grandeza, e não aquele que tinha a intenção de registrar. 
 
 
Hipóteses que envolvem a comparação de números 
O primeiro é quem manda 
Conforme a pesquisa de Lerner e Sadovsky (1996), ao comparar qual é o maior 
ou o menor número entre dois números compostos com a mesma quantidade de 
algarismos, como 87 e 78, as crianças observam a posição que os algarismos 
ocupam no número. Nesta hipótese, afirmam que 87 é maior, porque o 8 vem 
primeiro, ou seja, “o primeiro é quem manda”. 
Segundo Pires (2013), apesar das crianças afirmarem que “o maior é aquele que 
começa com o número maior, pois o primeiro é quem manda” elas ainda não 
compreendem que o “primeiro é quem manda” porque representa agrupamentos de 
dez se o número tiver dois algarismos; de cem se o número for composto por três 
algarismos e assim por diante. A autora ainda ressalta que, embora não percebam 
essa regularidade de agrupamento, as crianças identificam uma característica 
importante: que a posição do algarismo no número cumpre um papel significativo 
no nosso sistema de numeração decimal. 
A magnitude do número (quantidade de algarismos) 
Quando convidadas a compararem números compostos com quantidades de 
algarismos diferentes, as crianças, mesmo sem conhecerem as regras do sistema 
de numeração decimal, são capazes de indicar qual é o maior número. Afirmam, 
por exemplo, que 999 é maior que 88, porque tem mais números. 
Para Pires (2013), nessa hipótese, as crianças são capazes de indicar qual é o 
maior número de uma listagem, mesmo sem conhecer as características do 
sistema de numeração decimal. Portanto, afirmam que “quanto maior é a 
quantidade de algarismos de um número, maior o número”. Para a autora, este 
critério funciona mesmo que a criança não conheça “o nome” dos números que 
está comparando, portanto, envolve aspectos visuais “da escrita maior” e não da 
compreensão da grandeza numérica. 
Sendo assim, embora essa hipótese “funcione” mesmo que a criança não 
conheça convencionalmente os nomes dos números, em algumas situações esse 
critério estabelecido não é mantido. Por exemplo: ao compararem 333 com 88, 
algumas crianças afirmam que 88 é maior, porque 8 é maior que 3. Portanto, a 
magnitude do número pode variar de acordo com dois critérios: a quantidade de 
algarismos no número e o valor absoluto do algarismo, que independe da sua 
posição no número. 
 
Contradições presentes nas hipóteses numéricas das crianças 
 
Apesar das hipóteses numéricas do universo infantil sustentarem justificativas 
pertinentes, de acordo com Pires (2013), podem levá-las a conclusões 
contraditórias. 
Segundo Pires (2013), se em um determinado momento as crianças escrevem 
os números relacionando-os à numeração falada, em outro momento, elas 
consideram quea quantidade de algarismos está relacionada “ao tamanho” e à 
magnitude do número. Por exemplo: se a criança escreve 4000 200 10 2 para 
4.212, ela utiliza mais algarismos do que para escrever 5.000. Logo, conclui que o 
número que representou (4000 200 10 2) é maior que 5.000, pois “quanto mais 
algarismos, maior é o número”. Entretanto, em outro momento, ao comparar 4.000 
com 5.000, diz que 5.000 é maior que 4.000, pois o “primeiro é quem manda”. 
Nesse caso, como a criança pode conciliar as duas hipóteses, se aceita que 
4000 200 10 2, que se escreve com mais algarismos, seja menor que 5.000, já que 
o “primeiro é quem manda”? 
Os estudos exploratórios de Pires (2013) auxiliam na conclusão de que a escrita 
numérica por justaposição – relação com a numeração falada – torna-se inaceitável 
se comparada às hipóteses que envolvem a comparação e leitura dos números, ou 
seja, as escritas correspondentes à numeração falada entram em contradição com 
as hipóteses relacionadas à quantidade de algarismos das notações numéricas. 
Pode-se dizer que esses conflitos são benéficos para o processo de aprendizagem, 
pois, quando as crianças comparam os números que escrevem, realizam uma 
autoavaliação do seu próprio conhecimento. 
Portanto, cabe ao professor conhecer e identificar quais são as hipóteses 
numéricas apresentadas pelas crianças para realizar intervenções pontuais, 
contribuindo para o alcance do seu principal objetivo: a aprendizagem. 
 
A criança, o espaço e as formas 
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997), o 
trabalho com a geometria é de suma importância, pois permite ao aluno 
desenvolver um tipo especial de pensamento para que se possa compreender, 
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Dessa forma, 
as crianças, mesmo sem frequentar a escola, estabelecem relações com o espaço, 
observam e exploram diferentes formas geométricas. 
A geometria enquanto conteúdo particular da matemática abrange duas áreas 
fundamentais: o espaço e as formas. Sendo assim, comumente, os currículos 
oficiais definem a geometria como o bloco de conteúdo Espaço e Forma. 
Considerando esses dois vieses, analisaremos adiante os estudos de 
Castrogiovanni (2000), que tratam da evolução da relação que as crianças 
estabelecem com o espaço; e as pesquisas de Clements e Sarama (2000), que 
destacam três níveis de conhecimento acerca da aquisição das formas 
geométricas. 
 
 
O espaço vivido, percebido e concebido 
As crianças, ao vivenciarem uma série de experiências referentes ao espaço que 
lhe é familiar, constroem, quase que de forma natural, noções de distância e 
buscam formas de localização. Isso porque a estruturação espacial da criança se 
inicia pela constituição de um sistema de coordenadas relativo ao seu próprio corpo 
e por noções adquiridas no convívio social, como a identificação de termos como à 
direita, à esquerda, à frente, atrás etc. 
Entretanto, essas aprendizagens exploratórias não são suficientes para que a 
criança se localize, represente e utilize adequadamente o vocabulário para a sua 
localização ou movimentação no espaço. É preciso ter conhecimento de como a 
criança estabelece e constrói a relação com o espaço. 
Para Castrogiovanni (2000), a apreensão do espaço pela criança segue três 
etapas denominadas pelo autor como: o espaço vivido; o espaço percebido; e o 
espaço concebido. É a partir dessas diferentes etapas que a criança passa a 
identificar o espaço por meio da exploração e da vivência; em um segundo 
momento, passa a percebê-lo e apreendê-lo em função do movimento e da 
observação; e, por fim, mais adiante, por intermédio da abstração. 
Segundo Castrogiovanni (2000), o espaço vivido se refere ao reconhecimento do 
meio físico a partir do movimento e do deslocamento da criança num espaço em 
que lhe é familiar. Nesse contexto, a criança explora, observa e reconhece o 
espaço a partir do próprio corpo. Por se tratar de uma fase egocêntrica, em que o 
corpo é o ponto de referência para a localização espacial, o sujeito desconsidera 
outros elementos e objetos que compõem o espaço e que são importantes para se 
localizar. Quando a criança se encontra no espaço vivido, ela dificilmente observará 
os objetos sem considerar o próprio corpo, incorporando à sua observação 
aspectos generalistas, sem maiores detalhamentos quanto à sua localização em 
relação aos demais elementos e objetos que constituem o espaço. 
De acordo com os estudos de Castrogiovanni (2000), o espaço percebido é 
aquele que é familiar à criança. Uma vez percebido, é possível executar uma ação 
no espaço explorado, sem ter que vivenciá-lo ou abstraí-lo. Por exemplo, quando a 
mãe pede para a criança pegar uma toalha que está em seu quarto, no guarda-
roupa, dentro da primeira gaveta, a criança não precisa vivenciar o espaço com 
antecedência para localizar a toalha, pois já tem em mente o trajeto de ida e volta a 
ser percorrido, bem como a localização do objeto a ser encontrado. 
Por fim, o espaço concebido, que, de acordo com Castrogiovanni (2000), é o 
espaço abstrato, ou seja, nunca vivenciado, onde a criança passa de um 
conhecimento espacial corporal, o qual era experimentado pelos sentidos, para um 
saber espacial construído pela reflexão, ou seja, abstração. Nessa etapa, 
contrariamente à fase egocêntrica, há o estabelecimento de relações espaciais 
entre diferentes objetos que constituem o espaço, concebendo não só o corpo 
como referencial, mas também outros elementos. 
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 
1997), nos primeiros anos do Ensino Fundamental deve haver um predomínio de 
atividades orais em que as crianças possam identificar pontos de referência, que 
 
não seja somente a partir do seu próprio corpo, de modo que supere o 
egocentrismo, rumo à ampliação de diferentes vivências, percepções e concepções 
sobre o espaço. 
A partir das etapas apresentadas por Castrogiovanni (2000) é possível propor 
aos alunos uma diversidade de situações cuja resolução possibilite que 
sistematizem e ampliem esses conhecimentos. Ao explorar o espaço, a localização 
dos alunos precisa de pontos de referência que podem ser objetos que são fixos ou 
não. Isso permite o avanço progressivo no domínio de um vocabulário específico 
que permita chegar a uma localização mais precisa. No entanto, para que os alunos 
avancem nesses conhecimentos, é necessário desenvolver a capacidade de 
deslocar-se mentalmente e de pensar o espaço a partir de diferentes pontos de 
vista, ou seja, é preciso incluir diferentes tipos de representações, tanto orais 
quanto gráficas (desenhos e esquemas). 
 
Os níveis de conhecimento das figuras geométricas 
É comum, no discurso dos professores que atuam na Educação Infantil e nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental, que o ensino de Geometria consiste, 
basicamente, no trabalho com as figuras geométricas tais como círculo, quadrado, 
triângulo e retângulo. Entretanto, se a criança estabelece uma relação espacial a 
partir da sua vivência, percepção e concepção sobre o espaço, é contraditório 
iniciar o ensino das formas geométricas a partir das figuras planas. Afinal, o espaço 
é rodeado e composto por formas tridimensionais. 
Atualmente os currículos escolares orientam que o trabalho com as figuras 
geométricas inicie a partir das formas tridimensionais e que, gradativamente, seja 
ampliado para as formas bidimensionais. As formas tridimensionais, como o nome 
indica, têm três dimensões: comprimento, altura e largura. As formas 
bidimensionais, também como o nome indica, têm duas dimensões: comprimento e 
largura. Podemos considerar que as formas tridimensionais (cubo, paralelepípedo, 
cilindro, cone etc.), são compostas pelas formas bidimensionais (quadrado, 
retângulo, círculo e triângulo). 
A pesquisa realizada pelos estudiososClements e Sarama (2010) revela que as 
crianças constroem ideias sobre formas comuns – como círculos, quadrados, 
triângulos e retângulos – mesmo antes de entrar na escola, por meio da exploração 
de brinquedos, livros e programas de televisão com os quais entram em contato no 
cotidiano. No entanto, afirmam que isso não é suficiente, que é preciso que o 
professor as ajude a ampliar os seus conhecimentos. 
Na mesma pesquisa, os autores americanos Clements e Sarama (2010) definem 
três níveis de conhecimento geométrico para as crianças de seis a dez anos: o 
nível de pré-reconhecimento, visual e descritivo. 
 Nível de pré-reconhecimento: concentra-se, exclusivamente, aos 
aspectos perceptíveis. Nesta etapa, as crianças percebem formas, mas 
não são capazes de identificar e distinguir umas das outras. Ou seja, 
 
muitas vezes desenham uma mesma representação para círculos, 
quadrados ou triângulos. 
 Nível visual: neste nível as crianças identificam formas de acordo com o 
seu aspecto e acabam relacionando a forma a um objeto conhecido, por 
exemplo, uma esfera se parece com uma bola de futebol, um dado se 
assemelha ao cubo. 
 Nível descritivo: é somente neste nível que as crianças reconhecem e 
podem caracterizar as formas pelas suas propriedades, ou seja, as 
crianças identificam que um cubo tem seis faces quadradas; oito vértices 
e doze arestas. Exemplo: 
 
 
Face 
 
Vértice 
 
Aresta 
 
Para Clements e Sarama (2010) o progresso dos níveis de pensamento depende 
de experiências pessoais e do ensino. Por isso, em alguns casos, os níveis de 
conhecimento das figuras geométricas podem ser tardios ou antecipados. Enquanto 
o nível descritivo pode vir a se desenvolver mais cedo em crianças, algumas 
pessoas adultas podem permanecer no nível visual para o resto da vida. O aspecto 
experimental, nesse sentido, é colocado em evidência e afirma a importância de se 
iniciar o ensino das formas geométricas pelas figuras tridimensionais, pois o ensino 
simplista, em que a criança aprende apenas a observar e identificar um quadrado, 
por exemplo, pouco contribui para o avanço do nível descritivo que, porventura, 
trata-se de um conhecimento mais elaborado. 
 
REFERÊNCIAS 
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC, 1997. 
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: 
11 set. 2015. 
CASTROGIOVANNI, A. C. (Org.). Ensino de Geografia: práticas e textualizações 
no cotidiano. Porto Alegre: Mediação, 2000. 
 
Formatado: Inglês (EUA)
 
CLEMENTS, D.; SARAMA, J. Young Children’s Ideas about Geometric Shapes. 
Teaching Children Mathematics, Reston, v. 6, n. 8, abr. 2000. 
LERNER, D.; SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. 
In: PARRA, C.; SAIZ, I. et al. (Org.). Didática da Matemática. Porto Alegre: Artmed. 
1996. p. 73-155. 
PIRES, C. M. C. Números naturais e operações. São Paulo: Melhoramentos, 
2013. (Coleção Como eu ensino). 
 
 
Formatado: Inglês (EUA)